CN104810935A - 一种谐振耦合式无线电能多载传输方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种谐振耦合式无线电能多载传输方法，该方法是在考虑发射端和接收端之间以及多接收端之间的交叉耦合的基础上建立了系统模型，从等效电路的角度对模型进行分析，进一步对最大功率传输定理进行公式推导数值计算，然后通过仿真进行验证，得出计算结果和实验仿真结果是保持一致的。最大功率传输定理的应用使系统满足阻抗匹配，提高了负载接收能量的效率，即该方法使系统有效的接收了发射线圈发送的能量，进一步将其扩展至多载式谐振耦合无线电能系统中来提高系统的传输性能。

Description

一种谐振耦合式无线电能多载传输方法

技术领域：

本发明提供了一种谐振耦合式无线电能多载传输方法，涉及无线电能传输领域，尤其涉及磁耦合谐振式无线电能传输系统的分析研究领域。

背景技术:

随着科技的进步，大量的电子产品涌入我们的生活，给我们的工业生产与日常生活都带来了极其重要的作用。然而，这些设备也存在着许多缺陷，电器设备接口处错综复杂的电线限制了设备移动的灵活性，金属裸露问题使其在安全上也存在很多隐患。因此，对无线电能传输技术(wireless powertransmission:WPT)的研究就显得愈发重要和迫切。

目前无线电能传输技术通过电磁感应技术、磁耦合谐振技术和微波或激光的形式进行传输：第一种是感应式，这种方式有传输功率大、电磁辐射小等优点，但这种传输方式传输的距离较近；第二种是微波或激光辐射式，这种方式具有定向性好、传输范围广、传输距离远等优点，但是对周围电磁环境影响大，传输过程中散射严重，损耗大效率低；第三种是谐振式，即磁谐振耦合式无线电能传输技术。此种传输方式，一旦两带电物体具有相同的谐振频率，系统间强的磁场耦合使发射端能够源源不断的提供电能。相比于感应式，其传输距离较远，且对方向性较不敏感；相比于辐射式，其对周围电磁环境的影响较小。

美国麻省理工学院(MIT)Marin Soljacic教授为首的研究团队在2007年提出了谐振耦合式无线能量传输的概念，研究者们认为，通常情况下相距一定距离的两个带电物体之间的耦合为弱耦合，但是一旦两带电物体具有相同的谐振频率，系统间强的磁场耦合使发射端能够不断提供电能，实现无线传输，该项技术将带动更长距离、更大功率的无线电能传输的研究和发展。对于磁耦合谐振式无线电能传输系统，可以通过建立等效电路模型来描述该系统，经过分析传输效率与线圈尺寸、距离的关系，得到了系统传输效率的表达式，进一步分析了最大效率的传输条件，但是建立的等效模型缺少对电源内阻的考虑和负载功率的分析。当该系统的发射端和接收端频率一致时，达到一种强耦合状态，能够实现最佳距离传输，而当系统之间的频率发生偏移，系统的耦合效应迅速衰弱，发射端向接收端的传输性能急剧恶化；当系统是多载接收时，接收端相互间的交叉耦合，也使系统的性能传输发生减弱。

申请公布号为：CN104300699A的发明专利提出基于磁耦合谐振式无线电能传输自适应阻抗匹配系统，主要包括基于粒子群算法DSP控制系统、射频功放系统、阻抗匹配系统、电能发射系统、电能接收系统、整流滤波系统、反射系数检测系统、负载八个部分。该装置具有高可靠性、电磁兼容性佳的特点。但是，当线圈工作距离发生变化时，需要通过精确调节DSP的控制单元的控制指令来稳定系统性能，并不能很好的体现无线充电的便捷性与优势。

申请公布号为：CN103746466A的发明专利提出一种适用于多负载传输的磁耦合谐振式无线电能传输装置，包括发射线圈，与所述发射线圈间隔设置的接收线圈，以及多个负载线圈。所述发射线圈与发射端电容结合用于发射电能；接收线圈通过与接收端电容结合用于接收电能。该发明结构简单，但是，该装置对线圈等器件的要求太高，很容易受到外界的影响。

发明目的：

与传统的电磁感应式和微波式的无线电能传输方式相比，磁耦合谐振系统具有突出的优势，同时多载系统的需要更进一步的促进了无线电能传输在谐振耦合方面的研究。然而，对于多载式系统，接收装置之间互相靠近时交叉耦合的存在，使发射端的能量不能有效的传送给多个接收端。

针对无线电能传输系统中多负载装置这一研究热点，本发明建立了多接收端的谐振耦合式无线电能传输系统模型，运用等效电路方程，在最大平均功率传输定理实现阻抗匹配的基础上进行分析，该分析过程中不需要改变接收装置的位置，通过调节发送端和接收端的耦合系数，就能够减少发送端的反射系数，从而使负载端有效的接收发送端发送的能量。

技术方案

本发明运用最大平均功率传输定理，使系统满足阻抗匹配；然后从耦合系数的角度研究接收端的负载功率，对不同负载功率的公式进行了推导和数值计算，并通过实验仿真验证了理论分析的正确性。

(1)步骤一：运用基尔霍夫电压定律(KVL)列出WPT系统的等效电路方程：

$\left\{\begin{array}{c}[Z_{L0}+\mathrm{j\ω}(L_1-M_1-M_3)+\frac{1}{\mathrm{j\ω}{C}_1}]{\stackrel{g}{I}}_1-\mathrm{j\ω}{M}_1{\stackrel{g}{I}}_2-\mathrm{j\ω}{M}_3{\stackrel{g}{I}}_3={\stackrel{g}{U}}_s\\ -\mathrm{j\ω}{M}_1{\stackrel{g}{I}}_1+[Z_{L1}+\mathrm{j\ω}(L_2-M_1+M_2)+\frac{1}{\mathrm{j\ω}{C}_2}]{\stackrel{g}{I}}_2+\mathrm{j\ω}{M}_2{\stackrel{g}{I}}_3=0\\ -\mathrm{j\ω}{M}_3{\stackrel{g}{I}}_1+\mathrm{j\ω}{M}_2{\stackrel{g}{I}}_2+[Z_{L2}+\mathrm{j\ω}(L_3-M_3+M_2)+\frac{1}{\mathrm{j\ω}{C}_3}]{\stackrel{g}{I}}_3=0\end{array}\right.---\left(1\right)$

为简化分析，线圈的内部电阻R₁，R₂，R₃忽略不计。设耦合角频率为ω₀，则系统谐振时得到矩阵方程

$\left[\begin{array}{ccc}{Z}_{L0}& -j{\mathrm{\ω}}_0{M}_1& -j{\mathrm{\ω}}_0{M}_3\\ -j{\mathrm{\ω}}_0{M}_1& Z_{L1}& j{\mathrm{\ω}}_0{M}_2\\ -j{\mathrm{\ω}}_0{M}_3& j{\mathrm{\ω}}_0{M}_2& Z_{L2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\stackrel{g}{I}}_1\\ {\stackrel{g}{I}}_2\\ Z_{L2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{U}_S^g\\ 0\\ 0\end{array}\right]---\left(2\right)$

(2)步骤二：互感线圈耦合的紧密程度用耦合系数K来表示，结合互感系数M，发射线圈与接收线圈之间的耦合系数为K₁₂和K₃₁，接收线圈间的耦合系数有K₂₃，可以表示为

$K_{\mathrm{ij}}=\frac{M_i}{\sqrt{L_i{L}_j}},i,j=\mathrm{1,2,3}---\left(3\right)$

用谐振线圈的终端阻抗与谐振线圈的电抗斜坡参数的比值来表示外部耦合系数，即

$K_{\mathrm{rn}}=\frac{Z_{\mathrm{Ln}}}{{\mathrm{\ω}}_0{L}_{n+1}},n=\mathrm{0,1,2}---\left(4\right)$

其中，K_r0是发射线圈的外部耦合系数，K_r1是接收线圈1的外部耦合系数，K_r2是接收线圈2的外部耦合系数。

(3)步骤三：解矩阵式(2)，得到电流I₂，I₃关于电流I₁的表达式为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{g}{I}}_2=\frac{{{\mathrm{\ω}}_0}^2{M}_2{M}_3+j{\mathrm{\ω}}_0{M}_1{Z}_{L2}}{Z_{L2}{Z}_{L1}+{{\mathrm{\ω}}_0}^2{M_2}^2}{\stackrel{g}{I}}_1\\ {\stackrel{g}{I}}_3=\frac{{{\mathrm{\ω}}_0}^2{M}_1{M}_2+j{\mathrm{\ω}}_0{M}_3{Z}_{L1}}{Z_{L2}{Z}_{L1}+{{\mathrm{\ω}}_0}^2{M_2}^2}{\stackrel{g}{I}}_1\end{array}\right.---\left(5\right)$

根据式(5)，结合式(2)，得到关于电压U_S与电流I₁的关系表达式

$\begin{array}{c}\frac{U_S}{I_1}=Z_0+\frac{{{\mathrm{\ω}}_0}^2{M_1}^2{Z}_{L2}-j{{\mathrm{\ω}}_0}^3{M}_1{M}_2{M}_3}{Z_{L2}{Z}_{L1}+{{\mathrm{\ω}}_0}^2{M_2}^2}+\frac{{{\mathrm{\ω}}_0}^2{M_3}^2{Z}_{L1}-j{{\mathrm{\ω}}_0}^3{M}_1{M}_2{M}_3}{Z_{L2}{Z}_{L1}+{{\mathrm{\ω}}_0}^2{M_2}^2}\\ =Z_0+Z_1+Z_2\end{array}---\left(6\right)$

将式(3)和(4)中耦合系数的表达式代入式(6)，结合耦合系数，可以分别得到式(6)中阻抗Z₀，Z₁，Z₂的表达式为

$\left\{\begin{array}{c}{Z}_0=K_{r0}{\mathrm{\ω}}_0{L}_1\\ Z_1=\frac{{K_{12}}^2{K}_{r2}-j{K}_{12}{K}_{31}{K}_{23}}{K_{r1}{K}_{r2}+{K_{23}}^2}{\mathrm{\ω}}_0{L}_1\\ Z_2=\frac{{K_{31}}^2{K}_{r1}-j{K}_{12}{K}_{31}{K}_{23}}{K_{r1}{K}_{r2}+{K_{23}}^2}{\mathrm{\ω}}_0{L}_1\end{array}\right.---\left(7\right)$

根据最大平均功率传输定理公式

$Z_0=\stackrel{\‾}{Z_1+Z_2}---\left(8\right)$

将式(7)代入式(8)，求解发射线圈的外部耦合系数

$K_{r0}=\frac{\stackrel{\‾}{{K_{12}}^2{K}_{r2}+{K_{31}}^2{K}_{r1}-2j{K}_{12}{K}_{31}{K}_{23}}}{K_{r1}+K_{r2}+{K_{23}}^2}---\left(9\right)$

此时，系统达到阻抗匹配状态。又因为相同的电流流经负载阻抗Z₁和Z₂，得到负载之比

Z₁:Z₂＝(K₁₂ ²K_r2-jK₁₂K₃₁K₂₃):(K₃₁ ²K_r1-jK₁₂K₃₁K₂₃)        (10)

(4)步骤四：给定条件Z₁:Z₂＝1:1，即负载端相等，发射线圈和接收线圈的等效电感均为10μH，调谐电容为13.8PF，谐振频率为13.56MHZ，此时满足发射线圈与接收线圈的固有频率等于谐振频率，发射线圈与接收线圈1的耦合系数K₁₂为0.05，发射线圈与接收线圈2的耦合系数K₃₁为0.1，接收线圈间的耦合系数K₂₃为0.08，电源阻抗Z_L0选择50Ω。将各耦合系数K₁₂，K₃₁，K₂₃，K_r1，K_r2分别代入式(5)中的电流I₂，I₃的表达式，得到

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{g}{I}}_2=\frac{K_{31}{K}_{23}+j{K}_{12}{K}_{r2}}{K_{r1}{K}_{r2}+{K_{23}}^2}\sqrt{\frac{L_1}{L_2}}{\stackrel{g}{I}}_1\\ {\stackrel{t}{I}}_3=\frac{K_{12}{K}_{23}+j{K}_{31}{K}_{r1}}{K_{r1}{K}_{r2}+{K_{23}}^2}\sqrt{\frac{L_1}{L_3}}{\stackrel{g}{I}}_1\end{array}\right.---\left(11\right)$

由等效电路图可以表示出各负载功率，又根据式(5)中电流I₂和I₁的关系，得到负载功率P_Z1和P_ZL1的表达变换式为

$\left\{\begin{array}{c}{P}_{Z1}=\left|\frac{{K_{12}}^2{K}_{r2}-j{K}_{12}{K}_{31}{K}_{23}}{K_{r1}{K}_{r2}+{K_{23}}^2}\right|*{\left|I_1\right|}^2{\mathrm{\ω}}_0{L}_1={P_{Z1}}^{\′}*{\left|I_1\right|}^2{\mathrm{\ω}}_0{L}_1\\ P_{\mathrm{ZL}1}={\left|\frac{K_{31}{K}_{23}+j{K}_{12}{K}_{r2}}{K_{r1}{K}_{r2}+{K_{23}}^2}\right|}^2{K}_{r1}*{\left|I_1\right|}^2{\mathrm{\ω}}_0{L}_1={P_{\mathrm{ZL}1}}^{\′}*{\left|I_1\right|}^2{\mathrm{\ω}}_0{L}_1\end{array}\right.---\left(12\right)$

分析式(12)得到，证明P_Z1＝P_ZL1即是证明

通过式(13)的成立可以得到阻抗Z₁的有用功率等于负载Z_L1的功率。

同理，得到负载功率P_Z2和P_ZL2的表达式及其变换式

$\left\{\begin{array}{c}{P}_{Z2}=\left|\frac{{K_{31}}^2{K}_{r1}-j{K}_{12}{K}_{31}{K}_{23}}{K_{r1}{K}_{r2}+{K_{23}}^2}\right|*{\left|I_1\right|}^2{\mathrm{\ω}}_0{L}_1={P_{Z2}}^{\′}*{\left|I_1\right|}^2{\mathrm{\ω}}_0{L}_1\\ P_{\mathrm{ZL}2}={\left|\frac{K_{12}{K}_{23}+j{K}_{31}{K}_{r1}}{K_{r1}{K}_{r2}+{K_{23}}^2}\right|}^2{K}_{r2}*{\left|I_1\right|}^2{\mathrm{\ω}}_0{L}_1={P_{\mathrm{ZL}2}}^{\′}*{\left|I_1\right|}^2{\mathrm{\ω}}_0{L}_1\end{array}\right.---\left(14\right)$

分析式(14)得到，证明P_Z2＝P_ZL2即是证明

式(15)的成立可以得到阻抗Z₂的有用功率等于负载Z_L2的功率。

(5)步骤五：有电源阻抗Z_L0为50Ω，中心频率f₀为13.56MHZ，电感值为10μH，将已知数据代入式(4)，得到发送线圈的耦合系数K_r0＝0.0587，进一步计算出接收线圈的耦合系数K_r1，K_r2的表达式，再结合Z₁:Z₂＝1:1，计算得到接收线圈1的外部耦合系数K_r1＝50/587-j/25，接收线圈2的外部耦合系数K_r2＝200/587-j4/25。将所有有关的已知量代入式(12)和式(14)，得到负载功率表达式中不同的部分P_Z1',P_ZL1',P_Z2',P_ZL2'的计算结果为

P_Z1'＝0.0294

P_ZL1′＝0.0294-j0.0138

                           (16)

P_Z2′＝0.0294

P_ZL2'＝0.0294-j0.0138.

由结果得，简化等效电路图中分配给阻抗Z₁的有用功率被互感等效电路图中的负载Z_L1全部吸收，同样的，简化等效电路图中阻抗Z₂的有用功率被互感等效电路图的负载Z_L2全部吸收。并且发现，负载Z_L1和Z_L2的无用功率在接收线圈间的互感M₂的作用下得到消除，这表明接收线圈间虽然存在能量交换，但是负载端的无用功率可以被接收线圈间存在的其他阻抗平衡消除，从而减小了对发射端发送功率的影响。

(6)步骤六：利用电路仿真软件LTspice进行电压电流仿真，此时系统处于谐振耦合状态，同时给定电源电压U_S＝10V，结合步骤五中的参数，得到电压和电流的仿真图。

从两接收端谐振耦合式无线电能传输系统的等效电路图得到负载Z_L1和Z_L2的效率表达式

$\left\{\begin{array}{c}{n}_{21}={I_2}^2{Z}_{L1}/\left(U_S{I}_1\right)\\ n_{31}={I_3}^2{Z}_{L2}/\left(U_S{I}_1\right)\end{array}\right.---\left(17\right)$

根据分析出的表达式以及Matlab仿真得到负载Z_L1和Z_L2的接收效率关于频率的曲线图。运用Matlab的测量工具，在谐振频率13.56MHZ下运行时，然后与用LTspice测量后计算得出的数据进行比较，并分析发射系统的反射系数不足1％。

(7)步骤七：将该最大平均功率传输定理应用到多载式的无线电能传输系统中，通过该定理的应用得到系统的整体等效电路图，在系统满足阻抗匹配的基础上从耦合系数的角度研究各接收端的负载功率，从而分析该系统的整体传输性能。

有益效果：

本发明建立了多接收端的谐振耦合式无线电能传输系统模型，在交叉耦合的情况下运用最大平均功率传输定理，使系统满足阻抗匹配，从耦合系数的角度研究接收端的负载功率结果得到了仿真验证。使得系统即使接收装置之间互相靠近时有交叉耦合的存在，在使用最大平均功率传输定理实现阻抗匹配下，不需要改变接收装置的位置，就能够减少发送端的反射系数，使得负载端有效的接收发送端发送的能量。

附图说明

图1谐振耦合式WPT系统的基本结构图；

图2谐振耦合式WPT系统的等效电路图；

图3谐振耦合式WPT系统互感等效电路分析图；

图4谐振耦合式WPT系统最终等效电路图；

图5不同负载对应的电压值；

图6不同负载对应的电流值；

图7负载Z_L1的接收效率图；

图8负载Z_L2的接收效率图；

图9多载谐振耦合式WPT系统的基本结构图；

图10多载谐振耦合式WPT系统最终等效电路图。

具体实施方式

下面结合具体附图对本发明进行详细说明。

请参阅图1，为系统的工作原理图，电源部分由工频电源整流逆变而成，与发射线圈相连，发射线圈通电后，在其周围形成交变磁场并作用于接收线圈，在该磁场中接收线圈在调谐电容的调节下满足和发射线圈相同的谐振频率，从而使发射线圈和接收线圈耦合并发生谐振，同时，两个接收线圈之间也存在微弱的能量交换。工作中接收端的负载不断地吸收从发射线圈发送的能量，从而完成电能的无线传输。

图2为谐振耦合无线电能传输系统的等效电路图，主要包括发射系统，接收系统1和接收系统2三部分。Z_L0为发射系统中高频电源的电源电阻，L₁和C₁分别代表发射系统的电感和电容，L₂和C₂，L₃和C₃分别对应接收系统1和接收系统2的电感和电容，K₁₂对应发射线圈和接收线圈1之间的耦合系数，K₃₁对应发射线圈和接收线圈2之间的耦合系数，K₂₃对应接收线圈1和接收线圈2之间的的耦合系数，Z_L1和Z_L2是相应接收系统的负载阻抗。

请参阅图2，本发明图3从结合互感对系统进行分析，重绘的互感等效电路分析图。主要是接收线圈1利用互感M₁反射到发射线圈，接收线圈2利用互感M₃反射到发射线圈，以及两接收线圈间的互感M₂，从而得到L₁-M₁-M₃、L₂-M₁+M₂、L₃-M₂+M₃，进一步的对系统进行分析。

请参阅图2，图4为图2系统的最终简化等效电路图，包括电源U_S，发射端阻抗Z₀，接收端1反射到发射端的总阻抗Z₁以及接收端2反射到发射端的总阻抗Z₂。

本发明过程得到各阻抗的电压及电流仿真图，参照图5和图6，依次为各阻抗Z₀，Z₁，Z₂的电压仿真图和各阻抗Z₀，Z₁，Z₂的电流仿真图。由图5和图6的电压电流值，在系统运行稳定的情况经LTspice软件测得数值，从而得到表1。观察表1中的得到的数据，通过效率公式计算负载端的效率，计算得到，负载Z_L1的接收效率超过48％，负载Z_L2的接收效率超过49％。所以，在满足阻抗匹配情况下，发送系统几乎完全把功率传输给两接收端。

表1

本发明通过实验验证方法的可行性，参照图7和图8，为Matlab仿真得到负载Z_L1和Z_L2的接收效率关于频率的曲线图。运用Matlab的测量工具，在系统达到谐振耦合状态，即在谐振频率13.56MHZ下运行时，两负载的最大接收效率分别可以达到48.06％和49.05％，这与用LTspice测量后计算得出的数据几乎保持一致，并且根据两负载阻抗端的效率之和计算出发射系统的反射系数不足1％。从而发现，使用最大平均功率传输定理，能够使系统达到谐振耦合的同时满足阻抗匹配，并且发送线圈发送的能量几乎完全被负载端吸收。

本发明中的两负载式无线电能传输系统，参照图2，将发明的负载扩展为多载式谐振耦合谐振式无线电能传输系统，参照图9和图10，分别为多载谐振耦合式WPT系统的基本结构图和等效电路图，将两负载式WPT系统的分析方法应用到该系统中，进一步的进行研究。

Claims (1)

1.一种谐振耦合式无线电能多载传输方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)步骤一：运用基尔霍夫电压定律(KVL)列出WPT系统的等效电路方程：

$\left\{\begin{array}{c}[Z_{L0}+\mathrm{j\ω}(L_1-M_1-M_3)+\frac{1}{\mathrm{j\ω}{C}_1}]{\stackrel{g}{I}}_1-\mathrm{j\ω}{M}_1{\stackrel{g}{I}}_2-\mathrm{j\ω}{M}_3{\stackrel{g}{I}}_3={\stackrel{g}{U}}_s\\ -\mathrm{j\ω}{M}_1{\stackrel{g}{I}}_1+[Z_{L1}+\mathrm{j\ω}(L_2-M_1+M_2)+\frac{1}{\mathrm{j\ω}{C}_2}]{\stackrel{g}{I}}_2+\mathrm{j\ω}{M}_2{\stackrel{g}{I}}_3=0\\ -\mathrm{j\ω}{M}_3{\stackrel{g}{I}}_1+\mathrm{j\ω}{M}_2{\stackrel{g}{I}}_2+[Z_{L2}+\mathrm{j\ω}(L_3-M_3+M_2)+\frac{1}{\mathrm{j\ω}{C}_3}]{\stackrel{g}{I}}_3=0\end{array}\right.---\left(1\right)$

设耦合角频率为ω₀，则系统谐振时得到矩阵方程

$\left[\begin{array}{ccc}{Z}_{L0}& -j{\mathrm{\ω}}_0{M}_1& -j{\mathrm{\ω}}_0{M}_3\\ -j{\mathrm{\ω}}_0{M}_1& Z_{L1}& j{\mathrm{\ω}}_0{M}_2\\ -j{\mathrm{\ω}}_0{M}_3& j{\mathrm{\ω}}_0{M}_2& Z_{L2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\stackrel{g}{I}}_1\\ {\stackrel{g}{I}}_2\\ {\stackrel{g}{I}}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{g}{U}}_S\\ 0\\ 0\end{array}\right]---\left(2\right)$

(2)步骤二：互感线圈耦合的紧密程度用耦合系数K来表示，结合互感系数M，发射线圈与接收线圈之间的耦合系数为K₁₂和K₃₁，接收线圈间的耦合系数有K₂₃，可以表示为

$K_{\mathrm{ij}}=\frac{M_i}{\sqrt{L_i{L}_j}},i,j=\mathrm{1,2,3}---\left(3\right)$

用谐振线圈的终端阻抗与谐振线圈的电抗斜坡参数的比值来表示外部耦合系数，即

$K_{\mathrm{rn}}=\frac{Z_{\mathrm{Ln}}}{{\mathrm{\ω}}_0{L}_{n+1}},n=\mathrm{0,1},2---\left(4\right)$

其中，K_r0是发射线圈的外部耦合系数，K_r1是接收线圈1的外部耦合系数，K_r2是接收线圈2的外部耦合系数；

(3)步骤三：解矩阵式(2)，得到电流I₂，I₃关于电流I₁的表达式为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{g}{I}}_2=\frac{{{\mathrm{\ω}}_0}^2{M}_2{M}_3+j{\mathrm{\ω}}_0{M}_1{Z}_{L2}}{Z_{L2}{Z}_{L1}+{{\mathrm{\ω}}_0}^2{M_2}^2}{\stackrel{g}{I}}_1\\ {\stackrel{g}{I}}_3=\frac{{{\mathrm{\ω}}_0}^2{M}_1{M}_2+j{\mathrm{\ω}}_0{M}_3{Z}_{L1}}{Z_{L2}{Z}_{L1}+{{\mathrm{\ω}}_0}^2{M_2}^2}{\stackrel{g}{I}}_1\end{array}\right.---\left(5\right)$

根据式(5)，结合式(2)，得到关于电压U_S与电流I₁的关系表达式

$\begin{array}{c}\frac{U_S}{I_1}=Z_0+\frac{{{\mathrm{\ω}}_0}^2{M_1}^2{Z}_{L2}-j{{\mathrm{\ω}}_0}^3{M}_1{M}_2{M}_3}{Z_{L2}{Z}_{L1}+{{\mathrm{\ω}}_0}^2{M_2}^2}+\frac{{{\mathrm{\ω}}_0}^2{M_3}^2{Z}_{L1}-j{{\mathrm{\ω}}_0}^3{M}_1{M}_2{M}_3}{Z_{L2}{Z}_{L1}+{{\mathrm{\ω}}_0}^2{M_2}^2}\\ =Z_0+Z_1+Z_2\end{array}---\left(6\right)$

将式(3)和(4)中耦合系数的表达式代入式(6)，结合耦合系数，可以分别得到式(6)中阻抗Z₀，Z₁，Z₂的表达式为

$\left\{\begin{array}{c}{Z}_0=K_{r0}{\mathrm{\ω}}_0{L}_1\\ Z_1=\frac{{K_{12}}^2{K}_{r2}-j{K}_{12}{K}_{31}{K}_{23}}{K_{r1}{K}_{r2}+{K_{23}}^2}{\mathrm{\ω}}_0{L}_1\\ Z_2=\frac{{K_{31}}^2{K}_{r1}-j{K}_{12}{K}_{31}{K}_{23}}{K_{r1}{K}_{r2}+{K_{23}}^2}{\mathrm{\ω}}_0{L}_1\end{array}\right.---\left(7\right)$

根据最大平均功率传输定理公式

$Z_0=\stackrel{\‾}{Z_1+Z_2}---\left(8\right)$

将式(7)代入式(8)，求解发射线圈的外部耦合系数

$K_{r0}=\frac{\stackrel{\‾}{{K_{12}}^2{K}_{r2}+{K_{31}}^2{K}_{r1}-2j{K}_{12}{K}_{31}{K}_{23}}}{K_{r1}{K}_{r2}+{K_{23}}^2}---\left(9\right)$

此时，系统达到阻抗匹配状态。又因为相同的电流流经负载阻抗Z₁和Z₂，得到负载之比

Z₁:Z₂＝(K₁₂ ²K_r2-jK₁₂K₃₁K₂₃):(K₃₁ ²K_r1-jK₁₂K₃₁K₂₃)     (10)

(4)步骤四：给定条件Z₁:Z₂＝1:1，即负载端相等，发射线圈和接收线圈的等效电感均为10μH，调谐电容为13.8PF，谐振频率为13.56MHZ，此时满足发射线圈与接收线圈的固有频率等于谐振频率，发射线圈与接收线圈1的耦合系数K₁₂为0.05，发射线圈与接收线圈2的耦合系数K₃₁为0.1，接收线圈间的耦合系数K₂₃为0.08，电源阻抗Z_L0选择50Ω；将各耦合系数K₁₂，K₃₁，K₂₃，K_r1，K_r2分别代入式(5)中的电流I₂，I₃的表达式，得到

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{g}{I}}_2=\frac{K_{31}{K}_{23}+j{K}_{12}{K}_{r2}}{K_{r1}{K}_{r2}+{K_{23}}^2}\sqrt{\frac{L_1}{L_2}}{\stackrel{g}{I}}_1\\ {\stackrel{g}{I}}_3=\frac{K_{12}{K}_{23}+j{K}_{31}{K}_{r1}}{K_{r1}{K}_{r2}+{K_{23}}^2}\sqrt{\frac{L_1}{L_3}}{\stackrel{g}{I}}_1\end{array}\right.---\left(11\right)$

由等效电路图可以表示出各负载功率，又根据式(5)中电流I₂和I₁的关系，得到负载功率P_Z1和P_ZL1的表达变换式为

$\left\{\begin{array}{c}{P}_{Z1}=\left|\frac{{K_{12}}^2{K}_{r2}-j{K}_{12}{K}_{31}{K}_{23}}{K_{r1}{K}_{r2}+{K_{23}}^2}\right|*{\left|I_1\right|}^2{\mathrm{\ω}}_0{L}_1={P_{Z1}}^{\′}*{\left|I_1\right|}^2{\mathrm{\ω}}_0{L}_1\\ P_{\mathrm{ZL}1}={\left|\frac{K_{31}{K}_{23}+j{K}_{12}{K}_{r2}}{K_{r1}{K}_{r2}+{K_{23}}^2}\right|}^2{K}_{r1}*{\left|I_1\right|}^2{\mathrm{\ω}}_0{L}_1={P_{\mathrm{ZL}1}}^{\′}*{\left|I_1\right|}^2{\mathrm{\ω}}_0{L}_1\end{array}\right.---\left(12\right)$

分析式(12)得到，证明P_Z1＝P_ZL1即是证明通过式(13)的成立可以得到阻抗Z₁的有用功率等于负载Z_L1的功率；

同理，得到负载功率P_Z2和P_ZL2的表达式及其变换式

$\left\{\begin{array}{c}{P}_{Z2}=\left|\frac{{K_{31}}^2{K}_{r1}-j{K}_{12}{K}_{31}{K}_{23}}{K_{r1}{K}_{r2}+{K_{23}}^2}\right|*{\left|I_1\right|}^2{\mathrm{\ω}}_0{L}_1={P_{Z2}}^{\′}*{\left|I_1\right|}^2{\mathrm{\ω}}_0{L}_1\\ P_{\mathrm{ZL}2}={\left|\frac{K_{12}{K}_{23}+j{K}_{31}{K}_{r1}}{K_{r1}{K}_{r2}+{K_{23}}^2}\right|}^2{K}_{r2}*{\left|I_1\right|}^2{\mathrm{\ω}}_0{L}_1={P_{\mathrm{ZL}2}}^{\′}*{\left|I_1\right|}^2{\mathrm{\ω}}_0{L}_1\end{array}\right.---\left(14\right)$

分析式(14)得到，证明P_Z2＝P_ZL2即是证明

式(15)的成立可以得到阻抗Z₂的有用功率等于负载Z_L2的功率；

(5)步骤五：有电源阻抗Z_L0为50Ω，中心频率f₀为13.56MHZ，电感值为10μH，将已知数据代入式(4)，得到发送线圈的耦合系数K_r0＝0.0587，进一步计算出接收线圈的耦合系数K_r1，K_r2的表达式，再结合Z₁:Z₂＝1:1，计算得到接收线圈1的外部耦合系数K_r1＝50/587-j/25，接收线圈2的外部耦合系数K_r2＝200/587-j4/25；将所有有关的已知量代入式(12)和式(14)，得到负载功率表达式中不同的部分P_Z1',P_ZL1',P_Z2',P_ZL2'的计算结果为

P_Z1'＝0.0294

P_ZL1'＝0.0294-j0.0138             (16)

P_Z2'＝0.0294

P_ZL2'＝0.0294-j0.0138.

由结果得，简化等效电路图中分配给阻抗Z₁的有用功率被互感等效电路图中的负载Z_L1全部吸收，同样的，简化等效电路图中阻抗Z₂的有用功率被互感等效电路图的负载Z_L2全部吸收，并且发现，负载Z_L1和Z_L2的无用功率在接收线圈间的互感M₂的作用下得到消除，这表明接收线圈间虽然存在能量交换，但是负载端的无用功率可以被接收线圈间存在的其他阻抗平衡消除，从而减小了对发射端发送功率的影响；

(6)步骤六：利用电路仿真软件LTspice进行电压电流仿真，此时系统处于谐振耦合状态，同时给定电源电压U_S＝10V，结合步骤五中的参数，得到电压和电流的仿真图；

从两接收端谐振耦合式无线电能传输系统的等效电路图得到负载Z_L1和Z_L2的效率表达式

$\left\{\begin{array}{c}{n}_{21}={I_2}^2{Z}_{L1}/\left(U_S{I}_1\right)\\ n_{31}={I_3}^2{Z}_{L2}/\left(U_S{I}_1\right)\end{array}\right.---\left(17\right)$

根据分析出的表达式以及Matlab仿真得到负载Z_L1和Z_L2的接收效率关于频率的曲线图；运用Matlab的测量工具，在谐振频率13.56MHZ下运行时，然后与用LTspice测量后计算得出的数据进行比较，并分析发射系统的反射系数不足1％；

(7)步骤七：将该最大平均功率传输定理应用到多载式的无线电能传输系统中，通过该定理的应用得到系统的整体等效电路图，在系统满足阻抗匹配的基础上从耦合系数的角度研究各接收端的负载功率，从而分析该系统的整体传输性能。