CN104794303A - 平面双材料圆环界面应力奇异性特征值的分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种平面双材料圆环界面应力奇异性特征值的分析方法，其特征是首先判定近似奇异点，利用选定的可行方向和计算间隔选取测算点，记录测算点的正应力分量及各测算点到近似奇异点的距离，获得测算点各正应力分量和距离的双对数分布图，根据双对数分布图判断应力奇异性特征值为单解或为双解，在应力奇异性特征值为双解时继续选取测算点的切应力分量，并按相应的方法分析获得应力奇异性特征值。本发明方法能够方便地计算得到双材料圆环界面的应力奇异性特征值。

Description

平面双材料圆环界面应力奇异性特征值的分析方法

技术领域

本发明涉及应力奇异性分析方法，更具体地说是一种平面双材料圆环界面应力奇异性特征值的分析方法。

背景技术

双材料圆环结构作为一种新型复合材料结构，已被广泛地应用于海底石油输送管道等领域。由于两侧材料性能差异性，存在应力奇异场，承受载荷时容易在界面附近形成严重的应力不均，是引起界面裂纹及其脱粘的主要原因。

很多学者基于二维弹性理论，针对平面双材料正交楔形体角点附近应力场的奇异性问题，通过Airy函数得出双材料界面端具有应力奇异性。借助界面端奇异性Dundurs参数，采用Mellin变换可以推导任意接合角组合条件下界面端附近应力奇异性特征方程，确定双材料的材料特性、界面端的几何形状和界面端应力场强度三者之间的相互关系。用界面端特征值λ表征界面端应力场强度，λ最多有6个解，1-λ为应力奇异性次数。应用Goursat复变应力函数，可以推导具有任意几何结合形状的界面端的应力和位移场解析解。已有研究对开式界面应力奇异性次数进行了研究，但对于圆环状的闭式界面并未给出相关的结论。

发明内容

本发明是为避免上述现有技术所存在的不足之处，提供一种平面双材料圆环界面应力奇异性特征值的分析方法，以期能够方便地计算得到双材料圆环界面的应力奇异性特征值，为评价平面双材料圆环状闭式界面结构的力学性能提供依据。

本发明为解决技术问题采用如下技术方案：

本发明平面双材料圆环界面应力奇异性特征值的分析方法的特点是按如下步骤进行：

步骤1、在平面双材料圆环界面的应力分布图中取应力集中部分的中心为近似奇异点A；自近似奇异点A起向某一选定方向取一段线段AB作为计算间隔，在所述线段AB中平均选取Z个测算点，设定θ为所述选定方向的极角，设定k为1到Z之间的整数、k＝1，2，3......Z，分别记录各测算点到所述近似奇异点A的距离r_k以及各测算点的正应力分量σ_θk，对于所述极角θ以及线段AB的设定，要求所述正应力分量σ_θk和距离r_k满足线性关系，令所述选定方向为可行方向；

步骤2、利用式(1)获得正应力分量σ_θk和距离r_k的双对数分布图P1：

logσ_θk＝C₀-(1-λ)logr_k    (1)式(1)中：C₀为常数，λ为平面双材料圆环界面的应力奇异性特征值；

若所述双对数分布图P1呈直线性，则是只有一个λ值，即为具有单一应力奇异性，求取所述双对数分布图P1的斜率即为特征值λ；反之则是λ为双解，即为具有二重应力奇异性，对于λ为双解继续如下步骤3；

步骤3、对于λ为双解：在线段AB中选取所述Z个测算点的切应力分量τ_rθk，并要求所述切应力分量τ_rθk与距离r_k同样具有线性关系，否则返回步骤1，选定不同的可行方向和计算间隔重新操作，直至切应力分量τ_rθk与距离r_k具有线性关系，则有：

$\left.\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θk}}-A_2{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θk}}=\frac{B_1}{{r_k}^{1-{\mathrm{\λ}}_1}}\\ {\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θk}}-A_1{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{rk\θ}}=\frac{B_2}{{r_k}^{1-{\mathrm{\λ}}_2}}\end{array}\right\}---\left(2\right)$

式(2)中：B₁和B₂为常数，λ₁和λ₂为平面双材料圆环界面的两个应力奇异性特征值，系数A₁和A₂的值由步骤4确定；

步骤4、在Z个测算点中选取距离r_k成等比数列的三个点，分别为M点、N点和O点，令M点、N点和O点与近似奇异点A的距离分别为r₀，ρr₀，ρ²r₀，其中ρ为比例系数；令M点的正应力分量和切应力分量分别为σ_θM和τ_rθM；N点的正应力分量和切应力分量分别为σ_θN和τ_rθN；O点的正应力分量和切应力分量分别为σ_θO和τ_rθO，则将式(2)转换为式(3)：

${\mathrm{aA}}_n^2+{\mathrm{bA}}_n+c=0,n=\mathrm{1,2}---\left(3\right)$

式(3)中：b＝σ_θMτ_rθO+σ_θOτ_rθM-2σ_θNτ_rθN，当b²＝4ac时，A₁和A₂为重根；当b²＞4ac时，A₁和A₂为两个实根；当b²＜4ac时，A₁和A₂为一对共轭复根；

至少取10组不同的r₀与ρ值，分别计算各组A₁和A₂，要求求得的各组A₁值之间相差不超过0.05，并且各组A₂值之间亦相差不超过0.05，否则返回步骤1，选定不同的可行方向和计算间隔重新操作，直至各组A₁值之间相差不超过0.05，并且各组A₂值之间亦相差不超过0.05；取各组A₁的平均数为终值取各组A₂的平均数为终值

步骤5、所述终值和具有如下三种不同的形式

形式一：和为重根，表明近似奇异点A仅具有单一应力奇异性，即为步骤2中具有单一应力奇异性的情形；

形式二：和为两个实根，则有式(4)：

$\left.\begin{array}{c}\log ({\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θk}}-\stackrel{\‾}{A_2}{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θk}})=C_1-(1-{\mathrm{\λ}}_1)\log r_k\\ \log ({\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θk}}-\stackrel{\‾}{A_1}{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θk}})=C_2-(1-{\mathrm{\λ}}_2)\log r_k\end{array}\right\}---\left(4\right)$

利用式(4)获得测算点各组合应力分量n＝1，2和距离r_k的双对数分布图P2；若是所述双对数分布图P2中两个图像均呈直线性，求取所述双对数分布图P2中两个图像的斜率即分别为实数特征值λ₁和λ₂，同时表明该圆环界面具有二重实应力奇异性；

形式三：和为一对共轭复根，特征值λ₁和λ₂也为一对共轭复数；令：

λ₁＝λ_R+λ_Mi，λ₂＝λ_R-λ_Mi；其中A_R为和的实部，A_M为和的虚部；λ_R为λ₁和λ₂的实部，λ_M为λ₁和λ₂的虚部；i为虚数单位；则有：

$\left.\begin{array}{c}\log {\mathrm{\σ}}_0=D_1-(1-{\mathrm{\λ}}_R)\log r_k\\ {\mathrm{\ψ}}_0\log e=D_2+{\mathrm{\λ}}_M\log r_k\end{array}\right\}---\left(5\right)$

式(5)中： ${\mathrm{\σ}}_0=\sqrt{{({\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θk}}-A_R{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θk}})}^2+{\left(A_M{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θk}}\right)}^2},{\mathrm{\ψ}}_0=\arctan \frac{A_M{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θk}}}{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θk}}-A_R{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θk}}};$ e为自然常数，D₁和D₂为常数；

利用式(5)分别获得测算点各组合应力分量σ₀和距离r_k以及ψ₀和距离r_k的双对数分布图P3；若是所述双对数分布图P3中两个图像均呈直线性，求解所述双对数分布图P3中两个图像的斜率分别为λ_R和λ_M，最终得到两个共轭复数特征值λ₁和λ₂，同时表明该圆环界面具有二重振荡应力奇异性。

与已有技术相比，本发明有益效果体现在：

1、本发明能够方便地计算得到双材料圆环界面的应力奇异性特征值，为评价平面双材料圆环状闭式界面结构的力学性能提供了依据，也可以为双材料圆环结构材料组合的选择和设计提供依据。

2、本发明方法中采用数值分析方法，引入了测算点，其过程简单、易于操作；采用近似奇异点代替奇异点，显著简化了计算过程。

3、本发明方法对于可行方向以及对应的计算间隔的选取进行了多重限定，提高精确性。

4、本发明方法中选取测算点中多组成等比数列的三个点分别进行A₁值和A₂值的计算，并检验各组A₁值和A₂值之间的差值，通过求取平均数的方法得到终值，避免了偶然性，进一步提高了精确性。

5、本发明方法中采用图像法，利用双对数分布图判断并计算应力奇异性特征值，直观可视，进一步简化了计算过程。

附图说明

图1为本发明方法中涉及的平面双材料圆环结构的应力分布图；

图2为本发明方法中平面双材料圆环结构的应力集中图；

图3为本发明方法中单一应力分量的双对数分布图P1；

图4为本发明方法中组合应力分量的双对数分布图P2；

表1为本发明方法中等比数列点组及其相对应的A₁值和A₂值。

具体实施方式

本实施例中平面双材料圆环界面应力奇异性特征值的分析方法是按如下过程进行：

步骤1：在平面双材料圆环界面的应力分布图中取应力集中部分的中心为近似奇异点A，圆环界面的应力奇异点很难精确地确定，可以确定的是应力奇异点一定在应力集中部分中心的附近，因此本实施例中用近似奇异点代替奇异点，以此显著简化计算过程，并且对计算结果不产生影响；自近似奇异点A起向某一选定方向取一段线段AB作为计算间隔，在线段AB中平均选取Z个测算点，设定θ为选定方向的极角，设定k为1到Z之间的整数、k＝1，2，3......Z，分别记录各测算点到近似奇异点A的距离r_k以及各测算点的正应力分量σ_θk，对于极角θ以及线段AB的设定，要求正应力分量σ_θk和距离r_k满足线性关系，令选定方向为可行方向；若是正应力分量σ_θk和距离r_k不满足线性关系，则表明取定的可行方向和计算间隔远离应力奇异性所影响的区域，此时选定的测算点不能用来计算应力奇异性特征值，故必须重新选定可行方向和计算间隔；测算点、各测算点到近似奇异点A的距离r_k以及各测算点的正应力分量σ_θk的选取可以借助于通用的有限元软件。

步骤2：利用式(1)获得正应力分量σ_θk和距离r_k的双对数分布图P1：

logσ_θk＝C₀-(1-λ)logr_k    (1)

式(1)中：C₀为常数，λ为平面双材料圆环界面的应力奇异性特征值；

经大量计算发现，平面圆环结构普遍只具有单解或双解；若是双对数分布图P1呈直线性，则是只有一个λ值，即为具有单一应力奇异性，求取双对数分布图P1的斜率即为特征值λ；反之则是λ为双解，即为具有二重应力奇异性；对于λ为双解继续如下步骤3；

步骤3：对于λ为双解：在线段AB中选取Z个测算点的切应力分量τ_rθk，并要求切应力分量τ_rθk与距离r_k同样具有线性关系，否则返回步骤1，选定不同的可行方向和计算间隔重新操作，直至切应力分量τ_rθk与距离r_k具有线性关系，这一方式是为了保证可行方向和计算间隔在应力奇异性所影响的区域内，从而进一步保证测算点的有效性，则有：

$\left.\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θk}}-A_2{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θk}}=\frac{B_1}{{r_k}^{1-{\mathrm{\λ}}_1}}\\ {\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θk}}-A_1{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{rk\θ}}=\frac{B_2}{{r_k}^{1-{\mathrm{\λ}}_2}}\end{array}\right\}---\left(2\right)$

式(2)中：B₁和B₂为常数，λ₁和λ₂为平面双材料圆环界面的两个应力奇异性特征值，系数A₁和A₂的值由步骤4确定；

步骤4、在Z个测算点中选取距离rk成等比数列的三个点，分别为M点、N点和O点，令M点、N点和O点与近似奇异点A的距离分别为r₀，ρr₀，ρ²r₀，其中ρ为比例系数；令M点的正应力分量和切应力分量分别为σ_θM和τ_rθM；N点的正应力分量和切应力分量分别为σ_θN和τ_rθN；O点的正应力分量和切应力分量分别为σ_θO和τ_rθO，则将式(2)转换为式(3)：

${\mathrm{aA}}_n^2+{\mathrm{bA}}_n+c=0,n=\mathrm{1,2}---\left(3\right)$

式(3)中：b＝σ_θMτ_rθO+σ_θOτ_rθM-2σ_θNτ_rθN，

当b²＝4ac时，A₁和A₂为重根；当b²＞4ac时，A₁和A₂为两个实根；当b²＜4ac时，A₁和A₂为一对共轭复根；

至少取10组不同的r₀与ρ值，分别计算各组A₁和A₂，要求求得的各组A₁值之间相差不超过0.05，并且各组A₂值之间亦相差不超过0.05，否则返回步骤1，选定不同的可行方向和计算间隔重新操作，直至各组A₁值之间相差不超过0.05，并且各组A₂值之间亦相差不超过0.05；取多组不同的r₀与ρ值，并要求各组A₁和A₂值的相关性，这样既可以避免计算中的偶然性，又可以减小通用有限元软件计算模拟的误差；一旦各组A₁和A₂值的相关性不满足要求，则同样表明取定的可行方向和计算间隔远离应力奇异性所影响的区域，此时选定的测算点不能用来计算应力奇异性特征值，故必须返回步骤1重新操作；取各组A₁的平均数为终值取各组A₂的平均数为终值

步骤5、终值和具有如下三种不同的形式

形式一：和为重根，表明近似奇异点A仅具有单一应力奇异性，即为步骤2中具有单一应力奇异性的情形；

形式二：和为两个实根，则有式(4)：

$\left.\begin{array}{c}\log ({\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θk}}-\stackrel{\‾}{A_2}{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θk}})=C_1-(1-{\mathrm{\λ}}_1)\log r_k\\ \log ({\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θk}}-\stackrel{\‾}{A_1}{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θk}})=C_2-(1-{\mathrm{\λ}}_2)\log r_k\end{array}\right\}---\left(4\right)$

利用式(4)获得测算点各组合应力分量n＝1，2和距离r_k的双对数分布图P2；若是双对数分布图P2中两个图像均呈直线性，求取双对数分布图P2中两个图像的斜率即分别为实数特征值λ₁和λ₂，同时表明该圆环界面具有二重实应力奇异性；

形式三：和为一对共轭复根，特征值λ1和λ2也为一对共轭复数；令：

λ₁＝λ_R+λ_Mi，λ₂＝λ_R-λ_Mi；其中A_R为和的实部，A_M为和的虚部；λ_R为λ₁和λ₂的实部，λ_M为λ₁和λ₂的虚部；i为虚数单位；则有：

$\left.\begin{array}{c}\log {\mathrm{\σ}}_0=D_1-(1-{\mathrm{\λ}}_R)\log r_k\\ {\mathrm{\ψ}}_0\log e=D_2+{\mathrm{\λ}}_M\log r_k\end{array}\right\}---\left(5\right)$

式(5)中： ${\mathrm{\σ}}_0=\sqrt{{({\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θk}}-A_R{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θk}})}^2+{\left(A_M{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θk}}\right)}^2},{\mathrm{\ψ}}_0=\arctan \frac{A_M{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θk}}}{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θk}}-A_R{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θk}}};$ e为自然常数，D₁和D₂为常数；

利用式(5)分别获得测算点各组合应力分量σ₀和距离r_k以及ψ₀和距离r_k的双对数分布图P3；若是双对数分布图P3中两个图像均呈直线性，求解双对数分布图P3中两个图像的斜率分别为λ_R和λ_M，最终得到两个共轭复数特征值λ₁和λ₂，同时表明该圆环界面具有二重振荡应力奇异性。

参见图1，本实施例中在内圆环1和外圆环2之间形成有平面双材料圆环界面3，其中内圆环1为6061-T651铝合金、外圆环2为AZ91D镁合金，材料参数分别为：镁合金剪切模量G₁＝16.67GPa，泊松比ν₁＝0.35；铝合金剪切模量G₂＝26.69GPa，泊松比ν₂＝0.3。如图1所示，圆环界面的应力奇异点具有对称性，故只计算圆环界面上的一个奇异点，即图1所示的第二象限中的奇异点，图2为其局部放大图，具体实施步骤如下：

第1步、在平面双材料圆环界面的应力分布图中取应力集中部分的中心为近似奇异点A；自近似奇异点A起向某一选定方向取一段线段AB作为计算间隔，线段AB长度取定为0.76mm；在线段AB中平均选取50个测算点，即Z取定为50，选定方向的极角θ取定为0.75π，设定k为1到50之间的整数、k＝1，2，3......50，可行方向选定为由近似奇异点指向圆心；分别记录各测算点到近似奇异点A的距离r_k以及各测算点的正应力分量σ_θk，经检验近似奇异点A的距离r_k以及各测算点的正应力分量σ_θk满足线性关系；

第2步、利用式(1)获得正应力分量σ_θk和距离r_k的双对数分布图P1；如图3所示，双对数分布图P1不呈直线性，则表明该圆环界面具有二重应力奇异性，即λ有双解；

第3步、在线段AB中选取50个测算点的切应力分量τ_rθk，经检验所述切应力分量τ_rθk与距离r_k同样具有线性关系；

第4步、在50个测算点中选取距离r_k成等比数列的三个点，分别为M点、N点和O点，令M点、N点和O点与近似奇异点A的距离分别为r₀，ρr₀，ρ²r₀，其中ρ为比例系数；令M点的正应力分量和切应力分量分别为σ_θM和τ_rθM；N点的正应力分量和切应力分量分别为σ_θN和τ_rθN；O点的正应力分量和切应力分量分别为σ_θO和τ_rθO，本实施例选取其中11组成等比数列的测算点，并将各组M点、N点和O点的应力分量带入式(3)，分别计算各组A₁和A₂值，具体r₀和ρ的取值及相对应的计算所得的A₁和A₂值如表1所示。经检验求得各组A₁值之间相差不超过0.05，并且各组A₂值之间亦相差不超过0.05，取各组A₁的平均数为终值取各组A₂的平均数为终值分别为 $\stackrel{\‾}{A_1}=-2.660,\stackrel{\‾}{A_2}=-5.4942.$

第5步、由于求得的和为两个实根，将其带入式(4)，并利用式(4)获得测算点各组合应力分量n＝1，2和距离r_k的双对数分布图P2；如图4所示，双对数分布图P2呈直线性，求取双对数分布图P2中两个图像的斜率，分别得到实数特征值λ₁＝0.9332、λ₂＝0.9455；同时表明本例中该圆环界面具有二重实应力奇异性。

表1

Claims (1)

1.平面双材料圆环界面应力奇异性特征值的分析方法，其特征按如下步骤进行：

步骤1、在平面双材料圆环界面的应力分布图中取应力集中部分的中心为近似奇异点A；自近似奇异点A起向某一选定方向取一段线段AB作为计算间隔，在所述线段AB中平均选取Z个测算点，设定θ为所述选定方向的极角，设定k为1到Z之间的整数、k＝1，2，3……Z，分别记录各测算点到所述近似奇异点A的距离r_k以及各测算点的正应力分量σ_θk，对于所述极角θ以及线段AB的设定，要求所述正应力分量σ_θk和距离r_k满足线性关系，令所述选定方向为可行方向；

步骤2、利用式(1)获得正应力分量σ_θk和距离r_k的双对数分布图P1：

logσ_θk＝C₀-(1-λ)logr_k   (1)

式(1)中：C₀为常数，λ为平面双材料圆环界面的应力奇异性特征值；

若所述双对数分布图P1呈直线性，则是只有一个λ值，即为具有单一应力奇异性，求取所述双对数分布图P1的斜率即为特征值λ；反之则是λ为双解，即为具有二重应力奇异性，对于λ为双解继续如下步骤3；

步骤3、对于λ为双解：在线段AB中选取所述Z个测算点的切应力分量τ_rθk,并要求所述切应力分量τ_rθk与距离r_k同样具有线性关系，否则返回步骤1，选定不同的可行方向和计算间隔重新操作，直至切应力分量τ_rθk与距离r_k具有线性关系，则有：

$\left.\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θk}}-A_2{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θk}}=\frac{B_1}{{r_k}^{1-{\mathrm{\λ}}_1}}\\ {\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θk}}-A_1{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θk}}=\frac{B_2}{{r_k}^{1-{\mathrm{\λ}}_2}}\end{array}\right\}---\left(2\right)$

式(2)中：B₁和B₂为常数，λ₁和λ₂为平面双材料圆环界面的两个应力奇异性特征值，系数A₁和A₂的值由步骤4确定；

步骤4、在Z个测算点中选取距离r_k成等比数列的三个点，分别为M点、N点和O点，令M点、N点和O点与近似奇异点A的距离分别为r₀，ρr₀，ρ²r₀，其中ρ为比例系数；令M点的正应力分量和切应力分量分别为σ_θM和τ_rθM；N点的正应力分量和切应力分量分别为σ_θN和τ_rθN；O点的正应力分量和切应力分量分别为σ_θO和τ_rθO，则将式(2)转换为式(3)：

$A_n^2+b{A}_n+c=0,n=\mathrm{1,2}$

式(3)中： $a={\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θN}}^2-{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θM}}{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θO}},b={\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θM}}{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θO}}+{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θO}}{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θM}}-2{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θN}}{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θN}},c={\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θN}}^2-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θM}}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θO}};$

当b¹＝4ac时，A₁和A₂为重根；当b²＞4ac时，A₁和A₂为两个实根；当b²＜4ac时，A₁和A₂为一对共轭复根；

至少取10组不同的r₀与ρ值，分别计算各组A₁和A₂，要求求得的各组A₁值之间相差不超过0.05，并且各组A₂值之间亦相差不超过0.05，否则返回步骤1，选定不同的可行方向和计算间隔重新操作，直至各组A₁值之间相差不超过0.05，并且各组A₂值之间亦相差不超过0.05；取各组A₁的平均数为终值取各组A₂的平均数为终值

步骤5、所述终值和具有如下三种不同的形式

形式一：和为重根，表明近似奇异点A仅具有单一应力奇异性，即为步骤2中具有单一应力奇异性的情形；

形式二：和为两个实根，则有式(4)：

$\left.\begin{array}{c}\log ({\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θk}}-\stackrel{\‾}{A_2}{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θk}})=C_1-(1-{\mathrm{\λ}}_1)\log r_k\\ \log ({\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θk}}-\stackrel{\‾}{A_1}{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θk}})=C_2-(1-{\mathrm{\λ}}_2)\log r_k\end{array}\right\}---\left(4\right)$

利用式(4)获得测算点各组合应力分量n＝1，2和距离r_k的双对数分布图P2；若是所述双对数分布图P2中两个图像均呈直线性，求取所述双对数分布图P2中两个图像的斜率即分别为实数特征值λ₁和λ₂，同时表明该圆环界面具有二重实应力奇异性；

形式三：和为一对共轭复根，特征值λ₁和λ₂也为一对共轭复数；令：

λ₁＝λ_R+λ_Mi，λ₂＝λ_R-λ_Mi；其中A_R为和的实部，A_M为和的虚部；λ_R为λ₁和λ₂的实部，λ_M为λ₁和λ₂的虚部；i为虚数单位；则有：

$\left.\begin{array}{c}\log {\mathrm{\σ}}_0=D_1-(1-{\mathrm{\λ}}_R)\log r_k\\ {\mathrm{\ψ}}_0\log e=D_2+{\mathrm{\λ}}_M\log r_k\end{array}\right\}---\left(5\right)$ 式(5)中： ${\mathrm{\σ}}_0=\sqrt{{({\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θk}}-A_R{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θk}})}^2+{\left(A_M{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θk}}\right)}^2},{\mathrm{\ψ}}_0=\mathrm{arc}\tan \frac{A_M{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θk}}}{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θk}}-A_R{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θk}}};$ e为自然常数，D₁和D₂为常数；

利用式(5)分别获得测算点各组合应力分量σ₀和距离r_k以及ψ₀和距离r_k的双对数分布图P3；若是所述双对数分布图P3中两个图像均呈直线性，求解所述双对数分布图P3中两个图像的斜率分别为λ_R和λ_M，最终得到两个共轭复数特征值λ₁和λ₂，同时表明该圆环界面具有二重振荡应力奇异性。