CN104751420B - 一种基于稀疏表示和多目标优化的盲复原方法 - Google Patents

Abstract

一种基于稀疏表示和多目标优化的盲复原方法，包括以下步骤：(1)训练获得稀疏字典D；(2)读入退化图像Y和稀疏字典D；(3)对退化图像Y分块，重构初始化复原图像；(4)构建基于稀疏先验约束的正则化项，求解图像盲复原的目标函数；(5)将图像盲复原目标函数的求解转化为多目标优化问题；(6)将多目标优化问题中的子目标函数转化为以稀疏系数为自变量的函数；(7)初始化多目标粒子群优化算法；(8)基于多目标粒子群算法求得多目标优化问题的非可支配解集；(9)从非可支配解集中选择最优稀疏系数，重构图像，获得复原后的清晰图像。本发明方法简单；复原结果图像准确、清晰；图像复原问题求解的质量高；可有效消除伪像效应，提高图像复原的效果。

Description

一种基于稀疏表示和多目标优化的盲复原方法

技术领域

本发明属于图像处理技术领域，涉及一种基于稀疏先验正则化和多目标粒子群优化算法的图像盲复原方法。

背景技术

在成像过程中，由于相机平台运动、失焦和大气传输流、气动光学效应等等因素的影响，往往使得获得的图像出现失真、模糊，并被噪声污染，导致图像的退化。退化图像的信噪比和分辨率都较低，严重影响视觉效果和后续处理、分析，需要对退化图像做复原处理，以提高图像质量。

图像复原是根据退化图像和图像退化过程的先验知识来重构出原始清晰图像的过程，是图像处理领域的一个重要分支，在学术研究和工业应用领域都有重要价值和意义。

在图像复原中，若表示退化过程的点扩展函数未知，这样的复原称为盲复原。图像盲复原问题是一个病态问题，有很多不适定解，需要利用解或退化过程的先验知识来构造正则化约束项，将病态问题转化为良态问题，以获得稳定的确定解。

图像退化过程的模糊核(点扩展函数)往往具有稀疏的特性，本发明用模糊核的l₁范数来刻画这种稀疏的特性，并将其作为正则化项引入图像复原的目标函数，可约束图像复原目标函数的求解。此外，清晰图像在过完备字典上往往可完全或近似地线性展开，同时使得这个字典中大部分基原子的系数为零，这就是图像的稀疏表示特性。

另外，由于在对图像进行稀疏表示时，需要对图像进行分块处理，会导致重构图像中出现“伪像”效应，从而影响重构效果。

在使用正则化技术解决图像盲复原的过程中，对于每一个正则化项都需要有一个正则化参数来调其在整个目标函数中的比重。而正则化参数取值不当容易引起的求解的病态性和振铃现象。目前常用的正则化参数的选取方法主要有先验选取和后验选取两种。后验选取的方法不仅计算量太大，而且还需要计算大型矩阵的特征值，一般不太实用。所以，当前的大多数正则化图像盲复原方法中，正则化参数取值通常是静态设置的，且一旦设置好就不再变化，这种静态设置正则化参数的方法，使得到的复原图像的质量很大程度上依赖于正则化参数设置的优劣，具有随机性。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是，克服现有技术存在的上述缺陷，提供一种复原结果图像更准确、更清晰的基于稀疏表示和多目标优化的盲复原方法。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是，一种基于稀疏表示和多目标优化的盲复原方法，包括以下步骤：

(1)训练获得稀疏字典D；

(2)读入退化图像Y和稀疏字典D；

(3)对退化图像Y分块，重构初始化复原图像；

(4)构建基于稀疏先验约束的正则化项，求解图像盲复原的目标函数；

(5)将图像盲复原目标函数的求解转化为多目标优化问题；

(6)将多目标优化问题中的子目标函数转化为以稀疏系数为自变量的函数；

(7)初始化多目标粒子群优化算法；

(8)基于多目标粒子群算法求得多目标优化问题的非可支配解集；

(9)从非可支配解集中选择最优稀疏系数，重构图像，获得复原后的清晰图像。

进一步，所述步骤(1)包括以下步骤：

1.1输入训练样本图像，利用四个一维滤波f₁＝[-1,0,1]、f₂＝f₁ ^T、f₃＝[1,0,-2,0,1]、f₄＝f₃ ^T，其中T表示矩阵的转置，提取训练样本图像的一、二阶梯度图像，将一、二阶梯度图像作为训练样本；

1.2将步骤1.1中的训练样本分成大小为8×8的小块，并将每个小块排列成64×1的列向量s_i，其中下标i为列向量s的序列号，得到训练样本集S＝[s₁,s₂,...,s_M],其中M为训练样本的个数；

1.3求得步骤1.2中训练样本集S的协方差矩阵Ω，对协方差矩阵Ω进行奇异值分解，得到特征向量P＝[p₁,p₂,...,p_r]的特征值，其中r为特征值个数；提取前r₀个最大特征值对应的特征向量，组成的矩阵D＝[p₁,p₂,...p_r0]即为稀疏字典。

进一步，所述步骤(3)中，令R_i表示提取子图像的操作矩阵，从退化图像Y中提取子图像块y_i，则子图像块y_i表示如下：

y_i＝R_iY；

利用正交匹配追踪算法计算得到子图像块y_i在训练得到的稀疏字典D上所对应的稀疏系数{a_i}，并重构一副初始复原图像，表示如下：

(式中，R_i表示提取子图像的操作矩阵，T表示矩阵的转置，i为图像块的序列号)。

进一步，所述步骤(4)包括以下步骤：

4.1图像复原的目标函数表示如下：

其中k为表示图像退化过程的模糊核，表示退化图像Y与重建图像X之间的逼近程度，其中*表示卷积运算，J(x)表示施加先验约束的正则化项，λ为调节正则化项权重的参数；

4.2表示图像退化过程的模糊核具有稀疏的特性，将模糊核k的稀疏性用k的l₁范数||k||₁来表示，作为正则化约束施加到图像复原目标函数中，得：

(式中，k为表示图像退化过程的模糊核，*表示卷积运算，表示退化图像Y与重建图像X之间的逼近程度，γ为模糊核稀疏性正则化项的权重调节参数；

4.3图像的稀疏表示是清晰图像在过完备库上完全或近似地线性展开，同时使得支撑集中大部分基函数的系数为零，则将子图像块y_i＝R_iY在字典D下的稀疏表示作为正则化项加入图像复原目标函数中，得：

其中，为稀疏表示正则化项，η,λ,为正则化项权重调节参数，R_i表示提取子图像的操作矩阵，表示退化图像Y与重建图像X之间的逼近程度，k为表示图像退化过程的模糊核；γ为模糊核稀疏性正则化项的权重调节参数；

4.4采用广义自回归条件异方差模型作为描述“尖峰厚尾”的统计模型，目标函数写为：

；其中，为图像梯度服从“尖峰厚尾”统计特性这一先验的正则化项，表示行方向求导，表示列方向求导，log(g)表示取对数，为稀疏表示正则化项，μ，η,λ,为正则化项权重调节参数，反映了退化图像Y与重建图像X之间的逼近程度。

进一步，所述步骤(5)中，将步骤(4.4)中的目标函数等价地转换为5个子目标函数，得：

(式中，表示退化图像Y与重建图像X之间的逼近程度，k为表示图像退化过程的模糊核，*表示卷积运算；为图像梯度服从“尖峰厚尾”统计特性这一先验的正则化项，表示行方向求导，表示列方向求导，log(g)表示取对数；为图像在字典D下的稀疏表示正则化项。

进一步，所述步骤(6)中，用退化图像Y、稀疏系数{a_i}和字典D来表示X、k，Y与字典D是不变量，得：并将步骤(5)中5个子目标函数f₁(k,X),f₂(X,a_i),f₃(a_i),f₄(X),f₅(k)分别转换为以稀疏系数{a_i}为自变量的函数，有：

其中，ω取很小的正数，本发明的实施过程中ω＝0.001，其中Y表示退化图像，F^-1表示反傅里叶变换，F(Y)表示退化图像Y的傅里叶变换，表示傅里叶变换后取共轭，*表示卷积运算，为的逆矩阵，log(g)表示取对数，表示行方向求导，表示列方向求导，

进一步，所述步骤(7)包括以下步骤：

7.1根据步骤(6)中待求解的多目标函数设置粒子群优化算法的适应度函数：

fit(a_i)＝1/(f₁(a_i)+f₂(a_i)+f₃(a_i)+f₄(a_i)+f₅(a_i))；

7.2多目标粒子群优化算法的初始化和相关参数设置：

设定最大迭代次数T＝100，初始化迭代次数t＝0，粒子群数量N＝100，外部档案大小为M＝100；设置惯性权重W₁为0.7、W₂为0.4，学习因子C_1i、C_2i分别设置为C_1i＝2.5、社交参数C_2i＝0.5,随机数r₁、r₂在[0,1]之间取值；随机产生一组列向量作为粒子群P₀中每个个体的初始位置X₀，粒子群P₀的初始速度V₀均设置为0；种群中每个粒子的初始个体极值P_i ^pb设置为粒子的初始位置X₀；根据适应度函数选择初始种群中的非可支配解作为外部档案的初始化，在外部档案中使用拥挤距离策略初始化全局极值P_i ^gb。

进一步，所述步骤(8)中，多目标粒子群算法优化求解步骤(6)中的多目标函数，得到多目标函数的非可支配解集，包括以下步骤：

8.1更新惯性权重W(t)、感知参数C₁(t)和社交参数C₂(t)等自适应参数，更新规则如下：

其中C_1f＝0.5，C_2f＝2.5；(式中，T为多目标粒子群算法设定的最大迭代次数，t为多目标粒子群算法当前迭代次数)；

8.2更新每个粒子的位置和速度，得到新的粒子群P_t+1，粒子位置和速度更新的规则如下：

V_i(t+1)＝W(t)×V_i(t)+C₁(t)r_i(P_i ^pb _i-X_i(t))+C₂(t)r₂(P_i ^gb-X_i(t)),i＝1.2.3....m；

X_i(t+1)＝X_i(t)+V_i(t+1),i＝1.2.3....m；

其中，V_i(t+1)为粒子群P_t+1中第i个粒子第(t+1)次迭代时的速度，X_i(t+1)为粒子群P_t+1中第i个粒子第(t+1)次迭代时的位置，t表示迭代次数，r₁、r₂为在[0,1]之间取值的随机数；P_i ^pb表示种群中每个粒子的初始个体极值，P_i ^gb表示在外部档案中使用拥挤距离策略初始化全局极值，W(t)为惯性权重、C₁(t)为感知参数、C₂(t)为社交参数；

8.3根据新的粒子群P_t+1，计算每个粒子的新的适应度函数值fit(a_i)；

8.4根据步骤8.3所得新的适应度函数值，更新粒子的个体极值，更新规则如下：

其中，P_i ^pb(t)为第i个粒子第t次迭代时的个体极值，P_i ^pb(t+1)为第i个粒子第t+1次迭代时的个体极值，fit(a_i(t+1))表示第i个粒子第t+1迭代时的新的适应度函数值，fit(P_i ^pb(t))表示第i个粒子的个体极值在第t次迭代时的适应度函数值；X_i(t+1)为粒子群P_t+1中第i个粒子第(t+1)次迭代时的位置；

依据非可支配解主导准则，将当前群体中每个粒子的适应度函数值与外部档案中的所有粒子的适应度函数值做比较，将当前群体中拥有目标函数对应的非可支配解的最优解的粒子存入外部档案中，再根据拥挤距离策略在外部档案中更新全局极值P_i ^gb；

8.5如果没有达到终止条件(迭代次数t＜100)，则返回步骤8.1，否则退出循环，获得的外部档案即为步骤(6)中多目标函数的非可支配解集。

进一步，所述步骤(9)中，从非可支配解集中选取适应度函数值最大的解作为步骤(6)中多目标函数的最优解{a_i}，也是步骤4.4中目标函数的最优解，该解即为所求的清晰图像在字典D上的稀疏表示系数{a_i}，再根据下式求得到复原后的清晰图像X：

(其中T表示矩阵的转置)；

即获得退化图像Y的复原后的清晰图像X。

与现有技术相比，本发明方法简单；复原结果图像准确、清晰；以图像的稀疏表示特性作为先验知识，引入稀疏正则化项，图像复原问题求解的质量高；在对图像进行稀疏表示过程中，对图像进行分块处理时，能避免重构图像中出现“伪像”效应而影响重构效果问题；在图像盲复原中选择“尖峰厚尾”的分布函数来描述这种统计特性,并将它作为先验知识对整体图像进行约束，可有效消除伪像效应，提高图像复原的效果；基于多目标粒子群优化的图像盲复原目标函数求解方法，可将各正则化参数作为变量，在求解过程中，使之与正则化项同时进行优化，弥补现有技术方法将正则化项与正则化参数分开优化求解的缺陷，可以使正则化参数、正则化项、复原结果图像同时得到最优解，从而使复原结果图像更准确、更清晰。

附图说明

图1是本发明一实施例的原理框图；

图2为本发明仿真实验中使用的退化图像；

图3为经本发明复原的结果图像；

图4为Seghouane A K方法复原的结果图像；

图5为本发明复原的结果图像的局部1图像；

图6为Seghouane A K方法复原的结果图像的局部图像。

具体实施方式

以下结合附图及实施例对本发明做进一步说明。

参照附图1，本实施例包括以下步骤：(1)训练获得稀疏字典D：

1.1输入训练样本图像，利用四个一维滤波f₁＝[-1,0,1]、f₂＝f₁ ^T、f₃＝[1,0,-2,0,1]、f₄＝f₃ ^T，其中T表示矩阵的转置，提取训练样本图像的一、二阶梯度图像，将一、二阶梯度图像作为训练样本；

1.2将步骤1.1中的训练样本分成大小为8×8的小块，并将每个小块排列成64×1的列向量s_i，其中下标i为列向量s的序列号。得到训练样本集S＝[s₁,s₂,...,s_M]，M为训练样本的个数；

1.3求得步骤1.2中训练样本集S的协方差矩阵Ω，对协方差矩阵Ω进行奇异值分解，得到特征向量P＝[p₁,p₂,...,p_r]和特征值，其中r为特征值个数；提取前r₀个最大特征值对应的特征向量，组成的矩阵D＝[p₁,p₂,...p_r0]即为稀疏字典。

(2)读入退化图像Y和稀疏字典D；

(3)对退化图像Y分块，重构初始化复原图像：令R_i表示提取子图像的操作矩阵，从退化图像Y中提取子图像块y_i，则子图像块y_i表示如下：

y_i＝R_iY；

利用正交匹配追踪算法计算得到子图像块y_i在训练得到的稀疏字典D上所对应的稀疏系数{a_i}，并重构一副初始复原图像，表示如下：

(式中，R_i表示提取子图像的操作矩阵，T表示矩阵的转置，i为图像块的序列号)；

(4)构建基于稀疏先验约束的正则化项，求解图像盲复原的目标函数；

4.1图像盲复原问题是一个病态问题，有很多不适定解，需要利用解的先验知识来构造正则化约束项，将病态问题转化为良态问题，以获得确定的解。图像复原的目标函数表示如下：

其中k为表示图像退化过程的模糊核，表示退化图像Y与重建图像X之间的逼近程度，J(x)表示施加先验约束的正则化项，*表示卷积运算，λ为调节正则化项权重的参数；

4.2表示图像退化过程的模糊核具有稀疏的特性，基于这一特性，将模糊核k的稀疏性用k的l₁范数||k||₁来表示，作为正则化约束施加到图像复原目标函数中，得：

(式中，k为表示图像退化过程的模糊核，*表示卷积运算，表示退化图像Y与重建图像X之间的逼近程度，γ为模糊核稀疏性正则化项的权重调节参数。

4.3图像的稀疏表示是清晰图像在过完备库上完全或近似地线性展开，同时使得支撑集中大部分基函数的系数为零，则将子图像块y_i＝R_iY在字典D下的稀疏表示作为正则化项加入图像复原目标函数中，得：

其中，为稀疏表示正则化项，η,λ,为正则化项权重调节参数，R_i表示提取子图像的操作矩阵，表示退化图像Y与重建图像X之间的逼近程度，k为表示图像退化过程的模糊核，；

4.4由于稀疏表示是分块处理的，在将重构后的分块图像拼接成整图中容易出现伪像效应，为避免这一影响，将图像梯度(行方向导数和列方向导数)具有“尖峰厚尾”的统计特性这一先验作为正则化项加入目标函数，可有效消除伪像效应。采用广义自回归条件异方差模型作为描述“尖峰厚尾”的统计模型，目标函数写为：

其中，为图像梯度服从“尖峰厚尾”统计特性这一先验的正则化项，表示行方向求导，表示列方向求导，log(g)表示取对数，为稀疏表示正则化项，μ，η,λ,为正则化项权重调节参数，反映了退化图像Y与重建图像X之间的逼近程度；

(5)将图像盲目复原目标函数转化为以系数系数为自变量的函数：交替更新法是求解步骤(4.4)中目标函数的传统方法，它将步骤(4.4)中目标函数的求解视为一个单目标优化问题，但交替更新法只能独立地估计模糊核和稀疏系数，也只能静态的设置正则化参数，求解精度较低。本发明将步骤(4.4)中的目标函数求解问题等价地转化为多目标优化问题，可以规避交替更新法的不足，获得更好的求解结果，将步骤(4.4)中的目标函数等价地转换为5个子目标函数，得：

(式中，表示退化图像Y与重建图像X之间的逼近程度，K表示什么？k为表示图像退化过程的模糊核，*表示卷积运算；为图像梯度服从“尖峰厚尾”统计特性这一先验的正则化项，表示行方向求导，表示列方向求导，log(g)表示取对数；为图像在字典D下的稀疏表示正则化项。

(6)将多目标优化问题中的子目标函数转化为以稀疏系数为自变量的函数：用退化图像Y、稀疏系数{a_i}和字典D来表示X、k，Y与字典D是不变量，得：并将步骤(5)中5个子目标函数f₁(k,X),f₂(X,a_i),f₃(a_i),f₄(X),f₅(k)分别转换为以稀疏系数{a_i}为自

变量的函数，有：

其中，ω取很小的正数，本发明的实施过程中ω＝0.001，其中Y表示退化图像，F^-1表示反傅里叶变换，F(Y)表示退化图像Y的傅里叶变换，表示傅里叶变换后取共轭，*表示卷积运算，为的逆矩阵，log(g)表示取对数，表示行方向求导，表示列方向求导，

(7)初始化多目标粒子群优化算法；

7.1根据步骤(6)中待求解的多目标函数设置粒子群优化算法的适应度函数：

fit(a_i)＝1/(f₁(a_i)+f₂(a_i)+f₃(a_i)+f₄(a_i)+f₅(a_i))；

7.2多目标粒子群优化算法的初始化和相关参数设置：

设定最大迭代次数T＝100，初始化迭代次数t＝0，粒子群数量N＝100，外部档案大小为M＝100；设置惯性权重W₁为0.7、W₂为0.4，学习因子C_1i、C_2i分别设置为C_1i＝2.5、社交参数C_2i＝0.5,随机数r₁、r₂在[0,1]之间取值；随机产生一组列向量作为粒子群P₀中每个个体的初始位置X₀，粒子群P₀的初始速度V₀均设置为0；种群中每个粒子的初始个体极值P_i ^pb设置为粒子的初始位置X₀；根据适应度函数选择初始种群中的非可支配解作为外部档案的初始化，在外部档案中使用拥挤距离策略初始化全局极值P_i ^gb；

(8)多目标粒子群算法优化求解步骤(6)中的多目标函数，得到多目标函数的非可支配解集；

8.1更新惯性权重W(t)、感知参数C₁(t)和社交参数C₂(t)等自适应参数，更新规则如下：

其中C_1f＝0.5，C_2f＝2.5；(式中，T多目标粒子群算法设定的最大迭代次数，t为多目标粒子群算法当前迭代次数。)；

8.2更新每个粒子的位置和速度，得到新的粒子群P_t+1，粒子位置和速度更新的规则如下：

V_i(t+1)＝W(t)×V_i(t)+C₁(t)r_i(P_i ^pb _i-X_i(t))+C₂(t)r₂(P_i ^gb-X_i(t)),i＝1.2.3....m；

X_i(t+1)＝X_i(t)+V_i(t+1),i＝1.2.3....m；

其中V_i(t+1)为粒子群P_t+1中第i个粒子第(t+1)次迭代时的速度，X_i(t+1)为粒子群P_t+1中第i个粒子第(t+1)次迭代时的位置，t表示迭代次数，r₁、r₂为在[0,1]之间取值的随机数；P_i ^pb表示种群中每个粒子的初始个体极值，P_i ^gb表示在外部档案中使用拥挤距离策略初始化全局极值；W(t)为惯性权重、C₁(t)为感知参数，C₂(t)为社交参数；

8.3根据新的粒子群P_t+1，计算每个粒子的新的适应度函数值fit(a_i)；

8.4根据步骤8.3所得新的适应度函数值，更新粒子的个体极值，更新规则如下：

其中，P_i ^pb(t)为第i个粒子第t次迭代时的个体极值，P_i ^pb(t+1)为第i个粒子第t+1次迭代时的个体极值，fit(a_i(t+1))表示第i个粒子第t+1迭代时的新的适应度函数值，fit(P_i ^pb(t))表示第i个粒子的个体极值在第t次迭代时的适应度函数值；

依据非可支配解主导准则，将当前群体中每个粒子的适应度函数值与外部档案中的所有粒子的适应度函数值做比较，将当前群体中拥有目标函数对应的非可支配解集的最优解的粒子存入外部档案中，再根据拥挤距离策略在外部档案中更新全局极值P_i ^gb；

8.5如果没有达到终止条件(迭代次数t＜100)，则返回步骤8.1，否则退出循环，获得的外部档案即为步骤(6)中多目标函数的非可支配解集；

(9)从非可支配解集中选取适应度函数值最大的解作为步骤(6)中多目标函数的最优解{a_i}，也是步骤4.4中目标函数的最优解，该解即为所求的清晰图像在字典D上的稀疏表示系数{a_i}，再根据下式求得到复原后的清晰图像X：

(其中T表示矩阵的转置)；

即获得退化图像Y的复原后的清晰图像X。

为说明本发明的有效性，将本发明所提出的基于稀疏先验正则化和多目标粒子群优化的图像盲复原方法与被广泛认可的Seghouane A K方法做比较。

参照附图2，本实施例使用图2作为退化的测试图像。用本实施例和Seghouane A K的方法分别对图2所示的退化图像做复原处理，分别得到复原后的结果图像，其中图3为用本实施例复原得到的图像结果，图4为Seghouane A K的方法复原得到的结果图像。

对比本实施例得到的复原结果(图3)和Seghouane A K方法的复原结果(图4)可以看出，图4所展示的复原图像过于平滑，图像整体缺少细节，图像中车辆、树木等物体边缘较为模糊。图3所展示的图像相较与图4，不但有效的去除模糊，而且具有更高的对比度，图像中的细节特征保持较好，车辆、树木等物体边缘清晰可见，图像整体视觉效果更佳。图5为图3的局部区域放大后的图像；图6为图4的局部区域放大后的图像，对比图5和图6可以进一步看出，图6中物体边缘出现“振铃”效应，边缘细节不清晰。本实施例得到的复原图像(图5)在去模糊的同时，抑制了“振铃”效应，存在比较少的虚假边缘，使得图像边缘更加锐利，恢复了图像更多的细节信息。

此外，为定量比较本实施例和Seghouane A K方法的性能差异，采用峰值信噪比PSNR(图像复原领域中用来定量衡量图像复原质量的通用指标)对两种方法分别得到的复原结果图做客观评价，其中峰值信噪比PSNR定义如下：

其中，f为清晰图像，X为复原后的图像，H和L为清晰图像f的像素行数和像素列数。两种方法分别对退化图像(图2)的复原结果(图3、图4)的峰值信噪比PSNR见表1，其中方法1为本发明的方法，方法2为Seghouane A K的方法。

表1本发明方法和Seghouane A K方法复原结果图像的PSNR

从表1中的PSNR值可以看出，本发明方法的结果比Seghouane A K的方法的结果具有更高的峰值信噪比，说明本发明方法可获得高质量的复原图像。

视觉效果和定量考察指标都表明：本发明方法可有效的实现退化图像的复原，获得高峰值信噪比的清晰图像。

Claims (8)

1.一种基于稀疏表示和多目标优化的盲复原方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)训练获得稀疏字典D；

(2)读入退化图像Y和稀疏字典D；

(3)对退化图像Y分块，重构初始化复原图像；

(4)构建基于稀疏先验约束的正则化项，求解图像盲复原的目标函数；

所述步骤(4)包括以下步骤：

4.1图像复原的目标函数表示如下：

<mrow> <mo>{</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <mi>arg</mi> <mi>min</mi> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>Y</mi> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mo>*</mo> <mi>X</mi> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>J</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> </mrow>

其中k为表示图像退化过程的模糊核，表示退化图像Y与重建图像X之间的逼近程度，其中*表示卷积运算，J(x)表示施加先验约束的正则化项，λ为调节正则化项权重的参数；

4.2表示图像退化过程的模糊核具有稀疏的特性，将模糊核k的稀疏性用k的l₁范数||k||₁来表示，作为正则化约束施加到图像复原目标函数中，得：

式中，k为表示图像退化过程的模糊核，*表示卷积运算，表示退化图像Y与重建图像X之间的逼近程度，γ为模糊核稀疏性正则化项的权重调节参数；

4.3图像的稀疏表示是清晰图像在过完备库上完全或近似地线性展开，同时使得支撑集中大部分基函数的系数为零，则将子图像块y_i＝R_iY在字典D下的稀疏表示作为正则化项加入图像复原目标函数中，得：

其中，为稀疏表示正则化项，η,λ,为正则化项权重调节参数，R_i表示提取子图像的操作矩阵，表示退化图像Y与重建图像X之间的逼近程度，k为表示图像退化过程的模糊核；γ为模糊核稀疏性正则化项的权重调节参数；

4.4采用广义自回归条件异方差模型作为描述“尖峰厚尾”的统计模型，目标函数写为：

<mrow> <mo>{</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <mi>argmin</mi> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>Y</mi> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mo>*</mo> <mi>X</mi> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mi>&amp;eta;</mi> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mi>r</mi> </munder> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>X</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>Da</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mi>i</mi> </munder> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>a</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>&amp;mu;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>|</mo> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <mi>g</mi> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mo>&amp;dtri;</mo> <mi>h</mi> </msub> <mi>X</mi> </mrow> <mo>)</mo> <msup> <mo>|</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mo>/</mo> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>|</mo> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <mi>g</mi> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mo>&amp;dtri;</mo> <mi>v</mi> </msub> <mi>X</mi> </mrow> <mo>)</mo> <msup> <mo>|</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mo>/</mo> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mn>1</mn> </msub> </mrow> ；

其中，为图像梯度服从“尖峰厚尾”统计特性这一先验的正则化项，表示行方向求导，表示列方向求导，log()表示取对数，为稀疏表示正则化项，μ,η,λ,为正则化项权重调节参数，反映了退化图像Y与重建图像X之间的逼近程度；

(5)将图像盲复原目标函数的求解转化为多目标优化问题；

(6)将多目标优化问题中的子目标函数转化为以稀疏系数为自变量的函数；

(7)初始化多目标粒子群优化算法；

(8)基于多目标粒子群算法求得多目标优化问题的非可支配解集；

(9)从非可支配解集中选择最优稀疏系数，重构图像，获得复原后的清晰图像。

2.根据权利要求1所述的基于稀疏表示和多目标优化的盲复原方法，其特征在于，所述步骤(1)包括以下步骤：

1.1输入训练样本图像，利用四个一维滤波f₁＝[-1,0,1]、f₂＝f₁ ^T、f₃＝[1,0,-2,0,1]、其中T表示矩阵的转置，提取训练样本图像的一、二阶梯度图像，将一、二阶梯度图像作为训练样本；

1.2将步骤1.1中的训练样本分成大小为8×8的小块，并将每个小块排列成64×1的列向量s_i，其中下标i为列向量s的序列号，得到训练样本集S＝[s₁,s₂,...,s_M],其中M为训练样本的个数；

1.3求得步骤1.2中训练样本集S的协方差矩阵Ω，对协方差矩阵Ω进行奇异值分解，得到特征向量P＝[p₁,p₂,...,p_r]的特征值，其中r为特征值个数；提取前r₀个最大特征值对应的特征向量，组成的矩阵D＝[p₁,p₂,...p_r0]即为稀疏字典。

3.根据权利要求2所述的基于稀疏表示和多目标优化的盲复原方法，其特征在于，所述步骤(3)中，令R_i表示提取子图像的操作矩阵，从退化图像Y中提取子图像块y_i，则子图像块y_i表示如下：

y_i＝R_iY；

利用正交匹配追踪算法计算得到子图像块y_i在训练得到的稀疏字典D上所对应的稀疏系数{a_i}，并重构一副初始复原图像，表示如下：

式中，R_i表示提取子图像的操作矩阵，T表示矩阵的转置，i为图像块的序列号。

4.根据权利要求1所述的基于稀疏表示和多目标优化的盲复原方法，其特征在于，所述步骤(5)中，将步骤(4.4)中的目标函数等价地转换为5个子目标函数，得：

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>f</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>X</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>Y</mi> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mo>*</mo> <mi>X</mi> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mi>i</mi> </munder> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>X</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>Da</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mi>i</mi> </munder> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>a</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>f</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>|</mo> <mi>log</mi> <mo>(</mo> <msub> <mo>&amp;dtri;</mo> <mi>h</mi> </msub> <mi>X</mi> <mo>)</mo> <msup> <mo>|</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mo>/</mo> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>|</mo> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <mi>g</mi> <mo>(</mo> <msub> <mo>&amp;dtri;</mo> <mi>v</mi> </msub> <mi>X</mi> <mo>)</mo> <msup> <mo>|</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mo>/</mo> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mn>5</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>;</mo> </mrow>

式中，表示退化图像Y与重建图像X之间的逼近程度，k为表示图像退化过程的模糊核，*表示卷积运算；为图像梯度服从“尖峰厚尾”统计特性这一先验的正则化项，表示行方向求导，表示列方向求导，log()表示取对数；为图像在字典D下的稀疏表示正则化项。

5.根据权利要求4所述的基于稀疏表示和多目标优化的盲复原方法，其特征在于，所述步骤(6)中，用退化图像Y、稀疏系数{a_i}和字典D来表示X、k，Y与字典D是不变量，得：并将步骤(5)中5个子目标函数f₁(k,X),f₂(X,a_i),f₃(a_i),f₄(X),f₅(k)分别转换为以稀疏系数{a_i}为自变量的函数，有：

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其中，ω＝0.001，其中Y表示退化图像，F^-1表示反傅里叶变换，F(Y)表示退化图像Y的傅里叶变换，表示傅里叶变换后取共轭，*表示卷积运算，为的逆矩阵，log()表示取对数，表示行方向求导，表示列方向求导。

6.根据权利要求5所述的基于稀疏表示和多目标优化的盲复原方法，其特征在于，所述步骤(7)包括以下步骤：

7.1根据步骤(6)中待求解的多目标函数设置粒子群优化算法的适应度函数：

fit(a_i)＝1/(f₁(a_i)+f₂(a_i)+f₃(a_i)+f₄(a_i)+f₅(a_i))；

7.2多目标粒子群优化算法的初始化和相关参数设置：

设定最大迭代次数T＝100，初始化迭代次数t＝0，粒子群数量N＝100，外部档案大小为M＝100；设置惯性权重W₁为0.7，W₂为0.4，学习因子C_1i、C_2i分别设置为感知参数C_1i＝2.5、社交参数C_2i＝0.5,随机数r₁、r₂在[0,1]之间取值；随机产生一组列向量作为粒子群P₀中每个个体的初始位置X₀，粒子群P₀的初始速度V₀均设置为0；种群中每个粒子的初始个体极值P_i ^pb设置为粒子的初始位置X₀；根据适应度函数选择初始种群中的非可支配解作为外部档案的初始化，在外部档案中使用拥挤距离策略初始化全局极值P_i ^gb。

7.根据权利要求6所述的基于稀疏表示和多目标优化的盲复原方法，其特征在于，所述步骤(8)中，多目标粒子群算法优化求解步骤(6)中的多目标函数，得到多目标函数的非可支配解集，包括以下步骤：

8.1更新惯性权重W(t)、感知参数C₁(t)和社交参数C₂(t)，更新规则如下：

<mrow> <mi>W</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>W</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>W</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <mrow> <mi>T</mi> <mo>-</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mi>T</mi> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>W</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>;</mo> </mrow>

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其中C_1f＝0.5，C_2f＝2.5；式中，T为多目标粒子群算法设定的最大迭代次数，t为多目标粒子群算法当前迭代次数；

8.2更新每个粒子的位置和速度，得到新的粒子群P_t+1，粒子位置和速度更新的规则如下：

V_i(t+1)＝W(t)×V_i(t)+C₁(t)r_i(P_i ^pb _i-X_i(t))+C₂(t)r₂(P_i ^gb-X_i(t))，i＝1.2.3....N；

X_i(t+1)＝X_i(t)+V_i(t+1)，i＝1.2.3....N；

其中，V_i(t+1)为粒子群P_t+1中第i个粒子第(t+1)次迭代时的速度，X_i(t+1)为粒子群P_t+1中第i个粒子第(t+1)次迭代时的位置，t表示迭代次数，r₁、r₂为在[0,1]之间取值的随机数；P_i ^pb表示种群中每个粒子的初始个体极值，P_i ^gb表示在外部档案中使用拥挤距离策略初始化全局极值，W(t)为惯性权重、C₁(t)为感知参数、C₂(t)为社交参数；

8.3根据新的粒子群P_t+1，计算每个粒子的新的适应度函数值fit(a_i)；

8.4根据步骤8.3所得新的适应度函数值，更新粒子的个体极值，更新规则如下：

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其中，P_i ^pb(t)为第i个粒子第t次迭代时的个体极值，P_i ^pb(t+1)为第i个粒子第t+1次迭代时的个体极值，fit(a_i(t+1))表示第i个粒子第t+1迭代时的新的适应度函数值，fit(P_i ^pb(t))表示第i个粒子的个体极值在第t次迭代时的适应度函数值；X_i(t+1)为粒子群P_t+1中第i个粒子第(t+1)次迭代时的位置；

依据非可支配解主导准则，将当前群体中每个粒子的适应度函数值与外部档案中的所有粒子的适应度函数值做比较，将当前群体中拥有目标函数对应的非可支配解的最优解的粒子存入外部档案中，再根据拥挤距离策略在外部档案中更新全局极值P_i ^gb；

8.5如果没有达到终止条件,迭代次数t＜100，则返回步骤8.1，否则退出循环，获得的外部档案即为步骤(6)中多目标函数的非可支配解集。

8.根据权利要求7所述的基于稀疏表示和多目标优化的图像盲复原方法，其特征在于，所述步骤(9)中，从非可支配解集中选取适应度函数值最大的解作为步骤(6)中多目标函数的最优解{a_i}，也是步骤4.4中目标函数的最优解，该解即为所求的清晰图像在字典D上的稀疏表示系数{a_i}，再根据下式求得到复原后的清晰图像X：

其中T表示矩阵的转置；

即获得退化图像Y的复原后的清晰图像X。