CN104699989A - 单一频率激励下二维空间任意一点合成电场计算的方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及单一频率激励下二维空间任意一点合成电场计算的方法。对于空间任意一点电场强度的计算，该方法首先基于有限元仿真软件ANSYS，计算出该点在一个周期内的电场强度X、Y分量，通过电场强度合成量幅值与相位的关系，再利用本发明所涉及的方法计算出电场强度合成量的最大值。本方法对于二维空间任意一点的电场强度计算，有着计算时间短、效率高、无理论误差等优点。

Description

单一频率激励下二维空间任意一点合成电场计算的方法

技术领域

本发明属于电磁场计算领域，尤其是涉及有限元分析及电场强度各分量叠加计算电场强度合成量的问题。

背景技术

求解电磁场问题的最终要求就是获得满足实际条件的Maxwell方程的解,Maxwell方程以及相关公式如式一到式六所示，并结合相应的电磁场边界条件进行求解计算。

$\mathrm{rotH}=\mathrm{\γE}+\frac{\∂D}{\∂t}$     式一

$\mathrm{rotE}=-\frac{\∂B}{\∂t}$     式二

divB＝0    式三

divD＝ρ    式四

B＝μH    式五

D＝εE    式六

现阶段，单一频率激励下的二维空间任意位置的电场强度的计算方法主要有：

1、瞬态场计算方法，其特点是能反映电场变化的动态过程，但它是基于对时间的离散来进行求解的，从理论上来讲存在一定的误差，且计算时间相对较长，对计算机配置要求较高。

2、瞬时电位加载法，其特点是将动态电场等效为一系列的静电场从而减小了计算量，可实现不同时刻同步求解，但它是仅适用于准静电场，其计算精度较瞬态场计算方法更低。

随着有限元方法在电磁场方面的应用与发展，对于单一频率激励下的二维空间任意位置的电场强度的计算，为了寻求更有效的计算方法，克服以上方法的不足，基于半解析法，即将解析法与有限元计算方法相结合，提出了一种电场计算的新方法。该发明通过对相同频率不同相位的电场强度X、Y分量的叠加所得到的电场强度合成量的幅值与相位的分析，通过绘制幅值与相位的关系图，可得到令人满意的结果。该发明与现有的两种方法对比，大大缩短了计算时间，降低了计算机的配置要求，同时更重要的一点是没有理论误差。

发明内容

本发明解决了现有技术中所存在的技术问题；即对于频率不同相位的电场强度X、Y分量的合成电场进行了发明，改正了之前大多数文献中直接利用仿真软件ANSYS中后处理中的电场强度合成量的结果而造成的错误，同时大大缩减了合成电场的计算时间。

本发明还有一个目的就是解决现有技术中对于相同频率不同相位的电场强度X、Y分量的电场强度合成量计算的误差问题，本发明可以做到完全无理论误差计算电场强度合成量。

本发明的上述技术问题主要是通过下述技术方案得以解决的：

一种单一频率激励下二维空间任意一点合成电场计算的方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1、基于大型仿真软件ANSYS，定义路径为直线，长度为10m，并定义路径上的A点，其中A点位于路径正中间，电极1、2、3为直径0.2m的圆，电极2圆心与点A垂直对应，且相邻电极间的距离是1m，电极平面与路径平面的垂直距离为1m，路径平面与大地平面的垂直距离为1m，如附图1所示。定义电极1上的电位为a cos(bωt+θ)，电极2上的电位为电极3上的电位为 a不等于零，决定其幅值，b为大于0的整数，决定其频率。θ为初相角。计算其空间任意一点电场强度X、Y分量。

步骤2、根据电场强度X、Y分量，得到电场强度合成量幅值与相位的图形。如附图2所示。

步骤3、根据该点的电场强度X、Y分量一个周期内的变化，得到电场强度合成量幅值与相位的图形，发现其图形为一椭圆形。其中椭圆的半长轴就是我们所要计算的电场强度合成量的幅值。如附图3所示。

步骤4、推导电场强度合成量的幅值与相位所构成的椭圆形的公式。

$A_1{E}_x^2+C_1{E}_y^2=1$     式一

与椭圆方程相比：

$\frac{A_1}{a^2}+\frac{B_1}{b^2}=1$     式二

可知长半轴 $a=\frac{1}{\sqrt{A_1}}$     式三

短半轴 $b=\frac{1}{\sqrt{C_1}}$     式四

其中：

A₁＝Acos²α+2B·sinα·cosα+C·sin²α    式五

C₁＝A·sin²α-2B·sinα·cosα+C·cos²α    式六

α为附图6中的旋转角。

$\begin{array}{ccc}A=\frac{1}{{\left|E_a\right|}^2}& B=\frac{\cot \mathrm{\β}}{{\left|E_a\right|}^2}& C=\frac{1}{{\sin }^2\mathrm{\β}\·{\left|E_b\right|}^2}+\frac{{\cot }^2\mathrm{\β}}{{\left|E_a\right|}^2}\end{array}$     式七

    式八

为电场强度X、Y分量的相位差。

    式八

    式九

E₁和E₂分别为电场强度X、Y分量的幅值。

a即为我们所要计算的电场强度合成量的幅值。

因此，本发明具有如下优点：1、通过电场强度X、Y分量计算电场强度合成量，大大缩减了计算时间，提高了计算效率；2、与常规的计算电场强度合成量的方法相比，本发明无误差。3、方法简单，执行效率高，可应用于任何2D空间电场强度X、Y分量为同一频率不同相位的电场强度合成量的计算。

附图说明

附图1为本发明所涉及的三电极模型。

附图2为本发明所涉及的某个时间点电场强度合成量的幅值与相位的关系。

附图3为本发明所涉及的一个周期内电场强度合成量的幅值与相位的关系。

附图4为本发明所涉及的相量与在相量图上的位置。

附图5为本发明所涉及的将(i，j)坐标系变为(x',y')坐标系。

附图6为本发明所涉及的将(x',y')坐标系旋转为(x,y)坐标系。

具体实施方式

下面通过实施例，并结合附图，对本发明的技术方案作进一步具体的说明。

实施例：

1、理论基础。 

2D空间任意一点的电场强度是基于MAXWELL方程组计算的，本发明除了利用MAXWELL方程组外，根据电场强度X、Y分量同一频率不同相位这一特点，画出了电场强度合成量在一个周期内的幅值与相位的关系图，可发现，图形为椭圆形，椭圆形的半长轴即为所要计算的电场强度合成值。

2、具体实施步骤。

本发明是以较为简单的三电极二维模型为例。定义路径为直线，长度为10m，并定义路径上的A点，其中A点位于路径正中间，电极 1、2、3为直径0.2m的圆，电极2圆心与点A垂直对应，且相邻电极间的距离是1m，电极平面与路径平面的垂直距离为1m，路径平面与大地平面的垂直距离为1m，如附图1所示。

步骤1、定义电极1上的电位为cos(ωt+θ)，电极2上的电位为 电极3上的电位为取f＝50Hz，θ＝0°。利用大型仿真软件ANSYAS进行有限元时谐场仿真，取空间任意一点(这里去中间电极中心向下1m处A点)计算电场强度X、Y分量实部和虚部。

步骤2、分别根据电场强度X、Y分量实部和虚部得出X、Y的幅值与相位。得到电场强度合成量幅值与相位的图形。如附图2所示。

步骤3、根据该点的电场强度X、Y分量一个周期内的变化，得到电场强度合成量幅值与相位的图形，发现其图形为一椭圆形。其中椭圆的半长轴就是我们所要计算的电场强度合成量的幅值。如附图3所示。

步骤4、根据电场强度X、Y分量的实部与虚部，得出电场强度X、Y分量分别为：

    式一

相位差：    式二

写成相量的形式即： $\stackrel{\→}{E}=E_x\stackrel{\→}{i}+E_y\stackrel{\→}{j}$     式三

根据式一和式二，式三可写为：

令 $\begin{array}{cc}{\stackrel{\→}{E}}_a=-0.0406\stackrel{\→}{i}+0.21\stackrel{\→}{j}& {\stackrel{\→}{E}}_b=0.2305\stackrel{\→}{i}\end{array}$

式三可写为 $\stackrel{\→}{E}={\stackrel{\→}{E}}_a\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)+{\stackrel{\→}{E}}_b\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)$     式四式四中，相量与在空间平面的位置如附图4所示。

其中，与轴的夹角：

    式五

由附图4可知，与并非正交，因此需要从新建立坐标轴，x'轴与 平行，y'轴与垂直，如附图5所示。

此时，可得： ${\stackrel{\→}{E}}^{\′}=E_x^{\′}{\stackrel{\→}{x}}^{\′}+E_y^{\′}{\stackrel{\→}{y}}^{\′}$     式六

其中

$\left\{\begin{array}{c}{E}_x^{\′}\left(t\right)=\left|E_a\right|\·\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)-\left|E_b\right|\·\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)\·\cos \mathrm{\β}\\ E_y^{\′}\left(t\right)=\left|E_b\right|\·\sin \mathrm{\β}\·\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)\end{array}\right.$     式七

|E_a|与|E_b|分别为相量与的模。

    式八

由式八可知： 

$\left\{\begin{array}{c}\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)=\frac{E_y^{\′}}{\sin \mathrm{\β}\·\left|E_b\right|}\\ \cos \left(\mathrm{\ωt}\right)=\frac{E_x^{\′}}{\left|E_a\right|}+\cot \mathrm{\β}\·\frac{E_y^{\′}}{\left|E_a\right|}\end{array}\right.$     式九

根据sin²(ωt)+cos²(ωt)＝1得：

$\frac{E_x^{\′2}}{{\left|E_a\right|}^2}+2\·\cot \mathrm{\β}\·\frac{E_x^{\′}\·E_y^{\′}}{{\left|E_a\right|}^2}+(\frac{1}{{\sin }^2\mathrm{\β}\·{\left|E_b\right|}^2}+\frac{{\cot }^2\mathrm{\β}}{{\left|E_a\right|}^2})\·E_y^{\′2}=1$     式十

为了将式十转化成椭圆的形式，将其与式十一二次曲线对比：

AX²+2BXY+CY²+2DX+2EY+F＝0    式十一得： $\begin{array}{cc}A=\frac{1}{{\left|E_a\right|}^2}& B=\frac{\cot \mathrm{\β}}{{\left|E_a\right|}^2}\end{array}$     式十二

$C=\frac{1}{{\sin }^2\mathrm{\β}\·{\left|E_b\right|}^2}+\frac{{\cot }^2\mathrm{\β}}{{\left|E_a\right|}^2}$ D＝E＝0 F＝-1    式十三

为了使式十变成式十四的形式，即

aX²+bY²＝1    式十四

为了消除式十一XY相，需将附图4的坐标系做一次旋转，将其变成(x，y)的新坐标系，旋转角为α。如附图6所示。

根据旋转矩阵的定义：

$\left[\begin{array}{c}{E}_x^{\′}\\ E_y^{\′}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \mathrm{\α}& -\sin \mathrm{\α}\\ \sin \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\α}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{E}_x\\ E_y\end{array}\right]$     式十五

将式(11-10)中的E'_x与E'_y替换为E_x与E_y可得：

$A_1{E}_x^2+{2B}_2{E}_x{E}_y+{\mathrm{CE}}_y^2=1$     式十六

式中

A₁＝Acos²α+2B·sinα·cosα+C·sin²α  式十七

B₁＝(C-A)·sinα·cosα+B·(cos²α-sin²α)   式十八

C₁＝A·sin²α-2B·sinα·cosα+C·cos²α   式十九

若要消除式十九中的E_xE_y项，B必须等于0。

即：

(A-C)·sinα·cosα＝B·(cos²α-sin²α)    式二十

此时：

tan2α＝2B/(A-C)  α＝-39.9°    式二十一

式十六可以化简为：

$A_1{E}_x^2+C_1{E}_y^2=1$     式二十二

与式二十三椭圆方程相比：

$\frac{A_1}{a^2}+\frac{B_1}{b^2}=1$     式二十三

可知长半轴 $a=\frac{1}{\sqrt{A_1}}=0.2439$     式二十四

短半轴 $b=\frac{1}{\sqrt{C_1}}=0.1985$     式二十五

a即为我们所要计算的电场强度合成量的幅值。

本文中所描述的具体实施例仅仅是对本发明精神作举例说明。本发明所属技术领域的技术人员可以对所描述的具体实施例做各种各样的修改或补充或采用类似的方式替代，但并不会偏离本发明的精神或者超越所附权利要求书所定义的范围。

Claims (1)

1.一种单一频率激励下二维空间任意一点合成电场计算的方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1、定义路径为直线，长度为10m，并定义路径上的A点，其中A点位于路径正中间，电极1、2、3为直径0.2m的圆，电极2圆心与点A垂直对应，且相邻电极间的距离是1m，电极平面与路径平面的垂直距离为1m，路径平面与大地平面的垂直距离为1m，如附图1所示；定义电极1上的电位为a cos(bωt+θ)，电极2上的电位为电极3上的电位为a不等于零，决定其幅值，b为大于0的整数，决定其频率；θ为初相角；计算其空间任意一点电场强度X、Y分量；

步骤2、根据电场强度X、Y分量，得到电场强度合成量幅值与相位的图形；

步骤3、根据该点的电场强度X、Y分量一个周期内的变化，得到电场强度合成量幅值与相位的图形，发现其图形为一椭圆形；其中椭圆的半长轴电场强度合成量的幅值；

其中，电场强度合成量的幅值与相位所构成的椭圆形的公式定义如下：

$A_1{E}_x^2+C_1{E}_y^2=1$                        式一

与椭圆方程相比：

$\frac{A_1}{a^2}+\frac{B_1}{b^2}=1$                  式二

可知长半轴 $a=\frac{1}{\sqrt{A_1}}$                     式三

短半轴 $b=\frac{1}{\sqrt{C_1}}$                     式四其中：

A₁＝A cos²α+2B·sinα·cosα+C·sin²α            式五

C₁＝A·sin²α-2B·sinα·cosα+C·cos²α           式六

α为旋转角；

$\begin{array}{ccc}A=\frac{1}{{\left|E_a\right|}^2}& B=\frac{\cot \mathrm{\β}}{{\left|E_a\right|}^2}& C=\frac{1}{{\sin }^2\·\mathrm{\β}{\left|E_b\right|}^2}+\frac{{\cot }^2\mathrm{\β}}{{\left|E_a\right|}^2}\end{array}$         式七

                 式八

为电场强度X、Y分量的相位差；

                   式八

          式九

E₁和E₂分别为电场强度X、Y分量的幅值；

a即为我们所要计算的电场强度合成量的幅值。