CN104626590A - 一种可计算的三维彩色印刷方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种可计算的三维彩色印刷方法，用于在三维物体表面上生成用户指定的彩色纹理图案。该方法通过对传统水转印刷过程中PVA膜的运动和形变进行建模和模拟计算，得到PVA膜上每个像素与物体表面点之间的映射函数，进而利用该映射函数计算出打印在PVA膜上的纹理图案。本发明进一步包含了一套机械装置和一个三维视觉系统实现精确可控的水转印刷，将用户指定的纹理图案精确印刷到物体表面。本发明还包括一种多次水转印刷方法，将复杂物体表面分成多个部分，每个部分单独着色，最终完成整个物体表面的着色。

Description

一种可计算的三维彩色印刷方法

技术领域

本发明涉及3D打印和三维物体表面着色技术，尤其涉及一种可计算的三维彩色印刷方法。

背景技术

本发明相关的研究背景简述如下：

1.3D打印与外观加工

在众多3D打印技术中，包含了许多用于加工具有特定物理属性的模型的方法，比如获得特定的应力分布(Stava,O.,Vanek,J.,Benes,B.,Carr,N.,Mech,R.2012.Stress relief:Improving structural strength of 3d printable objects.ACM Trans.Graph.31,4,48.)，用关节连接的模型(Bacher,M.,Bickel,B.,James,D.L.,Pfister,H.2012.Fabricating articulated charactersfrom skinned meshes.ACM Trans.Graph.31,4,47；Cali,J.,Calian,D.A.,Amati,C.,Kleinberger,R.,Steed,A.,Kautz,J.,Weyrich,T.2012.3d-printing of non-assembly,articulated models.ACMTrans.Graph.31,6,130.)，能保持平衡的模型(Prevost,R.,Whiting,E.,Lefebver,S.,Sorkine-Hornung,O.2013.Make it stand:balancing shapes for 3d fabrication.ACM Trans.Graph.32,4,81.)，可以运动的模型(Coros,S.,Thomaszewski,B.,Noris,G.,Sueda,S.,Forberg,M.,Sumner,R.W.,Matusik,W.,Bickel,B.2013.Computational design of mechanical characters.ACM Trans.Graph.79332；Ceylan,D.,Li,W.,Mitra,N.J.,Agrawala,M.,Pauly,M.2013.Designing andfabricating mechanical automata from mocap sequences.ACM Trans.Graph.32,6,186；Thomaszewski,B.,Coros,S.,Gauge,D.,Megaro,V.,Grinspun,E.,Gross,M.2014.Computationaldesign of linkage based characters.ACM Trans.Graph.33,4(July),64:1–64:9.)，变形物体等(Bickel,B.,Bacher,M.,Otaduy,M.A.,Matusik,W.,Pfister,H.,Gross,M.2009.Capture andmodeling of non-linear heterogeneous soft tissue.ACM Trans.Graph.28,3(July)；Skouras,M.,Thomaszewski,B.,Coros,S.,Bickel,B.,Gross,M.2013.Computational design of actuateddeformable characters.ACM Trans.Graph.32,4,82.)。这些方法都不考虑物体表面的颜色。

还有一些方法用来生成特定的外观属性，比如表面反射(Weyrich,T.,Perrs,P.,Matusik,W.,Rusinkiewicz,S.2009.Fabricating microgeometry for custom surface reflectance.ACM Trans.Graph.28,3,32；Matusik,W.,Ajdin,B.,Gu,J.,Lawrence,J.,Lensch,H.P.A.,Pellacini,F.,Rusinkiewicz,S.2009.Printing spatially varying reflectance.ACM Trans.Graph.28,5,128；Lan,Y.,Dong,Y.,Pellacini,F.,Tong,X.2013.Bi-scale appearance fabrication.ACM Trans.Graph.32,4,145.)，次表面散射(Dong,Y.,Wang,J.,Pellacini,F.,Tong,X.,Guo,B.2010.Fabricatingspatially-varying subsurface scattering.ACM Trans.Graph.29,3,62；Hasan,M.,Fuchs,M.,Matusik,W.,Pfister,H.,Rusinkiewicz,S.2010.Physical reproduction of materials with specifiedsubsurface scattering.ACM Trans.Graph.29,3.)，以及实现特定的反射方程(Malzbender,T.,Samadani,R.,Scher,S.,Crume,A.,Dunn,D.,Davis,J.2012.Printing reflectance functions.ACMTrans.Graph.31,3,20.)。这些方法通过改变材料的微观几何细节来获得特定的外观，局限在特定的材料上。本发明的方法是对3D物体的表面按照用户指定的纹理进行精确着色，不改变物体本身，更广泛地适用于各种材料。

2.三维物体表面着色技术

目前存在着一些给三维物体表面着色的技术，这些技术都有各自的优缺点。3D彩色打印机可以实现高质量的曲面着色，但是只支持有限的颜色和特定的材料，并且费用非常高。贴花工艺可以将任意颜色的图案印刷到物体表面上，但是只适用于简单表面。电镀和上釉需要复杂的设备，并且只适用于特定的材料，比如金属和陶瓷，而且费用较高。水转印刷能够实现复杂图案在多种材质表面上印刷，包括金属、塑料、木材等，已经广泛应用于装饰家具、电子产品、汽车内饰等。目前还没有对水转印刷工艺进行模拟计算的方法，因此传统水转印刷工艺无法精确控制印刷过程。这些限制使得目前的水转印刷工艺只能用于一些重复性的不需要精确定位的图案。

3.粘性薄膜模拟

本发明的可计算水转印刷技术是通过将PVA膜近似为粘性薄膜来进行模拟计算。粘性薄膜运动模型建立在连续介质力学之上(Ribe,N.2002.A general theory for the dynamics ofthin viscous sheets.Journal of Fluid Mechanics 457,255–283；Batty,C.,Uribe,A.,Audoly,B.,Grinspun,E.2012.Discrete viscous sheets.ACM Trans.Graph.31,4(July).)。除了粘性薄膜运动模型外，本发明的模拟计算还用到了斯托克斯流(White,F.M.,Corfield,I.1991.Viscous fluidflow,vol.3.McGraw-Hill New York.)作为低雷诺数条件下对纳维-斯托克斯方程的近似。为了模拟薄膜的运动，本发明对这些模型进行了简化，将其简化为二维过程，以实现快速而准确的模拟。

4.纹理映射

纹理映射被广泛用于为虚拟世界中的3D模型进行着色。很多算法都可以用来计算3D模型表面和平面图案之间的映射关系，目标是将角度与面积的扭曲最小化(Sander,P.V.,Snyder,J.,Gortler,S.J.,Hoppe,H.2001.Texture mapping progressive meshes.In Proceedings ofSIGGRAPH’01,ACM,New York,NY,USA,409–416；Levy,B.,Petitjean,S.,Ray,N.,Maillot,J.2002.Least squares conformal maps for automatic texture atlas generation.ACM Trans.Graph.21,3,362–371；Desbrun,M.,Meyer,M.,Alliez,P.2002.Intrinsic parameterizations of surface meshes.Comput.Graph.Forum 21.)，同时满足用户指定的特征对应关系(Kraevoy,V.,Sheffer,A.,Gotsman,C.2003.Matchmaker:constructing constrained texture maps.ACM Trans.Graph.22,3,326–3338；Zhou,K.,Wang,X.,Tong,Y.,Desbrun,M.,Guo,B.,Shum,H.-Y.2005.Texturemontage:Seamless texturing of arbitrary surfaces from multiple images.ACM Trans.Graph.24,3.)。与纹理映射对虚拟模型进行着色不同，本发明中的方法是对现实世界中的三维物体进行着色。

发明内容

本发明的目的在于针对现有三维物体表面着色技术的不足，提供一种可计算的三维彩色印刷方法。

本发明的目的是通过以下技术方案来实现的：一种可计算的三维彩色印刷方法，包括以下步骤：

(1)装置初始化：将三维物体固定在可以匀速升降装置的末端，用三维视觉系统计算出物体相对于PVA膜的位置和朝向，即得到三维物体的三维模型；

(2)虚拟仿真：模拟计算三维物体在匀速下降过程中PVA膜的运动；

(3)计算PVA膜上的纹理图案：通过虚拟仿真，计算PVA膜上每个像素与物体表面点之间的对应关系，将物体表面点的颜色赋值给PVA膜上的像素，得到PVA膜上的纹理图案；

(4)物理印刷：将步骤(3)计算得到的纹理图案打印在PVA膜上，将PVA膜放在水面上，固定其位置，并进行水转印刷着色；

(5)多次印刷：对于具有复杂表面形状的物体，从多个角度进行水转印刷操作，每次只对物体表面的一部分进行着色，最终实现整个物体的着色。

进一步地，所述步骤(1)包括以下子步骤：

(1.1)将三维物体固定在直线电机的推杆上，推杆可以恒定的速度上下运动；电机下方设有水池，用于放置PVA膜；水池上设有用于固定PVA膜的固定杆和用于三维定位的标记物；

(1.2)用深度相机扫描整个装置，得到整个装置的点云；

(1.3)采用ICP(迭代最近点)算法将三维物体和标记物的数字化模型对齐到点云上，从而计算出三维物体相对于PVA膜的位置和朝向，即得到三维物体的三维模型。

进一步地，所述步骤(2)包括以下子步骤：

(2.1)根据三维模型的位置，计算出三维模型的水位线，将PVA膜所在区域三角化，得到虚拟PVA膜，将虚拟PVA膜每个顶点的速度初始化为0，并根据水位线的位置及三维模型曲面法向设置模拟计算的边界条件；

(2.2)用隐式方法求解虚拟PVA膜的运动方程，更新虚拟PVA膜上每个顶点的速度，然后更新虚拟PVA膜每个顶点的厚度；

(2.3)根据物体下降速度更新三维模型的位置，更新三维模型的水位线，并重新将PVA膜所在区域三角化，得到新的虚拟PVA膜，并在步骤(2.2)更新后的虚拟PVA膜上插值出每个顶点的速度和厚度，并更新模拟计算的边界条件；

(2.4)迭代执行步骤(2.2)和步骤(2.3)直到三维模型完全浸入水中。

进一步地，所述步骤(2)中边界条件的计算包括以下子步骤：

(a)将虚拟PVA膜外边界每个顶点的速度设为0；

(b)虚拟PVA膜内边界每个顶点的速度为v_dn(cosθ-1)/sinθ，其中，v_d为物体下降速度；θ为虚拟PVA膜顶点在三维模型上最近点处，三维模型的切平面与水平面的夹角；n为虚拟PVA膜顶点在三维模型上最近点处，法向在水平面投影方向的单位向量。

进一步地，所述步骤(3)包括以下子步骤：

(3.1)记录PVA膜上每一个像素点接触到三维模型表面的对应点；

(3.2)将PVA膜上每一个像素点的颜色值设置为其在模型表面上对应点的颜色值，最终得到打印在PVA膜上的纹理图案。

进一步地，所述步骤(4)包括以下子步骤：

(4.1)将步骤(3)得到的纹理图案打印在PVA膜上；

(4.2)将PVA膜放置在水池中，并用固定杆固定其位置；

(4.3)在PVA膜上喷洒活化剂，开启直线电机驱动三维物体匀速下降，直到PVA膜上的纹理图案附着至三维物体表面。

进一步地，所述步骤(5)包括以下子步骤：

(5.1)将物体按照用户指定的多个印刷方向分别安装在升降装置上，对每一个印刷方向，根据步骤(2)计算得到三维物体相对于PVA膜的位置和朝向；

(5.2)对每一个印刷方向，根据步骤(3)模拟计算印刷过程中PVA膜的运动，并计算三维模型的每个顶点在PVA膜上的对应点及其局部拉伸程度；

(5.3)对三维模型的每个顶点，将局部拉伸程度最小的印刷方向作为该顶点着色的主要方向；由此将整个三维模型分解为若干个区域，每个区域采用不同的印刷方向作为着色的主要方向；

(5.4)在三维模型不同印刷方向区域的交界处构造过渡区域，对过渡区域中的每个顶点，计算各个印刷方向的着色权值；

(5.5)对每一个印刷方向，按照步骤(1)-(4)进行印刷操作；其中在执行步骤(3)时，根据步骤(5.4)得到的着色权值按照以下公式计算纹理图案：

ω_i,jc_j+(1-ω_i,j)W

其中，ω_i,j为着色权值，i为印刷方向，j为顶点的编号，W为白色，c_j为顶点j直接从物体表面获取的颜色。

进一步地，所述步骤(5.2)中局部拉伸程度的计算包括以下子步骤：

(5.2.1)对于三维模型每个三角形的三个顶点，找到其在虚拟PVA膜上的对应点，得到对应的平面三角形；

(5.2.2)计算每一个平面三角形到其对应的空间三角形的仿射变换，其最大奇异值即为三维模型上该三角形的局部拉伸程度；

(5.2.3)三维模型的每个顶点的局部拉伸程度为其一环邻域三角形中最大的局部拉伸程度。

本发明的有益效果是：本发明通过对传统水转印刷过程中PVA膜的运动和形变进行建模和模拟计算，得到PVA膜上每个像素与物体表面点之间的映射函数，进而利用该映射函数计算出打印在PVA膜上的纹理图案。本发明进一步包含了一套机械装置来实现精确可控的水转印刷，该装置将PVA膜固定在水面上，将三维物体固定在推杠的末端，用直线电机来驱动三维物体匀速下降；并利用一个三维视觉系统计算出三维物体相对于PVA膜的位置和朝向，然后采用前述模拟计算方法得到打印在PVA膜上的纹理图案；最后执行物理水转印刷操作，将用户指定的纹理图案精确印刷到物体表面。本发明还包括一种多次水转印刷方法，将复杂物体表面分成多个部分，每个部分单独着色，最终完成整个物体表面的着色。通过对水转印刷过程的模拟计算，实现对复杂三维物体表面按照用户指定的纹理图案进行物理着色，适用于包括金属、塑料、木材、陶瓷等多种材料，并且成本非常低廉。

附图说明

图1是本发明的印刷方法流程图，(a)左侧为纹理，右侧为待着色物体，(b)为虚拟仿真，(c)为计算打印图案，(d)为物理转印着色，(e)为输出图像示意图；

图2是本发明的机械装置图；

图3是本发明的模拟计算边界条件设置示意图；

图4是本发明的多次印刷方法计算出的打印图案，(a)、(b)、(c)分别为三个方向上的原始图案-着色权值图-最终的打印图案对比图；

图5是本发明单次印刷的效果图，(a)为在陶瓷材料上的印刷效果，(b)为在塑料材料上的印刷效果；

图6是本发明多次印刷的效果；

图中，待着色物体1、直线电机2、深度相机3、标记物4、PVA膜5、水池6、固定杆7。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步详细说明。

本发明的核心是通过模拟水转印刷的过程，确定在PVA膜上打印的纹理图案，使得通过水转印刷过程，将用户指定的纹理图案转印到物体表面上。

如图1所示，本发明一种可计算的三维彩色印刷方法，包括如下步骤：

1.装置初始化：如图2所示，将待着色物体1固定在直线电机2的推杆末端。用微软Kinect深度相机3扫描整个装置，得到整个装置的点云，然后通过ICP算法将物体模型和装置上标记物的模型对齐到点云上，从而获得物体相对于PVA膜5的位置和朝向。

物体通过夹子固定在直线电机2的推杆上，推杆以恒定的速度上下运动。通过控制器控制电机2的速度，使得电机2的速度可以在0mm/s-10mm/s范围内连续可调。电机2下方是一个水池6，打印好的PVA膜5放置在水面上。四根固定杆7横跨在水面上，将PVA膜5的位置固定，固定杆7上固定有四个金字塔形状的标记物4，其在装置上的位置是已知的。PVA膜5上的图案用普通的喷墨打印机打印。

2.虚拟仿真：模拟计算三维物体在匀速下降过程中PVA膜的运动。

PVA膜的外边界是固定的。当物体接触水面之后，一部分薄膜贴在了物体的表面，其余的薄膜保持在水面上，开始拉伸。仿真过程主要是针对留在水面的那部分薄膜。薄膜的拉伸为二维平面运动。在这个二维区域内，薄膜向边界拉伸。

薄膜的外边界速度为0。在薄膜的内边界，薄膜与物体接触，接触点的速度与这一点的法向在水面上的投影方向相同。如图3所示，设v_d为物体下降速度，θ为虚拟PVA膜顶点在三维模型上最近点处三维模型的切平面与水平面的夹角，n为虚拟PVA膜顶点在三维模型上最近点处法向在水平面投影方向的单位向量，则边界点x的速度u(x)为：

u(x)＝v_dn(cosθ-1)/sinθ

给定边界条件之后，可以用两种方法计算整个运动过程。第一种方法是斯托克斯流，求解拉普拉斯方程第二种方法是非线性粘性薄膜模型，薄膜的拉伸能量密度W_m(x)为：

W_m(x)＝Yh(x)/(2(1-ν²))((1-ν)tr(ε²)+νtr(ε²))

其中h(x)是薄膜在x点处的厚度，tr是张量的迹，Y是杨氏模量，ν是泊松比。对于不可压缩流体，ν＝0.5，Y＝3μ，μ的值通过实验来确定。ε是薄膜的二维变形率。根据这个能量密度公式，薄膜内部的形变力f_int(x)为：

$f_{\mathrm{int}}\left(x\right)={\▿}_x(\∫W_m\left(x\right)\mathrm{dS})$

PVA膜的厚度受到颜色的影响，喷墨越多膜越厚，膜也就越不容易被拉伸。我们采用两步来计算膜的厚度。第一步假设膜的厚度是均匀的，通过斯托克斯流计算膜的运动，获得打印的图案；第二步根据第一步每个像素的颜色，计算每一个像素膜的厚度h(x)，然后用非线性粘性薄膜模型重新计算膜的运动。每个像素厚度的计算方法是将颜色转换到CMYK颜色空间，然后将四个通道的值相加，墨水的厚度正比于相加的值。

斯托克斯流和非线性粘性薄膜模型都是用有限元方法来求解。物体下降的每一步迭代中，计算物体与水平面的交线作为膜的内边界，膜的外边界保持不动，对内外边界之间的区域进行三角化。三角化之后的网格所有的物理参数都从前一步迭代的网格中线性插值得到。然后设置边界速度条件，用隐式方法求解能量方程，获得网格每一个顶点的速度，再将网格的每一个顶点按照这个速度移动一个步长。最终根据每个三角形面积的变化更新膜的厚度，这样就完成了一步迭代。重复此过程，直到物体完全浸入水中。

3.计算PVA膜上的纹理图案：通过虚拟仿真，计算PVA膜上每个像素与物体表面点之间的对应关系，将物体表面点的颜色赋值给PVA膜上的像素，得到PVA膜上的纹理图案。

在PVA膜每一个像素的中点放置一个粒子。这些粒子在仿真过程中随着薄膜的速度场u(x)运动。仿真的每一步要确定粒子所在的三角形，在三角形中插值得到该点的速度。将粒子按照这个速度运动一个步长，直到粒子接触到物体表面。这个像素的颜色值就确定为这个粒子所接触到物体表面那一点的颜色值。

4.物理印刷：将上一步计算得到的纹理图案打印在PVA膜上，将PVA膜放在水面上，固定其位置，并进行水转印刷。

用普通喷墨打印机将上一步计算得到的纹理图案打印在PVA膜。将PVA膜用固定杆固定好之后，在PVA膜的表面喷洒活化剂，使得PVA膜变成了可附着的粘性薄膜。启动直线电机，以5mm/s的速度将物体下降，直到完全浸入水中。将物体拿出，用水将粘稠物冲洗掉，颜料即附着在了物体表面。

5.多次印刷：如图4所示，对于具有复杂表面形状的物体，从多个角度进行水转印刷操作，每次只对物体表面的一部分进行着色，最终实现整个物体的着色，具体步骤如下：

5.1用户指定几个印刷方向，将物体按照这些方向分别安装在直线电机上，扫描得到其位置。并用斯托克斯流进行虚拟仿真，分别得到在这些印刷方向下薄膜像素点与物体表面点的映射。对于物体模型每个三角形的三个顶点，找到其在薄膜上的对应点，得到对应的平面三角形。用平面三角形到空间三角形的仿射变换的最大奇异值，作为薄膜局部拉伸程度的度量。对于物体模型上每一个顶点，用局部拉伸程度最小的那个方向作为这个顶点着色的主方向。

5.2计算过渡区域的着色权值。对于转印方向i，通过拉伸程度计算出采用这一方向着色的所有顶点构成的区域Θ_i。对于Θ_i中的每个顶点j赋予着色权值ω_i,j＝1。对于Θ_i外的每一点j，其着色权值通过ω_i,j＝1-d_i,j/H计算得到。其中d_i,j是顶点j到Θ_i最近边界的测地距离，H是过度区域的宽度，通常设置为5毫米。如果d_i,j>H，则ω_i,j＝0。然后将每个顶点所有方向的着色权权值单位化：

5.3将物体按各个印刷方向重新安装在直线电机上，扫描得到其位置和朝向，用非线性粘性薄膜模型进行模拟仿真，计算出要打印的纹理图案。其中，按照方向i印刷时，顶点j的颜色用直接从物体表面获取的颜色c_j与白色插值得到，计算方法为ω_i,jc_j+(1-ω_i,j)W，其中W＝(255,255,255)。这样，单次印刷的白色区域将是透明的。所有方向印刷完成后，整个物体将被完整地着色。

实施实例

在一台配备Intel I5-4430中央处理器，Nvidia GeForce GTX780显示卡的台式计算机上实现本发明的实施实例。实践中，单次模拟仿真的计算时间不超过5分钟。

如图5所示，对杯子、地球仪等物体进行单次着色，如图6所示，对兔子、斑马、豹子、人头雕像等多个物体进行多次着色。结果表明，本发明能够按照用户指定的纹理对物体进行精确的着色。

Claims (8)

1.一种可计算的三维彩色印刷方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)装置初始化：将三维物体固定在可以匀速升降装置的末端，用三维视觉系统计算出物体相对于PVA膜的位置和朝向，即得到三维物体的三维模型；

(2)虚拟仿真：模拟计算三维物体在匀速下降过程中PVA膜的运动；

(3)计算PVA膜上的纹理图案：通过虚拟仿真，计算PVA膜上每个像素与物体表面点之间的对应关系，将物体表面点的颜色赋值给PVA膜上的像素，得到PVA膜上的纹理图案；

(4)物理印刷：将步骤(3)计算得到的纹理图案打印在PVA膜上，将PVA膜放在水面上，固定其位置，并进行水转印刷着色；

(5)多次印刷：对于具有复杂表面形状的物体，从多个角度进行水转印刷操作，每次只对物体表面的一部分进行着色，最终实现整个物体的着色。

2.根据权利要求1所述的三维彩色印刷方法，其特征在于，所述步骤(1)包括以下子步骤：

(1.1)将三维物体固定在直线电机的推杆上，推杆可以恒定的速度上下运动；电机下方设有水池，用于放置PVA膜；水池上设有用于固定PVA膜的固定杆和用于三维定位的标记物；

(1.2)用深度相机扫描整个装置，得到整个装置的点云；

(1.3)采用迭代最近点算法将三维物体和标记物的数字化模型对齐到点云上，从而计算出三维物体相对于PVA膜的位置和朝向，即得到三维物体的三维模型。

3.根据权利要求1所述的三维彩色印刷方法，其特征在于，所述步骤(2)包括以下子步骤：

(2.1)根据三维模型的位置，计算出三维模型的水位线，将PVA膜所在区域三角化，得到虚拟PVA膜，将虚拟PVA膜每个顶点的速度初始化为0，并根据水位线的位置及三维模型曲面法向设置模拟计算的边界条件；

(2.2)用隐式方法求解虚拟PVA膜的运动方程，更新虚拟PVA膜上每个顶点的速度，然后更新虚拟PVA膜每个顶点的厚度；

(2.3)根据物体下降速度更新三维模型的位置，更新三维模型的水位线，并重新将PVA膜所在区域三角化，得到新的虚拟PVA膜，并在步骤(2.2)更新后的虚拟PVA膜上插值出每个顶点的速度和厚度，并更新模拟计算的边界条件；

(2.4)迭代执行步骤(2.2)和步骤(2.3)直到三维模型完全浸入水中。

4.根据权利要求3所述的三维彩色印刷方法，其特征在于，所述步骤(2)中边界条件的计算包括以下子步骤：

(a)将虚拟PVA膜外边界每个顶点的速度设为0；

(b)虚拟PVA膜内边界每个顶点的速度为v_dn(cosθ-1)/sinθ，其中，v_d为物体下降速度；θ为虚拟PVA膜顶点在三维模型上最近点处，三维模型的切平面与水平面的夹角；n为虚拟PVA膜顶点在三维模型上最近点处，法向在水平面投影方向的单位向量。

5.根据权利要求1所述的三维彩色印刷方法，其特征在于，所述步骤(3)包括以下子步骤：

(3.1)记录PVA膜上每一个像素点接触到三维模型表面的对应点；

(3.2)将PVA膜上每一个像素点的颜色值设置为其在模型表面上对应点的颜色值，最终得到打印在PVA膜上的纹理图案。

6.根据权利要求1所述的三维彩色印刷方法，其特征在于，所述步骤(4)包括以下子步骤：

(4.1)将步骤(3)得到的纹理图案打印在PVA膜上；

(4.2)将PVA膜放置在水池中，并用固定杆固定其位置；

(4.3)在PVA膜上喷洒活化剂，开启直线电机驱动三维物体匀速下降，直到PVA膜上的纹理图案附着至三维物体表面。

7.根据权利要求1所述的三维彩色印刷方法，其特征在于，所述步骤(5)包括以下子步骤：

(5.1)将物体按照用户指定的多个印刷方向分别安装在升降装置上，对每一个印刷方向，根据步骤(2)计算得到三维物体相对于PVA膜的位置和朝向；

(5.2)对每一个印刷方向，根据步骤(3)模拟计算印刷过程中PVA膜的运动，并计算三维模型的每个顶点在PVA膜上的对应点及其局部拉伸程度；

(5.3)对三维模型的每个顶点，将局部拉伸程度最小的印刷方向作为该顶点着色的主要方向；由此将整个三维模型分解为若干个区域，每个区域采用不同的印刷方向作为着色的主要方向；

(5.4)在三维模型不同印刷方向区域的交界处构造过渡区域，对过渡区域中的每个顶点，计算各个印刷方向的着色权值；

(5.5)对每一个印刷方向，按照步骤(1)-(4)进行印刷操作；其中在执行步骤(3)时，根据步骤(5.4)得到的着色权值按照以下公式计算纹理图案：

ω_i,jc_j+(1-ω_i,j)W

其中，ω_i,j为着色权值，i为印刷方向，j为顶点的编号，W为白色，c_j为顶点j直接从物体表面获取的颜色。

8.根据权利要求7所述的三维彩色印刷方法，其特征在于，所述步骤(5.2)中局部拉伸程度的计算包括以下子步骤：

(5.2.1)对于三维模型每个三角形的三个顶点，找到其在虚拟PVA膜上的对应点，得到对应的平面三角形；

(5.2.2)计算每一个平面三角形到其对应的空间三角形的仿射变换，其最大奇异值即为三维模型上该三角形的局部拉伸程度；

(5.2.3)三维模型的每个顶点的局部拉伸程度为其一环邻域三角形中最大的局部拉伸程度。