CN106023292B - 一种基于数学函数的实时的大理石体纹理生成方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于数学函数的实时的大理石体纹理生成方法，包括以下步骤：(1)用户指定需要生成的大理石体纹理的纹理尺寸和背景图层的颜色；(2)用户指定图层、图层的颜色，然后选择滴液、喷洒操作方式在初始体纹理空间内为所选图层加入若干球形液滴，生成一个注入函数列表；(3)用户选择直线、梳子、旋转、漩涡、波浪操作方式中的至少一种，根据对应的数学函数，生成一个变形函数列表；(4)对于体纹理中的每个体素点，根据注入函数列表和变形函数列表计算获得当前体纹理所有体素点的颜色值并显示；本发明方法所生成的大理石体纹理具有真实大理石纹釉图案边界清晰、图案精美的特点，应用效果好，重复使用方便。

Description

一种基于数学函数的实时的大理石体纹理生成方法

技术领域

本发明涉及计算机非真实感绘制领域，特别是涉及一种基于数学函数的实时的大理石体纹理生成方法。

背景技术

Marbling(大理石纹釉工艺)，是一种在纸或织物上制作彩色的流体状图案的传统艺术。它通过使用水和油脂类颜料水油分离的原理，使互不相溶的颜料在工具的作用下进行流动行成图案。其色泽艳丽，纹理层叠旖旎有韵律感。作为一项历史悠久的手工艺技术，Marbling纹理图案几个世纪来为全世界人民所喜爱，被广泛应用于装饰，如相框、墙纸、灯罩、礼品包装等等。同时，Marbling还是一种古老的防盗版技术，用于官方公文的背景图案以防止删改和伪造。

传统的制作工序大致包含以下四个步骤：(1)准备一个无盖的长方形容器和工具，容器底部预先倒入一层浓稠的基底液，通常使用水，但是必须加入一些添加剂不扩其浓度增大；(2)使用笔刷或滴管等工具往铁皮盒的液体中加入一些颜料。笔刷工具用来沾染一些颜料后抖落在液体中，这些颜料会自然晕开浮在液体表面，然后慢慢扩散。使用滴管在液体表面滴入颜料来形成一个个扩大的彩色圆点。这样就得到了一幅基本图样；(3)在基础图样上，画师使用直线、梳子等工具在液体表面进行挑、拉、拨、点等动作，颜料随之流动并形成图案。齿的形状和空间分布不同的梳子能够生成截然不同的效果，同样的，工具的操纵方式也对结果有非常大的影响；(4)图案制作完成后，将具有吸附性的纸张覆盖在液体表面轻轻压实排出纸张和水面之间的空气，再把纸从水中慢慢朝自己的方向揭开，这时液体表面的图案就吸附并转移到纸上面了。将画纸晾干，便可得到一幅完成的Marbling纹理作品。

虽然Marbling纹理制作的工艺步骤看似简单，但是要制作出一幅复杂精美的Marbling纹理图案却非常困难。因为这个过程包含了很多不稳定和彼此对立的因素，成功与否常常依赖于外界因素，如环境温度和湿度、颜料的粘度和液体表面张力等。此外，一旦在实践制作过程中发生了错误的操作，就必须重新开始整个过程。整个工艺过程重复性差，难以进行批量的再利用；无法满足精确的循环纹理的要求，限制了图案的应用范围。

为了解决这一缺陷，近几年，在计算机图形学领域涌现出了一批模拟 Marbling二维纹理的计算机仿真系统。使用这些系统，用户可以自定义物理参数来控制液滴的属性，可以精确的设定不同的色彩搭配方案，还可以撤销或重复设计过程中的任意一步，从而可以通过反复的实验制作出理想的作品。

同时，二维的Marbling纹理仿真也衍生出了三维的产物：Marbling 体纹理仿真。但是一般使用二维的手段，很难保持三维模型各面相交处的图案连续性。体纹理方式则能更好的展现整块材料所制作的三维物体，所以能比二维纹理能更服帖地映射到三维物体上。不仅如此，同一大理石体纹理可以非常简单地重复利用到不同的三维模型上，因为不再需要对面参数化。二维、三维的仿真研究都是传统艺术与现代计算机图形图像研究领域的交汇，在计算机数字艺术和传统艺术方面都有着积极的意义和影响。

发明内容

本发明提供一种基于数学函数的实时的大理石体纹理生成方法，使用无限可延展的体积上的三维不可压缩的流体运动来模拟大理石纹釉工艺，并使用数学函数驱动图像变形的技术可视化这种流体运动形成了大理石体纹理，是实时反馈、具有生动流动效果并能重复利用的体纹理生成方法。

一种基于数学函数的实时的大理石体纹理生成方法，包括以下步骤：

(1)用户指定需要生成的大理石体纹理的纹理尺寸和背景图层的颜色；

(2)用户指定图层、图层的颜色，然后选择滴液、喷洒操作方式在初始体纹理空间内为所选图层加入若干球形液滴，并为每个球形液滴指定半径r，球心C′和图层ID，生成一个注入函数列表{IF₁，IF₂，…，IF_m-1，IF_m}， m为球形液滴的数量；

(3)用户选择直线、梳子、旋转、漩涡、波浪操作方式中的至少一种，根据对应的数学函数，对体纹理进行n次变形操作，生成一个变形函数列表{DF₁，DF₂，…DF_n-1，DF_n}；

(4)对于体纹理中的每个体素点，按照从后往前的顺序遍历变形函数列表中的每个操作并得到该体素点的新坐标点，然后再按照从后往前的顺序遍历注入函数列表中的每个球形液滴：

如该体素点位于某球形液滴内，则根据该球形液滴的图层ID找到对应的颜色，拷贝给当前体素点；

如该体素点不在任何一个球形液滴内，则将背景图层颜色拷贝给当前体素点；

获得当前体纹理所有体素点的颜色值并显示。

本发明所述的用户指定生成的大理石体纹理的尺寸，是指大理石体纹理的高度、长度和宽度，背景图层的颜色对应大理石纹釉工艺中的基底液的颜料色彩。

本发明生成的是三维的体纹理，即纹理信息储存在在一定体积内的每个体素点上，能够表现物体内部的细节。

本发明使用解析表达的三维数学工具函数，来生成大理石体纹理。对于体纹理中的每个体素点，按照从后往前的顺序遍历变形函数列表中的每个操作并得到该体素点的新坐标点，然后再按照从后往前的顺序遍历注入函数列表中的每个液滴，计算得到每个体素点的颜色值。

本发明生成的体纹理，是一个三维体素矩阵，应用时将每个体素对应的颜色值映射到三维的物体空间中去，避免了纹理衔接错误。并能方便的重复利用，在不同形状的物体上呈现不同的纹理细节。

体纹理定义：二维纹理是平面的二维图案，用一个(x,y)形式的像素矩阵表示，每个(x,y)对应一个颜色值；类似的，体纹理则是立体的三维图案，用一个(x,y,z)形式的矩阵表示，每个(x,y,z)称为一个“体素点”，对应一个颜色值。

本发明所述的滴液操作方式是生成指定大小和颜色的球体液滴。所述的喷洒操作方式是随机生成空间中一定数量和半径范围内的球体液滴。为了形象的表示液滴之间的挤压效果，用如下方法：

位于液滴内部的体素点的颜色就是用户指定图层的颜色，而其余的体素点用以下函数做逆向映射：

式中P表示当前体纹理中的体素点，IF(P)表示由P追溯到上一体纹理中的对应体素点，C′表示液滴的球心位置，r表示液滴的半径大小。

本发明所述的直线操作方式对应的函数如下：

d＝|(P-A)·N|

式中P表示当前体纹理中的体素点，Q表示P在直线函数作用下的新坐标点，M表示所在直线的单位向量，N是直线方向的法向量。d表示P 点到直线的最短距离，d′表示P到平行直线的最短距离，ω和λ分别表示体素移动的最大位移和位移梯度。

优选的，步骤(3)中，所述的旋转操作方式对应的数学函数如下：

Q＝C+(P-C)R(θ)；

式中：

P表示当前体纹理中的体素点；

Q表示P在旋转函数作用下的新坐标点；

C表示旋转的球心位置；

给定的球形中C，P点位移的圆弧弧长与P到旋转球面的最小距离成反比，θ表示P点绕坐标轴的旋转角度，θ＝l/(||P-C||)，弧长l＝ωλ/(d+λ)， d＝||P-C||-r，ω和λ分别表示体素移动的最大位移和位移梯度；

R(θ)为旋转矩阵，R(θ)＝R_x(θ)R_y(θ)R_z(θ)，围绕不同的旋转轴旋转，可以获取对应的旋转矩阵R(θ)，当θ分别绕X，Y，Z坐标轴旋转，可以获得对应的旋转矩阵R_x(θ)、R_y(θ)、R_z(θ)，分别定义为：

参数b控制旋转的顺逆时针方向，b＝1时顺时针旋转，b＝-1时逆时针旋转。

优选的，步骤(3)中，所述的梳子操作方式是由若干条相互平行直线表示的函数组合而成的，其中梳子的每个齿就代表一条直线，对应的函数如下：

d′＝s/2-|fmod(d，s)-s/2|

式中：

P表示当前体纹理中的体素点；

Q表示P在梳子函数作用下的新坐标点；

M表示该条直线的单位向量；

s表示平行直线的间距，·表示点乘；

d′表示P到平行直线的最短距离；

d表示P与任意一条直线的距离；

ω和λ分别表示体素移动的最大位移和位移梯度。

这一操作造成的形变程度与点到线的距离大致成反比。

优选的，步骤(3)中，所述的漩涡操作方式对应的数学函数如下：

Q＝C+(P-C)R(θ)

式中：

P表示当前体纹理中的体素点；

Q表示P在漩涡函数作用下的新坐标点；

C表示漩涡的球心位置；

给定的球形中C，P点位移的圆弧弧长与P到旋转球面的最小距离成反比，θ表示P点绕坐标轴的旋转角度，θ＝l/(||P-C||)，弧长l＝ωλ/(d+λ)，d＝||P-C||，ω和λ分别表示体素移动的最大位移和位移梯度；

R(θ)为旋转矩阵，R(θ)＝R_x(θ)R_y(θ)R_z(θ)，围绕不同的旋转轴旋转，可以获取对应的旋转矩阵R(θ)，当θ分别绕X，Y，Z坐标轴旋转，可以获得对应的旋转矩阵R_x(θ)、R_y(θ)、R_z(θ)，分别定义为：

参数b控制旋转的顺逆时针方向，b＝1时顺时针旋转，b＝-1时逆时针旋转。本发明所述的漩涡用户操作方式对应的映射和旋转操作方式一样，它们的定义与旋转操作方式中的一样，不同的是漩涡中的d＝||P-C||。

优选的，步骤(3)中，所述的波浪操作方式对应的数学函数如下：

Q＝P-f(P·u,P·v)w

式中：

P表示当前体纹理中的体素点；

Q表示P在波浪函数作用下的新坐标点；

给定一个三维空间旋转矩阵R，u、v、w分别是X、Y、Z正轴方向上的单位向量,f是正弦函数，包括两种：

式中：

a₁和a₂为波浪的振幅；

ω₁和ω₂为波浪的波长；

和为波浪的相位。

本发明的有益效果：

本发明方法提供了解析表达的三维数学工具函数来生成大理石体纹理，本发明生成的大理石体纹理是矢量格式，并能支持三维模型实时渲染的纹理随机访问；

本发明方法的用户交互界面直观，所生成的大理石体纹理具有真实大理石纹釉图案边界清晰、图案精美的特点，应用效果好，重复使用方便。

附图说明

图1是本发明方法的流程图。

图2为本发明方法中变形函数和注入函数的组成结构示意图。

图3是旋转操作对应的示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明基于数学函数的实时的大理石体纹理生成方法通过实施方式进行详细说明。

如图1所示，本发明方法，包括指定纹体纹理的尺寸和背景图层的颜色，通过滴液、喷洒等方式创建注入函数列表，通过直线、梳子、旋转、漩涡、波浪等用户操作创建变形函数列表，追溯当前体纹理中每个体素点的位置并得到最后的显示颜色四个步骤：

(1)用户指定需要生成的大理石体纹理的纹理尺寸和背景图层的颜色，其中尺寸决定大理石体纹理的宽度和高度，背景图层的颜色对应于大理石纹釉工艺中基底液的颜料色彩；

(2)用户指定图层、图层的颜色和相应的参数，然后选择滴液、喷洒操作方式，在初始体纹理空间为所选图层加入若干球形液滴，并为每个液滴指定半径r，球心C和图层ID，生成一个注入函数列表{IF₁，IF₂，...，IF_m-1, IF_m}，如图2所示；

滴液操作方式是通过交互设定液滴的半径和鼠标点击的位置确定的液滴的圆心在XY、XZ、YZ三个平面上的设计区域内形成相应大小和颜色的液滴。喷洒操作方式是通过指定液滴的半径范围和喷洒的液滴数量，在设计区域内随机生成指定半径范围内的对应数量的液滴。为了生动的体现后续滴入的液滴会挤压前面的液滴的效果，对于给定点P，和球心位于 C，半径为r的液滴，如果|P-C|<r，则点P就是在圆内，P点的颜色就是液滴对应图层的颜色，否则对P在上一体纹理中对应的体素点进行追溯，并将其坐标作为P点的新坐标IF(P)，计算公式如下：

式中P表示当前体纹理中的体素点，IF(P)表示由P追溯到上一体纹理中的对应体素点所得的坐标，C′表示液滴的球心位置，r表示液滴的半径大小。根据以上公式，最后滴下的液滴总是保持圆形的外观，而之前滴的液滴则会发生形变；所有IF(P)组成注入函数列表{IF₁，IF₂，...，IF_m-1, IF_m}。

(3)用户选择直线、梳子、旋转、漩涡、波浪操作方式，根据对应的数学函数，对体纹理进行n次变形操作，生成一个变形函数列表{DF₁, DF₂,…DF_n-1,DF_n}，如图2所示；

直线工具主要用于创建一些精细的体积特征(如锥形)，直线操作方式对应的映射函数如下：

d＝|(P-A)·N|

式中P表示当前体纹理中的体素点，Q表示P在直线函数作用下的新坐标点，M表示所在直线的单位矢量，N是直线方向的法向量，d表示P 点到直线的距离，ω和λ分别表示体素移动的最大位移和位移梯度。

梳子工具是大理石纹釉工艺中非常普遍的一种工具，它是生成一些典型的大理石纹釉图案必不可缺的，梳子的用户操作方式是由几条间隔均匀的平行直线表示的函数组合而成的，其中梳子的每个齿就代表一条直线对应的操作。每个体素点移动的位移与该体素点到直线的距离d成反比，具有相同距离的那些体素点的拉伸位移量是相等的。对于当前体纹理中的某个体素点P的映射函数如下：

d′＝s/2-|fmod(d,s)-s/2|

其中ω和λ分别控制最大位移和位移梯度；Q表示P在梳子函数作用下的新坐标点，M表示该条直线的单位向量，d表示P点与任意一条直线的距离，s表示平行直线的间距，d′表示P到平行直线的最短距离，通过合成这些单条直线的映射函数就可以得到整个梳子的映射函数。

旋转的操作方式形成的图案是大理石纹釉工艺中非常常见的图案之一，如图2所示，已知旋转的圆心坐标位于C，旋转半径r，P点的映射函数如下：

Q＝C+(P-C)R(θ)

式中P表示当前体纹理中的体素点，Q表示P在旋转函数作用下的新坐标点，C表示旋转的球心位置，R(θ)为旋转矩阵,给定一球心C,P点位移的圆弧弧长与P到旋转球面的最小距离成反比。θ表示P点绕坐标轴的旋转角度，θ＝l/(||P-C||)，弧长l＝ωλ/(d+λ)，d＝||P-C||-r。围绕不同的旋转轴旋转，可以获取对应的旋转矩阵R(θ)，当θ分别绕X，Y，Z坐标轴旋转，可以获得对应的旋转矩阵R_x(θ)、R_y(θ)、R_z(θ)。它们的定义是：

参数b控制旋转的顺逆时针方向，b＝1时顺时针旋转，b＝-1时逆时针旋转。

漩涡操作方式用于制造漩涡形状的扭曲图案，其对应的数学函数如下：

Q＝C+(P-C)R(θ)

式中P表示当前体纹理中的体素点，Q表示P在漩涡函数作用下的新坐标点，C表示旋转的球心位置，R(θ)为旋转矩阵。它们的定义与旋转操作方式中的一样，不同的是漩涡中的d＝||P-C||。

波浪操作方式对应的数学函数如下：

Q＝P-f(P·u,P·v)w

式中P表示当前体纹理中的体素点，Q表示P在波浪函数作用下的新坐标点，给定一个三维空间旋转矩阵R，u、v、w分别是X、Y、Z正轴的单位向量,f是正弦函数，包括两种：

式中a₁和a₂为波浪振幅、ω₁和ω₂为波浪波长、和为波浪相位。x、 y分别表示当前图案中的体素点P的横坐标和纵坐标的值，通过交互确定正弦曲线的波幅、波长ω、相位偏移，可以求得对应体素点。

(4)重复应用操作方式，计算当前体纹理的各体素颜色值并显示，计算当前体纹理的各体素颜色值并显示的方法为：根据变形函数列表和注入函数列表，对于体纹理中的每个体素点，按照从后往前的顺序遍历变形函数列表中的每个操作并得到该体素点的新坐标点，然后再按照从后往前的顺序遍历注入函数列表中的每个液滴，如位于某液滴内，则根据该液滴的图层ID找到对应的颜色，拷贝给当前体素点，如不在任何一个液滴内，则将背景图层颜色拷贝给当前体素点。

综上所述，本发明方法将大理石纹釉艺术应用到三维体纹理上，使用无限可延展的体积上的三维不可压缩的流体运动来模拟大理石纹釉工艺，并使用数学函数驱动图像变形的技术可视化这种流体运动形成了大理石体纹理，本发明为设计大理石风格的体纹理提供了实时反馈、具有生动流动效果并能重复利用的体纹理生成方法。

Claims (5)

1.一种基于数学函数的实时的大理石体纹理生成方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)用户指定需要生成的大理石体纹理的纹理尺寸和背景图层的颜色；

(2)用户指定图层、图层的颜色，然后选择滴液、喷洒操作方式在初始体纹理空间内为所选图层加入若干球形液滴，并为每个球形液滴指定半径r，球心C′和图层ID，生成一个注入函数列表{IF₁，IF₂，…，IF_m-1，IF_m}；

(3)用户选择直线、梳子、旋转、漩涡、波浪操作方式中的至少一种，对体纹理进行n次操作，根据对应的数学函数，生成一个变形函数列表{DF₁，DF₂，…DF_n-1，DF_n}；

(4)对于体纹理中的每个体素点，按照从后往前的顺序遍历变形函数列表中的每个操作并得到该体素点的新坐标点，然后再按照从后往前的顺序遍历注入函数列表中的每个球形液滴：

如该体素点位于某球形液滴内，则根据该球形液滴的图层ID找到对应的颜色，拷贝给当前体素点；

如该体素点不在任何一个球形液滴内，则将背景图层颜色拷贝给当前体素点；

获得当前体纹理所有体素点的颜色值并显示。

2.如权利要求1所述的基于数学函数的实时的大理石体纹理生成方法，其特征在于，步骤(3)中，所述的旋转操作方式对应的数学函数如下：

Q＝C+(P-C)R(θ)；

式中：

P表示当前体纹理中的体素点；

Q表示P在旋转函数作用下的新坐标点；

C表示旋转的球心位置；

给定的球形中C，P点位移的圆弧弧长与P到旋转球面的最小距离成反比，θ表示P点绕坐标轴的旋转角度，θ＝l/(||P-C||)，弧长l＝ωλ/(d+λ)，d＝||P-C||-r，ω和λ分别表示体素移动的最大位移和位移梯度；

R(θ)为旋转矩阵，R(θ)＝R_x(θ)R_y(θ)R_z(θ)，围绕不同的旋转轴旋转，可以获取对应的旋转矩阵R(θ)，当θ分别绕X，Y，Z坐标轴旋转，可以获得对应的旋转矩阵R_x(θ)、R_y(θ)、R_z(θ)，分别定义为：

参数b控制旋转的顺逆时针方向，b＝1时顺时针旋转，b＝-1时逆时针旋转。

3.如权利要求1所述的基于数学函数的实时的大理石体纹理生成方法，其特征在于，步骤(3)中，所述的梳子操作方式是由若干条相互平行直线表示的函数组合而成的，其中梳子的每个齿就代表一条直线，对应的函数如下：

d′＝s/2-|fmod(d，s)-s/2|

式中：

P表示当前体纹理中的体素点；

Q表示P在梳子函数作用下的新坐标点；

M表示该条直线的单位向量；

s表示平行直线的间距；

d′表示P到平行直线的最短距离；

d表示P与任意一条直线的距离；

ω和λ分别表示体素移动的最大位移和位移梯度。

4.如权利要求1所述的基于数学函数的实时的大理石体纹理生成方法，其特征在于，步骤(3)中，所述的漩涡操作方式对应的数学函数如下：

Q＝C+(P-C)R(θ)

式中：

P表示当前体纹理中的体素点；

Q表示P在漩涡函数作用下的新坐标点；

C表示漩涡的球心位置；

给定的球形中C，P点位移的圆弧弧长与P到旋转球面的最小距离成反比，θ表示P点绕坐标轴的旋转角度，θ＝l/(||P-C||)，弧长l＝ωλ/(d+λ)，d＝||P-C||，ω和λ分别表示体素移动的最大位移和位移梯度；

R(θ)为旋转矩阵，R(θ)＝R_x(θ)R_y(θ)R_z(θ)，围绕不同的旋转轴旋转，可以获取对应的旋转矩阵R(θ)，当θ分别绕X，Y，Z坐标轴旋转，可以获得对应的旋转矩阵R_x(θ)、R_y(θ)、R_z(θ)，分别定义为：

参数b控制旋转的顺逆时针方向，b＝1时顺时针旋转，b＝-1时逆时针旋转。

5.如权利要求1所述的基于数学函数的实时的大理石体纹理生成方法，其特征在于，步骤(3)中，所述的波浪操作方式对应的数学函数如下：

Q＝P-f(P·u,P·v)w

式中：

P表示当前体纹理中的体素点；

Q表示P在波浪函数作用下的新坐标点；

给定一个三维空间旋转矩阵R，u、v、w分别是X、Y、Z正轴方向上的单位向量,f是正弦函数，包括两种：

式中：

a₁和a₂为波浪的振幅；

ω₁和ω₂为波浪的波长；

和为波浪的相位。