CN104572581A - 复解析多项式的非线性ifs迭代函数系构造分形方法 - Google Patents

Abstract

复解析多项式的非线性IFS迭代函数系构造分形方法，涉及一种计算机图形设计方法，该方法基于单参数的复解析多项式映射 ()，在相应的参数平面上的广义M集的1周期吸引参数区域挑选参数c，依据M集的对称特性，构造出2(n-1)个与c有D_n-1对称特性的参数，由2(n-1)个参数建立2(n-1)个复解析多项式映射

Description

复解析多项式的非线性IFS迭代函数系构造分形方法

技术领域

本发明涉及一种计算机图形设计方法，特别是涉及一种复解析多项式构造非线性IFS迭代函数系构造分形的方法。

背景技术

分形(Fractal)自1975年由著名数学家B.B.mandelbrot提出以来日益受到各国学者的重视，相关理论与应用在过去的几十年里取得了飞速的发展，在数学、物理学、材料科学、地质勘探、疾病诊断、股价预测以及计算机和信息科学等许多领域中，都取得了重要研究成果和广泛的应用。由于分形几何方法的引入，使一些原已死寂一般老的学科方向焕发了新的生机，也使一些正蓬勃发展的新学科获得了巨大的推动力。分形与计算机科学的结合,一方面使分形理论推动了计算机绘图方法的迅速发展，使计算机在信息压缩及模仿自然现象中的各种奇妙现象发挥了重要的作用；另一方面，计算机的应用也大大地推动了分形理论的发展，并且由于模拟分形成功而展现出的优美的分形图像，迅速地提高了分形这门新兴科学的声望，扩大了她的影响。目前，用计算机绘制分形图像不仅使绘制分形的算法理论及程序设计已成为一独立的研究方向，同时绘制的分形图也已经成为了一种抽象的艺术形式。

IFS(Iterated function systems)是迭代函数系的英文缩写，是构造分形的一种重要方法。一个IFS由若干个线性压缩仿射变换组成，数学上通过无限次的随机挑选IFS中的一个线性压缩变换对初始点的反复迭代，可以生成严格的分形；实践中采用有限次的随机迭代可以得到计算机显示器分辨率条件下的近似分形，可以理解成将整体形态变换到局部的压缩迭代过程，这一过程可以一直进行下去，直到得到满意的结果。反复迭代IFS，有奇怪吸引子出现，而奇怪吸引子一般都是分形。目前用的线性压缩迭代函数系在生成分形方面、分形图像压缩方面以及自然景物模拟等多方面都有重要的应用。

目前学术界对迭代函数系的研究已由经典的线性压缩迭代函数系开始向非线性压缩迭代函数系发展，所研究的非线性压缩迭代函数系是对线性压缩迭代函数系的改造，或是将在迭代函数系中加入数个非线性映射，使迭代函数系的组成函数同时包含线性映射和非线性映射，并非完全由非线性压缩映射构成迭代函数系。

非线性动力系统研究中的M(Mandelbrot)集是以分形几何的创始人B.B.Mandelbrot的名字命名的,是复解析2次多项式 （和均为复数）在动力平面上能够构造出连通的Julia集分形图形的参数组成的参数平面上的集合，这种集合本身是一个自相似的具有深刻内涵的分形。可以用在M集中挑选不同的参数所建立的复映射去生成包含不同吸引周期轨道的各种形状的充满Julia集分形图形图，这种图形是吸引周期轨道吸引域中的所有点组成的集合。本发明提出了一种用复解析多项式映射构造IFS迭代函数系的方法并生成新型分形图形。

发明内容

本发明的目的在于提供一种复解析多项式的非线性IFS迭代函数系构造分形的方法，该方法提出了采用单参复解析压缩多项式映射()构造非线性IFS迭代函数系并用其构造分形的方法，编程简便、易于实现，其局部放大图更具艺术欣赏价值。

本发明的目的是通过以下技术方案实现的：

复解析多项式的非线性IFS迭代函数系构造分形方法，所述方法包括以下过程：所用的迭代映射都是单参数的复解析多项式映射()，对于固定的n值，在参数平面上的广义M集的1周期吸引参数区域挑选参数，并做符合式(2)或式(3)规定的参数挑选，做符合式(4)的2(n-1)个非线性压缩迭代映射的构造, 构造出本发明提出的非线性IFS以及它的奇怪吸引子或分形。

所述的复解析多项式的非线性IFS迭代函数系构造分形方法，所述该迭代函数系中的每一个迭代映射在动力平面上有包含吸引不动点在内的有界吸引域，且非线性IFS中的所有迭代映射有共同的吸引域区域。

所述的复解析多项式的非线性IFS迭代函数系构造分形方法，所述该迭代函数系中的每一个迭代映射在动力平面上的吸引不动点均在共同吸引域内，因此，提供的非线性IFS迭代函数系在动力平面上的初始迭代点可取IFS中的任意一个迭代映射的不动点。

所述的复解析多项式的非线性IFS迭代函数系构造分形方法，所述这个不动点由平面原点在指定迭代映射的反复迭代下获得，并作为构造分形的初始迭代点。

所述的复解析多项式的非线性IFS迭代函数系构造分形方法，所述通过随机挑选IFS中的迭代映射，连续迭代初始迭代点，记录与初始迭代点的轨道相应的计算机屏幕像素点被访问的次数，在达到指定迭代次数后，为像素着色，完成IFS迭代函数系的奇怪吸引子或分形的构造。

本发明的优点与效果是：

a..经典的IFS迭代函数系由2个以上的线性压缩仿射变换构成，本发明构造的IFS迭代函数系由2个以上的非线性压缩的单参复解析多项式映射构成。由于所选参数可以建立一个在动力平面上有1周期吸引轨道的迭代映射，IFS迭代函数系中的每个迭代映射都有在其吸引域内是压缩变换的特性，因而本发明构造的是非线性压缩迭代函数系。由于压缩的IFS有奇怪吸引子，因此，本发明构造的非线性IFS也有自己的奇怪吸引子。

b.本发明构造的IFS迭代函数系采用的复多项式迭代函数是国际上复解析动力系统图形化研究的最基本的迭代映射，本发明的IFS中的每一个映射在动力平面上都有其相应的充满Julia集分形，但由于是具有1周期吸引轨道的迭代映射，相应的充满Julia集图形具有封闭曲线特性，其艺术欣赏价值不高（如图2和图3所示，其中的点是由参数建立的迭代映射的1周期吸引轨道或称为吸引不动点），但是用这样的压缩映射构造出来的IFS迭代函数系在各迭代映射的共同吸引域中迭代出来的奇怪吸引子是复杂的分形图案，有艺术的欣赏价值，如图5所示。

c.由于同一M集中不同位置的参数对应动力平面上的不同吸引域，不同M集中的参数也对应不同的吸引域区域，因此，应用本发明提出的方法可以挖掘出单参复多项式解析映射中的无尽的奇怪吸引子和分形结构，可以建立由复解析多项式构造的新型分形图形图库。

d.按照本发明提供的非线性压缩IFS的构造方法构造分形，编程简便，易于实现。

e.本发明算法生成的图形具有对称特性，其局部放大图更具艺术欣赏价值。

f.本发明生成的图形或图形的一部分可以用于游戏开发、家装设计、图形制作、服装设计、纺织印染、陶瓷设计、壁纸设计等各种需要新颖图案的应用领域。本发明构造的IFS迭代函数系可用于非线性科学的其他复杂现象的模拟研究，例如材料的空隙特性、非线性的信息压缩等领域。

附图说明

图1为由复解析映射构造的广义M集：

(a) n=2，参数，

绘图范围：，;

(b) n=3，参数，

绘图范围：，;

(c) n=4，绘图范围：，;

(d) n=5，绘图范围：，;

(e) n=6，绘图范围：，;

(f) n=7，绘图范围：，;

图2为由复解析映射构造的两个对称Julia集，

绘图范围：，：

(a) ，为相应迭代映射的吸引域的不动点；

(b) ，为相应迭代映射的吸引域的不动点。

图3为由复解析映射构造的四个对称Julia集，

绘图范围：，：

(a) ，为相应迭代映射的吸引域的不动点；

(b) ，为相应迭代映射的吸引域的不动点；

(c) ，为相应迭代映射的吸引域的不动点；

(d) ，为相应迭代映射的吸引域的不动点。

图4为由复解析映射构造的对称Julia集的共同吸引域及由原点(0,0)迭代到不动点的轨道：

(a) n=2，、为不动点，为原点，绘图范围与图2一致；

(b) n=3，、、、为不动点，为原点，绘图范围与图3一致；

图5为由复解析映射构造的对称Julia集的共同吸引域中的分形：

(a) n=2，，绘图范围与图2一致；

(b) n=3，，绘图范围与图3一致；

图6为本发明构造的IFS迭代函数系生成的分形：

(a) n=2，，

绘图范围：，；

(b) n=3，，

绘图范围：，；

(c) n=4，，

绘图范围：，；

(d) n=5，，

绘图范围：，；

(e) n=6，，

绘图范围：，；

(f) n=7，，

绘图范围：，；

图7为图6中各红色边框区域内的局部放大图：

(a) 绘图范围：，；

(b) 绘图范围：，；

(c) 绘图范围：，；

(d) 绘图范围：，，

(e) 绘图范围：，，

(f) 绘图范围：，。

具体实施方式

下面结合附图所示实施例对本发明进行详细说明。

一个经典的平面IFS迭代函数系由n()个线性压缩仿射变换组成,对于 ，其中映射具体形式为

（5）

其中为实数，（x,y）为平面旧点的坐标，为平面新点的坐标。由式(5)可知，平面的新点坐标为(),即新旧坐标之间的关系是线性的。平面动力系统图形化研究的经典教材《SYMMETRY IN CHAOS》一书中指出，若满足条件

（6）

则此仿射变换是压缩变换，而满足式(6)的由式(5)构造的多个变换可以构成一个线性压缩IFS，随着参数的变化可以够造出大量的经典分形。事实上，满足(6)式的(5)式可以将平面上无穷远点除外的整个平面经过反复压缩，压缩到(5)式的不动点上，这样，变换(5)的不动点可以由任意有界点在式(5)的反复迭代下得到。注意到本发明所用的单参复解析映射在参数平面上的M集是由能够建立一个在动力平面上的有界区域内（吸引域内）具有吸引周期轨道的迭代映射的参数构成的点集，如果选用在1周期参数区域内(图1中各M集中的红色区域)的参数，可以建立一个将吸引域内的所有点压缩到域内吸引不动点的迭代映射。如图2和图3，当n=2或n=3时，分别在各自的M集的一周期区域中取两个和四个对称布置的参数，用这些参数所建立的迭代映射迭代平面上的点，将轨道不逃逸到无穷远的点组成的集合表示出来，就是一个吸引不动点的吸引域，也叫做充满Julia集。图2和图3中所表示的点是吸引域中所有点的轨道最终到达的不动点。图4a中表示了原点分别被构造图2的两个迭代映射连续作用下被迭代到吸引不动点的轨道，图4b中表示了原点分别被构造图3的四个迭代映射连续作用下被迭代到吸引不动点的轨道。从图2和图3可以看到这种迭代映射的吸引域与式(1)的吸引域(除无穷远点外的整个平面)是不同的，是有界的。新点与旧点之间的变换关系是非线性的，如n=2时，(

)；n=3时，( )； 当n取更高值时，中的可按牛顿二项式方便地展开，进而得到新点与旧点之间的变换关系。

图4表明，动力平面上的用不同的1周期参数建立的复解析映射的吸引域是不同的，图2和图3中所用参数构造出来的充满Julia集之间有共同的吸引域，并且相应的吸引压缩不动点位于共同的吸引域中；由于在这个共同的吸引域中，相应的迭代映射都是压缩的，因此，这些映射就可以构成一个非线性的压缩迭代函数系，图5是用构造图2和图3 的充满Julia 集的迭代映射构造的两个非线性IFS迭代函数系的两个奇怪吸引子（分形），可以看到这样的奇怪吸引子位于迭代函数系的每个迭代映射的充满Julia集的共同吸引域内(图中的绿色区域内)。本发明选取构造这两个IFS的参数是根据M集的对称性来决定的（参数位置见图1a和图1b），图5a的参数按式(3)确定，其中，；图5b的参数按式(2)确定，其中。相应的IFS按式（4）确定，对于图5a的 IFS:,其中

；

。

对于图5b 的IFS: ,其中

；

；

；

。

采用本方法可以构造出与相应的M集一样的对称形式的奇怪吸引子或分形，如图6所示，相应的构图参数如附图说明所示；其局部放大图的对称形式有两种：与M集的对称形式一样的对称和关于一个对称轴的对称，如图7所示。图7是图6 的局部放大图形。

根据迭代函数在复平面上的广义M集的对称特性，在广义M集的1吸引周期参数区域上对称选取参数，由于每个参数所构成的迭代函数都对应动力平面的一个有界吸引域，因此，在这些参数所建立的迭代映射的共同吸引域上随机迭代上述IFS构造出奇怪吸引子或分形图形。

实施例：

1.用众所周知的逃逸时间方法在参数平面上构造出上述n次复解析多项式映射的广义M集。

2.采用本方法构造非线性的IFS迭代函数系。如图1所示，当时，这样的M集是对称的；当n=2时，M集是关于参数平面的横轴（实轴）对称的。平面上的对称群是指平面集合中的点关于原点有n个（）旋转变换对称以及关于过原点的n个对称轴的反射变换对称。当n=2 时的参数平面上的M集图形只有关于实轴的反射对称。由于参数平面上的M集是由在动力平面上构成具有各种吸引周期轨道的映射的参数构成的，在M集的1周期参数区域(如图1各图中的红色部分)中挑选参数可以构造出一个动力平面上的压缩映射，这个映射在动力平面上有相应的一周期吸引轨道的吸引域，连续将这个映射作用于吸引域中的子集合，可以使这个子集被压缩到一个不动点上，因此，这样的迭代映射关于它的吸引域是压缩的，所以，如果在M集的一周期参数区域中选取两个以上的参数就可以构造出一个由非线性压缩映射组成的IFS迭代函数系，而本发明的具体挑选参数的方法是选取M集中的一周期参数区域中的对称位置的参数，并用这些参数构造非线性IFS迭代函数系，因此，所选参数的个数随n值的变化而变化。对称群的对称变换有2n个，本发明定义的对称群的具体表达式为

（1）

因此，当迭代多项式映射的次数为时，如果取M集中一周期区域的参数，其中为实数，由于n次多项式复解析函数的M集是对称的，则在M集的一周期区域中需要选取2(n-1)个参数，令其为集合C，这个参数集C定义为：

C=

= （2）

当n=2时，(2)式变成

C （3）

因此，本发明构造的非线性IFS迭代函数系的表达式为：

IFS： （4）

3.构造（4）式的奇怪吸引子（分形）

由附图2和附图3可见，本发明采用的迭代映射在动力平面上的1周期轨道的吸引域---充满Julia 集中包含平面原点，选取IFS迭代函数系中由建立的迭代映射，连续迭代原点，使其轨道到达这个映射在动力平面上的不动点(如图4a所示)，由迭代函数系理论可知，它是（4）式的奇怪吸引子上的一点，因此，选取构造本发明的奇怪吸引子（分形）的初始迭代点为点，通过等概率的随机选取（4）式中的非线性迭代映射，对点连续迭代，记录与平面上迭代点相应的计算机屏幕上的像素被访问的次数，并在达到预定的迭代次数后，为相应像素着色，构造出（4）式的奇怪吸引子或分形。

Claims (5)

1.复解析多项式的非线性IFS迭代函数系构造分形方法，其特征在于，所述方法包括以下过程：所用的迭代映射都是单参数的复解析多项式映射 ()，对于固定的n值，在参数平面上的广义M集的1周期吸引参数区域挑选参数，并做符合式(2)或式(3)规定的参数挑选，做符合式(4)的2(n-1)个非线性压缩迭代映射的构造, 构造出本发明提出的非线性IFS以及它的奇怪吸引子或分形。

2.根据权利要求1所述的复解析多项式的非线性IFS迭代函数系构造分形方法，其特征在于，所述该迭代函数系中的每一个迭代映射在动力平面上有包含吸引不动点在内的有界吸引域，且非线性IFS中的所有迭代映射有共同的吸引域区域。

3.根据权利要求1所述的复解析多项式的非线性IFS迭代函数系构造分形方法，其特征在于，所述该迭代函数系中的每一个迭代映射在动力平面上的吸引不动点均在共同吸引域内，因此，提供的非线性IFS迭代函数系在动力平面上的初始迭代点可取IFS中的任意一个迭代映射的不动点。

4.根据权利要求3所述的复解析多项式的非线性IFS迭代函数系构造分形方法，其特征在于，所述这个不动点由平面原点在指定迭代映射的反复迭代下获得。

5.根据权利要求3所述的复解析多项式的非线性IFS迭代函数系构造分形方法，其特征在于，所述通过随机挑选IFS中的迭代映射，连续迭代初始迭代点，记录与初始迭代点的轨道相应的计算机屏幕像素点被访问的次数，在达到指定迭代次数后，为像素着色，完成IFS迭代映射的奇怪吸引子或分形的构造。