CN104569045A - 圆柱套筒壁间结合面接触热阻测试方法及装置 - Google Patents

Abstract

圆柱套筒壁间结合面接触热阻测试方法及装置，本发明将外环测试件，内环测试件和标定的铜环依次相套连接营造出沿环状试件径向传导的一维稳态导热环境。利用布置在径向不同半径上的测温传感器，测量上述各试件不同半径的温度，将两测试件上所测温度值利用数值方法进行拟合，并外推至接触结合面处，得到接触结合面处的温降；利用标定铜环上所测温度，根据单位长度上径向一维导热线热流密度公式，得到接触结合面处的热流密度。最后，由接触热阻是接触热导的倒数得到接触结合面处的接触热阻；同时，也可根据径向一维导热导热系数的规律，得内外环试件的导热系数。

Description

圆柱套筒壁间结合面接触热阻测试方法及装置

技术领域

本发明涉及一种圆柱套筒壁间结合面接触热阻测试方法及装置，属于固体材料热传递、热力耦合试验技术领域。

背景技术

当两固体材料表面相互接触时，实际上固体和固体的直接接触只能发生在一些离散的点或微小的面积上，而其余大部分则是空气或其它介质。由于两接触面微观上的凹凸不平使得接触不完全而产生接触热阻。在机械结构中，接触热阻是很重要参数之一，其取值准确与否直接关系到各个设计和结构的质量，它的大小关系到各个结构内部传热的效率。目前国内外学者对固体结合面间的接触热阻的测试方面开展了一系列的研究，普遍的实验对象是针对长轴或长方体间的简单结合面接触热阻的测量方法和装置进行研究，通过稳态的测试方法对试样轴线上不同位置点的温度进行采集，根据平壁内一维稳态热传导特性，计算两试件接触界面的接触热阻，但这些方法对试件的几何形状有较高要求，通常只可将测试试件制备成规则的长轴或长方体，而对于圆柱套筒壁间界面的接触热阻难以测试。

发明内容

针对现有技术中对环形结合面接触热阻的测试研究存在的不足，本发明提出了一种测量圆柱套筒壁间环形结合面接触热阻测试的方法，可对圆柱套筒壁间的接触热阻进行有效测试。

所述的测试方法利用两根环状测试件和标定的铜环营造出沿环状试件径向传导的一维稳态导热环境。利用布置在径向不同半径上的测温传感器，测量径向上不同半径的温度，同时在轴向装置隔热装置最大限度降低轴向的散热对所述结合面接触热阻准确性的影响，根据温度梯度沿径向传播的分布及热流密度，实现所述环形待测结合面的接触热阻的测量。

为实现上述测试方法，本发明采用的技术方案为一种圆柱套筒壁间结合面接触热阻测试装置，该测试装置包括测温传感器1、上隔热装置2、冷却环3、外环测试件4、内环测试件5、下隔热装置6、环形待测结合面7、标定铜环热流计8、加热装置9、导热硅脂10；具体而言，冷却环3为该测试装置的环形外壳，在冷却环3内部沿冷却环3的内壁至中心方向依次套置外环测试件4、内环测试件5、标定铜环热流计8；所述标定铜环热流计8中心处设有加热装置9；上隔热装置2设置在冷却环3顶部，下隔热装置6设置在冷却环3底部；上隔热装置2、下隔热装置6均采用以纳米二氧化硅气凝胶为主体材料的气凝胶毡，在内环测试件5和外环测试件4套环内部设置有多个测温传感器1，测温传感器1选用体积小、精度高、接线方便的DS18B20；多个测温传感器1与计算机终端连接。

标定铜环热流计8与内环测试件5之间涂有导热硅脂10，以保证导热良好。

所述测试装置整体置于真空腔体11内，真空腔体11固定在底座12上。

一种圆柱套筒壁间结合面接触热阻测试方法，多个测温传感器1一同与计算机终端连接，用于显示各测温点的温度值。通过加热装置9对整个装置予以加热，待温度示数稳定即温度变化在0.5℃之后，记录各测试点温度。所述测点温度包括，标定铜环热流计8上各测点温度，内环测试件5各测点温度，外环测试件4各测点温度。将内环测试件5和外环测试件4上所测得的各点温度进行最小二乘法曲线拟合，得到拟合方程，根据所得拟合方程分别将内环测试件5和外环测试件4接触界面处的半径带入方程，得到内环测试件5和外环测试件4接触界面处的温度值，求差得到接触界面处的温降；根据单位长度的径向一维导热线热流密度公式，由标定铜环热流计8上所测得的各点温度，求得内环测试件5和外环测试件4接触界面处的热流密度；根据所求接触界面处的温降和热流密度，由接触热阻的计算公式得内环测试件5和外环测试件4接触界面处的接触热阻，同时根据径向一维导热导热系数的规律亦可求出内环测试件5和外环测试件4的导热系数。通过各测点温度值、试件表面的粗糙度Ra、圆柱套筒壁间的配合关系等参数的变化，可测得不同参数关系下圆柱套筒壁间结合面接触热阻R的函数关系。

发明所述的圆柱套筒壁间结合面接触热阻测试方法及装置与现有技术相比，弥补了现有技术中针对圆柱套筒壁间环形结合面接触热阻测试的不足，测量装置制作便捷，所测结果满足实验要求，可用于工程实践、教学、科研等领域。

附图说明

图1为径向一维稳态导热接触热阻测试方法示意图；

图2为径向一维稳态导热接触热阻的测试方法俯视图；

图3为温度沿径向一维稳态导热时温度梯度的分布图；

图4为去除真空腔体后测试装置结构示意图；

图5为径向一维稳态导热接触热阻的测试装置剖视图。

图中：1、测温传感器，2、上隔热装置，3、冷却环，4、外环测试件，5、内环测试件，6、下隔热装置，7、环形待测结合面，8、标定铜环热流计，9、加热装置，10、导热硅脂，11、真空腔体，12、底座。

具体实施方式

如图1-5所示，一种圆柱套筒壁间结合面接触热阻测试方法及装置，以下结合附图和实施例对本发明作进一步详细说明。

实施例一

第一步，测试试件和设备的准备

取两个相互接触有一定厚度的筒形测试试件，即外环测试件4、内环测试件5；加工出标定铜环热流计8置于内环试件5内部，与之紧密贴合。整个测试装置的轴向上下两端分别设置上隔热装置2、下隔热装置6，以保证热流方向沿径向传播。标定铜环热流计8内部设置加热装置，外环测试件4外设置冷却环3，以形成温度梯度。在标定铜热流计8不同半径处、内环测试件5不同半径处、外环测试件4不同半径处分别设置测温传感器1，用于测试径向温度。

测温传感器1的位置布置满足如下关系：为了尽可能减少嵌入式测温传感器对温度场的影响，在满足测试要求的情况下少布置传感器；为了测试所得温度梯度温服更加准确，在同一件内的不同半径间距结合传感器数量设置较大距离；为了减小同一横截面内同一径向方向布置多个测温传感器对试件温度场的影响，测温传感器的布点尽可能不在同一横截面的同一径向方向；测温传感器的布置尽量在同一平面上，以减小测量误差。

将整个测试设备置于真空腔体内，最大限度的减少空气对流传热对测试的影响。

第二步，加热装置通电，对热流计加热，采集测点温度

通过加热装置9对热流计及试件加热，待温度示数稳定即温度变化在0.5℃之后，记录各测试点温度。所属测点温度包括，标定铜环热流计上各测点温度，内环测试件各测点温度，外环测试件各测点温度。由Tij表示，i＝1,2,3，j＝1,2,……n，i分别表示标定铜环热流计、内环测试件、外环测试件，n表示该试件内测温传感器的数目。

第三步，计算待求结合面间的温差ΔT

由第二步测得，半径为R_ij的温度T_ij，根据温度沿径向一维导热分布规律：以内环测试件5为例由所测值应用最小二乘法进行曲线拟合。

内环测试件各测点半径为R_2j，测点温度为T_2j，令X＝lnR，列表如下：

R	R21	R22	……	R2n
					X	lnR21	lnR22	……	lnR2n
T	T21	T22	……	T2n

根据T＝T(R)，可设拟合方程为：

T(X)＝a+bX   (1)

令

$F(a,b)=\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{(a+{\mathrm{bX}}_{2j}-T_{2j})}^2---\left(2\right)$

对参数求偏导数等于0：

$\frac{\∂F}{\∂a}=2\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(a+{\mathrm{bX}}_{2j}-T_{2j})=0---\left(3\right)$

$\frac{\∂F}{\∂b}=2\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(a+{\mathrm{bX}}_{2j}-T_{2j})=0$

$\left[\begin{array}{cc}n& \underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}\\ \underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}& \underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{T}_{2j}\\ \underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}{T}_{2j}\end{array}\right]---\left(4\right)$

由(3)式可得参数a，b：

$a=\frac{\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}{T}_{2j}-\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{T}_{2j}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}^2}{{\left(\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}\right)}^2-n\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}^2}---\left(5\right)$

$b=\frac{\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{T}_{2j}-n\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}{T}_{2j}}{{\left(\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}\right)}^2-n\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}^2}$

代入方程(1)得：

$T\left(X\right)=\frac{\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}{T}_{2j}-\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{T}_{2j}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}^2}{{\left(\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}\right)}^2-n\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}^2}+\frac{\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{T}_{2j}-n\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}{T}_{2j}}{{\left(\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}\right)}^2-n\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}^2}X;$

参数代换后得：

$T_2\left(R\right)=\frac{\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\ln R_{2j}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\ln R_{2j}{T}_{2j}-\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{T}_{2j}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\ln R_{2j}\right)}^2}{{\left(\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\ln R_{2j}\right)}^2-n\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\ln R_{2j}\right)}^2}+\frac{\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\ln R_{2j}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{T}_{2j}-n\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\ln R_{2j}{T}_{2j}}{{\left(\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\ln R_{2j}\right)}^2-n\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\ln R_{2j}\right)}^2}\ln R---\left(6\right)$

对于外环测试件，同理可得：

$T_3\left(R\right)=\frac{\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\ln R_{3j}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\ln R_{3j}{T}_{3j}-\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{T}_{3j}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\ln R_{3j}\right)}^2}{{\left(\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\ln R_{3j}\right)}^2-n\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\ln R_{3j}\right)}^2}+\frac{\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\ln R_{3j}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{T}_{3j}-n\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\ln R_{3j}{T}_{3j}}{{\left(\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\ln R_{3j}\right)}^2-n\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\ln R_{3j}\right)}^2}\ln R$

将待求结合面处的半径带入上述方程，可求的待求结合面处的温差：ΔT＝T₂(R_X)-T₃(R_X)；

第四步，计算结合面径向热流密度

由单位长度的径向一维导热线热流密度λ为导热率，T₁、T₂为两点温度，R₁、R₂为测温点半径。对于n个测温点的标定铜环热流计，则有：

平均线热流密度：

得结合面热流密度：

第五步，计算结合面接触热阻

结合面接触热阻是接触热导h_c的倒数：

$\frac{1}{h_c}=\frac{\mathrm{\ΔT}}{q_{R_X}}---\left(10\right)$

第六步，计算内外环试件的导热系数

除此之外，可根据径向一维导热导热系数的规律，将公式(8)带入，得内外环试件的导热系数：

实施例二

与实施例一不同之处在于：该实施例使两试件材料、各测点温度值、配合关系保持一致为一定值，改变试件表面的粗糙度Ra，然后通过计算得出各个粗糙度Ra下的接触热阻R，通过数值拟合得出试件材料、测点温度值、配合关系一定时，不同表面粗糙度Ra下圆柱套筒壁间结合面接触热阻R的关系。

实施例三

与实施例一和实例二不同之处在于：该实施例使两试件材料、各测点温度值、试件表面的粗糙度Ra保持一致为一定值，改变圆柱套筒壁间的配合关系，然后通过计算得出不同配合关系下的接触热阻R，通过数值拟合得出试件材料、测点温度值、试件表面的粗糙度Ra一定时，不同配合关系下圆柱套筒壁间结合面接触热阻R的关系。

实施例四

与实施例一、实例二和实施例三不同之处在于：该实施例使两试件材料、试件表面的粗糙度Ra、配合关系保持一致为一定值，改变各测点温度值，然后通过计算得出不同温度下的接触热阻R，通过数值拟合得出试件材料、试件表面的粗糙度Ra、配合关系一定时，不同温度下圆柱套筒壁间结合面接触热阻R的关系。

Claims (4)

1.一种圆柱套筒壁间结合面接触热阻测试装置，其特征在于：该测试装置包括测温传感器(1)、上隔热装置(2)、冷却环(3)、外环测试件(4)、内环测试件(5)、下隔热装置(6)、环形待测结合面(7)、标定铜环热流计(8)、加热装置(9)、导热硅脂(10)；具体而言，冷却环(3)为该测试装置的环形外壳，在冷却环(3)内部沿冷却环(3)的内壁至中心方向依次套置外环测试件(4)、内环测试件(5)、标定铜环热流计(8)；所述标定铜环热流计(8)中心处设有加热装置(9)；上隔热装置(2)设置在冷却环(3)顶部，下隔热装置(6)设置在冷却环(3)底部；上隔热装置(2)、下隔热装置(6)均采用以纳米二氧化硅气凝胶为主体材料的气凝胶毡，在内环测试件(5)和外环测试件(4)套环内部设置有多个测温传感器(1)，测温传感器(1)选用体积小、精度高、接线方便的DS18B20；多个测温传感器(1)与计算机终端连接；

标定铜环热流计(8)与内环测试件(5)之间涂有导热硅脂(10)；

所述测试装置整体置于真空腔体(11)内，真空腔体(11)固定在底座12上。

2.一种圆柱套筒壁间结合面接触热阻测试方法，其特征在于：多个测温传感器(1)一同与计算机终端连接，用于显示各测温点的温度值；通过加热装置(9)对整个装置予以加热，待温度示数稳定即温度变化在0.5℃之后，记录各测试点温度；所述测点温度包括，标定铜环热流计(8)上各测点温度，内环测试件(5)各测点温度，外环测试件(4)各测点温度；将内环测试件(5)和外环测试件(4)上所测得的各点温度进行最小二乘法曲线拟合，得到拟合方程，根据所得拟合方程分别将内环测试件(5)和外环测试件(4)接触界面处的半径带入方程，得到内环测试件(5)和外环测试件(4)接触界面处的温度值，求差得到接触界面处的温降；根据单位长度的径向一维导热线热流密度公式，由标定铜环热流计(8)上所测得的各点温度，求得内环测试件(5)和外环测试件(4)接触界面处的热流密度；根据所求接触界面处的温降和热流密度，由接触热阻的计算公式得内环测试件(5)和外环测试件(4)接触界面处的接触热阻，同时根据径向一维导热导热系数的规律亦可求出内环测试件(5)和外环测试件(4)的导热系数；通过各测点温度值、试件表面的粗糙度Ra、圆柱套筒壁间的配合关系等参数的变化，可测得不同参数关系下圆柱套筒壁间结合面接触热阻R的函数关系。

3.根据权利要求1所述的一种圆柱套筒壁间结合面接触热阻测试装置，其特征在于：测温传感器(1)的位置布置满足如下关系：为了尽可能减少嵌入式测温传感器对温度场的影响，在满足测试要求的情况下少布置传感器；为了测试所得温度梯度温服更加准确，在同一件内的不同半径间距结合传感器数量设置较大距离；为了减小同一横截面内同一径向方向布置多个测温传感器对试件温度场的影响，测温传感器的布点尽可能不在同一横截面的同一径向方向；测温传感器的布置尽量在同一平面上，以减小测量误差。

4.根据权利要求2所述的一种圆柱套筒壁间结合面接触热阻测试方法，其特征在于：该方法的实施流程如下，

第一步，测试试件和设备的准备

取两个相互接触有一定厚度的筒形测试试件，即外环测试件(4)、内环测试件(5)；加工出标定铜环热流计(8)置于内环试件(5)内部，与之紧密贴合；整个测试装置的轴向上下两端分别设置上隔热装置(2)、下隔热装置(6)，以保证热流方向沿径向传播；标定铜环热流计8内部设置加热装置，外环测试件(4)外设置冷却环(3)，以形成温度梯度；在标定铜热流计(8)不同半径处、内环测试件(5)不同半径处、外环测试件(4)不同半径处分别设置测温传感器1，用于测试径向温度；

将整个测试设备置于真空腔体(11)内，最大限度的减少空气对流传热对测试的影响；

第二步，加热装置通电，对热流计加热，采集测点温度

通过加热装置(9)对热流计及试件加热，待温度示数稳定即温度变化在0.5℃之后，记录各测试点温度；所属测点温度包括，标定铜环热流计上各测点温度，内环测试件各测点温度，外环测试件各测点温度；由Tij表示，i＝1,2,3，j＝1,2,……n，i分别表示标定铜环热流计、内环测试件、外环测试件，n表示该试件内测温传感器的数目；

第三步，计算待求结合面间的温差ΔT

由第二步测得，半径为R_ij的温度T_ij，根据温度沿径向一维导热分布规律：以内环测试件(5)为例由所测值应用最小二乘法进行曲线拟合；

内环测试件各测点半径为R_2j，测点温度为T_2j，令X＝lnR，列表如下：

R R₂₁ R₂₂ …… R_2n X lnR₂₁ lnR₂₂ …… lnR_2n T T₂₁ T₂₂ …… T_2n

根据T＝T(R)，可设拟合方程为：

T(X)＝a+bX   (1)

令

$F(a,b)=\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{(a+{\mathrm{bX}}_{2j}-T_{2j})}^2---\left(2\right)$

对参数求偏导数等于0：

$\begin{array}{c}\frac{\∂F}{\∂a}=2\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(a+{\mathrm{bX}}_{2j}-T_{2j})=0\\ \frac{\∂F}{\∂b}=2\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}(a+{\mathrm{bX}}_{2j}-T_{2j})=0\end{array}---\left(3\right)$

$\left[\begin{array}{cc}n& \underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}\\ \underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}& \underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{T}_{2j}\\ \underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}{T}_{2j}\end{array}\right]---\left(4\right)$

由式(3)可得参数a，b：

$\begin{array}{c}a=\frac{\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}{T}_{2j}-\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{T}_{2j}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}^2}{{\left(\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}\right)}^2-n\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}^2}\\ b=\frac{\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{T}_{2j}-n\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}{T}_{2j}}{{\left(\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}\right)}^2-n\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}^2}\end{array}---\left(5\right)$

代入方程(1)得：

$T\left(X\right)=\frac{\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}{T}_{2j}-\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{T}_{2j}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}^2}{{\left(\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}\right)}^2-n\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}^2}+\frac{\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{T}_{2j}-n\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_{2j}{T}_{2j}}{{\left(\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}\right)}^2-n\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{2j}^2}X;$

参数代换后得：

$T_2\left(R\right)=\frac{\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}1n{R}_{2j}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}1n{R}_{2j}{T}_{2j}-\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{T}_{2j}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left(1n{R}_{2j}\right)}^2}{{\left(\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}1n{R}_{2j}\right)}^2-n\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left(1n{R}_{2j}\right)}^2}+\frac{\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}1n{R}_{2j}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{T}_{2j}-n\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}1n{R}_{2j}{T}_{2j}}{{\left(\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}1n{R}_{2j}\right)}^2-n\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left(1n{R}_{2j}\right)}^2}1\mathrm{nR}---\left(6\right)$

对于外环测试件，同理可得：

$T_3\left(R\right)=\frac{\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}1n{R}_{3j}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}1n{R}_{3j}{T}_{3j}-\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{T}_{3j}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left(1n{R}_{3j}\right)}^2}{{\left(\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}1n{R}_{3j}\right)}^2-n\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left(1n{R}_{3j}\right)}^2}+\frac{\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}1n{R}_{3j}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{T}_{3j}-n\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}1n{R}_{3j}{T}_{3j}}{{\left(\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}1n{R}_{3j}\right)}^2-n\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left(1n{R}_{3j}\right)}^2}1\mathrm{nR}$

将待求结合面处的半径带入上述方程，可求的待求结合面处的温差：ΔT＝T₂(R_X)-T₃(R_X)；

第四步，计算结合面径向热流密度

由单位长度的径向一维导热线热流密度λ为导热率，T₁、T₂为两点温度，R₁、R₂为测温点半径；对于n个测温点的标定铜环热流计，则有：

平均线热流密度：

得结合面热流密度：

第五步，计算结合面接触热阻

结合面接触热阻是接触热导h_c的倒数：

$\frac{1}{h_c}=\frac{\mathrm{\ΔT}}{q_{R_X}}---\left(10\right)$

第六步，计算内外环试件的导热系数

除此之外，可根据径向一维导热导热系数的规律，将公式(8)带入，得内外环试件的导热系数：

                                                              (11)

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