CN104506224B - 一种基于角度域变换的低复杂度3d波束成形算法 - Google Patents

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Abstract

本发明属于通信技术领域，具体为一种基于角度域变换的低复杂度3D波束成形算法。本发明针对单小区MU‑MIMO下行广播信道场景，将3D波束成形问题建模为最小化基站发射功率的优化模型；然后将原问题通过角度域变换转换为角度域上的等价优化问题；再利用3D‑MIMO信道的角度域稀疏特性对该问题进行降维放松，从而降低求解的计算复杂度，并使得算法复杂度不再随基站天线数目的增加而增大。仿真结果表明，角度域降维优化算法能够很好地逼近原空间全维度优化算法。

Description

一种基于角度域变换的低复杂度3D波束成形算法
技术领域
本发明属于通信技术领域，具体为一种基于3D-MIMO空间信道信息在角度域的稀疏特性，对3D波束成形优化问题进行角度域降维放松处理，从而降低求解运算复杂度的方法。
背景技术
多输入多输出(Multiple-Input Multiple-Output,MIMO)是现代无线通信网络中一项重要的技术，尤其是在多用户MIMO系统中，基站通过波束成形技术能够在同一频谱资源上同时服务多个用户，从而提高系统吞吐量。多用户MIMO系统中存在的关键问题是用户间干扰，通常在基站端通过波束成形预编码来完全消除或按某种准则减小用户间干扰。比较经典的预编码方法包括迫零(ZF)[1]，块对角化(BD)[2]，最大信漏噪比(SLNR)[3]等算法。其中，一种基于凸优化的预编码方法[4][5]能够在满足各个用户服务质量的要求下，最小化基站的发射能量。
近年来，3D-MIMO概念越来越受到主流通信系统的重视。3D-MIMO系统充分考虑信号在三维空间的传播特性，在基站端采用2D天线阵列(均匀面阵、圆阵、L形阵等)来实现在三维空间(水平维度和垂直维度)上进行发射波束成形设计的能力，从而带来更强的干扰控制能力。随着天线阵列形状由传统的线性阵列转变为2D阵列，基站对于三维空间信道的空间分辨能力得到了提升。然而随着基站端天线数目的增多，传统波束成形优化算法的计算复杂度急剧增大。文献[6]利用信道的角度域稀疏特性，提出了低复杂度的线性预编码方案，仿真表明角度域低维度线性预编码性能可以有效逼近全维度线性预编码性能。文献[7]依据用户信道信息在角度域的分布重叠情况对用户进行分组预编码，提出了一种联合空分多址(SDMA)和干扰破零的预编码传输方案。
上述文献均表明利用3D-MIMO信道的角度域稀疏特性能够在保证一定性能的前提下，有效降低传统波束成形预编码的求解计算复杂度。然而它们目前只是针对一些简单的线性预编码方案进行降维处理，尚未涉及到更复杂的预编码优化设计问题。
发明内容
本发明的目的在于提供一种能够有效降低波束成形预编码的求解计算复杂度的3D波束成形算法。
本发明中，考虑一个基站端安装有面阵天线的MU-MIMO下行通信系统，将3D波束成形问题建模成一个最小化基站发射能量的优化模型。由于基站天线数目较大，求解该优化问题计算量巨大。于是，本发明将原问题转换到角度域上，利用3D-MIMO信道角度域上的稀疏特性，对优化问题进行降维放松处理，从而大大降低波束成形预编码优化问题的计算复杂度。仿真结果表明低复杂度的角度域空间降维优化算法的性能可以有效逼近原空间全维度的优化算法。
1、系统模型
本发明考虑由一个基站和K个用户构成的单小区MU-MIMO下行通信系统。基站离地面高度为hBS，装备有面阵天线，其中，水平天线阵元数目为Nh，阵元间距为dh；垂直天线阵元数目为Nv，阵元间距为dv。用户离基站的最小水平距离为Rmin，小区半径为Rmax，用户均匀分布在小区范围内。假设每个用户的高度均为hUE，并且只配备有单根天线。整个系统模型如图1所示，其中Nv＝4,Nh＝8。
(1)3D-MIMO信道模型
对于图1所示的3D-MIMO通信系统，考虑对于第k个用户的下行信道。假设共有L条传播路径，第l条径的水平和垂直离开角(Angle of Departure,AoD)分别为和。我们定义垂直维度和水平维度的角度投影分别为和
其中dv和dh分别为面阵天线阵列的垂直和水平阵元间距，λ为载波波长。于是用户k的信道系数可以表示为：
其中，βk,0和βk,l分别为视距(Line of Sight,LOS)路径和非视距(NLOS)路径的路径损耗因子。e(Ωv)和e(Ωh)分别为均匀面阵天线阵列的垂直和水平导向矢量，其表达式如下：
在本发明的3D-MIMO场景中，我们假设主要的传播路径是直视路径(LOS)，即βk,0＞＞βk,l，其中l≥1。于是信道系数可以写为：
进一步将信道系数改写成向量形式，表达式如下：
其中，vec(A)表示由矩阵A中的各个列向量依次拼接而成的向量，代表克罗内特积运算符号。
下面介绍信道系数的角度域变换[8]
其中，为角度域上的信道系数矩阵，和分别为垂直和水平角度域变换矩阵，其表达式如下：
Uv中的Nv个波束向量之间相互正交，它们共同构成了垂直角度空间上的一组正交基。类似的，Uh中的Nh个波束向量之间相互正交，它们共同构成了水平角度空间上的一组正交基。因此，反映了信道能量在这些波束方向上的分布情况。
图2给出了采用8×64均匀面阵天线阵列时，角度域信道系数的能量分布情况的两个示例。很容易看到，角度域上的3D-MIMO信道具有显著的稀疏特性，信道能量集中在少数的几个波束方向上。当天线数目越多时，角度域上的空间分辨率越高，而信道系数的稀疏特性并不会改变。于是，我们可以利用这些波束来近似整个信道，从而降低信道系数矩阵的维度。下面给出向量形式的信道系数角度域变换：
(2)波束成形设计优化模型
对于下行传输场景，所有用户同时受到基站发出的信号，用户k接收到的信号为
其中，为第k个用户的波束成形预编码向量，xi是第k个用户的发送信号，满足nk为噪声并假设
于是，用户接收信号的信干噪比(SINR)可以表示为：
考虑在保证每个用户的信干噪比(SINR)门限的前提下，最小化基站的总发射功率[4]。于是建立优化问题模型如下：
其中，γk为用户k的SINR门限。优化问题(10)可以归结为经典的能量优化波束成形设计问题，并采用半定松弛(Semi-definite Relaxation,SDR)【9】方法求解。定义矩阵由于优化问题(10)可以转换为
Wk≥0,rank(Wk)＝1,k＝1,2,...,K
其中，A≥0表示矩阵A是半正定的。当舍弃限制条件rank(Wk)＝1时，优化问题(11)可以转化为一个松弛的半定规划问题，继而我们可以利用凸优化工具包CVX[10]有效求解。依据文献[11]，采用内点法求解问题(11)的计算复杂度为其中Nt为发射天线数目，在本文当中Nt＝NvNh。当发射天线数目很大时，算法复杂度急剧增大，我们希望通过利用信道角度域的稀疏特性来降低运算复杂度。
2、角度域降维优化算法
在用户数目远小于发送天线数目时，求解优化问题(11)的高复杂度主要是由于信道系数向量的高维度导致的。于是，我们试图通过角度域信道系数降维来降低波束成形优化问题求解的计算复杂度。
(1)降维优化算法
将中的元素按照降序排列，选出其中最大的na个值，作为用户k的信道的有效波束能量，并记录其在向量中的序号为然后，综合所有用户的有效波束序号，得到记集合idx中的元素数目为Nb，容易得到Nb≤Knb(当所有用户的前nb个最大能量波束都互不重叠时取等号)。定义角度域信道降维矩阵如下：
j-1 Nt-j
下面介绍在角度域上降维求解波束成形问题的方法。首先将优化问题(10)转换到角度域上，得到如下等价优化问题：
其中表示角度域的波束成形预编码，表示角度域的信道系数向量。由于角度域变换矩阵U为酉矩阵，具有保范性，优化目标可以进一步简化为
根据前面的分析可以知道是稀疏的，我们希望只优化求解具有主要信道能量的波束处的角度域预编码值，而将其他波束对应的角度域预编码值置为零。于是提取出降维的角度域信道系数向量：
然后得到降维后的角度域优化问题如下：
其中，为降维后的角度域信道系数向量所对应的角度域预编码。注意在这一步中我们忽略了其他次要波束方向处所具有的较小的信道能量，对原优化问题引入了松弛，从而导致了一定的优化性能损失。
最后采用前述的SDR方法可以有效求解出问题(15)的解，将其记为则对应的原空间预编码可以表示为：
综上，本发明提出的基于角度域变换的低复杂度3D波束成形算法，具体步骤归纳如下：
(a)在单小区MU-MIMO下行广播信道场景下，建立最小化基站发射功率的优化模型，进行波束成形预编码设计；
(b)将原优化模型通过角度域变换转换为角度域上的等价优化问题进行处理；
(c)利用3D-MIMO信道角度域上的稀疏特性，对角度域波束成形优化问题进行降维放松，从而降低运算复杂度；
(d)降维后的优化问题，通过半定松弛(SDR)方法转化为半定规划(SDP)问题，从而通过凸优化工具求解；
(e)将角度域降维优化问题的解恢复到原始空间的波束成形预编码。
具体的角度域稀疏波束成形算法表示如下：
(2)算法复杂度分析
根据参考文献[11]，采用内点法求解半定松弛后的优化问题(11)的计算复杂度为其中，K为用户数目，Nt＝NvNh为总的发射天线数目。可以看到，算法复杂度随着天线数目的增加而急剧增大。而采用本发明中的角度域降维处理后，我们仅在包含有信道大部分能量的部分波束方向上进行预编码优化，算法的计算复杂度仅与最终选取的总的优化波束方向数目有关，即而由于Nb≤Knb，所以算法的最大复杂度为其中，nb为单个用户选取的最大能量波束方向的数目。当所有用户的前nb个最大能量波束方向互不重叠时，Nb＝Knb，算法复杂度达到最大。可以看到，角度域降维优化算法的算法复杂度已经与基站天线数目无关。
附图说明
图1：3D-MIMO通信系统。
图2：3D-MIMO信道角度域稀疏性示例。
图3：角度域降维优化算法性能。
图4：不同天线数目系统性能。
具体实施方式
实施例：
设实施例的参数
硬件平台：Intel Xeon CPU E5-2643@3.50GHz；32GB内存；
操作系统：64位Windows Server 2008R2Enterprise；
仿真软件：MATLAB B2014a；
信道模型：见发明内容中的信道模型；
基站天线高度：25m；
用户天线高度：1.5m；
用户与基站最小水平距离：10m；
小区半径：250m；
基站天线数目(Nv×Nh)：4×8,4×16,8×16,或8×32；
基站天线阵元间距：半波长；
用户天线数目：1；
用户数目：8；
Monte Carlo仿真次数：100。
仿真结果：
本发明比较了最大比发射(MRT)、角度域降维优化(Sparse-Optimal)和原空间全维度优化(Optimal)算法在8用户下行场景，4×8基站天线配置下的小区和速率性能。从图3中可以看出，优化求解波束成形预编码的算法性能明显优于最大比发射算法，尤其是在高信噪比(用户间干扰严重)条件下。而角度域降维优化算法能够有效逼近最优化算法。相较于最优算法，角度域降维算法在选取角度域主要波束方向数目nb＝4时的性能损失不超过0.5bps/Hz；即便在nb＝2时，性能损失也不超过1.4bps/Hz。
图4给出了基站采用不同数目天线配置(4×8,4×16,8×16,8×32)，在相同的发射功率下，8用户小区下行和速率情况(对应2dB边缘信噪比条件)。随着天线数目的增加，基站的空间分辨率增大，波束成形预编码形成的波束更具有指向性和针对性，从而使得系统性能得到提升。但是天线数目的增加也带来了最优算法的计算复杂度的显著增大。相较而言，角度域降维优化算法计算复杂度不随天线数目的增加而增大，同时能够在不同天线配置下均保持对于最优算法性能的有效逼近。下表给出了不同天线配置下各种算法的运行时间(单位：秒)。
天线配置(Nv×Nh) 4×8 4×16 8×16 8×32
最优算法 790 3706 21455 136707
角度域降维优化(nb＝4) 360 461 458 500
角度域降维优化(nb＝4) 120 141 151 176
综上所述，本发明提出的角度域降维优化算法基于3D-MIMO信道的角度域稀疏特性，将原优化问题转换到角度域后进行降维放松优化处理，大大降低了优化求解的计算复杂度，并且使得计算复杂度不随天线数目的增加而增大。仿真结果表明，角度域降维优化算法能够很好地逼近原空间全维度优化算法。
参考文献
[1]Wiesel A,Eldar Y,Shamai S.Zero-Forcing Precoding and GeneralizedInverses[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2008,56(9):4409-4418.
[2]Spencer Q H,Swindlehurst A L,Haardt M.Zero-forcing methods fordownlink spatial multiplexing in multiuser MIMO channels[J].IEEE Transactionson Signal Processing,2004,52(2):461-471.
[3]Sadek M,Tarighat A,Sayed A H.A Leakage-Based Precoding Scheme forDownlink Multi-User MIMO Channels[J].IEEE Transactions on WirelessCommunications,2007,6(5):1711-1721.
[4]Gershman A B,Sidiropoulos N D,ShahbazPanahi S,et al.ConvexOptimization-Based Beamforming[J].IEEE Signal Processing Magazine,2010,27(3):62-75.
[5]Bjornson E,Bengtsson M,Ottersten B.Optimal Multiuser TransmitBeamforming:A Difficult Problem with a Simple Solution Structure[J].IEEESignal Processing Magazine,2014,31(4):142-148.
[6]Sayeed A,Brady J.Beamspace MIMO for high dimensional multiusercommunication at millimeter-wave frequencies[C].IEEE Global CommunicationsConference, 2013: 3679-3684.
[7]Han Y, Jin S, Li X, Huang YM. A joint SDMA and interferencesuppression multiuser transmission scheme for millimeter-wave massive MIMOsystems[C].International Conference on Wireless Communications and SignalProcessing, 2014
[8]Tse D, Viswanath P. Fundamentals of wireless communication[M].Cambridge,U.K.: Cambridge Univ. Press, 2005, ch. 7.
[9]Luo Z Q, Ma W K, Ye Y Y, et al. Semidefinite Relaxation ofQuadratic Optimization Problems[J]. IEEE Signal Processing Magazine, 2010, 27(3): 20-34.
[10]Grant M, Boyd S, Ye Y. (2009). CVX: MATLAB software fordisciplined convex programming. [Online]. Available: http://www.stanford.edu/～boyd/cvx
[11]Aharon B-T, Nemirovski A. Lectures on Modern Convex Optimization[M].MOS-SIAM Series on Optimization, 2001.。

Claims (3)

1.一种基于角度域变换的低复杂度3D波束成形算法，其特征在于具体步骤为：
(1)在单小区MU-MIMO下行广播信道场景下，建立最小化基站发射功率的优化模型，进行波束成形预编码设计；
(2)将原优化模型通过角度域变换转换为角度域上的等价优化问题进行处理；
(3)利用3D-MIMO信道角度域上的稀疏特性，对角度域波束成形优化问题进行降维处理，从而降低运算复杂度；
(4)降维后的优化问题，通过半定松弛(SDR)方法转化为半定规划(SDP)问题，从而通过凸优化工具求解；
(5)将角度域降维优化问题的解恢复为原始空间的波束成形预编码；
步骤(1)中建立最小化基站发射功率的优化模型的步骤为：
考虑由一个基站和K个用户构成的单小区MU-MIMO下行通信系统，基站离地面高度为hBS，装备有面阵天线，其中，水平天线阵元数目为Nh，阵元间距为dh；垂直天线阵元数目为Nv，阵元间距为dv；用户离基站的最小水平距离为Rmin，小区半径为Rmax，用户均匀分布在小区范围内；假设每个用户的高度均为hUE，并且只配备有单根天线；
对于下行传输场景，所有用户同时受到基站发出的信号，用户k接收到的信号为：
<mrow> <msub> <mi>y</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>h</mi> <mi>k</mi> <mi>H</mi> </msubsup> <msub> <mi>w</mi> <mi>k</mi> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <msup> <msub> <mi>h</mi> <mi>k</mi> </msub> <mi>H</mi> </msup> <msub> <mi>w</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，hk为基站到用户k间的信道系数，为第k个用户的波束成形预编码向量，xi是第k个用户的发送信号，满足nk为噪声并假设
于是，用户接收信号的信干噪比(SINR)表示为：
<mrow> <msub> <mi>SINR</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>|</mo> <msubsup> <mi>h</mi> <mi>k</mi> <mi>H</mi> </msubsup> <msub> <mi>w</mi> <mi>k</mi> </msub> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <mo>|</mo> <msubsup> <mi>h</mi> <mi>k</mi> <mi>H</mi> </msubsup> <msub> <mi>w</mi> <mi>i</mi> </msub> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
考虑在保证每个用户的信干噪比(SINR)门限的前提下，最小化基站的总发射功率于是建立优化问题模型如下：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <munder> <mi>min</mi> <msub> <mi>w</mi> <mi>k</mi> </msub> </munder> </mtd> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>w</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>s</mi> <mo>.</mo> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>|</mo> <msubsup> <mi>h</mi> <mi>k</mi> <mi>H</mi> </msubsup> <msub> <mi>w</mi> <mi>k</mi> </msub> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <mo>|</mo> <msubsup> <mi>h</mi> <mi>k</mi> <mi>H</mi> </msubsup> <msub> <mi>w</mi> <mi>i</mi> </msub> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <mi>K</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，γk为用户k的SINR门限；
步骤(2)中将原优化模型通过角度域变换转换为角度域上的等价优化问题进行处理的步骤为：
考虑对于第k个用户的下行信道，假设共有L条传播路径，第l条径的水平和垂直离开角(Angle of Departure,AoD)分别为和定义垂直维度和水平维度的角度投影分别为和其中dv和dh分别为面阵天线阵列的垂直和水平阵元间距，λ为载波波长；于是用户k的信道系数可以表示为：
<mrow> <msub> <mi>H</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mi>v</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>v</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mn>0</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>e</mi> <mi>h</mi> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>h</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mn>0</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>L</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mi>v</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>v</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>e</mi> <mi>h</mi> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>h</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <msup> <mi>C</mi> <mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>u</mi> </msub> <mo>&amp;times;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>h</mi> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，βk,0和βk,l分别为视距(Line of Sight,LOS)路径和非视距(NLOS)路径的路径损耗因子；ev(Ωv)和eh(Ωh)分别为均匀面阵天线阵列的垂直和水平导向矢量，其表达式如下：
<mrow> <msub> <mi>e</mi> <mi>v</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>v</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msqrt> <msub> <mi>N</mi> <mi>v</mi> </msub> </msqrt> </mfrac> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>j</mi> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;pi;&amp;Omega;</mi> <mi>v</mi> </msub> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>j</mi> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>v</mi> </msub> </mrow> </msup> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>,</mo> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>e</mi> <mi>h</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>h</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msqrt> <msub> <mi>N</mi> <mi>h</mi> </msub> </msqrt> </mfrac> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>j</mi> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;pi;&amp;Omega;</mi> <mi>h</mi> </msub> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>j</mi> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>h</mi> </msub> </mrow> </msup> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
在3D-MIMO场景中，主要的传播路径是直视路径(LOS)，即βk,0＞＞βk,l，其中l≥1；于是信道系数可以写为：
<mrow> <msub> <mi>H</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>&amp;ap;</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mi>v</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>v</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mn>0</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>e</mi> <mi>h</mi> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>h</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mn>0</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
进一步将信道系数改写成向量形式，表达式如下：
<mrow> <msub> <mi>h</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>v</mi> <mi>e</mi> <mi>c</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>H</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mi>h</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>h</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mn>0</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CircleTimes;</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>v</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>v</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mn>0</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，vec(A)表示由矩阵A中的各个列向量依次拼接而成的向量，代表克罗内特积运算符号；信道系数的角度域变换公式如下：
<mrow> <msubsup> <mi>H</mi> <mi>k</mi> <mi>a</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>U</mi> <mi>v</mi> <mi>H</mi> </msubsup> <msub> <mi>H</mi> <mi>k</mi> </msub> <msub> <mi>U</mi> <mi>h</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，为角度域上的信道系数矩阵，和分别为垂直和水平角度域变换矩阵，其表达式如下：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>U</mi> <mi>v</mi> </msub> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>v</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>v</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>N</mi> <mi>v</mi> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>v</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>v</mi> </msub> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>v</mi> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>U</mi> <mi>h</mi> </msub> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>h</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>h</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>N</mi> <mi>h</mi> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>h</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>h</mi> </msub> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>h</mi> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
Uv中的Nv个波束向量之间相互正交，它们共同构成垂直角度空间上的一组正交基；Uh中的Nh个波束向量之间相互正交，它们共同构成水平角度空间上的一组正交基；
下面给出向量形式的信道系数角度域变换：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>h</mi> <mi>k</mi> <mi>a</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <msup> <mi>U</mi> <mi>H</mi> </msup> <msub> <mi>h</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>U</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>U</mi> <mi>h</mi> <mo>*</mo> </msubsup> <mo>&amp;CircleTimes;</mo> <msub> <mi>U</mi> <mi>v</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将波束成形优化问题转换到角度域上，得到如下等价优化问题：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <munder> <mi>min</mi> <msub> <mi>w</mi> <mi>k</mi> </msub> </munder> </mtd> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mi>Uw</mi> <mi>k</mi> <mi>a</mi> </msubsup> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>s</mi> <mo>.</mo> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>|</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>h</mi> <mi>k</mi> <mi>a</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msubsup> <mi>w</mi> <mi>k</mi> <mi>a</mi> </msubsup> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <mo>|</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>h</mi> <mi>k</mi> <mi>a</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msubsup> <mi>w</mi> <mi>i</mi> <mi>a</mi> </msubsup> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <mi>K</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中表示角度域的波束成形预编码，表示角度域的信道系数向量；变换矩阵U为酉矩阵，具有保范性，优化目标可以进一步简化为
2.根据权利要求1所述的基于角度域变换的低复杂度3D波束成形算法，其特征在于：步骤(3)中对角度域波束成形优化问题进行降维处理的步骤为：
将中的元素按照降序排列，选出其中最大的na个值，作为用户k的信道的有效波束能量，并记录其在向量中的序号为然后，综合所有用户的有效波束序号，得到记集合idx中的元素数目为Nb，得到Nb≤Knb，当所有用户的前nb个最大能量波束都互不重叠时取等号；定义角度域信道降维矩阵如下：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>B</mi> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msubsup> <mi>b</mi> <msub> <mi>N</mi> <mi>t</mi> </msub> <msub> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </msub> </msubsup> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>b</mi> <msub> <mi>N</mi> <mi>t</mi> </msub> <msub> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msub> </msubsup> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>b</mi> <msub> <mi>N</mi> <mi>t</mi> </msub> <msub> <mi>i</mi> <msub> <mi>N</mi> <mi>b</mi> </msub> </msub> </msubsup> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>&amp;Element;</mo> <msup> <mi>R</mi> <mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>&amp;times;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>b</mi> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>b</mi> <msub> <mi>N</mi> <mi>t</mi> </msub> <mi>j</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <munder> <mrow> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>j</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <munder> <mrow> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>j</mi> </mrow> </munder> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
由于是稀疏的，只优化求解具有主要信道能量的波束处的角度域预编码值，而将其他波束对应的角度域预编码值置为零；于是提取出降维的角度域信道系数向量：
<mrow> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>k</mi> <mi>a</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <msup> <mi>B</mi> <mi>T</mi> </msup> <msubsup> <mi>h</mi> <mi>k</mi> <mi>a</mi> </msubsup> <mo>&amp;Element;</mo> <msup> <mi>C</mi> <mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>b</mi> </msub> <mo>&amp;times;</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
然后得到降维后的角度域优化问题如下：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <munder> <mi>min</mi> <msubsup> <mover> <mi>w</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>k</mi> <mi>a</mi> </msubsup> </munder> </mtd> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mover> <mi>w</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>k</mi> <mi>a</mi> </msubsup> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>s</mi> <mo>.</mo> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>|</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>k</mi> <mi>a</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msubsup> <mover> <mi>w</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>k</mi> <mi>a</mi> </msubsup> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <mo>|</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>k</mi> <mi>a</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msubsup> <mover> <mi>w</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mi>a</mi> </msubsup> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <mi>K</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，为降维后的角度域信道系数向量所对应的角度域预编码。
3.根据权利要求2所述的基于角度域变换的低复杂度3D波束成形算法，其特征在于：最后采用SDR方法求解出问题(14)的解，并转化为原空间的波束成形预编码，方法如下：
定义矩阵由于优化问题(14)转换为：
其中，表示矩阵A是半正定的，当舍弃限制条件rank(Wk)＝1时，上述优化问题转化为一个松弛的半定规划问题，可以利用凸优化工具包CVX有效求解；
将角度域降维优化问题的解记为对应的原空间预编码表示为：
<mrow> <msub> <mi>w</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>U</mi> <mi>B</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mover> <mi>w</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>k</mi> <mi>a</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>*</mo> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mi>K</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow>
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