CN104460340A - 一种大型球球度误差自动分离装置及其方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种大型球球度误差自动分离装置及其方法，利用单轴气浮台和气浮板代替圆度仪的功能来检测球度误差，气浮平板用于调整气浮球球心与单轴气浮台的回转轴线的偏心量，弧形支架与单轴气浮台的轴套基座固联，测微仪的安装在弧形支架上，保证测头的敏感方向指向球心。本发明建立了测微仪的读数与单轴气浮台的旋转角度、测微仪所在纬度角、单轴气浮台的倾角回转误差、径向回转误差、轴向回转误差、气浮球的安装偏心误差、气浮球的球度误差之间的函数关系，然后根据这个函数关系设计了误差分离方法。本装置实现大型球球度误差的检测；测量精度为0.4μm，本发明的方法，使分离出的球度误差更加准确、方便快捷。

Description

一种大型球球度误差自动分离装置及其方法

技术领域

本发明涉及非整球球度误差的测试的误差分离技术，具体涉及一种大型球球度误差自动分离装置及其方法。

背景技术

卫星是一类高风险、高投入和高效益的太空飞行器，为了降低其研究过程的风险以及节约其研究的成本，在对卫星控制系统研究的过程中需要进行大量的不同类型的地面仿真试验，用以检验卫星控制系统的功能，发现控制系统中的设计问题。

在对卫星控制系统的仿真中，依照所运用的评价标准的不同，可把其分为三种类型，数学仿真、半物理仿真和全物理仿真。虽然三者都是卫星研制过程中所使用的重要方法和手段，但全物理仿真还有其独到的用途。首先，在全物理仿真中，不仅卫星的姿态控制系统可以参与到仿真回路中，而且卫星的姿态执行系统也可以参与其中，这样可以有效地发现设计系统方案与实际执行机构之间可能存在的问题。其次，由于全物理仿真系统不要求必须建立精确的数学模型，这就可以避免在设计仿真系统时，一些实物数学模型难以建立所带来的困难。可直接将这些实物接入到仿真回路中，能够从仿真输出结果中直观的反映出这些实物对卫星控制系统性能的影响。最后，全物理仿真能够进行多体卫星动力学试验研究和自旋卫星晃动实验的研究，可以有效地验证研究方案的正确性，为实际运用各种研究方案提供了可能。

在进行卫星控制系统的全物理仿真时，由于实际卫星的地面仿真装置处在1g的重力加速度的作用下，要在地面精确的模拟出外太空环境的微重力和零力矩约束的环境是相当难的。借助于飞机的抛物线运动或者是落塔的实验装置可以得到微重力的试验环境，但是由于该方法作用时间过短(仅有几十秒)以及试验方法和装置比较特殊，不能够用于航天飞行器系统的试验中。而这一问题能够借助于三轴气浮转台得到很好的解决，它的工作原理是运用气浮轴承与轴承座之间的压缩空气在两者之间形成的间隙里空气的气膜的作用，使得气浮台悬浮，消除了重力影响以及构造了一个微摩擦的相对运动环境，从而可模拟外太空中微小干扰力矩(约为10^-6-10^-4Nm级)的特征。卫星控制系统的全物理仿真运用气浮台作为其姿态运动的模拟器，对卫星控制的实际系统展开的一系列的试验。该仿真能够验证稳定的三轴空间飞行器的控制率，对在初期的卫星研制过程中可能出现的问题进行仿真分析，以便能够使系统中可能出现的缺点在设计阶段及时的被发现，及时确定问题的解决方案。

三轴气浮台是卫星控制系统的全物理仿真的关键设备，而气浮台主要由气浮球和轴承座组成，而气浮球和轴承座的球度误差直接决定了仿真系统的精度。所以对气浮球和轴承座的球度检测，判断是否满足技术指标的要求，显得尤为重要。目前球度误差的检测都是采用圆柱度仪来测试。但是所涉及的球直径大，球直径达到SΦ624mm，目前国内很少有能够测试这么大球的球度误差的圆柱度仪，即使有也不能够满足高精度的检测要求。

发明内容

本发明中涉及一种大型球球度误差自动分离装置及其方法，主要目的是提高大型球球度误差的测试精度。本专利中提出的误差自动分离技术能够将测量装置的误差，包括轴系的倾角回转误差、轴线回转误差、径向回转误差、安装偏心误差从气浮球球度误差测试中的数据有效的分离出来，从而大大提高了球度误差的测试精度。

本发明所采用的技术如下：一种大型球球度误差自动分离装置，包括单轴气浮台和气浮平板，气浮平板包括平板底板、平板台体和平板台面，平板台面固定安装在平板台体上，平板台体和平板台面之间安装有密封圈，平板台体位于平板底板上方，平板台体的下平面安装有节流器，节流器与气源相连接，气浮平板安装在单轴气浮台的台面上，单轴气浮台的台面两侧安装有两个微调机构，能够调整平板台体的位置，被测气浮球安装在气浮平板上，平板台体处于悬浮状态时，通过微调机构调整平板台体的位置，对被测气浮球机械调心，调整被测气浮球的球心位于单轴气浮台的回转轴线上，弧形支架与单轴气浮台的轴套基座固联，测微仪的测头通过夹具安装在弧形支架上，测微仪的敏感方向为被测气浮球球面处的法线方向，误差小于1°，夹具在弧形支架的弧槽中自由滑动并能锁定在被测气浮球某纬度位置；单轴气浮台的倾角回转误差小于0.3″，径向回转误差小于0.5μm，轴向回转误差小于0.5μm。

本发明还具有如下技术特征：采用如上所述的装置得出的一种大型球球度误差的误差自动分离方法，步骤如下：

步骤一：气浮球的调心过程：

1)气浮平板接通气源，气浮板浮起，旋转单轴气浮台，调整测微仪测头，使敏感方向对准球心，在0°、90°、180°、270°位置，读取测微仪的读数，求取平均值；

2)旋转转台，调整气浮平板上的微调机构使测微仪的读数接近平均值；

3)气浮台转动90°，测微仪测头对准另一维微调机构，再调整微调机构使测微仪的读数接近于平均值。

重复步骤一中的1)、2)、3)步骤，直到将偏心量调整到小于5μm为止，然后锁定气浮平板上的微调机构，并切断气浮平板上的气源；

步骤二：球度误差的测试及误差分离：

1)将测微仪测头分别安装在被测气浮球的0°、30°、45°、60°纬度角，测微仪的敏感方向与球面法线方向一致，主轴每隔15°采样，记录测微仪读数x_j(j＝0，1，2，...，23)；

2)计算当测微仪在被测点处的敏感方向与该点在球面的法线方向一致时，测微仪到球心的距离，其中转台转角为γ时，测微仪的测头在主轴坐标系的齐次坐标为(d_x，d_y，d_z，1)，实际气浮球与测微仪的接触点的经度为-γ和纬度

3)去掉读数中的均值若回转误差只考虑安装偏心e_x、e_y和回转误差x_2c、x_2s、z_1c、z_1s、z_2c、z_2s这8个系数，得

4)将上式按照单轴气浮台的角位置离散化，得

其中γ_i＝2πi/n(i＝0，1...，23)

写成矩阵形式为

Y＝ΦX   (4)

其中量测向量为

Y＝[y(1，0)，...，y(1，23)，y(2，0)，...，y(2，23)，y(3，0)，...，y(3，23)，y(4，0)，...，y(4，23)]^T

误差系数向量为

X＝[e_x e_y x_2c x_2s z_1c z_1s z_2c z_2s θ_y2c θ_y2s]^T

结构矩阵为

根据最小二乘法，误差系数向量的估计值为

$\hat{X}={\left({\mathrm{\Φ}}^T\mathrm{\Φ}\right)}^{-1}{\mathrm{\Φ}}^{T}Y---\left(5\right)$

再求出各个测点残差向量为

ε＝Y-Φ(Φ^TΦ)^-1Φ^TY   (6)

即为球度误差。

本发明具有如下优点及有益效果：

采用自制的高精度单轴气浮台来代替圆度仪，以实现大型球球度误差的检测；本系统球度误差的实际测量精度为0.4μm，远高于三坐标测量机的测量精度提供了一种球度误差、轴系回转误差、安装误差的自动分离算法，使分离出的球度误差更加准确，而且方便快捷。

附图说明

图1为本实施1的总体装配图；

图2为气浮平板的机械结构图。

具体实施例

实施例1

一种大型球球度误差自动分离装置，包括单轴气浮台5和气浮平板，气浮平板包括平板底板1、平板台体2和平板台面3，平板台面3固定安装在平板台体2上，平板台体2和平板台面3之间安装有密封圈4，平板台体2位于平板底板1上方，平板台体2的下平面安装有节流器7，节流器7与气源相连接，气浮平板安装在单轴气浮台的台面上，单轴气浮台5的台面两侧安装有两个微调机构6，能够调整平板台体2的位置，被测气浮球8安装在气浮平板上，平板台体2处于悬浮状态时，通过微调机构6调整平板台体2的位置，对被测气浮球8机械调心，调整被测气浮球8的球心位于单轴气浮台的回转轴线上，弧形支架9与单轴气浮台的轴套基座固联，测微仪的测头10通过夹具11安装在弧形支架9上，测微仪的敏感方向为被测气浮球球面处的法线方向，误差小于1°，夹具11在弧形支架9的弧槽中自由滑动并能锁定在被测气浮球8某纬度位置；单轴气浮台的倾角回转误差小于0.3"，径向回转误差小于0.5μm，轴向回转误差小于0.5μm。

单轴气浮台相当于一个圆度仪，提供高精度的回转轴系，即使精度非常高，但对于检测球度小于1μm的球，对球度的检测精度仍然很大，所以必须采用误差分离技术。利用单轴气浮台测量球度时，被测气浮球与单轴气浮台的台面固联，考虑调心方便准确，在台面与球之间加上一调心装置，即气浮平板，用于调整气浮球球心与单轴气浮台的回转轴线的偏心量。利用单轴气浮台的高精度，并采用高精度的测微仪和一些工装，测量气浮球和轴承座的球度误差。本发明采用纬线圆法进行测量，测微仪测量的每个圆为不同的纬度圆。利用精密TESA测微仪对球面与测微仪的间隙的变化进行测量后，采用误差分离技术和相应的数据处理得到球度误差。本发明建立了测微仪的读数与单轴气浮台的旋转角度、测微仪所在纬度角、单轴气浮台的倾角回转误差、径向回转误差、轴向回转误差、气浮球的安装偏心误差、气浮球的球度误差之间的函数关系。然后根据这个函数关系设计了误差分离方法和相应的实现装置。

实施例2

误差分离模型的推导

为了将问题说明清楚，考虑转台的倾角回转误差、径向回转误差、轴向回转误差，等5维回转误差，其中径向回转误差定义为单轴气浮台延伸至气浮球球心处的径向回转误差，转台转角为γ时，测微仪的测头在主轴坐标系的齐次坐标为(d_x，d_y，d_z，1)，下面首先建立坐标系来分析如何求取测微仪的测头的齐次坐标。

(1)基准坐标系o₀x₀y₀z₀

固联在基座上的坐标系。单轴气浮台的平均回转轴线与气浮球球心所在的水平面的交点为坐标系的原点o₀，o₀z₀轴与平均回转轴线一致且竖直向上，o₀x₀与回转轴线垂直，测微仪测头的敏感方向与o₀x₀相同，o₀y₀由右手定则确定。

(2)主轴坐标系o₁x₁y₁z₁

它是与单轴气浮台的旋转轴固联的，随轴系旋转的瞬时坐标系。o₁z₁记为主轴的瞬时回转轴线，理想情况下，o₁x₁y₁z₁的初始方位与基准坐标系重合，它是在考虑主轴的两维径向回转误差Δx(γ)、Δy(γ)，两维倾角回转误差Δθ_x(γ)、Δθ_y(γ)和一维的轴向回转误差Δz(γ)，并绕回转轴旋转角度γ形成的，它相对于基准坐标系的齐次变换阵为：

$\begin{array}{c}{T_1}^0=\mathrm{Trans}(\mathrm{\Δx}\left(\mathrm{\γ}\right),\mathrm{\Δy}\left(\mathrm{\γ}\right),\mathrm{\Δz}\left(\mathrm{\γ}\right))\mathrm{Rot}(x,\mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_x\left(\mathrm{\γ}\right))\mathrm{Rot}(y,\mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_y\left(\mathrm{\γ}\right))\mathrm{Rot}(z,\mathrm{\γ})\\ =\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_y\left(\mathrm{\γ}\right)& \mathrm{\Δx}\left(\mathrm{\γ}\right)\\ 0& 1& -\mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_x\left(\mathrm{\γ}\right)& \mathrm{\Δy}\left(\mathrm{\γ}\right)\\ -\mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_y\left(\mathrm{\γ}\right)& \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_x\left(\mathrm{\γ}\right)& 1& \mathrm{\Δz}\left(\mathrm{\γ}\right)\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}\cos \mathrm{\γ}& -\sin \mathrm{\γ}& 0& 0\\ \sin \mathrm{\γ}& \cos \mathrm{\γ}& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}---\left(1\right)$

(3)气浮球体坐标系o₂x₂y₂z₂

固联在气浮球上，坐标原点为气浮球的球心，转台处于0位置时，o₂x₂与o₀x₂平行，考虑气浮球在转台安装面的三维偏心误差(e_x，e_y，e_z)后，它相对于主轴坐标系的齐次变换阵为：

$T_2^1=\mathrm{Trans}(e_x,e_y,e_z)=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& e_x\\ 0& 1& 0& e_y\\ 0& 0& 1& e_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(2\right)$

(4)测点所在坐标系o₃x₃y₃z₃

当转台回转至γ角位置时，而实际气浮球与测微仪的接触点的经度为-γ和纬度而且采用纬度圆测试时，测微仪的敏感方向与球面的法方向是一致的，定义o₃x₃与球面的法方向一致，o₃z₃与o₃y₃分别为经线圆与纬线圆的切线，坐标原点在球面上。o₃x₃y₃z₃是在o₂x₂y₂z₂的基础上，先绕z旋转-γ角，再绕y旋转纬度角然后沿方向平移半径加上球度误差而形成，它相对于气浮球坐标系的齐次变换阵为：

根据链式位姿传递关系可以得到测点所在坐标系相对于基准坐标系的齐次变换阵为

$T_3^0={T_1}^0{T}_2^1{T}_3^2---\left(4\right)$

测微仪的测点的坐标投影到基准坐标系可以表示为(d_x，d_y，d_z，1)

$\left[\begin{array}{c}{d}_x\\ d_y\\ d_z\\ 1\end{array}\right]=T_3^0\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]---\left(5\right)$

经过详细的推导，可以得出

当测微仪在被测点处的敏感方向与该点在球面的法线方向一致时，测微仪到球心的距离为

从公式(7)可以看出，如果去掉均值R，敏感法向位移的位移传感器的读数中包含球度误差、球的安装偏心误差、回转轴系的径向回转误差、轴向回转误差以及倾角回转误差的影响。从式(7)中可知，如果要准确测量球度误差一是将偏心量调整到远小于球度误差，且单轴气浮台的回转误差应小到忽略不计的程度，这点难以达到；二是精确测量偏心量和回转误差后，加以补偿，但测量回转误差和偏心量比较费时且费事，而回转误差和偏心量随时处在变化过程中；三是根据测微仪的读数建立的误差模型，采用相应的辨识方法将偏心量和回转误差辨识出来后加以补偿。本实施例采用第3种方法。

实施例3

步骤一：气浮球的安装过程：

1)安装气浮平板，将气浮球从轴承座中取出，翻转180°，使非整球的顶端朝上。

2)将气浮球安装在单轴气浮台上的气浮平板上。

3)将测微仪测头的弧形支架安装在单轴气浮台和气浮球的上方。安装测微仪测头。测微仪能在弧架的弧槽中滑动并锁定，且保证测微仪的敏感方向与球面法线方向一致，然后对气浮球调心。

步骤二：气浮球的调心过程：

4)气浮平板接通气源，气浮板浮起，旋转单轴气浮台，约在0°、90°、180°、270°，位置读取测微仪的读数，求取平均值。

5)调整测微仪测头，使敏感方向对准球心，旋转转台，调整气浮平板上的微调机构使测微仪的读数接近于平均值。

6)气浮台转动90°，测微仪测头对准另一维微调机构，再调整微调机构使测微仪的读数接近于平均值。

7)重复步骤二中的1)、2)、3)，直到将偏心量调整到小于5μm为止。

步骤三：球度误差的自动分离与补偿

1)将测微仪分别安装在球的0°、30°、45°、60°纬度角，主轴每隔15°采样TESA传感器输出，记录传感器读数x_j(j＝0，1，2，...，23)；

2)数据处理

根据公式(7)可得，当测微仪在被测点处的敏感方向与该点在球面的法线方向一致时，测微仪到球心的距离为

从公式(8)可以看出，测微仪的读数如果去掉均值后，还包括球的安装偏心e_x、e_y和回转误差x_2c、x_2s、z_1c、z_1s、z_2c、z_2s，如果回转误差只考虑上述8个系数，则

将上式按照单轴气浮台的角位置离散化得

其中γ_i＝2πi/n(i＝0，1，2，...，23)。写成矩阵的形式为

Y＝ΦX

其中量测向量为

Y＝[y(1，0)，...，y(1，23)，y(2，0)，...，y(2，23)，y(3，0)，...，y(3，23)，y(4，0)，...，y(4，23)]^T

误差系数向量为

X＝[e_x e_y x_2c x_2s z_1c z_1s z_2c z_2s θ_y2c θ_y2s]^T

结构矩阵为

根据最小二乘法，误差系数向量的估计值为

$\hat{X}={\left({\mathrm{\Φ}}^T\mathrm{\Φ}\right)}^{-1}{\mathrm{\Φ}}^{T}Y$

再求出各个测点残差向量为

ε＝Y-Φ(Φ^TΦ)^-1Φ^TY

即为球度误差。

实施例4

利用该发明的方法用测微仪测量球的0°、30°、45°、60°纬度角各24个数据如下表：

表1 球度误差测试的原始数据(单位：μm)

角位置(°)	0°	30°	45°	60°
					0	59.20	63.65	23.75	20.63
15	59.85	63.93	23.93	20.72
					30	60.31	64.16	24.05	20.80
45	60.65	64.35	24.13	20.79
					60	60.88	64.41	24.15	20.77
75	60.75	64.29	24.04	20.75
					90	60.35	64.07	23.86	20.57
105	59.48	63.58	23.55	20.35
					120	58.81	63.24	23.25	20.19
135	58.23	62.93	23.12	20.05
					150	57.95	62.78	22.99	19.94
165	58.01	62.70	22.93	19.89
					180	58.34	62.70	22.93	19.88
195	58.78	62.81	22.96	19.91
					210	59.19	62.96	23.04	19.93
225	59.46	63.15	23.10	19.98
					240	59.71	63.26	23.18	20.03
255	59.77	63.35	23.22	20.05
					270	59.72	63.35	23.19	20.05
285	59.52	63.24	23.20	20.03
					300	59.23	63.14	23.18	20.05
315	58.85	63.06	23.18	20.09
					330	58.66	63.07	23.23	20.17
345	58.68	63.19	23.34	20.25

辨识的误差系数为

X＝[e_x e_y x_2c x_2s z_1s z_2c z_2s Rθ_y2c Rθ_y2s]

＝[0.5223 0.2668 -0.6206 0.7879 0.0390 0.1898

-0.0340 0.2190 0.3419 -0.4679]μm

表2 球度误差处理结果(单位：μm)

角位置(°)	0°	30°	45°	60°
					0	-0.0509	0.0460	0.0781	0.1340
15	0.0708	0.0298	0.0498	0.0620
					30	0.0030	-0.0078	-0.0020	0.0183
45	-0.0451	0.0088	-0.0189	-0.0521
					60	0.0460	0.0374	0.0042	-0.0562
75	0.0765	0.0456	0.0028	0.0145
					90	0.1135	0.0954	0.0204	-0.0159
105	-0.1352	-0.0335	-0.0376	-0.0543
					120	-0.1370	0.0090	-0.0760	-0.0322
135	-0.1506	0.0294	0.0207	-0.0181
					150	-0.0876	0.0992	0.0484	-0.0217
165	0.0277	0.0980	0.0608	-0.0198
					180	0.1337	0.0397	0.0519	-0.0261
195	0.1478	-0.0100	0.0137	-0.0241
					210	0.0545	-0.0646	-0.0017	-0.0431
225	-0.1191	-0.0630	-0.0311	-0.0240
					240	-0.1396	-0.0763	-0.0097	0.0144
255	-0.1177	-0.0205	0.0120	0.0424
					270	0.0171	0.0273	-0.0039	0.0596
285	0.1499	0.0120	0.0307	0.0482
					300	0.2228	0.0017	0.0163	0.0486
315	0.1081	-0.0469	-0.0240	0.0259
					330	-0.0154	-0.1020	-0.0763	-0.0048
345	-0.1732	-0.1548	-0.1289	-0.0755

球度误差为-0.22μm-+0.17μm。

Claims (2)

1.一种大型球球度误差自动分离装置，包括单轴气浮台和气浮平板，其特征在于，气浮平板包括平板底板、平板台体和平板台面，平板台面固定安装在平板台体上，平板台体和平板台面之间安装有密封圈，平板台体位于平板底板上方，平板台体的下平面安装有节流器，节流器与气源相连接，气浮平板安装在单轴气浮台的台面上，单轴气浮台的台面两侧安装有两个微调机构，能够调整平板台体的位置，被测气浮球安装在气浮平板上，平板台体处于悬浮状态时，通过微调机构调整平板台体的位置，对被测气浮球机械调心，调整被测气浮球的球心位于单轴气浮台的回转轴线上，弧形支架与单轴气浮台的轴套基座固联，测微仪的测头通过夹具安装在弧形支架上，测微仪的敏感方向为被测气浮球球面处的法线方向，误差小于1°，夹具在弧形支架的弧槽中自由滑动并能锁定在被测气浮球某纬度位置；单轴气浮台的倾角回转误差小于0.3″，径向回转误差小于0.5μm，轴向回转误差小于0.5μm。

2.根据权利要求1所述的一种大型球球度误差自动分离装置得出的一种大型球球度误差的误差自动分离方法，其特征在于，方法步骤如下：

步骤一：气浮球的调心过程：

1)气浮平板接通气源，气浮板浮起，旋转单轴气浮台，调整测微仪测头，使敏感方向对准球心，在0°、90°、180°、270°位置，读取测微仪的读数，求取平均值；

2)旋转转台，调整气浮平板上的微调机构使测微仪的读数接近平均值；

3)气浮台转动90°，测微仪测头对准另一维微调机构，再调整微调机构使测微仪的读数接近于平均值。

重复步骤一中的1)、2)、3)步骤，直到将偏心量调整到小于5μm为止，然后锁定气浮平板上的微调机构，并切断气浮平板上的气源；

步骤二：球度误差的测试及误差分离：

1)将测微仪测头分别安装在被测气浮球的0°、30°、45°、60°纬度角，测微仪的敏感方向与球面法线方向一致，主轴每隔15°采样，记录测微仪读数x_j(j＝0，1，2，...，23)；

2)计算当测微仪在被测点处的敏感方向与该点在球面的法线方向一致时，测微仪到球心的距离，其中转台转角为γ时，测微仪的测头在主轴坐标系的齐次坐标为(d_x，d_y，d_z，1)，实际气浮球与测微仪的接触点的经度为-γ和纬度

3)去掉读数中的均值若回转误差只考虑安装偏心e_x、e_y和回转误差x_2c、x_2s、z_1c、z_1s、z_2c、z_2s这8个系数，得

4)将上式按照单轴气浮台的角位置离散化，得

其中γ_i＝2πi/n(i＝0，1...，23)

写成矩阵形式为

Y＝ΦX                          (4)

其中量测向量为

Y＝[y(1，0)，...，y(1，23)，y(2，0)，...，y(2，23)，y(3，0)，...，y(3，23)，y(4，0)，...，y(4，23)]^T

误差系数向量为

X＝[e_x e_y x_2c x_2s z_1c z_1s z_2c z_2s θ_y2c θ_y2s]^T

结构矩阵为

根据最小二乘法，误差系数向量的估计值为

$\hat{X}={\left({\mathrm{\Φ}}^T\mathrm{\Φ}\right)}^{-1}{\mathrm{\Φ}}^{T}Y---\left(5\right)$

再求出各个测点残差向量为

ε＝Y-Φ(Φ^TΦ)^-1Φ^TY                    (6)

即为球度误差。