CN104408266B - 一种基于计算机图形学的转子型线的设计方法 - Google Patents

Abstract

一种基于计算机图形学的转子型线的设计方法，涉及平面啮合型线的设计。可用于齿轮、螺杆转子、蜗杆、铣刀等类似产品的设计。利用包络原理计算了平面啮合型线的轨迹包络面，基于经典Bresenham算法原理用指定的颜色点亮了轨迹包络面在屏幕像素点阵中的最佳逼近像素点，通过轨迹包络面的位姿和整体轮廓放大倍数的调整实现了对其边界条件的设定，进一步放大轨迹包络面，并利用直线斜率控制了轨迹包络面的自动分段，通过捕捉屏幕像素点阵中指定颜色的临界像素点实现了平面啮合型线高精度数据的提取。能简单、快速实现平面啮合型线的设计，而且不会出现不稳定的情况。

Description

一种基于计算机图形学的转子型线的设计方法

技术领域

本发明涉及平面啮合型线的设计，尤其是涉及一种基于计算机图形学的转子型线的设计方法，本发明可适用于齿轮、螺杆转子、蜗杆、铣刀等类似产品的设计。

背景技术

经过多年积累，由于计算条件和计算水平的提高，结合加工能力和条件的改善，涌现出许多具有代表性的平面啮合型线的设计理论。因此，如何高效地设计与制造高精度的平面啮合型线变得尤为重要。许多学者在平面啮合型线的设计上做了深入的研究，吴序堂(吴序堂.齿轮啮合原理[M].第2版.西安:西安交通大学出版社,2009)归纳了两种计算共轭齿廓的方法：解析包络法和齿廓法线法，给出了刀具回转面与工件螺旋面接触条件的详细推算过程。邢子文(邢子文.螺杆压缩机—理论、设计及应用[M].北京:机械工业出版社,2000)通过对螺杆转子几何特性、热力特性的研究，实现了对螺杆转子型线的设计，还推导了转子与转子之间、转子与砂轮之间的接触条件式，得到了转子共轭齿廓、转子加工用刀具刃形的计算方法。Stosic.N(Stosic N,Smith I K,Kovacevic A,et al.Geometry ofscrew compressor rotors and their tools[J].Journal of Zhejiang UniversitySCIENCE A,2011,12(4):310-326；Stosic N,Smith I,Kovacevic A.Screw compressors:mathematical modelling and performance calculation[M].Springer,2005；StosicN.On gearing of helical screw compressor rotors[J].Proceedings of theInstitution of Mechanical Engineers,Part C:Journal of Mechanical EngineeringScience,1998,212(7):587-594)基于共轭原理对螺杆转子型线及其加工用刀具进行了设计，其最具代表性的设计是N型线。Spitas(Spitas V,Costopoulos T,Spitas C.Fastmodeling of conjugate gear tooth profiles using discrete presentation byinvolute segments[J].Mechanism and machine theory,2007,42(6):751-762)引入了一种把齿轮齿面离散成数段渐开线段的方法来确定共轭齿形，替代了用点对点的分析方法来解决接触路径、加工齿条的几何形状和磨削用成形刀具计算等问题。然而，根据共轭理论所建立的模型在求解过程中存在两方面问题：一方面约束条件用数学模型描述和求解复杂，另一方面是在发生根切或者双包络时在奇异点附近会出现数值不稳定的现象。许多学者欲寻求一种更简单、可靠的方法来设计高精度的螺杆转子型线。其中，Wu(Wu Y R,Fong Z H,Zhang Z X.Simulation of a cylindrical form grinding process by the radial-rayshooting(RRS)method[J].Mechanism and Machine Theory,2010,45(2):261-272)提出了一种基于解析计算的径向射线法(RRS)来替代共轭原理的计算过程，径向射线法能够模拟齿轮、螺杆转子的成形磨削过程，并通过计算径向射线与包络曲线簇交叉点来实现对仿真后齿廓上各点的提取，但Wu并没有提到径向射线与包络曲线簇交叉点的计算过程。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于计算机图形学的转子型线的设计方法。

本发明包括以下步骤：

1)设定已知阴转子型线，用包络原理得到已知阴转子型线作行星运动的轨迹；

2)对转子型线行星运动形成的扫掠面进行初次位姿调整和放大，放大倍数记为K₁，然后根据Bresenham原理，用黑色点亮屏幕像素点阵中最佳逼近的像素点，其中屏幕底色为白色；

3)对屏幕的像素点阵进行初扫描，捕捉起点P₀、起点附近点、终点P_e的坐标值，同时令P_i,0＝P₀，其中i＝0,1,2,...,m，m为扫掠面的分段区间数，此时令i＝0；

4)根据P_i,0及其附近点的坐标计算其斜率k；

5)根据斜率k值对扫掠面进行分段、平移、放大，放大倍数记为K₂，若k＞0，则P_i,0置于屏幕左下角；反之，置于左上角，对分段、平移、放大后的扫掠面进行逐个像素点阵的扫描，捕捉得到点集的坐标，其中，分别为扫掠面第i个分段区间的任意时刻点、终点；

6)设O-XY为扫掠面的整体坐标系，若令i＝i+1，重复步骤4)和5)；若则扫描结束；所有捕捉的分段区间点集在同一个坐标系下的表示为：

其中，j＝0,1,2,...,i-1，为点的横坐标，为点P_e的横坐标，为在整体坐标系O-XY下的坐标值，为在分段坐标系P_i-x_iy_i下的坐标值；

7)由上述方法捕捉到的数据点是不光滑的，可对其进行进一步的光顺处理，光顺处理后的数据再完成最后的拼接，拼接原则是保证连接处的一阶导数相等；

8)最后形成阳转子型线，将得到的阳转子型线与阳转子的理论型线进行对比，对比得到的齿廓的法向误差。

本发明的优点如下：

传统的平面啮合型线设计方法虽取得了一定的成果，但在计算啮合条件或者啮合线的时候会出现奇异点或者双包络等计算不稳定的情况。然而本发明能够简单、快速实现平面啮合型线的设计，而且不会出现不稳定的情况。

附图说明

图1为直线的扫描转换。

图2为中点偏差判别式。

图3为中点偏差判别式的递推：d_i＜0。

图4为中点偏差判别式的递推：d_i≥0。

图5为求取共轭齿廓示意图。

图6为阴转子包络曲线簇。

图7为阴转子型线的行星运动轨迹。

图8为位姿调整以及边界点数据的捕捉。

图9为扫掠面像素点阵的扫描：k＞0。

图10为扫掠面像素点阵的扫描：k＜0。

图11为数据点集的坐标变换。

图12为扫掠面的所有数据。

图13为光顺后的阳转子型线。

图14为转子型线的法向误差。

图15为阴转子齿廓。

图16为阳转子齿廓。

图17为阳转子法向齿廓误差。

具体实施方式

以下实施例将结合附图对本发明作进一步的说明。

1、设计方法的原理

1.1Bresenham算法原理

直线、圆和椭圆是图形设计的最基本图元，根据图形显示器的显示原理和真实感图形生成技术的需要出发，需要使用像素点函数来绘制这些图元。现有的图形显示器不能从像素点阵的一个可编像素点直接画一条直线到达另一个可编址的像素点，只能用靠近这条直线的像素点集来近似地表示这条直线。图形的扫描转换就是在屏幕像素点阵中用指定颜色点亮最佳逼近于理想图形像素点集的过程。本专利选用的是直线的扫描转换，如图1所示，对于连续理想的直线，不能直接在图形显示器上会出，只能用点亮了的像素点集近似地逼近。从图中可以看出，点亮了的像素点都是离直线距离最近的像素点。为实现直线的快速绘制，采用了Bresenham算法来实现直线的扫描转换。直线的中点Bresenham算法的原理：每次在主位移方向上走一步，另一方向上走不走步取决于中点偏差判别式的值。

1.1.1构造中点偏差判别式

给定理想直线的起点坐标为P₀(x₀,y₀)，终点坐标为P₁(x₁,y₁)，则直线的隐函数方程为：

F(x,y)＝y-kx-b＝0 (1)

其中，k为直线的斜率，b为直线在y方向上的截距。

假定直线的当前点是P(x_i,y_i)，沿主位移x方向走一步，下一点只能在点P_u(x_i+1,y_i+1)和点P_d(x_i+1,y_i)两点中选取。P_u和P_d的中点为M(x_i+1,y_i+0.5)，如图2所示，显然，若中点M在理想直线的下方，则P_u点距离直线近，点亮P_u；否则点亮P_d。

从当前点P(x_i,y_i)走第一步后，为了进行下一像素点的选取，需将P_u和P_d的中点M(x_i+1,y_i+0.5)代入隐函数方程，构造当前点的中点偏差判别式d_i：

d_i＝F(x_M,y_M)＝F(x_i+1,y_i+0.5)＝y_i+0.5-k(x_i+1)-b (2)

当d_i＜0时，中点M在直线的下方，P_u点离直线距离近，下一像素点应点亮P_u，即y方向上走一步；当d_i＞0时，中点M在直线的上方，P_d点离直线距离近，下一像素点应点亮P_d，即y方向上不走步；当d_i＝0时，中点M在直线上，P_u、P_d与直线的距离相等，点亮P_u或P_d均可，约定取P_d，因此：

1.1.2递推公式

图2中，根据当前点P(x_i,y_i)确定下一点是点亮P_u还是点亮P_d时，使用了中点偏差判别式d_i。为了能够继续判断直线上的每一个点，需要给出中点偏差判别式的递推公式和初始值。在主位移x方向上已走一步的情况下，考虑沿主位移方向再走一步，应该选择哪个中点代入中点偏差判别式以决定下一步该点亮的像素，分两种情况讨论：

1)如图3所示，当d_i＜0时，下一步进行判断的中点坐标为M(x_i+2,y_i+1.5)。所以下一步中点偏差判别式为

2)如图4所示，当d_i≥0时，下一步的中点坐标为M(x_i+2,y_i+0.5)。所以下一步中点偏判别式为

1.2包络原理

以螺杆转子为例：

设已知阴转子的齿廓，为求与之共轭的阳转子的齿廓。如图5所示，给两个转子都加以一个-w₁的旋转角速度。此时，两转子的相互运动关系仍保持不变，但阳转子将静止不动，而阴转子将作行星运动：一个是阴转子中心O₂以角速度w₁绕阳转子中心O₁的公转运动，另一个是以角速度w₂绕其自身中心O₂的自转运动。阴转子的行星运动包络出了阳转子的齿廓，如图6所示阳转子齿廓。

2、设计方法的主要步骤

以螺杆转子为例：

1)设定已知阴转子型线，用包络原理得到已知阴转子型线作行星运动的轨迹，如图7所示。

2)对转子型线行星运动形成的扫掠面进行初次位姿调整和放大(放大倍数K₁)。然后根据Bresenham原理，用黑色点亮屏幕像素点阵中最佳逼近的像素点，其中屏幕底色为白色，并如图8所示。

3)对屏幕的像素点阵进行初扫描，捕捉起点P₀、起点附近点、终点P_e的坐标值，同时令P_i,0＝P₀，其中i＝0,1,2,...,m，m为扫掠面的分段区间数，此时令i＝0。

4)根据P_i,0及其附近点的坐标计算其斜率k。

5)根据斜率k值对扫掠面进行分段、平移、放大(放大倍数K₂)，若k＞0，则P_i,0置于屏幕左下角；反之，置于左上角。对分段、平移、放大后的扫掠面进行逐个像素点阵的扫描，捕捉得到点集的坐标，其中，分别为扫掠面第i个分段区间的任意时刻点、终点，如图9、图10所示。

6)如图11示，O-XY为扫掠面的整体坐标系。若令i＝i+1，重复步骤(4)、(5)；若则扫描结束。所有捕捉的分段区间点集在同一个坐标系下的表示为：

其中，j＝0,1,2,...,i-1，为点的横坐标，为点P_e的横坐标，为在整体坐标系O-XY下的坐标值，为在分段坐标系P_i-x_iy_i下的坐标值。

7)如图12所示，由上述方法捕捉到的数据点是不光滑的，可对其进行进一步的光顺处理，光顺后的数据再完成最后的拼接，拼接原则是保证连接处的一阶导数相等。

8)最后形成的阳转子型线如图13所示。最后，将得到的阳转子型线同阳转子的理论型线进行对比，对比得到的齿廓的法向误差如图14所示。

以下给出加工实例：

下面以某公司的一对专利转子型线为例，来验证上述理论的正确性。阴、阳转子的参数如表1所示，其齿廓形状如图15、图16所示。设已知阴转子型线，欲求阳转子型线。

表1转子结构参数

在数据采集过程中，选用的屏幕分辨率为1600×900，设定屏幕底色为白色，点亮屏幕中扫掠面用的颜色为黑色。在对扫掠面进行放大时，选用的放大倍数为K₁＝34、K₂＝1000。按照上述详细步骤执行完之后采集的到阳转子型线数据点数38152，将光顺处理后的阳转子型线与理论阳转子型线对比，法向齿廓误差如图17所示。

本发明利用Bresenham原理点亮轨迹包络面在屏幕像素点阵中的像素点，利用斜率实现对轨迹包络面的自动平移和放大，屏幕像素点阵中像素点的捕捉方式，捕捉的分段点集在同一个坐标系下的表示方式，本发明可用于齿轮、螺杆转子、铣刀、蜗杆等类似产品的快速设计。

Claims (1)

1.一种基于计算机图形学的转子型线的设计方法，其特征在于包括以下步骤：

1)设定已知阴转子型线，用包络原理得到已知阴转子型线作行星运动的轨迹；

2)对转子型线行星运动形成的扫掠面进行初次位姿调整和放大，放大倍数记为K₁，然后根据Bresenham原理，用黑色点亮屏幕像素点阵中最佳逼近的像素点，其中屏幕底色为白色；

3)对屏幕的像素点阵进行初扫描，捕捉起点P₀、起点附近点、终点P_e的坐标值，同时令P_i,0＝P₀，其中i＝0,1,2,...,m，m为扫掠面的分段区间数，此时令i＝0；

4)根据P_i,0及其附近点的坐标计算其斜率k；

5)根据斜率k值对扫掠面进行分段、平移、放大，放大倍数记为K₂，若k＞0，则P_i,0置于屏幕左下角；反之，置于左上角，对分段、平移、放大后的扫掠面进行逐个像素点阵的扫描，捕捉得到点集的坐标，其中，分别为扫掠面第i个分段区间的任意时刻点、终点；

6)设O-XY为扫掠面的整体坐标系，若令i＝i+1，重复步骤4)和5)；若则扫描结束；所有捕捉的分段区间点集在同一个坐标系下的表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{X}_{i,t_i}=\underset{j=0}{\overset{i-1}{\Σ}}{x}_{j,n_j}+x_{i,t_i}\\ Y_{i,t_i}=\underset{j=0}{\overset{i-1}{\Σ}}{y}_{j,n_j}+y_{i,t_i}\end{array}\right.---\left(12\right)$

其中，j＝0,1,2,...,i-1，为点的横坐标，为点P_e的横坐标，为在整体坐标系O-XY下的坐标值，为在分段坐标系P_i-x_iy_i下的坐标值；

7)由上述方法捕捉到的数据点是不光滑的，对其进行进一步的光顺处理，光顺处理后的数据再完成最后的拼接，拼接原则是保证连接处的一阶导数相等；

8)最后形成阳转子型线，将得到的阳转子型线与阳转子的理论型线进行对比，对比得到的齿廓的法向误差。