CN104361231A - 一种复杂网络中的谣言传播控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种复杂网络中的谣言传播控制方法，在SIR模型为基础上建立一个新的谣言传播模型，考虑到感染率随着传播谣言节点数量增加反而下降，引入一个分段函数来描述感染率，这样就能更准确得描述复杂网络中的谣言传播行为。其次，在该新模型的基础上，引入一个最优控制变量，通过数学方法可以求出最优控制变量，将最优控制变量加入到该模型中，可以使得尽量多的健康节点转变为免疫节点，从而使网络中传播谣言的节点最少，达到控制谣言传播的目的。

Description

一种复杂网络中的谣言传播控制方法

技术领域

本发明属于复杂网络传播动力学领域，更为具体地讲，涉及一种复杂网络中的谣言传播控制方法。

背景技术

复杂网络是指具有复杂拓扑结构和动力学行为的大规模网络，它是由大量的节点通过边的相互连接而构成的图。例如，

因特网、生物网络、无线通讯网络、高速公路网、电力网络、流行病和谣言传播网络等都是复杂网络。

传播动力学的基本研究对象是动力学模型在不同网络上的性质与相应网络的静态统计性质的联系，包括已知和未知的静态几何量。而像传染病、谣言的传播过程的研究不能像其他一些学科一样，通过在人群中做实验的方式获得数据，相关数据、资料只能从已有的报告和记录中获取，而这些数据往往不够全面和充分，很难根据这些数据准确地确定某些参数，进行预报和控制工作。因此通过合理的网络模型产生数据并在此基础上进行理论和数值研究，是当前传播动力学的重要研究方法。

一般而言，谣言都被看作一种类似病毒的事物，因此也常借鉴传染病传播模型研究谣言的传播。目前研究最彻底、应用最广泛的传播模型是SIR模型。SIR模型适合于染病者在治愈后可以获得终生免疫力，或者染病者几乎不可避免走向死亡(如艾滋病)的情形。由于谣言一旦被识破，人们自然会具有免疫力，不再相信和传播，因此一般谣言传播模型都是以SIR模型为基础的。

Sudbury最早借鉴SIR模型研究谣言的传播，SIR模型为：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dS}}{\mathrm{dt}}=b-\mathrm{\αSI}-\mathrm{\μS}\\ \frac{\mathrm{dI}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{\αSI}-\mathrm{\βI}-\mathrm{\μI}\\ \frac{\mathrm{dR}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{\βI}-\mathrm{\μR}\end{array}\right.$

其中个体被划分为三类：S(易感个体)，(I染病个体)，R(免疫个体)分别对应谣言传播过程中未听说过谣言的个体，听说并传播谣言的个体，听说但无兴趣传播或不相信谣言的个体。

在实际传播中，易感个体只有通过接触染病个体才能被传染，把每个个体用一个节点代表，两个个体可能接触就在两节点之间连一条边，当一个易感节点的相邻节点是染病节点时，谣言就会以一定概率感染易感节点。因此，只要知道谣言传播理论模型，就可以对社会谣言传播进行的分析、预测和控制。

然而，SIR经典模型是比较理想化的，没有考虑到感染率是变化的，而不是不变的。Capasso和Serio对1973年霍乱在意大利巴里的传播进行研究时，发现随着感染者I的增加，感染率反而下降。因此SIR经典模型过于理想化，并不能很好的描述复杂网络中的谣言传播行为。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的不足，提供一种复杂网络中的谣言传播控制方法，通过将logistic增长规律引入到经典SIR谣言传播模型上，建立谣言传播模型，再加入最优控制变量对谣言传播模型进行最优控制，从而减少谣言传播节点的数量。

为实现上述发明目的，本发明一种复杂网络中的谣言传播控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)、建立谣言传播模型

将logistic增长规律引入到SIR谣言传播模型上，建立谣言传播模型：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dS}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{\γS}(1-\frac{S}{k})-\mathrm{\αSI}-\mathrm{\μS}\\ \frac{\mathrm{dI}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{\αSI}-\mathrm{\βI}-\mathrm{\μI}\\ \frac{\mathrm{dR}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{\βI}-\mathrm{\μR}\end{array}\right.---\left(a\right)$

其中，S表示时间t内健康节点数量，I表示时间t内传播节点数量，R表示时间t内免疫节点数量，α表示当谣言传播节点与健康节点接触时健康节点以概率α变为传播节点I，β表示当谣言传播节点与免疫节点接触时传播节点以概率β变为免疫节点，μ表示单位时间移出现有网络的用户数量，将网络中所有的节点看成一个群体，则γ为这个群体的内在增长率且γ＞μ，k为环境容量；

设α是固定的，则健康节点S转变为传播节点I可用分段函数T(I)表示为：

$T\left(I\right)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{\&alpha;I}& I<I_0\\ \mathrm{\&alpha;}{I}_0& I>=I_0\end{array}\right.,$ 其中，I₀表示当健康节点S转变为传播节点I的数量达到饱和时的传播节点I的个数，用T(I)来替代谣言传播模型中的αI，则谣言传播模型可以表示为：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dS}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{\&gamma;S}(1-\frac{S}{k})-\mathrm{ST}\left(I\right)-\mathrm{\&mu;S}\\ \frac{\mathrm{dI}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{ST}\left(I\right)-\mathrm{\&beta;I}-\mathrm{\&mu;I}\\ \frac{\mathrm{dR}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{\&beta;I}-\mathrm{\&mu;R}\end{array}\right.---\left(b\right)$

(2)、求解最优控制变量

引入控制变量u(t)，u(t)∈U_ad，U_ad表示控制空间且U_ad＝{u(t):0≤u(t)≤1,t∈[0,t_end]}；

建立目标泛函数J(u)，τ表示控制预算参数，且选取合适的控制变量u(t)，使得目标泛函数达到最小，即求解出最优控制变量，记为：u^*(t)；

(3)、控制谣言传播节点I的数量

将最优控制变量u^*(t)加入到谣言传播模型(b)中，得到受控下的微分方程组，如下：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{dS}}^{*}}{\mathrm{dt}}={\mathrm{\&gamma;S}}^{*}(1-\frac{S^{*}}{k})-S^{*}T\left(I\right)-{\mathrm{\&mu;S}}^{*}-u^{*}\left(t\right)S^{*}\\ \frac{{\mathrm{dI}}^{*}}{\mathrm{dt}}=S^{*}T\left(I\right)-{\mathrm{\&beta;I}}^{*}-{\mathrm{\&mu;I}}^{*}\\ \frac{{\mathrm{dR}}^{*}}{\mathrm{dt}}={\mathrm{\&beta;I}}^{*}-{\mathrm{\&mu;R}}^{*}+u^{*}\left(t\right)S^{*}\end{array}\right.$

其中，S^*、I^*、R^*分别表示在时间t内受控下的健康节点、传播节点、免疫节点数量，再通过求解微分方程组可以看到加入最优控制变量u^*(t)之后，谣言传播节点I的数量得到控制。

本发明的发明目的是这样实现的：

本发明一种复杂网络中的谣言传播控制方法，在SIR模型为基础上建立一个新的谣言传播模型，考虑到感染率随着传播谣言节点数量增加反而下降，引入一个分段函数来描述感染率，这样就能更准确得描述复杂网络中的谣言传播行为。其次，在该新模型的基础上，引入一个最优控制变量，通过数学方法可以求出最优控制变量，将最优控制变量加入到该模型中，可以使得尽量多的健康节点转变为免疫节点，从而使网络中传播谣言的节点最少，达到控制谣言传播的目的。

本发明一种复杂网络中的谣言传播控制方法还具有以下有益效果：

(1)通过对经典SIR谣言传播模型的改进，更准确地描述了复杂网络中的谣言传播行为，为谣言传播的分析及控制提供了理论依据。

(2)通过引入适当的最优控制变量，对谣言传播进行控制，使得尽量多的健康节点转变为免疫节点，从而使网络中传播谣言的节点最少，达到控制谣言传播的目的。

附图说明

图1是本发明一种复杂网络中的谣言传播控制方法的流程图；

图2是最优控制变量随时间的变化图；

图3是加入最优控制变量前后健康节点S随时间的变化对比图；

图4是加入最优控制变量前后传播谣言节点I随时间的变化对比图；

图5是加入最优控制变量前后免疫节点R随时间的变化对比图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施方式进行描述，以便本领域的技术人员更好地理解本发明。需要特别提醒注意的是，在以下的描述中，当已知功能和设计的详细描述也许会淡化本发明的主要内容时，这些描述在这里将被忽略。

实施例

图1是本发明一种复杂网络中的谣言传播控制方法的流程图。

在本实施例中，如图1所示，本发明一种复杂网络中的谣言传播控制方法，主要包括以下步骤：

S1、建立谣言传播模型；

S2、获取最优控制变量；

S3、抑制谣言传播。

下面针对上述三个步骤对本发明作具体阐述，如下：

S1、建立谣言传播模型。

在现实生活中，单位时间内加入网络的用户数量是不固定的，有研究已经表明，用户数量的增长类似生物种群中人口增长，符合logistic增长规律，因此将logistic增长规律引入到SIR谣言传播模型上，建立谣言传播模型：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dS}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{\&gamma;S}(1-\frac{S}{k})-\mathrm{\&alpha;SI}-\mathrm{\&mu;S}\\ \frac{\mathrm{dI}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{\&alpha;SI}-\mathrm{\&beta;I}-\mathrm{\&mu;I}\\ \frac{\mathrm{dR}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{\&beta;I}-\mathrm{\&mu;R}\end{array}\right.---\left(a\right)$

其中，S表示时间t内健康节点数量，I表示时间t内传播节点数量，R表示时间t内免疫节点数量，α表示当谣言传播节点与健康节点接触时健康节点以概率α变为传播节点I，β表示当谣言传播节点与免疫节点接触时传播节点以概率β变为免疫节点，μ表示单位时间移出现有网络的用户数量，将网络中所有的节点看成一个群体，则γ为这个群体的内在增长率且γ＞μ，k为环境容量；

在此基础上，考虑到α是固定的，那么随着传播节点I的增加，从健康节点转变为传播节点的用户数量不符合线性增加的规律，因为随着I的增加，健康节点转变为传播节点的数量将慢慢达到饱和，而不会一直线性的增加，所以，用一个分段函数T(I)来替代谣言传播模型中的αI，则谣言传播模型可以表示为：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dS}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{\&gamma;S}(1-\frac{S}{k})-\mathrm{ST}\left(I\right)-\mathrm{\&mu;S}\\ \frac{\mathrm{dI}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{ST}\left(I\right)-\mathrm{\&beta;I}-\mathrm{\&mu;I}\\ \frac{\mathrm{dR}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{\&beta;I}-\mathrm{\&mu;R}\end{array}\right.---\left(b\right)$

其中， $T\left(I\right)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{\&alpha;I}& I<I_0\\ \mathrm{\&alpha;}{I}_0& I>=I_0\end{array}\right.,$ I₀表示当健康节点S转变为传播节点I的数量达到饱和时的传播节点I的个数；

S2、求解最优控制变量。

减少谣言的传播的一个有效的措施就是对易受感染的人进行宣传、教育，从而使得这部人(对应健康节点S)直接转变为对谣言具有免疫的人(对应免疫节点R)，因此引入控制变量u(t)，u(t)∈U_ad，U_ad＝{u(t):0≤u(t)≤1,t∈[0,t_end]}；

本实施例中，如图2所示，展示了最优控制变量随时间的变化。从图中可以看到，随着时间的增加，最优控制变量是在不断的变化的，因此选取的最优控制变量是不同的，这就给现实中谣言控制提供了理论参考，在不同的时间段采取的宣传教育力度应该随时间调整，以达到该段时间内传播谣言的人累积最少的目的；

我们的目标是，通过选择适当的控制变量u(t)，使得网络中传播谣言的人(对应传播节点I)的数量I最小，为达到这一目的，我们建立目标范函数J(u)， $J\left(u\right)=\underset{0}{\overset{t_{\mathrm{end}}}{\&Integral;}}[I\left(t\right)+{\mathrm{\&tau;u}}^2\left(t\right)]\mathrm{dt},$ τ表示控制预算参数，且 $0<\mathrm{\&tau;}<\frac{\mathrm{\&gamma;S}(1-\frac{S}{k})}{\mathrm{\&mu;}},$ 通过选取合适的控制变量u(t)，使得目标范函数达到最小，即求解出最优控制变量，记为：u^*(t)；

其中，目标范函数J(u)存在的条件为：

(2.1)、谣言传播模型(a)有解；

(2.2)、U_ad＝{u(t):0≤u(t)≤1,t∈[0,t_end]}是闭的凸集；

(2.3)、谣言传播模型(b)的右边是连续且有界的，可以被写成为一个关于u的线性函数；

(2.4)、目标范函数的被积函数L[I(t),u(t)]在U_ad上是凹函数，且存在一个常数ρ＞1和正数η₁,η₂，使得被积函数L[I(t),u(t)]满足：L(I(t),u(t))≥η₁+η₂(|u(t)|²)^ρ/2；

其次，最优控制变量u^*(t)求解方法为：

定义Hamiltonian函数:

$H\left(t\right)=I\left(t\right)+\frac{1}{2}{\mathrm{\&tau;u}}^2\left(t\right)+{\mathrm{\&lambda;}}_1\left(t\right)[\mathrm{\&gamma;S}(1-\frac{S}{k})-\mathrm{ST}\left(I\right)-\mathrm{\&mu;S}-\mathrm{uS}]+{\mathrm{\&lambda;}}_2\left(t\right)[\mathrm{ST}\left(I\right)-\mathrm{\&beta;I}-\mathrm{\&mu;I}]+{\mathrm{\&lambda;}}_3\left(t\right)[\mathrm{\&beta;I}-\mathrm{\&mu;R}+\mathrm{uS}]$

其中，λ_i(t)是带有下列方程的连接函数：

$\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{d\&lambda;}}_1\left(t\right)}{\mathrm{dt}}=-\frac{\&PartialD;H}{\&PartialD;S}=-\left[{\mathrm{\&lambda;}}_1\left(t\right)\right(\mathrm{\&gamma;}-\frac{2\mathrm{\&gamma;}}{k}S-T\left(I\right)-\mathrm{\&mu;}-u)+{\mathrm{\&lambda;}}_2\left(t\right)T\left(I\right)+{\mathrm{\&lambda;}}_3\left(t\right)u]\\ \frac{{\mathrm{d\&lambda;}}_2\left(t\right)}{\mathrm{dt}}=-\frac{\&PartialD;H}{\&PartialD;I}=\left\{\begin{array}{c}-[1+{\mathrm{\&lambda;}}_1\left(t\right)\mathrm{\&alpha;S}+{\mathrm{\&lambda;}}_2\left(t\right)(\mathrm{\&alpha;S}-\mathrm{\&beta;}-\mathrm{\&mu;})+{\mathrm{\&lambda;}}_3\left(t\right)\mathrm{\&beta;}],I<I_0\\ -[1+{\mathrm{\&lambda;}}_2\left(t\right)(-\mathrm{\&beta;}-\mathrm{\&mu;})+{\mathrm{\&lambda;}}_3\left(t\right)\mathrm{\&beta;}],I>I_0\end{array}\right.\\ \frac{{\mathrm{d\&lambda;}}_3\left(t\right)}{\mathrm{dt}}=-\frac{\&PartialD;H}{\&PartialD;R}={\mathrm{\&lambda;}}_3\left(t\right)\mathrm{\&mu;}\end{array}$

且λ_i(t_end)＝0,i＝1,2,3；

根据目标泛函数J(u)取极值的条件即： $\frac{\&PartialD;H}{\&PartialD;u}={\mathrm{\&tau;u}}^{*}\left(t\right)-{\mathrm{\&lambda;}}_1\left(t\right)S^{*}+{\mathrm{\&lambda;}}_3\left(t\right)S^{*}=0$ 得到 $u^{*}\left(t\right)=\frac{S^{*}}{\mathrm{\&tau;}}({\mathrm{\&lambda;}}_1\left(t\right)-{\mathrm{\&lambda;}}_3\left(t\right));$

在控制空间U_ad＝{u(t):0≤u(t)≤1,t∈[0,t_end]}上，再将u^*(t)改写为：

$u^{*}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}0,& \frac{\&PartialD;H}{\&PartialD;u}<0\\ \frac{S^{*}}{\mathrm{\&tau;}}({\mathrm{\&lambda;}}_1\left(t\right)-{\mathrm{\&lambda;}}_3\left(t\right)),& \frac{\&PartialD;H}{\&PartialD;u}=0\\ 1,& \frac{\&PartialD;H}{\&PartialD;u}>0\end{array}\right.$

也即是

$u^{*}\left(t\right)=\max \left\{\min \right\{\frac{{(\mathrm{\&lambda;}}_1\left(t\right)-{\mathrm{\&lambda;}}_3\left(t\right))S^{*}}{\mathrm{\&tau;}},1\},0\};$

S3、抑制谣言传播。

本实施例中，将步骤S2求解的最优控制变量u^*(t)加入到谣言传播模型(b)中，得到受控下的微分方程组，如下：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{dS}}^{*}}{\mathrm{dt}}={\mathrm{\&gamma;S}}^{*}(1-\frac{S^{*}}{k})-S^{*}T\left(I\right)-{\mathrm{\&mu;S}}^{*}-u^{*}\left(t\right)S^{*}\\ \frac{{\mathrm{dI}}^{*}}{\mathrm{dt}}=S^{*}T\left(I\right)-{\mathrm{\&beta;I}}^{*}-{\mathrm{\&mu;I}}^{*}\\ \frac{{\mathrm{dR}}^{*}}{\mathrm{dt}}={\mathrm{\&beta;I}}^{*}-{\mathrm{\&mu;R}}^{*}+u^{*}\left(t\right)S^{*}\end{array}\right.$

其中，S^*、I^*、R^*分别表示在时间t内受控下的健康节点、传播节点、免疫节点数量；最优控制变量u^*(t)对应现实中对人们的宣传和教育，而微分方程组显示了加入最优控制变量u^*(t)之后的三类节点(健康节点、传播谣言节点、免疫节点)的数量的发展趋势。因此，在现实生活中，只要我们参考最优控制变量u^*(t)在不同时刻的取值，我们就可以对应的加大或减小对人们的宣传和教育力度，使网络中传播谣言的人明显减小，从而达到了控制谣言传播的目的，也在最大程度上节约了人力物力，不需要盲目的投入大量的人力物力。

下面通过MATLAB仿真软件对谣言传播模型在加入最优控制变量前、后进行仿真，对仿真的结果进行如下分析：

图3是加入最优控制变量前后健康节点S随时间的变化对比图。

本实施例中，如图3所示，加入最优控制变量前，健康节点的数量是缓慢增加的，这部分健康节点一旦接触到传播谣言的节点，就很容易被感染，然后加入谣言传播的行列，成为谣言传播节点；而加入最优控制变量以后，从图3中可以看到，健康节点的数量急速下降，这些节点就是通过宣传教育后成功转化为免疫节点，免疫节点就对谣言有足够的认知能力，因而具有免疫能力，不会传播谣言。

图4是加入最优控制变量前后传播谣言节点I随时间的变化对比图；

本实施例中，如图4所示，加入最优控制变量前，传播节点的数量是不断增加的，说明网络中传播谣言的人不断增加，这种情况是非常不好的，需要得到抑制；而加入最优控制变量前以后，从图4中可以看到，传播谣言节点的数量不会增多，而且有缓慢减少趋势，这是因为健康节点接受宣传教育后很多都转化成了免疫节点，那么容易受谣言感染的健康节点就少了，自然从健康节点中转化为谣言传播节点的也就少了。

图5是加入最优控制变量前后免疫节点R随时间的变化对比图；

本实施例中，如图5所示，加入最优控制变量前，免疫节点的数量是缓慢增加的；而加入最优控制变量以后，从图5中可以看到，免疫节点的数量急速增加，且远远大于加入最优控制变量前的数量，由于免疫节点对谣言有足够的认知能力，具有免疫能力，因而不会传播谣言。

尽管上面对本发明说明性的具体实施方式进行了描述，以便于本技术领域的技术人员理解本发明，但应该清楚，本发明不限于具体实施方式的范围，对本技术领域的普通技术人员来讲，只要各种变化在所附的权利要求限定和确定的本发明的精神和范围内，这些变化是显而易见的，一切利用本发明构思的发明创造均在保护之列。

Claims (3)

1.一种复杂网络中的谣言传播控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)、建立谣言传播模型

将logistic增长规律引入到SIR谣言传播模型上，建立谣言传播模型：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dS}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{\&gamma;S}(1-\frac{S}{k})-\mathrm{\&alpha;SI}-\mathrm{\&mu;S}\\ \frac{\mathrm{dI}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{\&alpha;SI}-\mathrm{\&beta;I}-\mathrm{\&mu;I}\\ \frac{\mathrm{dR}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{\&beta;I}-\mathrm{\&mu;R}\end{array}\right.---\left(a\right)$

其中，S表示时间t内健康节点数量，I表示时间t内传播节点数量，R表示时间t内免疫节点数量，α表示当谣言传播节点与健康节点接触时健康节点以概率α变为传播节点I，β表示当谣言传播节点与免疫节点接触时传播节点以概率β变为免疫节点，μ表示单位时间移出现有网络的用户数量，将网络中所有的节点看成一个群体，则γ为这个群体的内在增长率且γ＞μ，k为环境容量；

设α是固定的，则健康节点S转变为传播节点I用分段函数T(I)表示为：

$T\left(I\right)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{\&alpha;I}& I<=I_0\\ \mathrm{\&alpha;}{I}_0& I>=I_0\end{array}\right.,$ 其中，I₀表示当健康节点S转变为传播节点I的数量达到饱和时的传播节点I的个数，用T(I)来替代谣言传播模型中的αI，则谣言传播模型可以表示为：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dS}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{\&gamma;S}(1-\frac{S}{k})-\mathrm{ST}\left(I\right)-\mathrm{\&mu;S}\\ \frac{\mathrm{dI}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{ST}\left(I\right)-\mathrm{\&beta;I}-\mathrm{\&mu;I}\\ \frac{\mathrm{dR}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{\&beta;I}-\mathrm{\&mu;R}\end{array}\right.---\left(b\right)$

(2)、求解最优控制变量

引入控制变量u(t)，u(t)∈U_ad，U_ad表示控制空间且U_ad＝{u(t):0≤u(t)≤1,t∈[0,t_end]}；

建立目标泛函数J(u)，τ表示控制预算参数，且选取合适的控制变量u(t)，使得目标泛函数达到最小，即求解出最优控制变量，记为：u^*(t)；

(3)、控制谣言传播节点I的数量

将最优控制变量u^*(t)加入到谣言传播模型(b)中，得到受控下的微分方程组，如下：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{dS}}^{*}}{\mathrm{dt}}={\mathrm{\&gamma;S}}^{*}(1-\frac{S^{*}}{k})-S^{*}T\left(I\right)-{\mathrm{\&mu;S}}^{*}-u^{*}\left(t\right)S^{*}\\ \frac{{\mathrm{dI}}^{*}}{\mathrm{dt}}=S^{*}T\left(I\right)-{\mathrm{\&beta;I}}^{*}-{\mathrm{\&mu;I}}^{*}\\ \frac{{\mathrm{dR}}^{*}}{\mathrm{dt}}{=\mathrm{\&beta;I}}^{*}-{\mathrm{\&mu;R}}^{*}+u^{*}\left(t\right)S^{*}\end{array}\right.$

其中，S^*、I^*、R^*分别表示在时间t内受控下的健康节点、传播节点、免疫节点数量，再通过求解微分方程组可以看到加入最优控制变量u^*(t)之后，谣言传播节点I的数量得到控制。

2.根据权利要求1所述的复杂网络中的谣言传播控制方法，其特征在于，所述步骤(2)中目标泛函数J(u)存在的条件为：

(2.1)、谣言传播模型(a)有解；

(2.2)、U_ad＝{u(t):0≤u(t)≤1,t∈[0,t_end]}是凸集；

(2.3)、谣言传播模型(b)的右边是连续且有界的，可以写成关于u的线性函数；

(2.4)、目标泛函数的被积函数L[I(t),u(t)]在U_ad上是凹函数，且存在一个常数ρ＞1和正数η₁,η₂，使得被积函数L[I(t),u(t)]满足：L(I(t),u(t))≥η₁+η₂(|u(t)|²)^ρ/2。

3.根据权利要求1所述的复杂网络中的谣言传播控制方法，其特征在于，所述的最优控制变量u^*(t)求解方法为：

定义Hamiltonian函数:

$H\left(t\right)=I\left(t\right)+\frac{1}{2}{\mathrm{\&tau;u}}^2\left(t\right)+{\mathrm{\&lambda;}}_1\left(t\right)[\mathrm{\&gamma;S}(1-\frac{S}{k})-\mathrm{ST}\left(I\right)-\mathrm{\&mu;S}-\mathrm{uS}]+{\mathrm{\&lambda;}}_2\left(t\right)[\mathrm{ST}\left(I\right)-\mathrm{\&beta;I}-\mathrm{\&mu;I}]+{\mathrm{\&lambda;}}_3\left(t\right)[\mathrm{\&beta;I}-\mathrm{\&mu;R}+\mathrm{uS}]$

其中，λ_i(t)是带有下列方程的连接函数：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{d\&lambda;}}_1\left(t\right)}{\mathrm{dt}}=-\frac{\&PartialD;H}{\&PartialD;S}=-[{\mathrm{\&lambda;}}_1\left(t\right)(\mathrm{\&gamma;}-\frac{2\mathrm{\&gamma;}}{k}S-T\left(I\right)-\mathrm{\&mu;}-u)+{\mathrm{\&lambda;}}_2\left(t\right)T\left(I\right)+{\mathrm{\&lambda;}}_3\left(t\right)u]\\ \frac{{\mathrm{d\&lambda;}}_2\left(t\right)}{\mathrm{dt}}=-\frac{\&PartialD;H}{\&PartialD;I}=\left\{\begin{array}{c}-[1+{\mathrm{\&lambda;}}_1\left(t\right)\mathrm{\&alpha;S}+{\mathrm{\&lambda;}}_2\left(t\right)(\mathrm{\&alpha;S}-\mathrm{\&beta;}-\mathrm{\&mu;})+{\mathrm{\&lambda;}}_3\left(t\right)\mathrm{\&beta;}],I<I_0\\ -[1+{\mathrm{\&lambda;}}_2\left(t\right)(-\mathrm{\&beta;}-\mathrm{\&mu;})+{\mathrm{\&lambda;}}_3\left(t\right)\mathrm{\&beta;}],I>I_0\end{array}\right.\\ \frac{{\mathrm{d\&lambda;}}_3\left(t\right)}{\mathrm{dt}}=-\frac{\&PartialD;H}{\&PartialD;R}={\mathrm{\&lambda;}}_3\left(t\right)\mathrm{\&mu;}\end{array}\right.$

且λ_i(t_end)＝0,i＝1,2,3；

根据目标泛函数J(u)取极值的条件 $\frac{\&PartialD;H}{\&PartialD;u}=0,$ 即： $\frac{\&PartialD;H}{\&PartialD;u}={\mathrm{\&tau;u}}^{*}\left(t\right)-{\mathrm{\&lambda;}}_1\left(t\right)S^{*}+{\mathrm{\&lambda;}}_3\left(t\right)S^{*}=0$

得到 $u^{*}\left(t\right)=\frac{S^{*}}{\mathrm{\&tau;}}({\mathrm{\&lambda;}}_1\left(t\right)-{\mathrm{\&lambda;}}_3\left(t\right));$

在控制空间U_ad＝{u(t):0≤u(t)≤1,t∈[0,t_end]}上，再将u^*(t)改写为：

$u^{*}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{cc}0,& \frac{\&PartialD;H}{\&PartialD;u}<0\end{array}\\ \frac{S^{*}}{\mathrm{\&tau;}}({\mathrm{\&lambda;}}_1\left(t\right)-{\mathrm{\&lambda;}}_3\left(t\right)),\frac{\&PartialD;H}{\&PartialD;u}=0\\ \begin{array}{cc}1,& \frac{\&PartialD;H}{\&PartialD;u}\end{array},>0\end{array}\right.$

也即是

$u^{*}\left(t\right)=\max \left\{\min \right\{\frac{({\mathrm{\&lambda;}}_1\left(t\right)-{\mathrm{\&lambda;}}_3\left(t\right))S^{*}}{\mathrm{\&tau;}},1\},0\}.$