CN104268909A - 基于构造含参伯恩斯坦基函数调整贝塞尔曲线的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了基于构造含参伯恩斯坦基函数调整贝塞尔曲线的方法，包括：构造含有参数和附加参数的Bernstein基函数B_0,n(t)，B_m,n(t)…B_n,n(t)；根据Bernstein基函数中B_0,n(t)或B_n,n(t)的单调性以及B_m,n(t)的取值特性，获取所述参数的取值范围；根据Bernstein基函数的权性及对称性，获取所述附加参数，并将附加参数代入Bernstein基函数，获得含有参数的Bernstein基函数；在参数的取值范围内，通过改变所述参数的取值，调整贝塞尔曲线。该方法获取的构造后的带有参数的Bernstein基函数，使得扩展后的Bézier曲线在原始控制点不变的情况下，利用参数对曲线进行调整，便于交互设计，更方便的得到目的曲线。

Description

基于构造含参伯恩斯坦基函数调整贝塞尔曲线的方法

技术领域

本发明涉及计算机图形学领域，具体涉及一种基于构造含参伯恩斯坦基函数调整贝塞尔曲线的方法。

背景技术

在计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design，简称CAGD)和计算机图形学(Computer Graphics，简称CG)领域中，常利用参数化的曲线曲面来进行交互式设计。当在表示曲线或曲面的时候，如果想要保持曲线曲面的形状，很重要的一点就是基函数的选取。因此，以伯恩斯坦Bernstein基函数的贝塞尔Bézier曲线曲面模型有着广泛的应用。但是该模型的不足之处在于，若需要根据需求调整Bézier曲线曲面的形状，就必须对原始控制点进行调整，这不便于实际使用。

为了改善这种情况，一种可行方法就是对Bernstein基函数添加形状参数，使得在原始控制点不变的情况下，实现对Bézier曲线曲面的调整，但是目前通过Bernstein基函数调整Bézier曲线的具体方法还未被提出。

发明内容

针对现有技术中的缺陷，本发明提供了一种基于构造含参伯恩斯坦基函数调整贝塞尔曲线的方法，实现了贝塞尔曲线可以在原始控制点不变的情况下，利用参数对曲线进行调整。

第一方面，本发明提供一种基于构造含参伯恩斯坦基函数调整贝塞尔曲线的方法，包括：

构造含有参数和附加参数的伯恩斯坦Bernstein基函数B_0,n(t),B_m,n(t)…B_n,n(t)；

根据所述Bernstein基函数中B_0,n(t)或B_n,n(t)的单调性以及B_m,n(t)的取值特性，获取所述Bernstein基函数中所述参数的取值范围；

根据所述Bernstein基函数的权性及对称性，求取所述Bernstein基函数中的附加参数，并将所述附加参数代入所述Bernstein基函数，获得含有参数的Bernstein基函数；

在所述参数的取值范围内，通过改变所述参数的取值，调整贝塞尔曲线；

其中，t∈[0,1]，m、n为大于等于1的正整数，n为所述Bernstein基函数的阶次。

可选的，所述构造含有参数和附加参数的伯恩斯坦Bernstein基函数B_0,n(t),B_m,n(t)…B_n,n(t)，包括：

根据所述Bernstein基函数的对称性以及阶次，通过在所述Bernstein基函数中加入参数和附加参数，对所述Bernstein基函数进行同阶或升阶构造。

可选的，所述参数为一个，所述附加参数为两个或两个以上不同的附加参数。

可选的，所述B_0,n(t)和B_n,n(t)中含有所述参数且不含有所述附加参数，所述B_m,n(t)中既含有所述参数又含有所述附加参数。

可选的，所述根据所述Bernstein基函数中B_0,n(t)或B_n,n(t)的单调性，为所述B_0,n(t)或B_n,n(t)的曲线在预设范围内单调递增或者单调递减。

可选的，所述B_m,n(t)的取值特性为B_m,n(t)的曲线在处的取值大于除B_m,n(t)之外的任一所述基函数B_0,n(t),B_m,n(t)…B_n,n(t)在的取值。

可选的，所述根据所述Bernstein基函数中B_0,n(t)或B_n,n(t)的单调性以及B_m,n(t)的取值特性，获取所述Bernstein基函数中所述参数的取值范围，包括：

当所述B_0,n(t)或B_n,n(t)的曲线在预设范围内单调递增或者单调递减，且B_m,n(t)的曲线在处的取值大于除B_m,n(t)之外的任一所述基函数B_0,n(t),B_m,n(t)…B_n,n(t)在的取值时，获取所述Bernstein基函数中的所述参数的取值范围。

可选的，所述获取所述Bernstein基函数中的所述参数的取值范围，包括：

对所述B_0,n(t)或B_n,n(t)求导，获取所述B_0,n(t)或B_n,n(t)的曲线在预设范围内的极值；

根据所述极值，求取所述B_0,n(t)或B_n,n(t)中的参数的取值范围，并根据所述取值范围获取当所述B_0,n(t)或B_n,n(t)的曲线在预设范围内无极值时所述B_0,n(t)或B_n,n(t)中的参数的第一取值范围；

获取B_m,n(t)的曲线在处的取值以及除B_m,n(t)之外的任一所述基函数B_0,n(t),B_m,n(t)…B_n,n(t)在的取值，根据所述B_m,n(t)的曲线在 处的取值大于所述除B_m,n(t)之外的任一所述基函数B_0,n(t),B_m,n(t)…B_n,n(t)在的取值，获取所述B_m,n(t)中的参数的第二取值范围；

将所述第一取值范围与所述第二取值范围求交集，获取所述Bernstein基函数中的所述参数的取值范围。

可选的，所述Bernstein基函数的权性为

可选的，所述Bernstein基函数的对称性为所述B_0,n(t),B_m,n(t)…B_n,n(t)的曲线关于对称。

由上述技术方案可知，本发明提供的基于构造含参伯恩斯坦基函数调整贝塞尔曲线的方法，该方法获取的构造后的带有参数的Bernstein基函数具有与基本的Bernstein基函数的特性相同，使得扩展后的Bézier曲线可以在原始控制点不变的情况下，利用参数对曲线进行调整，便于交互设计，更方便的得到目的曲线。

附图说明

图1为本发明一实施例提供的3次Bézier曲线的Bernstein基函数的曲线图；

图2为本发明一实施例提供的基于构造含参伯恩斯坦基函数调整贝塞尔曲线的方法的流程示意图；

图3为本发明一实施例提供的基函数B_0,n＝(1-t)ⁿ,n＝1,2,3…10的曲线图；

图4为本发明一实施例提供的含有参数λ的Bernstein基函数升阶构造后B_0,3 ⁽¹⁾在λ＝-5,5时的曲线图；

图5A为本发明一实施例提供的含有参数λ的Bernstein基函数B_0,3在λ∈[-3,1]时的曲线图；

图5B为本发明一实施例提供的含有参数λ的Bernstein基函数B_3,3在λ∈[-3,1]时的曲线图；

图6为本发明一实施例提供的含参数λ的Bernstein基函数升阶构造方法的曲线图；

图7为本发明一实施例提供的含参数λ的Bernstein基函数升阶构造方法对应的Bézier曲线图；

图8为本发明一实施例提供的含有参数λ的Bernstein基函数同阶构造后B_0,3 ⁽¹⁾在λ＝-5,5时的曲线图；

图9A为本发明一实施例提供的含有参数λ的Bernstein基函数B_0,3在λ∈[-2,1]时的曲线图；

图9B为本发明一实施例提供的含有参数λ的Bernstein基函数B_3,3在λ∈[-2,1]时的曲线图；

图10为本发明一实施例提供的含参数λ的Bernstein基函数同阶构造方法的曲线图；

图11为本发明一实施例提供的含参数λ的Bernstein基函数同阶构造方法对应的Bézier曲线图；

图12A为本发明一实施例提供的含参数λ的Bernstein基函数升阶扩展后的Bézier曲线花瓣图；

图12B为本发明一实施例提供的含参数λ的Bernstein基函数同阶扩展后的Bézier曲线花瓣图；

图13为本发明一实施例提供的4次Bézier曲线的Bernstein基函数的曲线图；

图14为本发明一实施例提供的4次Bézier曲线的Bernstein基函数中的参数λ扩展到λ∈[-3.1,3.985]时的曲线图；

图15为本发明一实施例提供的4次Bézier曲线Bernstein基函数中的参数λ∈[-4,1]与现有技术的对比曲线图；

图16为本发明一实施例提供的4次Bézier曲线的Bernstein基函数中的参数λ扩展到λ∈[-3.1,3.985]时的曲线图与现有技术的对比曲线图。

具体实施方式

下面结合附图，对发明的具体实施方式作进一步描述。以下实施例仅用于更加清楚地说明本发明的技术方案，而不能以此来限制本发明的保护范围。

本发明主要是根据Bézier曲线的Bernstein基函数的曲线特点，以及Bernstein基函数的权性和对称性，按照B_0,n(t),B_1,n(t),B_2,n(t)…的顺序分别构造相应的含参调和函数。本发明以对3次Bézier曲线的Bernstein基函数进行4次和3次的构造为例，并且还利用相应的含参调和函数绘制了Bézier曲线。同理，该方法还可用于4次Bézier曲线的Bernstein基函数构造。已知Bézier曲线上的任意一点可以由以下的含参函数给出:其中B_i,n(t)为Bernstein基函数，p_i为相应的控制多边形的顶点。Bernstein基函数具有一个重要的属性---权性，即它的展开恰好对应了(t+(1-t))ⁿ的二项式分解。如图1所示，其中X轴代表t的取值，Y轴代表对应的函数值，令n＝3，可以得到3次Bézier曲线的Bernstein基函数t∈[0,1]：

$\left\{\begin{array}{c}{B}_{\mathrm{0,3}}={(1-t)}^3\\ B_{\mathrm{1,3}}=3{(1-t)}^{2}t\\ B_{\mathrm{2,3}}=3(1-t)t^2\\ B_{3,3}=t^3\end{array}\right.$

通过图1所示的曲线可知如下五条性质：

第一、B_0,3是在[0,1]上的单调递减函数，并且在0处取得最大值1，在1处取得最小值0；

第二、B_3,3是在[0,1]上的单调递增函数，并且在0处取得最小值0，在1处取得最大值1；

第三、B_1,3,B_2,3都是先增后减的正函数，在处取得最大值，并且最大值小于1；

第四、B_0,3,B_1,3,B_2,3,B_3,3的曲线整体关于对称；

第五、综合分析B_0,3,B_1,3,B_2,3,B_3,3的曲线，B_m,n在处的取值大于其它Bernstein基函数在处的取值。

由于Bézier曲线的控制多边形直接决定了曲线的形状，当控制多边形确定的时候，曲线的形状也就唯一确定了，通常情况下，只能通过修改控制多边形的形状来实现对曲线的修改。为了能改善这种不便之处，希望通过向Bernstein基函数中添加参数，来实现对Bézier曲线的调整，并且保证在调整参数的过程中，Bézier曲线的控制多边形保持不变；新的含参的Bernstein基函数曲线满足上述性质，本申请并不限定上述五条性质都满足。

因此可以根据上述规则来对Bernstein基函数进行升阶和同阶构造。

图2示出了一种基于构造含参伯恩斯坦基函数调整贝塞尔曲线的方法，如图2所示，该方法包括以下步骤：

201、构造含有参数和附加参数的伯恩斯坦Bernstein基函数B_0,n(t),B_m,n(t)…B_n,n(t)。

举例来说，上述Bernstein基函数B_0,n(t),B_m,n(t)…B_n,n(t)中t∈[0,1]，m、n为大于等于1的正整数，n为所述Bernstein基函数的阶次；所述参数为一个，所述附加参数为两个或两个以上不同的附加参数，即所述B_0,n(t)和B_n,n(t)中含有所述参数且不含有所述附加参数，所述B_m,n(t)中既含有所述参数又含有所述附加参数。

在具体应用中，根据所述Bernstein基函数的对称性以及阶次，通过在所述Bernstein基函数中加入参数和附加参数，对所述Bernstein基函数进行同阶或升阶构造。

202、根据所述Bernstein基函数中B_0,n(t)或B_n,n(t)的单调性以及B_m,n(t)的取值特性，获取所述Bernstein基函数中所述参数的取值范围。

举例来说，上述Bernstein基函数中B_0,n(t)或B_n,n(t)的单调性，为所述B_0,n(t)或B_n,n(t)的曲线在预设范围内单调递增或者单调递减；上述B_m,n(t)的取值特性为B_m,n(t)的曲线在处的取值大于除B_m,n(t)之外的任一所述基函数B_0,n(t),B_m,n(t)…B_n,n(t)在的取值。

上述步骤也可以表示为当所述B_0,n(t)或B_n,n(t)的曲线在预设范围内单调递增或者单调递减，且B_m,n(t)的曲线在处的取值大于除B_m,n(t)之外的任一所述基函数B_0,n(t),B_m,n(t)…B_n,n(t)在的取值时，获取所述Bernstein基函数中的所述参数的取值范围。

具体的，上述步骤202获取所述Bernstein基函数中的所述参数的取值范围，包括图2中未示出的子步骤：

2021、对所述B_0,n(t)或B_n,n(t)求导，获取所述B_0,n(t)或B_n,n(t)的曲线在预设范围内的极值；

2022、根据所述极值，获取所述B_0,n(t)或B_n,n(t)中的参数的取值范围，并根据所述取值范围获取当所述B_0,n(t)或B_n,n(t)的曲线在预设范围内无极值时所述B_0,n(t)或B_n,n(t)中的参数的第一取值范围；

2023、获取B_m,n(t)的曲线在处的取值以及除B_m,n(t)之外的任一所述基函数B_0,n(t),B_m,n(t)…B_n,n(t)在的取值，根据所述B_m,n(t)的曲线在处的取值大于所述除B_m,n(t)之外的任一所述基函数B_0,n(t),B_m,n(t)…B_n,n(t)在的取值，获取所述B_m,n(t)中的参数的第二取值范围；

2024、将所述第一取值范围与所述第二取值范围求交集，获取所述Bernstein基函数中的所述参数的取值范围。

203、根据所述Bernstein基函数的权性及对称性，求取所述Bernstein基函数中的附加参数，并将所述附加参数代入所述Bernstein基函数，获得含有参数的Bernstein基函数。

举例来说，上述Bernstein基函数的权性为上述Bernstein基函数的对称性为所述B_0,n(t),B_m,n(t)…B_n,n(t)的曲线关于对称。

204、在所述参数的取值范围内，通过改变所述参数的取值，调整贝塞尔曲线；

上述方法通过根据基本Bernstein基函数具有的性质，使得含参扩展后的Bernstein基函数与基本的Bernstein基函数具有类似的性质，使得扩展后的Bézier曲线在原始控制点不变的情况下，通过改变所述参数的取值，调整Bézier曲线，这样便于交互设计，可以更加方便准确的得到目的曲线。

为了验证上述方法的可行性，本发明通过采用以下实施例来进行举例说明，本发明的实施例仅用于举例说明，并不限定本发明的保护范围。

对Bernstein基函数进行升阶构造：

B_0,3＝(1-t)³的图形如图1所示，并且可知B_0,n＝(1-t)ⁿ,n＝1,2,3…10时，函数图形如图3所示，其中X轴代表t的取值，Y轴代表对应Bernstein因式的取值，都满足Bernstein基函数的基本特性。

因此构造B_0,3＝(1-λt)(1-t)³，且B_0,3 ⁽¹⁾＝λ(t-1)³+3(λt-1)(t-1)²，当t∈[0,1]时，其在处会有极值，此时λ∈(-∞,-3]∪[1,+∞)分别取λ＝-5,5时可得到如图4所示的曲线图，其中X轴代表t的取值，Y轴代表对应Bernstein因式的取值。

为了保证基函数的单调性，即要求在t∈[0,1]时基函数取不到极值，所以取λ∈[-3,1]，B_0,3＝(1-λt)(1-t)³的图形如图5A所示，其中X轴代表t的取值，Y轴代表对应Bernstein因式的取值。

利用对称性可得B_3,3(t)＝(1-λ+λt)t³，λ∈[-3,1]其图形如图5B所示，其中X轴代表t的取值，Y轴代表对应Bernstein因式的取值。

B_1,3＝3(1-t)²t，在处有最大值，那么意味着对于这组正交调和函数来说，B_1,3在处对于Bézier曲线的影响最大。根据这种性质构造了三种不同的B_1,3，三种B_1,3的附加参数按照从简单到复杂，从低次幂到高次幂的思想构造，分别为：

$\left\{\begin{array}{c}1\mathrm{st}:B_{\mathrm{1,3}}=(1+\mathrm{a\λ})3t{(1-t)}^2\\ 2\mathrm{nd}:B_{\mathrm{1,3}}=(1+\mathrm{a\λ}+\mathrm{bt})3t{(1-t)}^2\\ 3\mathrm{th}:B_{\mathrm{1,3}}=(1+\mathrm{a\λ}+\mathrm{b\λt})3t{(1-t)}^2\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}1\mathrm{st}:B_{2,3}=(1+\mathrm{b\λ})3t^2(1-t)\\ 2\mathrm{nd}:B_{\mathrm{2,3}}=(1+\mathrm{c\λ}+\mathrm{dt})3t^2(1-t)\\ 3\mathrm{th}:B_{\mathrm{2,3}}=(1+\mathrm{c\λ}+\mathrm{d\λt})3t^2(1-t)\end{array}\right.$

因为且利用Bernstein基函数的对称性，

第一种构造情况：

$\left\{\begin{array}{c}{B}_{\mathrm{0,3}}=(1-\mathrm{\λt}){(1-t)}^3\\ B_{\mathrm{1,3}}=(1+\mathrm{a\λ})3t{(1-t)}^2\\ B_{\mathrm{2,3}}=(1+\mathrm{b\λ})3t^2(1-t)\\ B_{\mathrm{3,3}}=(1-\mathrm{\λ}+\mathrm{\λt})t^3\end{array}\right.$

$\underset{i=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{B}_{i,3}=2{\mathrm{\λt}}^4+(3\mathrm{a\λ}-4\mathrm{\λ}-3\mathrm{b\λ})t^3+(3\mathrm{\λ}-6\mathrm{a\λ}+3\mathrm{b\λ})t^2+(3\mathrm{a\λ}-\mathrm{\λ})t+1=1$ 可得只有在λ＝0时才满足条件，那么第一种构造情况就为：

$\left\{\begin{array}{c}{B}_{\mathrm{0,3}}={(1-t)}^3\\ B_{\mathrm{1,3}}=3t{(1-t)}^2\\ B_{\mathrm{2,3}}=3t^2(1-t)\\ B_{3,3}=t^3\end{array}\right.$

这与标准3次Bernstein基函数相同。

第二种构造情况:

$\left\{\begin{array}{c}{B}_{\mathrm{0,3}}=(1-\mathrm{\λt}){(1-t)}^3\\ B_{\mathrm{1,3}}=(1+\mathrm{a\λ}+\mathrm{bt})3t{(1-t)}^2\\ B_{\mathrm{2,3}}=(1+\mathrm{c\λ}+\mathrm{dt})3t^2(1-t)\\ B_{\mathrm{3,3}}=(1-\mathrm{\λ}+\mathrm{\λt})t^3\end{array}\right.$

$\underset{i=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{B}_{i,3}=(3b-3d-2\mathrm{\λ})t^4+(3d-6b-4\mathrm{\λ}+3\mathrm{a\λ}-3\mathrm{c\λ})t^3+(3b+3\mathrm{\λ}-6\mathrm{a\λ}+3\mathrm{c\λ})t^2+(3\mathrm{a\λ}-\mathrm{\λ})t+1=1$

可得：

$\left\{\begin{array}{c}3b-3d+2\mathrm{\λ}=0\\ 3d-6b-4\mathrm{\λ}+3\mathrm{a\λ}-3\mathrm{c\λ}=0\\ 3b+3\mathrm{\λ}-6\mathrm{a\λ}+3\mathrm{c\λ}=0\\ 3\mathrm{a\λ}-\mathrm{\λ}=0\end{array}\right.---\left(1\right)$

又因为B_1,3(1-t)＝B_2,3(t)，所以 $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{a\λ}-\mathrm{c\λ}=d\\ b=-d\end{array}\right.---\left(2\right),$ 由(1),(2)可得：

$\left\{\begin{array}{c}a=\frac{1}{3}\\ b=-\frac{1}{3}\mathrm{\λ}\\ c=0\\ d=\frac{1}{3}\mathrm{\λ}\end{array}\right.$

可得第二种构造情况，如图6所示，其中X轴代表t的取值，Y轴代表对应Bernstein因式的取值，λ∈[-3,1]：

$\left\{\begin{array}{c}{B}_{\mathrm{0,3}}=(1-\mathrm{\λt}){(1-t)}^3\\ B_{\mathrm{1,3}}=(3+\mathrm{\λ}-\mathrm{\λt})t{(1-t)}^2\\ B_{\mathrm{2,3}}=(3+\mathrm{\λt})t^2(1-t)\\ B_{\mathrm{3,3}}=(1-\mathrm{\λ}+\mathrm{\λt})t^3\end{array}\right.$

对应的Bézier曲线图如图7所示其中X轴代表实际的坐标轴，Y轴代表实际的坐标轴，只不过在选取Bezier曲线的控制多边形顶点时，起始点和末尾点选择在了X轴上，分别为(0,0)，(4,0)，从上到下λ＝1,0,-1,-2,-3，当λ＝0时，曲线为标准3次Bézier曲线。

第三种构造情况:

$\left\{\begin{array}{c}{B}_{\mathrm{0,3}}=(1-\mathrm{\λt}){(1-t)}^3\\ B_{\mathrm{1,3}}=(1+\mathrm{a\λ}+\mathrm{b\λt})3t{(1-t)}^2\\ B_{\mathrm{2,3}}=(1+\mathrm{c\λ}+\mathrm{d\λt})3t^2(1-t)\\ B_{\mathrm{3,3}}=(1-\mathrm{\λ}+\mathrm{\λt})t^3\end{array}\right.$

$\begin{array}{c}\underset{i=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{B}_{i,3}=(2\mathrm{\λ}+3\mathrm{b\λ}-3\mathrm{d\λ})t^4+(3\mathrm{a\λ}-4\mathrm{\λ}-6\mathrm{b\λ}-3\mathrm{c\λ}+3\mathrm{d\λ})t^3+(3\mathrm{\λ}-6\mathrm{a\λ}+3\mathrm{b\λ}+3\mathrm{c\λ})t^2\\ +(3\mathrm{a\λ}-\mathrm{\λ})t+1=1\end{array}$

可得：

$\left\{\begin{array}{c}2\mathrm{\λ}+3\mathrm{b\λ}-3\mathrm{d\λ}=0\\ 3\mathrm{a\λ}-4\mathrm{\λ}-6\mathrm{b\λ}-3\mathrm{c\λ}+3\mathrm{d\λ}=0\\ 3\mathrm{\λ}-6\mathrm{a\λ}+3\mathrm{b\λ}+3\mathrm{c\λ}=0\\ 3\mathrm{a\λ}-\mathrm{\λ}=0\end{array}\right.$

可得：

$\left\{\begin{array}{c}a=\frac{1}{3}\\ b=-\frac{1}{3}\\ c=0\\ d=\frac{1}{3}\end{array}\right.$

第三种构造情况与第二种相同，λ∈[-3,1]：

$\left\{\begin{array}{c}{B}_{\mathrm{0,3}}=(1-\mathrm{\λt}){(1-t)}^3\\ B_{\mathrm{1,3}}=(3+\mathrm{\λ}-\mathrm{\λt})t{(1-t)}^2\\ B_{\mathrm{2,3}}=(3+\mathrm{\λt})t^2(1-t)\\ B_{\mathrm{3,3}}=(1-\mathrm{\λ}+\mathrm{\λt})t^3\end{array}\right.$

上述通过三种构造方法实现了3次Bézier曲线的升阶构造。

对Bernstein基函数的同阶构造：

B_0,3＝(1-t)³的图形如图1所示，并且可知B_0,n＝(1-t)ⁿ,n＝1,2,3…10时，函数图形都满足要求。因此，可以同阶构造B_0,3＝(1-λt)(1-t)²，且B_0,3 ⁽¹⁾＝-λ(x-1)²-2(x-1)(λx-1)，当t∈[0,1]时，在处会有极值，此时λ∈(-∞,-2]∪[1,+∞)分别取λ＝-5,5可得到如8所示的曲线图，其中X轴代表t的取值，Y轴代表对应Bernstein因式的取值。

为了保证基函数的单调性，即在t∈[0,1]时基函数取不到极值，所以λ∈[-2,1]，B_0,3＝(1-λt)(1-t)²的图形如9A所示，其中X轴代表t的取值，Y轴代表对应Bernstein因式的取值。

利用对称性，B_0,3(1-t)＝B_3,3(t)，可得B_3,3(t)＝(1-λ+λt)t²，λ∈[-2,1]其图形如图9B所示，其中X轴代表t的取值，Y轴代表对应Bernstein因式的取值。

B_1,3＝3(1-t)²t，在处有最大值，那么意味着对于这组正交调和函数来说，B_1,3在处对于Bézier曲线的影响最大。根据上述性质构造B_1,3＝(1+aλ)t(1-t)²，可得：

$\left\{\begin{array}{c}{B}_{\mathrm{0,3}}=(1-\mathrm{\λt}){(1-t)}^3\\ B_{\mathrm{1,3}}=(1+\mathrm{a\λ})t{(1-t)}^2\\ B_{\mathrm{2,3}}=(1+\mathrm{b\λ})t^2(1-t)\\ B_{\mathrm{3,3}}=(1-\mathrm{\λ}+\mathrm{\λt})t^3\end{array}\right.$

$\underset{i=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{B}_{i,3}=(\mathrm{a\λ}-\mathrm{b\λ})t^3+(\mathrm{\λ}-2\mathrm{a\λ}+\mathrm{b\λ}+1)t^2+(\mathrm{a\λ}-\mathrm{\λ}-1)t+1=1,$ 可得：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{a\λ}-\mathrm{b\λ}=0\\ \mathrm{\λ}-2\mathrm{a\λ}+\mathrm{b\λ}+1=0\\ \mathrm{a\λ}-\mathrm{\λ}-1=0\end{array}\right.,$ 可得： $a=b=\frac{1+\mathrm{\λ}}{\mathrm{\λ}},\mathrm{\λ}\≠0,$

可得：

$\left\{\begin{array}{c}{B}_{\mathrm{0,3}}=(1-\mathrm{\λt}){(1-t)}^2\\ B_{\mathrm{1,3}}=(2+\mathrm{\λ})t{(1-t)}^2\\ B_{\mathrm{2,3}}=(2+\mathrm{\λ})t^2(1-t)\\ B_{\mathrm{3,3}}=(1-\mathrm{\λ}+\mathrm{\λt})t^2\end{array}\right.,\mathrm{\λ}\∈[-\mathrm{2,0})\∪\left(\mathrm{0,1}\right]$

构造后的图形如图10所示，其中X轴代表t的取值，Y轴代表对应Bernstein因式的取值。

对应的Bézier曲线图如图11所示，其中X轴代表实际的坐标轴，Y轴代表实际的坐标轴，只不过在选取Bezier曲线的控制多边形顶点时，起始点和末尾点选择在了X轴上，分别为(0,0)，(4,0)，从上到下λ＝1,0.5,0,-0.5-1,-1.5,-2，当λ＝1时，曲线为标准3次Bézier曲线，当λ＝-2时，为过(0,0)的水平线。

上述3次Bézier曲线的应用实例如图12A和12B所示，其中X、Y轴仅仅代表的是标准的笛卡尔坐标系，没有特殊含义。

利用扩展后的升阶Bézier曲线绘制花瓣图形，图12A为λ＝-3,-2,-1,0,1的曲线。

利用扩展后的同阶Bézier曲线绘制花瓣图形，图12B为λ＝-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1的曲线。

基于上述方法，还可用于4次Bézier曲线的Bernstein基函数构造。

为了保证所构造后的曲线具有以上性质的同时，次数还能保证在四次和Bernstein基函数的对称性，综上构造如下基函数：

$\left\{\begin{array}{c}{B}_{\mathrm{0,4}}=(1-\mathrm{\λt}){(1-t)}^3\\ B_{\mathrm{1,4}}=(1+\mathrm{a\λ}){(1-t)}^{3}t\\ B_{\mathrm{2,4}}=(1+\mathrm{b\λ}){(1-t)}^2{t}^2\\ B_{\mathrm{3,4}}=(1+\mathrm{a\λ})(1-t)t^3\\ B_{\mathrm{4,4}}=(1-\mathrm{\λ}+\mathrm{\λt})t^3\end{array}\right.$

又因为Bernstein因式具有一个重要的属性---权性，即在通常情况下，使用Bezier曲线的Bernstein基函数分别对应了(t+(1-t))ⁿ的二项式分解，所以需要构造的调和函数也应该满足权性，因此可得：

$\left\{\begin{array}{c}{B}_{\mathrm{0,4}}{=\mathrm{rt}}^4+(-3\mathrm{\λ}-1)t^3+(3\mathrm{\λ}+3)t^2+(-\mathrm{\λ}-3)t+1\\ B_{\mathrm{1,4}}=(-\mathrm{a\λ}-1)t^4+(3\mathrm{a\λ}+3)t^3+(-3\mathrm{a\λ}-3)t^2+(\mathrm{a\λ}+1)t\\ B_{\mathrm{2,4}}=(\mathrm{b\λ}+1)t^4+(-2\mathrm{b\λ}-2)t^3+(\mathrm{b\λ}+1)t^2\\ B_{\mathrm{3,4}}={-t}^4(\mathrm{a\λ}+1)+t^3(\mathrm{a\λ}+1)\\ B_{\mathrm{4,4}}={\mathrm{\λt}}^4-t^3(\mathrm{\λ}-1)\end{array}\right.$

因为所以有

$\left\{\begin{array}{c}{t}^4:r+(-\mathrm{a\λ}-1)+(\mathrm{b\λ}+1)-(\mathrm{a\λ}+1)+\mathrm{\λ}=0\\ t^3:(-3\mathrm{\λ}-1)+(3\mathrm{a\λ}+3)+(-2\mathrm{b\λ}-2)+(\mathrm{a\λ}+1)-(\mathrm{\λ}-1)=0\\ t^2:(3\mathrm{\λ}+3)+(-3\mathrm{a\λ}-3)+(\mathrm{b\λ}+1)=0\\ t^1:(-\mathrm{\λ}-3)+(\mathrm{a\λ}+1)=0\\ t^0:1\end{array}\right.$

于是可得：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\λ}=\frac{2}{a-1}\\ a=\frac{5+2b}{5}\\ b=\frac{5}{\mathrm{\λ}}\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}{B}_{\mathrm{0,4}}=(1-\mathrm{\λt}){(1-t)}^3\\ B_{\mathrm{1,4}}=(3+\mathrm{\λ}){(1-t)}^{3}t\\ B_{\mathrm{2,4}}=6{(1-t)}^2{t}^2\\ B_{\mathrm{3,4}}=(3+\mathrm{\λ})(1-t)t^3\\ B_{\mathrm{4,4}}=(1-\mathrm{\λ}+\mathrm{\λt})t^3\end{array}\right.,t\∈\left[\mathrm{0,1}\right]$

下面针对每个符合约束条件的Bernstein因式参数λ，求出λ的范围。

B_0,4＝(1-λt)(1-t)³

B_0,4 ⁽¹⁾＝λ(t-1)³+3(λt-1)(t-1)²，当t∈[0,1]时，在处会产生最大值，

此时λ∈(-∞,-3]∪[1,+∞)，为了保证单调性，所以λ∈[-3,1]。

B_1,4＝(3+λ)(1-t)³t

B_1,4 ⁽¹⁾＝-(λ+3)(t-1)³-3t(λ+3)(t-1)²，在t∈[0,1]时，B_1,4在处有最大值 $B_{\mathrm{1,4}}\left(\max \right)=\frac{27}{256}(3+\mathrm{\&lambda;}),$ 令0≤B_1,4(max)<1，可得

若要满足上述第五条特性，则可得0.5≤λ。

B_2,4＝6(1-t)²t²

B_2,4在处有最大值

由于Bernstein基函数具有对称性，所以B_3,4和B_4,4的讨论可分别由B_1,4和B_0,4代替。

综上所述：λ∈[-3,1]，且在λ∈[0.5,1]时，满足上述第五条性质。

通过实验分别取λ＝[-3,-2.5,-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1]生成的曲线图由下到上依次排列，当λ＝1时，Bezier曲线回归4次标准曲线如图13所示，其中X轴代表实际的坐标轴，Y轴代表实际的坐标轴，只不过在选取Bezier曲线的控制多边形顶点时，起始点和末尾点选择在了X轴上，分别为(0,0)，(6,0)。

通过进一步的实验发现，在保证生成的Bezier曲线具有凸包性的前提下，对于因式B_0,4,B_4,4的正性的要求，使得λ∈[-3.1,3.985]将得到以下的曲线图如图14所示，其中X轴代表实际的坐标轴，Y轴代表实际的坐标轴，只不过在选取Bezier曲线的控制多边形顶点时，起始点和末尾点选择在了X轴上，分别为(0,0)，(6,0)。

与现有技术《四次Bezier曲线的两种不同扩展》中的两种方法对比，这两种方法所对应的调和函数分别为，其中t∈[0,1],λ∈[-4,1]：

第一种方法为： $\left\{\begin{array}{c}{B}_{\mathrm{0,4}}=(1-\mathrm{\&lambda;t}){(1-t)}^4\\ B_{\mathrm{1,4}}=(4+\mathrm{\&lambda;}-2\mathrm{\&lambda;t}){(1-t)}^{3}t\\ B_{\mathrm{2,4}}=(6+\mathrm{\&lambda;}){(1-t)}^2{t}^2\\ B_{\mathrm{3,4}}=(4-\mathrm{\&lambda;}+2\mathrm{\&lambda;t})(1-t)t^3\\ B_{\mathrm{4,4}}=(1-\mathrm{\&lambda;}+\mathrm{\&lambda;t})t^4\end{array}\right.$

第二种方法为： $\left\{\begin{array}{c}{B}_{\mathrm{0,4}}=(1-\mathrm{\&lambda;t}){(1-t)}^4\\ B_{\mathrm{1,4}}=(4+\mathrm{\&lambda;}){(1-t)}^{3}t\\ B_{\mathrm{2,4}}=(6-\mathrm{\&lambda;}){(1-t)}^2{t}^2\\ B_{\mathrm{3,4}}=(4+\mathrm{\&lambda;})(1-t)t^3\\ B_{\mathrm{4,4}}=(1-\mathrm{\&lambda;}+\mathrm{\&lambda;t})t^4\end{array}\right.$

将本文中的方法的参数λ扩展到λ∈[-3.1,3.985]，可得到对比图如图15所示，其中X轴代表实际的坐标轴，Y轴代表实际的坐标轴，只不过在选取Bezier曲线的控制多边形顶点时，起始点和末尾点选择在了X轴上，分别为(0,0)，(6,0)，由图15可知本文的方法可在更大的范围内修改曲线，并且保证了Bezier曲线的相关特性，另外调和函数的最高次幂为4，如图16所示为本文中的方法的参数λ扩展到λ∈[-3.1,3.985]时的曲线，其中X轴代表实际的坐标轴，Y轴代表实际的坐标轴，只不过在选取Bezier曲线的控制多边形顶点时，起始点和末尾点选择在了X轴上，分别为(0,0)，(6,0)。

通过上述实施例以及实验验证，本方法可在更大的范围内修改曲线，并且保证了Bezier曲线的相关特性。

本发明的内容具体用于一般在工业交互设计等领域中(如外形设计)，若选取了Bezier曲线作为模型，一般会根据要求不断地修改曲线的控制多边形，来得到所需的Bezier曲线，采用本发明实施例的方法引入了含参的Bezier曲线，并且保证了在控制多边形不变的情况下，可以通过修改参数来实现曲线的变化(如花瓣图)，这进一步方便了交互设计。

本发明的说明书中，说明了大量具体细节。然而，能够理解，本发明的实施例可以在没有这些具体细节的情况下实践。在一些实例中，并未详细示出公知的方法、结构和技术，以便不模糊对本说明书的理解。

本领域的技术人员能够理解，尽管在此所述的一些实施例包括其它实施例中所包括的某些特征而不是其它特征，但是不同实施例的特征的组合意味着处于本发明的范围之内并且形成不同的实施例。例如，在下面的权利要求书中，所要求保护的实施例的任意之一都可以以任意的组合方式来使用。

最后应说明的是：以上各实施例仅用以说明本发明的技术方案，而非对其限制；尽管参照前述各实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分或者全部技术特征进行等同替换；而这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的范围，其均应涵盖在本发明的权利要求和说明书的范围当中。

Claims (10)

1.一种基于构造含参伯恩斯坦基函数调整贝塞尔曲线的方法，其特征在于，包括：

构造含有参数和附加参数的伯恩斯坦Bernstein基函数B_0,n(t),B_m,n(t)…B_n,n(t)；

根据所述Bernstein基函数中B_0,n(t)或B_n,n(t)的单调性以及B_m,n(t)的取值特性，获取所述Bernstein基函数中所述参数的取值范围；

根据所述Bernstein基函数的权性及对称性，获取所述Bernstein基函数中的附加参数，并将所述附加参数代入所述Bernstein基函数，获得含有参数的Bernstein基函数；

在所述参数的取值范围内，通过改变所述参数的取值，调整贝塞尔曲线；

其中，t∈[0,1]，m、n为大于等于1的正整数，n为所述Bernstein基函数的阶次。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述构造含有参数和附加参数的伯恩斯坦Bernstein基函数B_0,n(t),B_m,n(t)…B_n,n(t)，包括：

根据所述Bernstein基函数的对称性以及阶次，通过在所述Bernstein基函数中加入参数和附加参数，对所述Bernstein基函数进行同阶或升阶构造。

3.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，所述参数为一个，所述附加参数为两个以上不同的附加参数。

4.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，所述B_0,n(t)和B_n,n(t)中含有所述参数且不含有所述附加参数，所述B_m,n(t)中既含有所述参数又含有所述附加参数。

5.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述根据所述Bernstein基函数中B_0,n(t)或B_n,n(t)的单调性，为所述B_0,n(t)或B_n,n(t)的曲线在预设范围内单调递增或者单调递减。

6.根据权利要求5所述的方法，其特征在于，所述B_m,n(t)的取值特性为B_m,n(t)的曲线在处的取值大于除B_m,n(t)之外的任一所述基函数B_0,n(t),B_m,n(t)…B_n,n(t)在的取值。

7.根据权利要求6所述的方法，其特征在于，所述根据所述Bernstein基函数中B_0,n(t)或B_n,n(t)的单调性以及B_m,n(t)的取值特性，获取所述Bernstein基函数中所述参数的取值范围，包括：

当所述B_0,n(t)或B_n,n(t)的曲线在预设范围内单调递增或者单调递减，且B_m,n(t)的曲线在处的取值大于除B_m,n(t)之外的任一所述基函数B_0,n(t),B_m,n(t)…B_n,n(t)在的取值时，获取所述Bernstein基函数中的所述参数的取值范围。

8.根据权利要求7所述的方法，其特征在于，所述获取所述Bernstein基函数中的所述参数的取值范围，包括：

对所述B_0,n(t)或B_n,n(t)求导，获取所述B_0,n(t)或B_n,n(t)的曲线在预设范围内的极值；

根据所述极值，求取所述B_0,n(t)或B_n,n(t)中的参数的取值范围，并根据所述取值范围获取当所述B_0,n(t)或B_n,n(t)的曲线在预设范围内无极值时所述B_0,n(t)或B_n,n(t)中的参数的第一取值范围；

获取B_m,n(t)的曲线在处的取值以及除B_m,n(t)之外的任一所述基函数B_0,n(t),B_m,n(t)…B_n,n(t)在的取值，根据所述B_m,n(t)的曲线在 处的取值大于所述除B_m,n(t)之外的任一所述基函数B_0,n(t),B_m,n(t)…B_n,n(t)在的取值，获取所述B_m,n(t)中的参数的第二取值范围；

将所述第一取值范围与所述第二取值范围求交集，获取所述Bernstein基函数中的所述参数的取值范围。

9.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述Bernstein基函数的权性为

10.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述Bernstein基函数的对称性为所述B_0,n(t),B_m,n(t)…B_n,n(t)的曲线关于对称。