CN104240290A - 一种基于包围球模型的三维电缆相交检测方法 - Google Patents

Abstract

一种基于局部包围球模型的三维工井电缆相交检测方法，通过先对三维图像的二维水平投影进行分析，将原本无用的三维运算化解为效率更高的二维运算。在确定可能存在的相交点的水平面坐标后再对对象进行局部的包围球处理，忽略不能相交的空间范围，减少了包围球的数量，再对包围球进行相交判断，因为包围球本身只具有圆心和半径属性，包围球相互间的空间位置判断也得到了极大的简化。如果两电缆的包围球模型存在相交，则说明两电缆肯定相交。本方法避免了大量冗余的运算，同时针对特定区域采用局部包围球的方法使得渲染速度得到很大提高，优化三维电缆渲染速度，尤其是在新兴的web3D领域中提高渲染性能。

Description

一种基于包围球模型的三维电缆相交检测方法

技术领域

本发明涉及一种三维碰撞检测，计算机应用领域，尤其涉及的是一种基于包围球模型的三维电缆相交检测方法。

背景技术

随着三维技术的广泛应用，相关的技术也得到了巨大的发展。在三维的碰撞检测领域中国内外学者也提出了各种检测方法。基于物体空间的碰撞方法是其中的研究重点，包括空间剖分法，层次包围盒法，以及基于图像空间的方法。

空间剖分法是基于物体所在空间的方法，碰撞检测过程中，将物体所在空间进行区域细分，并判断同一空间中是否包含多个物体达到判断是否碰撞的目的，该方法比较精确但是效率不稳定。

层次包围盒法是基于物体本身的方法，碰撞检测过程中，将物体用近似的多边形模型表示，通过判断近似多边形包围盒是否相交达到判断是否碰撞的目的，相对于空间剖分法，该方法效率较高，但是检测精度取决于近似多边形和物体本身的吻合程度，对于特殊复杂的物体，其检测精度较低。

与此同时，随着云计算概念的提出，三维技术已逐步推广到了Web平台，WebGL是OpenGL的Web平台接口实现，使得在浏览器端通过Javascript脚本直接调用硬件图形接口成为了可能。传统的三维碰撞方法资源消耗大，直接应用于Web浏览器端会影响渲染打开的速度。同时，因为三维电缆的特殊性，电缆不能直接用包围盒方法进行处理，所以需要一种更高效简洁的方法实现其碰撞检测。

发明内容

为了克服现有三维电缆的碰撞检测方式的无法进行碰撞检测的不足，本发明提供一种基于包围球模型的三维电缆相交检测方法，通过先降低三维空间检测的维度，避免了大量冗余的运算，同时针对特定区域采用局部包围球的方法使得渲染速度大大提高。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：

一种基于包围球模型的三维电缆相交检测方法，包括以下步骤：

步骤1 建立数学模型：

1.1划定工井空间范围为式(1)所示,其中a表示空间包含的坐标集合，max表示参数在所属坐标轴上的最大值，min表示参数在所属坐标轴上的最小值；

a＝{x,y,z|x∈[x_min,x_max],y∈[y_min,y_max],z∈[z_min,z_max]}     (1)

1.2确定每条线缆的函数模型，假设制定空间中有n条线缆，得出每条线缆的三维坐标函数如公式(2)所示；

z＝f_i ³(x,y),i＝1,2,...,n      (2)

其中下标i表示对应的电缆编号，上标3表示其为三维空间中的函数模型，{x,y,z}属于式(1)中a集合的子集；

1.3由于在重力作用下电缆在水平面的投影近似为直线，其水平投影函数如公式(3)所示；

y＝f_i ²(x),i＝1,2,...,n      (3)

其中下标i表示对应的电缆编号，上标2表示其为二维空间中的函数模型，{x,y}均属于式(1)中a集合的子集。

步骤2 分析电缆水平面投影的相交情况：

如果水平面投影存在相交，则两线缆存在相交的可能，需做进一步的分析，否则说明两线缆空间相离，为了方便分析，取投影函数在x轴上的投影，并对所有电缆的投影函数做两两对比，总共n条线缆，则需要对比的次数k如式(4)所示；

$k=C_n^2---\left(4\right)$

其中n表示总共包含的电缆数目，依次循环两辆对比判断投影是否相交；

假设某次对比的两条电缆的平面投影函数如式(5)所示；

$\begin{array}{c}b={\mathrm{ax}}_1+y_1,x\∈[x_1^{\min },x_1^{\max }],y\∈[y_1^{\min },y_1^{\max }]\\ d={\mathrm{cx}}_2+y_2,x\∈[x_2^{\min },x_2^{\max }],y\∈[y_2^{\min },y_2^{\max }]\end{array}---\left(5\right)$

如果满足条件(6)，则说明两投影在x轴方向有相交；

$\max (x_1^{\max },x_2^{\max })-\min (x_1^{\min },x_2^{\min })<x_1^{\max }-x_1^{\min }+x_2^{\max }-x_2^{\min }---\left(6\right)$

同理，如果满足条件(7),则说明两投影在y轴方向有相交。若其同时在x轴和y轴方向存在相交，则说明两直线相交，对应的两线缆存在相交的可能。

$\max (y_1^{\max },y_2^{\max })-\min (y_1^{\min },y_2^{\min })<y_1^{\max }-y_1^{\min }+y_2^{\max }-y_2^{\min }---\left(7\right)$

步骤3 求出水平投影的交点坐标:

假设某第k组两条线缆的水平投影函数如式(5)所示，则两直线的交点坐标为(8)所示。

$(x_k^{\&prime;},y_k^{\&prime;})=(\frac{b-d}{z-c},b-\frac{a(b-d)}{a-c})---\left(8\right)$

步骤4 验证两线缆是否在垂直面相交：

根据相交的坐标点(8)，验证两线缆是否在垂直面相交，因为线缆具有直径属性，设定判定为可能存在相交的第k组线缆对比组的直径分别为r₁和r₂。用包围球模型对两线缆可能相交的部分进行局部模拟，其包围球直径与电缆本身直径相同；

每根线缆分别取i个包围球，其中i的取值越大，判断结果越精确，但相应的效率越低。将式(8)中的交点坐标代回对应电缆的三维函数式(2)中，解得第k组两条电缆分别对应的z坐标为(9)所示；

$z_k^1=f_{i^{\&prime;}}^3(x_k^{\&prime;},y_k^{\&prime;})---\left(9\right)$

以求出的三维坐标为圆心做包围球，为了提高检测精度，以该包围球为中央球向线缆两头方向做数量对称的若干包围球，其圆心确定方式如式(10)所示，向x轴方向取线缆步长差为包围球半径的二分之一的点为新的包围球圆心，假设总共取k个包围球，由式(2)和式(9)得所有包围球圆心的坐标如式(10)所示；

$\left\{\begin{array}{c}{x}_k^{\&prime;\&prime;}\\ y_k^{\&prime;\&prime;}\\ z_k^{\&prime;\&prime;}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}{x}_k^{\&prime;}\&PlusMinus;(k-1)r/2\\ f_k^2(x_k^{\&prime;}\&PlusMinus;(k-1)r/2)\\ f_k^3(x_k^{\&prime;}\&PlusMinus;(k-1)r/2,f_k^2(x_k^{\&prime;}\&PlusMinus;(k-1)r/2)\end{array}\right\}---\left(10\right)$

从式(10)可得包围球的函数模型如式(11)所示，其中r表示包围球的半径，(x"_k,y"_k,z"_k)为第k个包围球的圆心坐标；

(x-x"_k)²+(y-y"_k)²+(z-z"_k)²＝r²     (11)

对每条线缆的包围球一一对比，总共k组包围球总共需要对比的次数为次，两包围球球心之间的距离l如式(12)所示；

$l=\sqrt{{(x_1-x_2)}^2+{(y_1-y_2)}^2+{(z_1-z_2)}^2}---\left(12\right)$

其中(x₁,y₁,z₁)和(x₂,y₂,z₂)分别是两包围球的圆心坐标。如果两包围球的圆心距离小于两包围球的半径和，即满足条件(13),则说明两包围球相交，进一步说明两线缆相交，依次对所有包围球进行对比，如果存在包围球相交，则判定线缆相交。

r₁+r₂＜l     (13)

本发明的技术构思为：先对三维图像的二维水平投影进行分析，如果水平投影存在交点则三维空间对象可能存在交点，通过分析确定具有相交可能的线缆，将三维问题先拆解为二维进行分析，从而大幅度需要进一步缩小分析的对象范围，将原本无用的三维运算化解为效率更高的二维运算。在确定可能存在的相交点的水平面坐标后再对对象进行局部的包围球处理，忽略不能相交的空间范围，大大减少了包围球的数量，再对包围球进行相交判断，因为包围球本身只具有圆心和半径属性，包围球相互间的空间位置判断也得到了极大的简化。如果两电缆的包围球模型存在相交，则说明两电缆肯定相交。

本发明的有益效果主要表现在：通过先降低三维空间检测的维度，避免了大量冗余的运算，同时针对特定区域采用局部包围球的方法使得渲染速度大大提高，特别是在新兴的web3D领域中提高渲染性能。

附图说明

图1是三维线缆的模拟效果图。

图2三维线缆的有效空间划定区域范围。

图3是三维线缆的俯视图。

图4是三维线缆平面投影示意图。

图5是判断两线段在某一轴方向是否相交的示意图

图6是两线段无相交情况的示意图。

图7是两线段相交情况的示意图。

图8是判断两投影线段是否相交的流程图。

图9是用包围球模型模拟电缆可能相交局部的示意图。

图10是判断包围球模型相离，相切，相交的示意图，其中，(A)是相离，(B)是相切，(C)是相交。

图11是通过包围球判断两电缆是否相交的流程图。

图12是进一步增加包围球个数提高检测精度的效果示意图，其中，(A)图是三个包围球时的模型，(B)图是五个包围球时的模型。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步的描述。

参照图1～图10，一种基于包围球模型的三维电缆相交检测方法，包括以下步骤：

步骤1 建立数学模型:

1.1三维电缆的模拟图如图1所示，在选取的三维坐标系中依据模型在各个轴上的边界点划定工井空间范围如图2所示，划定空间范围后得到一个有限的长方体三维坐标空间集合a如(1)所示；

a＝{x,y,z|x∈[x_min,x_max],y∈[y_min,y_max],z∈[z_min,z_max]}     (1)

1.2假设空间中存在有n条线缆，得出每条线缆的三维模型函数如公式(2)所示；

z＝f_i ³(x,y),i＝1,2,...,n      (2)

其中下标i表示对应的电缆编号，上标3表示其为三维空间中的函数模型，{x,y,z}属于式(1)中空间集合a的子集；

1.3)图3所示是电缆的俯视图，从图中可以看到由于在重力作用下电缆在水平面上的投影基本近似于直线，因此取电缆的端点为线段的两顶点，依据顶点的坐标得到水平投影的线段，如图4所示，L1,L2,L3分别是三条线缆的水平投影线，其中a为两直线的交点。假设总共有n条线缆，则每条线缆对应的水平投影方程如(3)所示；

y＝f_i ²(x),i＝1,2,...,n      (3)

其中下标i表示对应的电缆编号，上标2表示其为二维空间中的函数模型，{x,y}属于式(1)中空间集合a的子集。

步骤2 分析电缆水平面直线投影的相交情况：

2.1进一步分析电缆水平面直线投影的相交情况，如果存在某两线段两两相交，则其存在相交的可能，需进一步从三维空间角度分析其是否相交，否则说明两线缆一定空间相离，直接忽略不再做进一步的判断；

图5所示的是判断两线段在x轴方向投影是否相交的示意图，其中L1是线段a在x轴的投影，L2是线段b在x轴的投影，L3是从两线段最左端到最右端距离的线段投影。如果满足下面条件(4)；

L1+L2≤L3      (4)

则说明两线段在x轴上的投影相离，否则则相交。单一方向上投影的相交为两线段相交的必要非充分条件，当x轴或y轴方向只有一处投影相交时线段依旧相离，如图6所示。因此依次判断x轴方向和y轴方向的投影是否相交，当两方向全部相交的时候可以判断两线段相交，如图7所示。假设某次对比的两条电缆的平面投影函数如式(5)所示；

$\begin{array}{c}b={\mathrm{ax}}_1+y_1,x\&Element;[x_1^{\min },x_1^{\max }],y\&Element;[y_1^{\min },y_1^{\max }]\\ d={\mathrm{cx}}_2+y_2,x\&Element;[x_2^{\min },x_2^{\max }],y\&Element;[y_2^{\min },y_2^{\max }]\end{array}---\left(5\right)$

如果满足条件(6)；

$\max (x_1^{\max },x_2^{\max })-\min (x_1^{\min },x_2^{\min })<x_1^{\max }-x_1^{\min }+x_2^{\max }-x_2^{\min }---\left(6\right)$

则说明两投影在x轴方向有相交，同理，如果满足条件(7)；

$\max (y_1^{\max },y_2^{\max })-\min (y_1^{\min },y_2^{\min })<y_1^{\max }-y_1^{\min }+y_2^{\max }-y_2^{\min }---\left(7\right)$

则说明两投影在y轴方向有相交。若其同时在x轴和y轴方向存在相交，则说明两直线相交，对应的两线缆存在相交的可能。依次对所有电缆的水平投影函数做两两对比，分别判别其是否相交，如果相离，则派出不再继续做判断，假设总共n条线缆，则需要对比的次数k如式(8)所示；

$k=C_n^2---\left(8\right)$

其中n表示总共包含的电缆数目，判断流程图如图8所示；

2.2求出水平投影的交点坐标：

依次对所有水平投影判定为相交的线缆组进行处理，求出其交点坐标，假设某第k组两条线缆的水平投影函数如式(5)所示，解得方程组的解，得两直线的交点坐标为(9)所示。

$(x_k^{\&prime;},y_k^{\&prime;})=(\frac{b-d}{z-c},b-\frac{a(b-d)}{a-c})---\left(9\right)$

步骤3 验证两线缆是否在垂直面相交：

根据相交的坐标点(9)，验证两线缆是否在垂直面相交，因为线缆具有直径属性，设定判定为可能存在相交的第k组线缆对比组的直径分别为r₁和r₂。如图9所示对电缆可能相交的区域做包围球处理，其包围球直径与电缆本身直径相同；

如图10所示，当包围球的圆心距离r3大于两球半径r₁和r₂之和时两包围球相离，当包围球的圆心距离r₃等于两球半径r₁和r₂之和时两包围球相切，当包围球的圆形距离r₃小于两球半径r₁和r₂之和时两包围球相交；

将式(9)中的交点坐标代回对应电缆的三维函数式(2)中，解得第k组两条电缆分别对应的z坐标为(10)所示；

$z_k^1=f_{i^{\&prime;}}^3(x_k^{\&prime;},y_k^{\&prime;})---\left(10\right)$

以求出的三维坐标为圆心做包围球，为了提高检测精度，以该包围球为中央球向线缆两头方向做数量对称的若干包围球，其圆心确定方式如式(11)所示，向x轴方向取线缆步长差为包围球半径的二分之一的点为新的包围球圆心，假设总共取k个包围球，由式(2)和式(10)得所有包围球圆心的坐标如式(10)所示；

$\left\{\begin{array}{c}{x}_k^{\&prime;\&prime;}\\ y_k^{\&prime;\&prime;}\\ z_k^{\&prime;\&prime;}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}{x}_k^{\&prime;}\&PlusMinus;(k-1)r/2\\ f_k^2(x_k^{\&prime;}\&PlusMinus;(k-1)r/2)\\ f_k^3(x_k^{\&prime;}\&PlusMinus;(k-1)r/2,f_k^2(x_k^{\&prime;}\&PlusMinus;(k-1)r/2)\end{array}\right\}---\left(11\right)$

从式(11)可得包围球的函数模型如式(12)所示，其中r表示包围球的半径，(x"_k,y"_k,z"_k)为第k个包围球的圆心坐标；

(x-x"_k)²+(y-y"_k)²+(z-z"_k)²＝r²      (12)

对每条线缆的包围球一一对比，总共k组包围球总共需要对比的次数为次，两包围球球心之间的距离l如式(13)所示；

$l=\sqrt{{(x_1-x_2)}^2+{(y_1-y_2)}^2+{(z_1-z_2)}^2}---\left(13\right)$

其中(x₁,y₁,z₁)和(x₂,y₂,z₂)分别是两包围球的圆心坐标。如果两包围球的圆心距离小于两包围球的半径和，则说明两包围球相交。进一步说明两线缆相交，如式(14)所示；

r₁+r₂＜l     (14)

判断流程图如图11所示，每根线缆分别取i个包围球，如图12所示，i的取值越大，包围球模拟的轨迹越接近真实线缆，判断结果越精确，但程序处理的耗时会更久，效率会降低，通常取3个包围球便可以满足大多数场合的精度要求；

依次对所属不同线缆的所有包围球进行两两对比，如果存在包围球相交，则判定线缆相交。否则，则判定线缆相离，对所有可能存在相交点的线缆组重复以上的判断，得出是否相交的结论。

本实例，对顶点为(-100，-50，-70),(50,10,100)的电缆A，和顶点为(-100,-60,30),(30,-10,-100)的电缆B进行分析，一种基于局部包围球模型的三维工井电缆相交检测方法，包括以下步骤：

步骤1 建立数学模型：

1.1划定工井空间范围为式(1)所示；

a＝{x,y,z|x∈[-100,100],y∈[-100,100],z∈[-100,100]}      (1)

1.2确定每条线缆的函数模型，在此模型中，垂直方向为y轴，水平方向为x轴和z轴，假设线缆A和线缆B的三维空间函数如公式(2)所示；

$\begin{array}{c}A:(x-50)/15=(y-10)/6=(z-100)/17;(x,y,z)\&Element;a;\\ B:(x-30)/13=(y+10)/5=(z-100)/7;(x,y,z)\&Element;a;\end{array}---\left(2\right)$

其中{x,y,z}属于式(1)中a集合的子集；

1.3由于在重力作用下电缆在水平面的投影近似为直线，线缆A和线缆B的水平投影函数如公式(3)所示；

$\begin{array}{c}A:z=(17/15)x+43.34\\ B:z=(-7/13)x-83.8\end{array}---\left(3\right)$

其中，{x,z}均属于式(1)中a集合的子集。

步骤2 分析电缆水平面投影的相交情况：

通过式(3)和式(1)计算可得投影的边界点如式(4)所示；

$\begin{array}{c}A:(-100,-69),\left(\mathrm{49,100}\right)\\ B:(-100,-29),(30,-100)\end{array}---\left(4\right)$

在x轴和z轴方向，其分别对比结果如式(5)所示；

线缆A和线缆B同时在x和z方向满足相交条件，所以两线缆水平投影存在相交。

步骤3 求出水平投影的交点坐标：

解水平投影方程组(3)，得两直线的交点坐标为(6)所示。

(x′,y′)＝(-76,-42.8)      (6)步骤4 验证两线缆是否在垂直面相交:

根据相交的坐标点(6)，验证两线缆是否在垂直面相交，假设线缆A和线缆B的直径均为4。用包围球模型对两线缆可能相交的部分进行局部模拟，其包围球直径与电缆本身直径相同，均为4；

每根线缆分别取3个包围球，将式(6)中的交点坐标代回对应电缆的三维函数式(2)中，解得A线缆和B线缆的y坐标分别为(7)所示；

$\begin{array}{c}{y}_A=-40.40\\ y_B=-50.77\end{array}---\left(7\right)$

从式(14)可得包围球的圆心坐标分别如式(8)所示；

$\begin{array}{c}A:(-76,-40.40,-42.8)\\ B:(-76,-50.77,-42.8)\end{array}----\left(8\right)$

以求出的三维坐标为圆心做包围球，为了提高检测精度，以该包围球为中央球向线缆两头方向做对称的一个包围球，以中央包围球的x坐标为基准点，分别往正负方向取步长差为2的线缆上的点为新的包围球的圆形，得线缆A和线缆B的所有包围球的圆心如式(9)所示；

$\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}{a}_A\\ b_A\\ c_A\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}-72,-38.8,-\mathrm{3.8.3}\\ -76,-40.40,-42.8\\ -80,-42,-47.37\end{array}\right\}\\ \left\{\begin{array}{c}{a}_B\\ b_B\\ c_B\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}-72,-49.23,-45.03\\ -76,-50.77,-42.8\\ -80,-52.31,-40.72\end{array}\right\}\end{array}---\left(9\right)$

其中a，b，c分别表示一个包围球，先比较a_A和b_A，得圆形距离大于两半径之和，故两包围球相离，如式(10)所示；

$\sqrt{{(-72+72)}^2+{(-38.8+49.23)}^2+{(-38.3+45.03)}^2}\&ap;12.41>8---\left(10\right)$

同理依次对A和B的包围球两两对比，得所有包围球均不相交，所以两线缆相离。

以上阐述的是本发明给出的一个实施例表现出来的优良优化效果，显然本发明不仅适合上述实施例，在不偏离本发明基本精神及不超出本发明实质内容所涉及内容的前提下可对其做种种变化加以实施。

Claims (1)

1.一种基于包围球模型的三维电缆相交检测方法，其特征在于：所述检测方法包括以下步骤：

步骤1.建立数学模型：

1.1划定工井空间范围为式(1)所示,其中a表示空间包含的坐标集合，max表示参数在所属坐标轴上的最大值，min表示参数在所属坐标轴上的最小值；

a＝{x,y,z|x∈[x_min,x_max],y∈[y_min,y_max],z∈[z_min,z_max]}     (1)

1.2确定每条线缆的函数模型，假设制定空间中有n条线缆，得出每条线缆的三维坐标函数如公式(2)所示；

z＝f_i ³(x,y),i＝1,2,...,n     (2)

其中下标i表示对应的电缆编号，上标3表示其为三维空间中的函数模型，{x,y,z}属于式(1)中a集合的子集；

1.3由于在重力作用下电缆在水平面的投影近似为直线，其水平投影函数如公式(3)所示；

y＝f_i ²(x),i＝1,2,...,n     (3)

其中下标i表示对应的电缆编号，上标2表示其为二维空间中的函数模型，{x,y}均属于式(1)中a集合的子集；

步骤2.分析电缆水平面投影的相交情况：

取投影函数在x轴上的投影，并对所有电缆的投影函数做两两对比，总共n条线缆，则需要对比的次数k如式(4)所示；

$k=C_n^2---\left(4\right)$

其中n表示总共包含的电缆数目，依次循环两辆对比判断投影是否相交；

假设某次对比的两条电缆的平面投影函数如式(5)所示；

$\begin{array}{c}b={\mathrm{ax}}_1+y_1,x\&Element;[x_1^{\min },x_1^{\max }],y\&Element;[y_1^{\min },y_1^{\max }]\\ d={\mathrm{cx}}_2+y_2,x\&Element;[x_2^{\min },x_2^{\max }],y\&Element;[y_2^{\min },y_2^{\max }]\end{array}---\left(5\right)$

如果满足条件(6)，则说明两投影在x轴方向有相交；

$\max (x_1^{\max },x_2^{\max })-\min (x_1^{\min },x_2^{\min })<x_1^{\max }-x_1^{\min }+x_2^{\max }-x_2^{\min }---\left(6\right)$

同理，如果满足条件(7),则说明两投影在y轴方向有相交；若其同时在x轴和y轴方向存在相交，则说明两直线相交，对应的两线缆存在相交的可能；

$\max (y_1^{\max },y_2^{\max })-\min (y_1^{\min },y_2^{\min })<y_1^{\max }-y_1^{\min }+y_2^{\max }-y_2^{\min }---\left(7\right)$

步骤3.求出水平投影的交点坐标：

假设某第k组两条线缆的水平投影函数如式(5)所示，则两直线的交点坐标为(8)所示：

$(x_k^{\&prime;},y_k^{\&prime;})=(\frac{b-d}{z-c},b-\frac{a(b-d)}{a-c})---\left(8\right)$

步骤4.验证两线缆是否在垂直面相交：

根据相交的坐标点(8)，验证两线缆是否在垂直面相交，因为线缆具有直径属性，设定判定为可能存在相交的第k组线缆对比组的直径分别为r₁和r₂，用包围球模型对两线缆可能相交的部分进行局部模拟，其包围球直径与电缆本身直径相同；

每根线缆分别取i个包围球，将式(8)中的交点坐标代回对应电缆的三维函数式(2)中，解得第k组两条电缆分别对应的z坐标为(9)所示；

$z_k^1=f_{i^{\&prime;}}^3(x_k^{\&prime;},y_k^{\&prime;})---\left(9\right)$

以求出的三维坐标为圆心做包围球，以该包围球为中央球向线缆两头方向做数量对称的若干包围球，其圆心确定方式如式(10)所示，向x轴方向取线缆步长差为包围球半径的二分之一的点为新的包围球圆心，假设总共取k个包围球，由式(2)和式(9)得所有包围球圆心的坐标如式(10)所示；

$\left\{\begin{array}{c}{x}_k^{\&prime;\&prime;}\\ y_k^{\&prime;\&prime;}\\ z_k^{\&prime;\&prime;}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}{x}_k^{\&prime;}\&PlusMinus;(k-1)r/2\\ f_k^2(x_k^{\&prime;}\&PlusMinus;(k-1)r/2)\\ f_k^3(x_k^{\&prime;}\&PlusMinus;(k-1)r/2,f_k^2(x_k^{\&prime;}\&PlusMinus;(k-1)r/2)\end{array}\right\}---\left(10\right)$

从式(10)得包围球的函数模型如式(11)所示，其中r表示包围球的半径，(x"_k,y"_k,z"_k)为第k个包围球的圆心坐标；

(x-x"_k)²+(y-y"_k)²+(z-z"_k)²＝r²     (11)

对每条线缆的包围球一一对比，总共k组包围球总共需要对比的次数为次，两包围球球心之间的距离l如式(12)所示；

$l=\sqrt{{(x_1-x_2)}^2+{(y_1-y_2)}^2+{(z_1-z_2)}^2}---\left(12\right)$

其中(x₁,y₁,z₁)和(x₂,y₂,z₂)分别是两包围球的圆心坐标，如果两包围球的圆心距离小于两包围球的半径和，即满足条件(13)，则说明两包围球相交，进一步说明两线缆相交，依次对所有包围球进行对比，如果存在包围球相交，则判定线缆相交；

r₁+r₂＜l       (13)。