CN104135008A - 一种用电阻裕度综合评价静态电压稳定与功角稳定的方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种用电阻裕度综合评价静态电压稳定与功角稳定的方法，属于电力系统领域。该方法基于潮流方程，考虑注入系统功率的动态特性，对系统进行相对综合动态等值，从PV节点看进去，计算系统的相对综合动态等值阻抗与节点的电阻裕度指标，根据节点电阻裕度指标，快速判断系统是否静态电压失稳与功角失稳，或者判断PV节点的功角稳定性强弱。在线应用时，跟踪计算电阻裕度指标不依赖系统内部负荷模型的先验知识。本发明可应用于电力系统在线分析控制以及离线仿真分析，有利于系统运行调度人员及时采取有效措施，提高系统的稳定水平；有利于系统规划以及调度人员采用合理的设计与运行方案，提高系统运行的整体静态稳定水平与经济性。

Description

一种用电阻裕度综合评价静态电压稳定与功角稳定的方法

技术领域

本发明涉及电力系统稳定分析方法，特别是一种应用电阻裕度指标综合评价静态电压稳定与功角稳定的方法，属于电力系统领域。

技术背景

电力系统静态电压稳定与功角稳定只是电力系统稳定分析的两种极端情形。由1个平衡节点与1个PQ节点构成的简单系统只有电压稳定问题，由1个平衡节点与1个PV节点构成的简单系统只有功角稳定问题，静态电压稳定和功角稳定的极限都是求取电力系统潮流的极限值。尽管人们早已认识到电力系统静态电压稳定与功角稳定存在内在的密切联系，但是，没有提出实用的综合评价电压稳定与功角稳定的指标，也没有形成通用的电压稳定与功角稳定统一分析方法。

采用经典分析方法研究系统的静态功角特性，计算系统静态功率储备系数，必须考虑系统内部各个节点电压(或机群电势)之间的相位关系。如果对系统进行戴维南等值，那么系统等值电势的大小与相位角都不是恒定的，等值电势本身也具有动态特性，所以不能用系统戴维南等值电势作为分析静态功角稳定的参考电势。根据系统网络方程，注入节点电流是系统内部节点电压的线性组合，所以注入节点电流的微分，充分综合了系统内部各节点电压的幅值与相位变化趋势的信息。如果利用注入节点电流方向微分所包含的信息，可以准确分析PV节点的静态功角稳定性，而不必直接分析系统戴维南等值电势的动态特性。简单系统的整步功率系数为dP/dδ，实用上，认为系统在不发生自发振荡前提下，用dP/dδ＞0作为判据，来计算静态稳定储备系数。由于多机系统的功率特性是多变量函数，因此理论上不能够求出多机系统的整步功率系数。

发明内容

针对现有技术存在的上述缺陷，本发明的目的是提供一种应用电阻裕度指标综合评价电力系统静态电压稳定与功角稳定的方法。在线应用时，通过相对综合动态等值方法，实时获取系统的相对综合动态等值阻抗，计算PV节点的电阻裕度，电阻裕度指标不依赖系统内部负荷模型的先验知识。离线计算时，基于潮流方程，可方便地计算系统中所有PV节点的电阻裕度指标，而且在潮流方程中，完整地保留了系统的网络结构特性，并便于采用负荷的恒定功率模型。电阻裕度局部指标能够判断PV节点是否静态功角稳定，快速地反应系统内部是否会发生静态电压失稳，判断系统静态稳定整体水平，有利于系统规划与调度人员及时采取有效措施，提高系统的稳定水平。

本发明的解决方案如下。其特征在于以下步骤：

步骤A：当电力系统受到扰动或发生故障后，选择PV节点作为监测对象；

步骤B：利用同步测量装置对节点的电压相量、电流相量(若应用于离线仿真分析，可以直接得到仿真时步中节点的电压、电流相量值)进行同步采样，通过相对综合动态等值方法，得到系统的相对综合动综合动态等值阻抗Z_REL＝R_REL+jX_REL，负荷的静态等值阻抗Z_LD＝R_LD+jX_LD；

步骤C：系统内部达到静态电压稳定临界状态，同时PV节点达到静态功角稳定临界状态的必要条件是，系统的相对综合动态等值电阻等于负荷的静态等值电阻，即R_REL＝R_LD；

步骤D：将评价简单电力系统静态功角稳定性的整步功率系数中的余弦函数值cosδ变换成为电阻裕度指标 ${\mathrm{\μ}}_r=\mathrm{sign}\left(R_{\mathrm{LD}}\right)\frac{-(R_{\mathrm{LD}}-R_{\mathrm{REL}})/(X_{\mathrm{LD}}-X_{\mathrm{REL}})}{\sqrt{1+{(R_{\mathrm{LD}}-R_{\mathrm{REL}})}^2/{(X_{\mathrm{LD}}-X_{\mathrm{REL}})}^2}}=\cos \mathrm{\δ};$

步骤E：比较结果，如果μ_r＜0，则系统发生静态电压失稳与静态功角失稳，系统运行、分析人员可以采取切机切负荷、系统解列、增加无功补偿等控制措施；如果μ_r＞0，则系统能够维持静态电压稳定与静态功角稳定，μ_r越大，系统的静态电压稳定性越强，PV节点与系统的功角整步能力越强，其物理意义与整步功率系数中的余弦函数值相同。

步骤F：在电力系统规划设计与运行调度中，如果优先选择电阻裕度较大的电源节点增发有功功率，并减小电阻裕度较小的电源节点发出的有功功率：1)可以提高系统运行的整体静态稳定水平；2)可以减小系统运行的总体无功功率损耗。

其中在所述步骤B中，从负荷点往系统方向看进去，系统的相对综合动态等值阻抗Z_REL通过如下方法计算：

电力系统节点电压与系统流向负荷的电流是

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{U}={\mathrm{Ue}}^{\mathrm{j\δ}}\\ \stackrel{\·}{I}={\mathrm{Ie}}^{\mathrm{j\θ}}\end{array}\right.---\left(1\right)$

节点电压与电流的微分是

$\left\{\begin{array}{c}d\stackrel{\·}{U}=e^{\mathrm{j\δ}}\mathrm{dU}+j{e}^{\mathrm{j\δ}}\mathrm{Ud\δ}\\ d\stackrel{\·}{I}=e^{\mathrm{j\θ}}\mathrm{dI}+j{e}^{\mathrm{j\θ}}\mathrm{Id\θ}\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，e^jδdU是电压的法向微分；je^jδUd(δ-θ)是电压的切向相对微分；e^jθdI是电流的法向微分；若应用于在线时，微分就是两个相邻时刻的采样值之差；

电力系统的相对综合动态等值阻抗Z_REL是：

$Z_{\mathrm{REL}}=-\frac{[\mathrm{dU}+\mathrm{jUd}(\mathrm{\δ}-\mathrm{\θ})]e^{\mathrm{j\δ}}}{e^{\mathrm{j\θ}}\mathrm{dI}}=R_{\mathrm{REL}}+j{X}_{\mathrm{REL}},$ 即

式中，是负荷的功率因数角；

电力系统节点的负荷静态等值阻抗Z_LD是：

$Z_{\mathrm{LD}}=\frac{\stackrel{\·}{U}}{\stackrel{\·}{I}}=R_{\mathrm{LD}}+j{X}_{\mathrm{LD}}---\left(4\right)$

其中在所述步骤B中，当PV节点不能维持电压恒定时，可以将发电机内部电势节点看做PV节点。其中在所述步骤C中，PV节点达到静态功角稳定极限状态的必要条件是：

因为注入节点的有功功率的平方是

式中为功率因数角，令

$\frac{d\left(P_{\mathrm{LD}}^2\right)}{\mathrm{dI}}=2P_{\mathrm{LD}}I(R_{\mathrm{LD}}-R_{\mathrm{REL}})=0,$

得到结论：当负荷的静态等值电阻等于系统的相对综合动态等值电阻时，取极大值，对应PV节点静态功角稳定临界点，所以R_REL＝R_LD是系统静态电压稳定与功角稳定临界点的判据。

其中在所述步骤D中所述的将评价电力系统静态功角稳定性的整步功率系数中的余弦函数变换为电阻裕度的方法是：

PV节点的负荷功率是

式中是负荷的功率因数角，则

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d{P}_{\mathrm{LD}}}{\mathrm{dI}}=I(R_{\mathrm{LD}}-R_{\mathrm{REL}})\\ \frac{d{Q}_{\mathrm{LD}}}{\mathrm{dI}}=I(X_{\mathrm{LD}}-X_{\mathrm{REL}})\end{array}\right.---\left(6\right)$

于是有

$-\frac{d{P}_{\mathrm{LD}}}{d{Q}_{\mathrm{LD}}}=-\frac{R_{\mathrm{LD}}-R_{\mathrm{REL}}}{X_{\mathrm{LD}}-X_{\mathrm{REL}}}---\left(7\right)$

在简单电力系统中，PV节点的负荷功率有如下关系

$-\frac{d{P}_{\mathrm{LD}}}{d{Q}_{\mathrm{LD}}}=\mathrm{ctg\δ}---\left(8\right)$

式中δ为简单电力系统的功角，综合评价静态电压稳定与功角稳定的电阻裕度指标是

${\mathrm{\μ}}_r=\mathrm{sign}\left(R_{\mathrm{LD}}\right)\frac{-(R_{\mathrm{LD}}-R_{\mathrm{REL}})/(X_{\mathrm{LD}}-X_{\mathrm{REL}})}{\sqrt{1+{(R_{\mathrm{LD}}-R_{\mathrm{REL}})}^2/{(X_{\mathrm{LD}}-X_{\mathrm{REL}})}^2}}=\cos \mathrm{\δ}---\left(9\right)$

对于注入系统的有功功率是电源的节点，电阻裕度指标μ_r的正负符号需要改变。

基于相对综合动态等值方法，计算系统的相对综合动态等值阻抗与PV节点的电阻裕度指标。通过实时判断电阻裕度指标的正负符号是否改变，可以快速判断系统是否发生静态电压失稳与功角失稳。有利于运行调度人员采取有效措施，抑制系统是问的进一步恶化。在电力系统规划设计与运行调度中，电阻裕度有两方面的参考意义。如果优先选择电阻裕度较大的电源节点增发有功功率，并减小电阻裕度较小的电源节点发出的有功功率：1)可以提高系统运行的整体静态稳定水平；2)可以减小系统运行的总体无功功率损耗。有利于规划与调度人员采用合里的设计与运行方案，提高系统运行的整体静态稳定水平与经济性。

附图说明

图1是电力系统PV节点相对综合动态等值示意图。

图2是节点电压切向相对微分的物理意义示意图。

具体实施方式

第一步：动态等值阻抗计算方法如下

直角坐标下，电力系统潮流方程为

$W=F(U,{\stackrel{\·}{U}}_n)---\left(10\right)$

式中，为平衡节点电压，及

$W={\left[\begin{array}{ccccc}{P}_{1S}& Q_{1S}& \·\·\·& P_{(n-1)S}& U_{(n-1)S}^2\end{array}\right]}^T$

U＝[e₁ f₁ … e_n-1 f_n-1]^T

设注入系统功率参变量为λ，注入节点功率为

$\left\{\begin{array}{c}{P}_{\mathrm{is}}=P_{\mathrm{is}}\left(\mathrm{\λ}\right)\\ Q_{\mathrm{is}}=Q_{\mathrm{is}}\left(\mathrm{\λ}\right)\end{array}\right.---\left(11\right)$

式(11)既可以描述发电机功率的任意变化轨迹，也可以描述负荷的任意电压静态特性。将式(11)代入(10)后，对于注入PQ节点的功率，可以将其中与电压相关的功率分量移到右边，式(10)仍然是一般的非线性方程组，仍然适用于非线性方程组的极值分析原理，所以并不影响本文结论的正确性。而注入PV节点的有功功率与电压完全不相关，注入PV节点的有功功率不必移项。通过上述移项，计及了负荷的电压静态特性。在电压稳定分析中，负荷的恒定功率模型是最保守的模型；负荷的恒定阻抗模型是最乐观的模型，即没有电压稳定问题。计及负荷电压静态特性后，会增大系统中PV节点的电阻裕度。

在线监测时，因为式(11)能够客观地反映注入系统功率的真实变化轨迹，所以，.PV节点的电阻裕度能够自适应地跟踪系统内部的动态参数。

式(10)对λ求导数，并令λ＝λ₀及U＝U₀。有

$\frac{\mathrm{dW}}{\mathrm{d\λ}}=J\frac{\mathrm{dU}}{\mathrm{d\λ}}---\left(12\right)$

其中J＝dF/dU，正好是静态运行点潮流计算收敛的雅可比矩阵。在式(10)中，如果注入PQ节点的功率中存在与电压相关的分量，那么与电压相关的分量必须移到右边。与电压相关的功率分量对电压求导后，此时称J为广义雅可比矩阵。广义雅可比矩阵可以在线自适应地修正PV节点的电阻裕度。在电力系统受到大干扰后的暂态过程中，如果在线监测PV节点的电阻裕度，去掉注入功率突变与网络突变不连续间断点，即可满足式(12)功率可微条件。

由式(12)解得

$\frac{\mathrm{dU}}{\mathrm{d\λ}}=J^{-1}\frac{\mathrm{dW}}{\mathrm{d\λ}}---\left(13\right)$

在式(13)的计算中，仅仅用到潮流计算已保存的雅可比矩阵分解因子表，回代运算工作量很小。

式(13)的意义是：在考虑注入系统功率动态特性的基础上，将系统静态运行点的潮流雅可比矩阵信息完全析出，得到系统节点电压对注入功率的动态响应。

网络方程为

I＝YU                       (14)

式中： $I={\left[\begin{array}{cccc}{\stackrel{\·}{I}}_1& {\stackrel{\·}{I}}_2& \·\·\·& {\stackrel{\·}{I}}_n\end{array}\right]}^T;$

$U={\left[\begin{array}{cccc}{\stackrel{\·}{U}}_1& {\stackrel{\·}{U}}_2& \·\·\·& {\stackrel{\·}{U}}_n\end{array}\right]}^T$

式(14)对λ求导数

$\frac{\mathrm{dI}}{\mathrm{d\λ}}=Y\frac{\mathrm{dU}}{\mathrm{d\λ}}---\left(15\right)$

将式(13)代入(15)，便得到电流对λ的导数。式(15)的意义是：引入电流辅助变量，建立电力系统分散的综合动态等值电路。消去功率参变量，计算系统的综合非线性等值电路的动态参数，从而回避直接分析潮流雅可比矩阵的特征值。

对于任意节点i，因为

式(16)对λ求导数，得到电压模与电流模对λ的导数

由式(1)对λ求导数，得到电压相位角与电流相位角对λ的导数

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d{\mathrm{\δ}}_i}{\mathrm{d\λ}}=j(\frac{d{U}_i}{\mathrm{d\λ}}-\frac{d{\stackrel{\·}{U}}_i}{\mathrm{d\λ}}{e}^{-j{\mathrm{\δ}}_i})/U_i\\ \frac{d{\mathrm{\θ}}_i}{\mathrm{d\λ}}=j(\frac{d{I}_i}{\mathrm{d\λ}}-\frac{d{\stackrel{\·}{I}}_i}{\mathrm{d\λ}}{e}^{-j{\mathrm{\θ}}_i})/I_i\end{array}\right.---\left(18\right)$

功率因数角对λ的导数为

根据复合函数求导的链式法则，消去功率参变量，得到系统综合等值电路的动态参数

对于PQ节点，系统法向动态等值阻抗摸

|Z_iNOR|＝-dU_i/dI_i           (21)

对于PV节点，系统相对综合动态等值阻抗为

负荷的静态等值阻抗为

第二步：仿真计算分析如下

仅研究负荷功率同步增大情形。负荷功率同步增大，负荷功率在各电源之间按初始功率比例分摊，网损变化全部由平衡节点承担，并考虑PV节点无功功率约束。注入功率约束条件如下

对于PQ节点(假定负荷功率为正)

$\left\{\begin{array}{c}{P}_{\mathrm{is}}=\mathrm{\λ}{P}_{i0}\\ Q_{\mathrm{is}}=\mathrm{\λ}{Q}_{i0}\end{array}\right.---\left(24\right)$

对于PV节点(假定负荷功率为正)

$\left\{\begin{array}{c}{P}_{\mathrm{is}}=\mathrm{\λ}{P}_{i0}\\ Q_{\mathrm{ic}\min }\≤Q_{\mathrm{ic}}\≤Q_{\mathrm{ic}\max }\\ Q_{\mathrm{is}}=\mathrm{\λ}{Q}_{i0}-Q_{\mathrm{ic}\max }\end{array}\right.---\left(25\right)$

λ为功率参变量。式(25)表明，PV节点部分无功功率负荷随功率参变量λ变化。如果Qic不越限，则该节点是PV节点；如果Q_ic越限，则PV节点转换为PQ节点，但是注入该节点的无功功率可能不是常数，即无功功率平方与有功功率平方呈减函数关系。其他指定负荷与指定电源分别组合的情形，可以通过改变注入功率函数表达式确定。

第三步：以IEEE14节点系统为例

系统初始功率由基态同步增大，在不同负荷水平下：①只对被研究PV节点功率扰动，其余所有节点功率均为常数，称单节点功率扰动方式。计算各PV节点的RiLD、RiREL、XiLD、XiREL与μir，结果见表1。②所有电源PV节点按初始功率比例扰动，所有PQ节点与负荷PV节点功率为常数(负荷恒定功率模型)；或所有负荷PV节点按初始功率比例扰动，所有PQ节点与电源PV节点功率为常数。以上称同步功率扰动方式。电阻裕度见表2。

表1不同负荷水平下单节点功率扰动PV节点的电阻裕度

表2不同负荷水平下同步功率扰动PV节点的电阻裕度

分析表1结果：系统负荷水平越大，PV节点电阻裕度越小，表明静态功角稳定性随系统负荷增大而降低。节点6电阻裕度最大，节点3电阻裕度最小，节点2电阻裕度介于二者之间。以上电阻裕度的大小，确定各PV节点的静态功角稳定性的强弱顺序。节点6与3的有功功率都是等效负荷，节点2的有功功率是等效电源。分析IEEE 14的网络结构：节点6与平衡节点之间的电气距离最大，节点2与平衡节点之间的电气距离最小。但是，节点6的初始功率很小，节点3的初始功率最大。电气距离与初始运行状态综合决定PV节点静态功角稳定性强弱，这与静态功角稳定原理是一致的。

分析表2结果：在相同负荷水平下，同步功率扰动的电阻裕度小于单节点功率扰动的电阻裕度，这表明PV节点的电阻裕度确实跟踪了系统内部功率变化轨迹。节点6与3的电阻裕度较接近单节点功率扰动方式，表明该两节点之间的耦合关系较弱。因为节点3的初始功率最大，正比于初始功率的扰动功率也最大，该节点抑制系统内部扰动的能力最强。在节点3与平衡节点之间，扰动功率交换充分，故节点3的电阻裕度更接近单节点功率扰动方式。上述结论，为在线检测与滤波以及电阻裕度的全局协调辨识提供了参考依据。

Claims (4)

1.一种用电阻裕度综合评价静态电压稳定与功角稳定的方法，其特征在于包括如下步骤：

步骤A：当电力系统受到扰动或发生故障后，选择PV节点作为监测对象；

步骤B：利用同步测量装置对节点的电压相量、电流相量(若应用于离线仿真分析，可以直接得到仿真时步中节点的电压、电流相量值)进行同步采样，通过相对综合动态等值方法，得到系统的相对综合动态等值阻抗Z_REL＝R_REL+jX_REL，负荷的静态等值阻抗Z_LD＝R_LD+jX_LD；

步骤C：系统内部达到静态电压稳定临界状态，同时PV节点达到静态功角稳定临界状态的必要条件是，系统的相对综合动态等值电阻等于负荷的静态等值电阻，即R_REL＝R_LD；

步骤D：将评价电力系统静态功角稳定性的整步功率系数中的余弦函数值cosδ变换成为电阻裕度指标 ${\mathrm{\μ}}_r=\mathrm{sign}\left(R_{\mathrm{LD}}\right)\frac{-(R_{\mathrm{LD}}-R_{\mathrm{REL}})/(X_{\mathrm{LD}}-X_{\mathrm{REL}})}{\sqrt{1+{(R_{\mathrm{LD}}-R_{\mathrm{REL}})}^2/{(X_{\mathrm{LD}}-X_{\mathrm{REL}})}^2}}=\cos \mathrm{\δ};$

步骤E：比较结果，如果μ_r＜0，则系统发生静态电压失稳与静态功角失稳，系统运行、分析人员可以采取切机切负荷、系统解列、增加无功补偿等控制措施；如果μ_r＞0，则系统能够维持静态电压稳定与静态功角稳定，μ_r越大，系统的静态电压稳定性越强，PV节点与系统的功角整步能力越强，其物理意义与整步功率系数中的余弦函数值相同。

步骤F：在电力系统规划设计与运行调度中，如果优先选择电阻裕度较大的电源节点增发有功功率，并减小电阻裕度较小的电源节点发出的有功功率：1)可以提高系统运行的整体静态稳定水平；2)可以减小系统运行的总体无功功率损耗。

2.根据权利要求1所述方法，其特征在于：

其中在所述步骤B中，从负荷点往系统方向看进去，系统的相对综合动态等值阻抗Z_REL通过如下方法计算：

电力系统节点电压与系统流向负荷的电流是

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{U}=U{e}^{\mathrm{j\δ}}\\ \stackrel{\·}{I}=I{e}^{\mathrm{j\θ}}\end{array}\right.,$

节点电压与电流的微分是

$\left\{\begin{array}{c}d\stackrel{\·}{U}=e^{\mathrm{j\δ}}\mathrm{dU}+j{e}^{\mathrm{j\δ}}\mathrm{Ud\δ}\\ d\stackrel{\·}{I}=e^{\mathrm{j\θ}}\mathrm{dI}+j{e}^{\mathrm{j\θ}}\mathrm{Id\θ}\end{array}\right.,$

其中，e^jδdU是电压的法向微分；je^jδUd(δ-θ)是电压的切向相对微分；e^jθdI是电流的法向微分；若应用于在线时，微分就是两个相邻时刻的采样值之差；

电力系统的相对综合动态等值阻抗Z_REL是：

$Z_{\mathrm{REL}}=-\frac{[\mathrm{dU}+\mathrm{jUd}(\mathrm{\δ}-\mathrm{\θ})]e^{\mathrm{j\δ}}}{e^{\mathrm{j\θ}}\mathrm{dI}}=R_{\mathrm{REL}}+{\mathrm{jX}}_{\mathrm{REL}},$ 即

式中，是负荷的功率因数角；

电力系统节点的负荷静态等值阻抗Z_LD是：

$Z_{\mathrm{LD}}=\frac{\stackrel{\·}{U}}{\stackrel{\·}{I}}=R_{\mathrm{LD}}+j{X}_{\mathrm{LD}};$

其中在所述步骤B中，当PV节点不能维持电压恒定时，可以将发电机内部电势节点看做PV节点。

3.根据权利要求1所述方法，其特征在于：

其中在所述步骤C中，PV节点达到静态功角稳定极限状态的必要条件是：

因为注入节点的有功功率的平方是

式中为功率因数角，令

$\frac{d\left(P_{\mathrm{LD}}^2\right)}{\mathrm{dI}}=2P_{\mathrm{LD}}I(R_{\mathrm{LD}}-R_{\mathrm{REL}})=0,$

得到结论：当负荷的静态等值电阻等于系统的相对综合动态等值电阻时，取极大值，对应PV节点静态功角稳定临界点，所以R_REL＝R_LD是系统静态电压稳定与功角稳定临界点的判据。

4.根据权利要求1所述方法，其特征在于：

其中在所述步骤D中所述的将评价电力系统静态功角稳定性的整步功率系数中的余弦函数变换为电阻裕度的方法是：

PV节点的负荷功率是

式中是负荷的功率因数角，则

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d{P}_{\mathrm{LD}}}{\mathrm{dI}}=I(R_{\mathrm{LD}}-R_{\mathrm{REL}})\\ \frac{d{Q}_{\mathrm{LD}}}{\mathrm{dI}}=I(X_{\mathrm{LD}}-X_{\mathrm{REL}})\end{array}\right.,$

于是有

$-\frac{d{P}_{\mathrm{LD}}}{d{Q}_{\mathrm{LD}}}=-\frac{R_{\mathrm{LD}}-R_{\mathrm{REL}}}{X_{\mathrm{LD}}-X_{\mathrm{REL}}}$

在简单电力系统中，PV节点的负荷功率有如下关系

$-\frac{d{P}_{\mathrm{LD}}}{d{Q}_{\mathrm{LD}}}=\mathrm{ctg\δ},$

式中δ是简单电力系统的功角，综合评价静态电压稳定与功角稳定的电阻裕度指标是

${\mathrm{\μ}}_r=\mathrm{sign}\left(R_{\mathrm{LD}}\right)\frac{-(R_{\mathrm{LD}}-R_{\mathrm{REL}})/(X_{\mathrm{LD}}-X_{\mathrm{REL}})}{\sqrt{1+{(R_{\mathrm{LD}}-R_{\mathrm{REL}})}^2/{(X_{\mathrm{LD}}-X_{\mathrm{REL}})}^2}}=\cos \mathrm{\δ},$

对于注入系统的有功功率是电源的节点，电阻裕度指标μ_r的正负符号需要改变。