CN104111137A - 基于三次多项式模型的锚杆承载力预测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于三次多项式模型的锚杆承载力检测方法，其步骤主要包括：（1）建立一个三次多项式模型，用线性回归法求解所述三次多项式模型参数；（2）使用该模型预测锚杆极限位移值S_u和锚杆极限静荷载值P_u；（3）将所得极限位移值S_u与已知的所有实测位移值进行对比，重新确定三次多项式模型；（4）根据所建立的三次多项式模型，已知位移S，对锚杆承载力进行预测。本发明建立的三次多项式模型模拟精确度和稳定度较高，而且受锚杆P-S曲线的不光滑度影响较小一些，使用范围更广。

Description

基于三次多项式模型的锚杆承载力预测方法

技术领域

本发明涉及一种在矿山工程、岩土工程、地下工程中对锚杆（含锚索）承载力进行检测的方法，尤其涉及一种基于三次多项式模型的锚杆承载力检测方法。 

背景技术

现有技术中，传统的锚杆承载力检测方式是通过对锚杆进行现场拉拔实验，测定锚杆部分静荷载P和位移S数据，建立数学模型，进而预测完整的锚杆静荷载与极限承载力值。利用静荷载-位移（简称P-S）曲线对锚杆承载力进行预测的方法主要有双曲线模型、指数模型、双曲线模型和指数模型组合而成的最优组合预测模型以及二次趋势曲线预估法等。

上述大部分方法对锚杆P-S曲线进行模拟时，都没有考虑到实际情况（大多数锚杆都为预应力锚杆，锚杆都必须施加预应力才能起到主动支护的作用，且实际锚杆拉拔试验测量数据存在误差），而直接按照理论锚杆P-S曲线的形状去建立和改进模型，强制模型过原点，易导致建立的模型通用性较差，只对一些特定的数据模拟精度较高的缺点；二次多项式模型只能够用来模拟锚杆P-S曲线的弹性、弹塑性阶段和预估锚杆的极限承载力值，不能用来模拟锚杆P-S曲线的破坏阶段曲线，对于破坏阶段较长的锚杆P-S曲线模拟效果较差。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是针对上述现有技术中的缺点，提供一种针对预应力锚杆的承载力预测方法。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案：

一种基于三次多项式模型的锚杆承载力预测方法，其特征在于其包括如下步骤：

（1）首先，组建测试平台，所述测试平台包括与被测锚杆外露端自由段连接的锚杆拉力计、与所述锚杆拉力计连接的拉力传感器、设置在所述被测锚杆外露端锚头上的位移传感器、与所述拉力传感器和位移传感器相连接的数据采集装置以及与所述数据采集装置相连接的计算机；

（2）建立三次多项式模型，记该三次多项式模型如式（A）所示，用线性回归法求解所述三次多项式模型参数；

     （A）                                                                

其中，P代表锚杆所承受的静荷载，单位kN，S代表该静荷载下锚杆顶部位移，单位mm，a、b、c、d为4个待拟定参数；

已知位移S和静荷载P，用线性回归法求解三次多项式模型参数，具体过程如下：

1）一元变多元，令x₁=S，x₂=S ² ，x₃=S ³ ，y=P；

2）求取矩阵A，B，其中

，，

其中，，， ， ， ，  （）

n为x ₁、x ₂、x ₃或y中的数据个数，x _ij 代表x _i 中各元素，y _j 代表y中各元素；

3）求取多项式参数矩阵C和参数c，其中

， ；

（3）使用步骤（2）建立的模型预测锚杆极限位移值S _u 和锚杆极限静荷载值P _u ：

使用式（B）、（C）和（D）分别求出各极限位移值，判定这三个值是否为实数，其中为实数的最小极限位移值为最终的模型预测极限位移值S _u ，将其带入式（A），求得最终的模型预测极限承载值P _u ；

 (当a >0，b ²-3ad >0时)          (B)                                                

  (当a >0，b ²-3ad ≤0时)              (C)

 （当a <0，b ²-3ad >0时）    (D)                                                 

（4）将步骤（3）所得极限位移值与已知的所有实测位移值进行对比：

1）若存在大于S _u 的实测位移数据，就对模型进行修正，具体方法为：

以预测的极限位移值S _u 作为分界点，实测位移S比S _u 小的阶段曲线使用步骤（2）建立的三次多项式模型进行重新模拟，将此三次多项式阶段最后一对S和P的实测值对应的模拟值，以及已知实测位移S比S _u 大的阶段曲线的实测锚杆P和S的数据，按照误差平方和最小的原则，进行直线拟合，并强制所述直线过上述三次多项式阶段最后一对S和P的实测值对应的模拟值；重新模拟的三次多项式阶段曲线和拟合的直线阶段合起来即为最终模拟锚杆P-S曲线的三次多项式模型；

2）若不存在大于S _u 的实测位移数据，就将位移大于S _u 的阶段曲线使用通过（S _u ，P _u ）点的一条水平线进行模拟，S小于S _u 的三次多项式阶段曲线和S≥S _u 的直线阶段合起来极为最终模拟锚杆P-S曲线的三次多项式模型；

（5）根据所建立的三次多项式模型，已知位移S，对锚杆承载力进行预测。

本发明的积极效果为：本发明所述的基于三次多项式模型的锚杆承载力预测方法，由于使用三次多项式模型对其进行预测，与修正后双曲线、指数和幂函数模型进行模拟精度、稳定度和预测锚杆极限承载力值准确度对比结果表明，三次多项式模型模拟精确度和稳定度都是最高的，而且受锚杆P-S曲线的不光滑度影响较小一些，使用范围更广。

附图说明

 图1 为本发明预应力锚杆拉拔试验示意图；

图2为多项式模型模拟锚杆A2的P-S曲线图；

图3为多项式模型模拟锚杆B2的P-S曲线图；

图4为多项式模型模拟锚杆C4的P-S曲线图；

图5为多项式模型模拟锚杆D2的P-S曲线图。

在图1中：1 计算机、2 锚杆拉力计、3 拉力传感器集成拉力数据采集装置、4拉力计液压缸、5 垫片、6 锚杯、7 夹片、8 高强度螺母、9 位移传感器、10 滑动连接件、11 位移传感器固定杆、12 滑块、13 腰梁、14 竖桩、15 拉杆、16锚盘、17锚固体、18 位移数据采集装置、19土壤或岩石；

h代表锚杆自由段，L代表锚杆锚固段；

在图2-5中：代表实际P-S曲线，代表三次多项式模型曲线，代表二次多项式模型曲线。

具体实施方式

本实施例具体步骤如下：

（1）首先，组建测试平台，如图1所示，所述测试平台包括与被测锚杆外露端自由段h连接的锚杆拉力计2（本实施例选用ZY-100型锚杆拉力计）、与所述锚杆拉力计2连接的拉力传感器集成拉力数据采集装置3、设置在所述被测锚杆外露端锚头上的位移传感器9（本实施例选用KTF滑块型传感器）、与所述位移传感器9相连接的位移数据采集装置18（本实施例选用XST系列单输入通道数字式智能仪表）以及与所述拉力传感器集成拉力数据采集装置3和位移数据采集装置20相连接的计算机1；本实施例中锚杆外露端自由段较长，位移传感器直接固定在外露端自由段上，对于有些锚杆外露端自由段较短的需通过一个拉杆连接件对其进行加长，这种情况下位移传感器9应固定在锚杆外露端位于连接件下面的部分。

使用该测试平台对锚杆进行拉拔试验，实测数据如表1所示；

表1 锚杆拉拔试验实测数据

（2）建立三次多项式模型，记该三次多项式模型如式（A）所示，用线性回归法求解所述三次多项式模型参数；

     （A）                                                                

其中，P代表锚杆所承受的静荷载，单位kN，S代表该静荷载下锚杆顶部位移，单位mm，a、b、c、d为4个待拟定参数；

已知位移S和静荷载P，用线性回归法求解三次多项式模型参数，具体过程如下：

1）一元变多元，令x₁=S，x₂=S ² ，x₃=S ³ ，y=P；

则建立的m元线性回归方程为：

令，其中Q为关于a，b，c，d的4元函数。根据微分学中多元函数求极值的方法，若使Q达到最小，则应有：

经整理得：

  （E）                                                      

 2）求取矩阵A，B： 

由方程组（E）中的第一个方程可得 

            （F）                                                      

其中，，若记，，（），n为x ₁、x ₂、x ₃或y中的数据个数，x _ij 代表x _i 中各元素，y _j 代表y中各元素；

并将方程（F）分别代入方程组（E）中的后3个方程，经整理可得到关于偏回归系数a，b，c，d的正规方程组为：

（G）                                                 

将正规方程组（G）改写为矩阵形式，则为

                                 （H）                                                       

记

 则正规方程组（G）可用矩阵形式表示为

                                                              （J）                                                       

其中A为正规方程组的系数矩阵，C为偏回归系数矩阵（列向量），B为常数项矩阵（列向量）。

3）求取多项式参数矩阵C和参数c。对于矩阵方程F求解，有：

 ;

（3）使用步骤（2）建立的模型预测锚杆极限位移值S _u 和锚杆极限静荷载值P _u ：

使用式（B）、（C）和（D）分别求出各极限位移值，判定这三个值是否为实数，其中为实数的最小极限位移值为最终的模型预测极限位移值S _u ，将其带入式（A），求得最终的模型预测极限承载值P _u ；

        (当a >0，b ²-3ad >0时)          (B)                                                

  (当a >0，b ²-3ad ≤0时)              (C)                              

 （当a <0，b ²-3ad >0时）    (D)                                                 

（4）将步骤（3）所得极限位移值与已知的所有实测位移值进行对比（加荷等级和测读锚头位移遵照《中国工程建设标准化协会标准》中《土层锚杆设计与施工规范》的相关规定）：

1）若存在大于S _u 的实测位移数据，就对模型进行修正，具体方法为：

以预测的极限位移值S _u 作为分界点，实测位移S比S _u 小的阶段曲线使用步骤（2）建立的三次多项式模型进行重新模拟，将此三次多项式阶段最后一对S和P的实测值对应的模拟值，以及已知实测位移S比S _u 大的阶段曲线的实测锚杆P和S的数据，按照误差平方和最小的原则，进行直线拟合，并强制所述直线过上述三次多项式阶段最后一对S和P的实测值对应的模拟值；重新模拟的三次多项式阶段曲线和拟合的直线阶段合起来即为最终模拟锚杆P-S曲线的三次多项式模型；

直线方程拟合使用最小二乘法，具体过程如下：

假设待拟合的直线方程为 ，在满足取极小的条件下，令，

，可求出参数的最佳拟合值为： 。其中，，x _ij 代表x _i 中各元素，y _j 代表y中各元素。

2）若不存在大于S _u 的实测位移数据，就将位移大于S _u 的阶段曲线使用通过（S _u ，P _u ）点的一条水平线进行模拟，S小于S _u 的三次多项式阶段曲线和S≥S _u 的直线阶段合起来极为最终模拟锚杆P-S曲线的三次多项式模型；

（5）根据所建立的三次多项式模型，已知位移S，对锚杆承载力进行预测。

表2中列出了部分锚杆的模拟P-S曲线模型参数，表3和表4中给出了上述三类六种模型的模拟精确度指标SE和稳定度指标SPE，其公式如下所示，表5为各模型极限承载力预测值，其中相对误差SS作为锚杆极限承载力预测值准确度衡量指标。

其中N为实测数据个数，P _i ′和P _i 分别代表承载力的模型预测值和实际测量值，P _u ′和P _u 分别代表锚杆的极限承载力的模型预测值和实际测量值。 

表2部分锚杆的模拟P-S曲线模型

其中，对锚杆A2建立三次多项式模型时，出现了S _u (19.733mm)小于实测位移S（33.79mm），对实测位移S比S _u 大的阶段曲线进行了修正，修正方程为P=2.571S+592.7。

对锚杆B2建立三次多项式模型时，出现了S _u (29.728mm)小于实测位移S（39.19mm），对实测位移S比S _u 大的阶段曲线进行了修正，修正方程为P=2.324S+573.9。

对锚杆C4建立三次多项式模型时，出现了S _u (28.341mm)小于实测位移S（33.6mm），对实测位移S比S _u 大的阶段曲线进行了修正，修正方程为P=3.393S+436.0。

表3 各模型模拟精度指标SE

表4 各模型模拟稳定度指标SPE

表5 各模型极限承载力预测值

图2-图5为应用二次多项式和三次多项式模型绘制的模拟P-S曲线图。对比表3，表4，表5，以及图2-图5可以看出，三次多项式模型模拟效果优于二次多项式模型。

本发明中，三次多项式模型与修正前后的双曲线、指数、幂函数模型以及二次多项式模型相比，模拟精度、稳定度和预测锚杆极限承载力准确度更高，适用范围更广。

Claims (1)

1.一种基于三次多项式模型的锚杆承载力预测方法，其特征在于其包括如下步骤：

（1）首先，组建测试平台，所述测试平台包括与被测锚杆外露端自由段连接的锚杆拉力计、与所述锚杆拉力计连接的拉力传感器、设置在所述被测锚杆外露端锚头上的位移传感器、与所述拉力传感器和位移传感器相连接的数据采集装置以及与所述数据采集装置相连接的计算机；

（2）建立三次多项式模型，记该三次多项式模型如式（A）所示，用线性回归法求解所述三次多项式模型参数；

     （A）   

其中，P代表锚杆所承受的静荷载，单位kN，S代表该静荷载下锚头位移，单位mm，a、b、c、d为4个待拟定参数；

已知位移S和静荷载P，用线性回归法求解三次多项式模型参数，具体过程如下：

1）一元变多元，令x₁=S，x₂=S ² ，x₃=S ³ ，y=P；

2）求取矩阵A，B，其中

，，

其中，，， ， ， ，  （）

n为x₁、x₂、x₃或y中的数据个数；x_ij代表x_i中各元素；

3）求取多项式参数矩阵C和参数c，其中

， ；

（3）使用步骤（2）建立的模型预测锚杆极限位移值S _u 和锚杆极限静荷载值P _u ：

使用式（B）、（C）和（D）分别求出各极限位移值，判定这三个值是否为实数，其中为实数的最小极限位移值为最终的模型预测极限位移值S _u ，将其带入式（A），求得最终的模型预测极限承载值P _u ；

(当a >0，b²-3ad >0时)         (B)                                                

  (当a >0，b²-3ad ≤0时)                (C)

 （当a <0，b²-3ad >0时）     (D)                                                 

（4）将步骤（3）所得极限位移值与已知的所有实测位移值进行对比：

1）若存在大于S _u 的实测位移数据，就对模型进行修正，具体方法为：

以预测的极限位移值S _u 作为分界点，实测位移S比S _u 小的阶段曲线使用步骤（2）建立的三次多项式模型进行重新模拟，将此三次多项式阶段最后一对S和P的实测值对应的模拟值，以及已知实测位移S比S _u 大的阶段曲线的实测锚杆P和S的数据，按照误差平方和最小的原则，进行直线拟合，并强制所述直线过上述三次多项式阶段最后一对S和P的实测值对应的模拟值；重新模拟的三次多项式阶段曲线和拟合的直线阶段合起来即为最终模拟锚杆P-S曲线的三次多项式模型；

2）若不存在大于S _u 的实测位移数据，就将位移大于S _u 的阶段曲线使用通过（S _u ，P _u ）点的一条水平线进行模拟，S小于S _u 的三次多项式阶段曲线和S≥S _u 的直线阶段合起来极为最终模拟锚杆P-S曲线的三次多项式模型；

（5）根据所建立的三次多项式模型，已知位移S，对锚杆承载力进行预测。