CN104102830A - 一种复杂网络构建方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及电数字数据处理领域，特别适用于特定功能的数据处理方法，具体涉及一种基于邻接矩阵Kronecker和的复杂网络构建方法。本发明提供了一种基于邻接矩阵Kronecker和的复杂网络构建方法，基于一个简单的生成网络，迭代的对其邻接矩阵进行Kronecker和运算，从而生成度分布具有多项式分布特性的复杂网络，并可采用对生成网络的度分布多项式表述形式采用通常多项式乘法的系数相乘次数相加的运算，从理论上严格计算出此种复杂网络的度分布。在迭代次数较多时，其度分布近似为正态分布，具备经典随机网络的特点，可视为随机网络。在生成网络较为简单时，可通过现有的工具或直接采用多项式展开式得到此种复杂网络的度分布。本发明尤其适用于复杂网络构建。

Description

一种复杂网络构建方法

技术领域

本发明属于电数字数据处理领域，特别适用于特定功能的数据处理方法，具体涉及一种基于邻接矩阵Kronecker和的复杂网络构建方法。

背景技术

复杂网络研究的深入促进了网络科学的兴起，自然科学和社会科学等许多领域的研究对象均可抽象成复杂网络进行研究。复杂网络模型的构建在社会网络、计算机网络、虚拟社会网络等其它领域的分析研究中占据极为重要的地位。上世纪中叶，ER随机网络模型的提出开创了复杂网络的系统性研究，并成为后续近半个世纪复杂网络研究的基础；上世纪末，WS小世界网络模型及BA无标度网络模型的相继提出开辟了复杂网络研究的新纪元。近年来，自相似特性被视为复杂网络的第三个特性而受到了人们越来越大的关注，相关学者提出了LL自相似网络模型。小世界特性及无标度特性均是通过统计方法得出的，而自相似特性则是通过构造方法得出的。现阶段复杂网络的构建主要有如下几种方法：

(1)基于图论的方法

复杂网络的研究发轫于图论，复杂网络的研究继承了图论的研究策略。参考文献[1]“Onthe evolution of random graphs”(Erdos P,Renyi A.Publ.Math.Inst.Hung.Acad.Sci.,[M].1960,5:17–60)采用完全随机的方式处理节点之间的连接，提出了ER随机网络模型——ER(Vertices,Probability)，构造出节点的度分布服从正态分布的随机网络(RandomNetwork)。参考文献[2]“Collective dynamics of'small-world'networks”(Watts D J,Strogatz S H.Nature[J].1998,393:440–442)采用随机重连处理节点之间的连接，参考文献[3]“Renormalization group analysis of the small-world network model”(NewmanM EJ,Watts D J.Phys Lett A[J].1999,293:341-346)采用随机加边处理节点之间的连接，分别提出了WS网络模型——WS(Vertices,Neighbors,Reprobability)和NW网络模型——NW(Vertices,Neighbors,AddLink)，阐述了复杂网络的小世界特征，构造出节点的度分布服从指数分布的小世界网络(‘Small-world’Network)。NW小世界模型本质上等同于WS小世界模型。参考文献[4]“Emergence of Scaling in Random Networks”(Barabasi AL,Albert R.Science[J].1999,286:509-512)采用增长及择优处理节点之间的连接，提出了BA网络模型——BA(InitVertices,InitProbability,AddVertices,AddLink)，阐述了复杂网络的无标度性质，构造出节点的度分布服从幂律分布的无标度网络(Scale-freeNetwork)。小世界特性与无标度特性被誉为复杂网络的两大特性，对复杂网络的许多研究均是基于WS模型或BA模型的，采用这两种方法构建的复杂网络在统计意义上具有小世界或无标度特性。

(2)基于生成网络邻接矩阵的方法

参考文献[5]申请号为201410092765.2的中国专利“一种复杂网络构建方法”，公开了基于一个生成网络邻接矩阵的Kronecker乘积迭代的生成一系列复杂网络，构造出同时具有自相似及小世界特性的自相似网络模型——LL(InitVertices,InitProbability,IterNum)。其自相似特性源于通过生成网络邻接矩阵的Kronecker乘积迭代产生的分形矩阵形式的邻接矩阵，而其小世界特性源于其直径不超过生成网络直径的两倍。采用此方法构建的自相似网络度分布可以从理论上严格计算得到。

(3)基于超图或超网络的方法

普通图一条边只能连接两个节点，超图中的“边”可包含多个节点。参考文献[6]“一种超网络演化模型构建及特性分析”(胡枫,赵海兴,马秀娟.中国科学:物理学力学天文学[J],2013,43:16-22)构建了一种超网络动态演化模型，从理论上分析了超度分布的特性，并进行了仿真实验，发现随着网络规模的增大，模型出现与已有的增长和优先连接复杂网络一致的结果，即复杂超网络的几种度分布显示出无标度特性。采用此方法构建的复杂网络实际上是另一种形式的无标度网络。

(4)其他方法

除传统的图论、超图及超网络方法外，其他方法也用于复杂网络的构架。参考文献[7]“基于Sierpinski分形垫的确定性复杂网络演化模型研究”(邢长明,刘方爱.物理学报[J].2010,59(3):1608-1614)基于Sierpinski分形垫，通过迭代的方式构造了小世界网络模型S-DSWN和无标度网络模型S-DSFN两个确定性增长的复杂网络模型及一个确定性的统一模型S-DUM。参考文献[8]“多种类型的网络金字塔的研究进展”(方锦清，李永，刘强.复杂系统与复杂性科学.2013.10(2):69-76)总结综述了网络模型复杂性金字塔、高科技网络金字塔及广义Farey树组织的金字塔3种类型的网络金字塔，并分析了这些金字塔的特点和性质。

总体上讲，对复杂网络特性的研究仍是现今复杂网络研究的一大热点，不可否认的是，尽管对随机网络、小世界网络、无标度网络及自相似网络等均有较为成熟的理论与方法，大部分研究也与真实复杂网络相符，但仍无法全面反映现实生活中真实复杂网络的各种特点，如自相似复杂网络模型基于一个确定的生成网络，迭代地通过其邻接矩阵的Kronecker乘积构建复杂网络，未充分利用其邻接矩阵的各项特性，应用范围较为狭窄，需要进一步深入研究复杂网络的各项特性，从简单网络的邻接矩阵出发研究复杂网络应引起足够的重视。其中，网络模型的构建是重中之重。

发明内容

本发明所要解决的，就是针对现有技术存在的问题，提供了一种基于邻接矩阵Kronecker和的复杂网络构建方法，基于一个简单的生成网络，迭代的对其邻接矩阵进行Kronecker和运算，从而生成度分布具有多项式分布特性的复杂网络，并可采用对生成网络的度分布多项式表述形式采用通常多项式乘法的系数相乘次数相加的运算，从理论上严格计算出此种复杂网络的度分布。在迭代次数较多时，其度分布近似为正态分布，具备经典随机网络的特点，可视为随机网络。在生成网络较为简单时，可通过现有的工具或直接采用多项式展开式得到此种复杂网络的度分布。

本发明解决上述技术问题所采用的技术方案是：一种复杂网络构建方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)确定生成网络G；

(2)计算生成网络G的邻接矩阵A(G)：

对于具有n个节点的生成网络G，其邻接矩阵A(G)是n×n的方阵，其中对于方阵中的每一个数据，若节点i与节点j相邻，则有A(G)(i,j)＝1，否则，A(G)(i,j)＝0；若生成网络G的链路数为m，则邻接矩阵A(G)中1的个数也为m，且生成网络的网络密度 $\mathrm{Density}=\frac{2m}{n(n-1)};$

(3)根据生成网络G的度分布确定生成网络G的度分布多项式Poly(G)：

$\mathrm{Poly}\left(G\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}^{D_i}=\underset{j=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{N}_j{x}^j$

式中，n为节点数目，D_i表示第i个节点的度，N_j表示度为j的节点的数目；

(4)按如下方法计算所构建的网络的邻接矩阵A^(l)(G^(l))，其中，l代表运算的次数：

按照Kronecker和的规则进行运算，得到所构建的复杂网络的邻接矩阵；矩阵A(a_ij)_m×m及矩阵B(b_ij)_n×n的Kronecker和定义如下：

$A_{m\×m}\⊕B_{n\×n}=A_{m\×m}\⊗I_{n\×n}+I_{m\×m}\⊗B_{n\×n}$

其中I_n×n表示n×n单位矩阵，表示Kronecker乘积运算，矩阵P_p×p与矩阵Q_q×q的Kronecker乘积定义如下：

(5)按照如下方法计算所构建的复杂网络的度分布PolyDD(G^(l))，其中，l代表运算的次数：

$\begin{array}{c}\mathrm{PolyDD}\left(G^{(k+1)}\right)=\mathrm{DD}(\mathrm{Poly}\left(G^{\left(k\right)}\right),\mathrm{Poly}\left(G\right))\\ =\mathrm{DD}(\underset{i=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{N}_i^{\left(k\right)}{x}^j,\underset{j=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{N}_j{x}^j)\\ =\underset{i=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{N}_i^{\left(k\right)}{N}_j{x}^{i+j}(i,j=\mathrm{1,2,3},...)\end{array}$

(6)重复步骤(4)及步骤(5)，得到指定节点数目或指定链路数目的复杂网络时，终止操作。

具体的，当生成网络G的节点的度只有两类时，即步骤(3)中度分布多项式时，步骤(5)中度分布PolyDD(G^(l))使用二项展开式，得：

$\mathrm{PolyDD}\left(G^{\left(l\right)}\right)=\underset{i=0}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}\frac{l!}{i!(l-i)!}{N_{a_1}}^{l-i}{N_{a_2}}^i{x}^{{a_1}^{l-i}+{a_2}^i}.$

具体的，当生成网络G的节点的度只有三类时，即步骤(3)中度分布多项式时，步骤(5)中度分布PolyDD(G^(l))使用三项展开式，可得：

$\mathrm{PolyDD}\left(G^{\left(l\right)}\right)=\underset{i=0}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=0}{\overset{i}{\mathrm{\Σ}}}\frac{l!}{j!(i-j)!(l-i)!}{N_{a_1}}^{l-i}{N_{a_2}}^{i-j}{{N_{a_3}}^{j}x}^{{a_1}^{l-i}+{{a_2}^{i-j}+a_3}^j}..$

本发明的有益效果为，与现有技术相比：

一、区别于经典的复杂网络模型主要通过添加节点构建复杂网络，通过生成网络邻接矩阵的矩阵运算构建复杂网络，改进了现有复杂网络的构建方法，计算复杂度低，容易实现。

经典的复杂网络构建方法均是通过对初始基网络添加不同性质的节点或调整节点之间的连接而得到的，从生成网络的邻接矩阵出发构建复杂网络的研究较少。相较于其他复杂网络构建方法，本发明基于一个简单生成网络邻接矩阵的Kronecker和实现复杂网络模型的构建，只涉及到矩阵运算。由于矩阵运算是现有大部分软件工具(如MATLAB等)的基础，本发明提出的复杂网络构建方法借助已有的工具易于实现。

二、区别于自相似网络模型是基于一个生成网络邻接矩阵的Kronecker积来构建复杂网络，本发明是基于一个生成网络邻接矩阵的Kronecker和来构建复杂网络，扩展了其应用范围。

现阶段已有的自相似复杂网络模型基于一个确定的生成网络，迭代地通过其邻接矩阵的Kronecker乘积构建复杂网络，未充分利用其邻接矩阵的各项特性，应用范围较为狭窄。本发明基于一个确定的生成网络，迭代地通过其邻接矩阵的Kronecker和构建复杂网络，得到度分布呈多项分布的复杂网络，大大扩展了其应用范围。在迭代次数较多时，其度分布近似为正态分布，具备经典随机网络的特点，可视为随机网络。

三、区别于经典复杂网络模型的度分布是通过统计方法得到的，采用网络的度分布多项式表达形式，通过对其度分布多项式表达形式采用通常多项式乘法的次数相乘及系数相加运算可从理论上严格计算出此类随机网络的度分布。

复杂网络的小世界特性及无标度特性均是通过统计方法得到的，无标度特性更是直接统计复杂网络的度分布得到的，但对度分布却缺少直观、形象的认识与了解。类似于化学合成中通过小分子化学物质合成大分子化学物质，采用本发明所得到的复杂网络，其度分布可借助已有的工具通过通常多项式乘法的系数相乘及次数相加的方法从理论上严格计算得到。在迭代次数较多时，其度分布近似为正态分布，具备经典随机网络的特点，可视为随机网络。在生成网络较为简单时，采用多项式展开式可以直接得到此种复杂网络的度分布。

附图说明

本发明将通过例子并参照附图的方式说明，其中：

图1是参考文献[1]生成的随机网络模型ER(10000,0.5)度分布；

图2是参考文献[2]生成的小世界网络模型WS(10000,100,0.5)度分布；

图3是参考文献[4]生成的无标度网络模型BA(10,0.5,10000,5)度分布；

图4是参考文献[5]生成的自相似网络模型LL(6,0.4,25)度分布；

图5是基于4个节点的生成网络的拓扑结构图；

图6是基于4个节点的生成网络的邻接矩阵；

图7是基于4个节点的生成网络迭代30次后得到的复杂网络的度分布；

图8是基于5个节点的生成网络的拓扑结构图；

图9是基于5个节点的生成网络的邻接矩阵；

图10是基于5个节点的生成网络迭代27次后得到的复杂网络的度分布；

图11是基于6个节点的生成网络的拓扑结构图；

图12是基于6个节点的生成网络的邻接矩阵；

图13是基于6个节点的生成网络迭代24次后得到的复杂网络的度分布。

具体实施方式

下面结合附图，详细描述本发明的技术方案

一种基于邻接矩阵Kronecker和的复杂网络构建方法，包括如下步骤：

(1)确定生成网络G；

(2)计算生成网络G的邻接矩阵A(G)：

对于具有n个节点的生成网络G，其邻接矩阵A(G)是n×n的方阵，其中对于方阵中的每一个数据，若节点i与节点j相邻，则有A(G)(i,j)＝1，否则，A(G)(i,j)＝0；若生成网络G的链路数为m，则邻接矩阵A(G)中1的个数也为m，且生成网络的网络密度 $\mathrm{Density}=\frac{2m}{n(n-1)};$

(3)根据生成网络G的度分布确定生成网络G的度分布多项式Poly(G)：

$\mathrm{Poly}\left(G\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}^{D_i}=\underset{j=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{N}_j{x}^j---\left(1\right)$

式中，n为节点数目，D_i表示第i个节点的度，N_j表示度为j的节点的数目；

(4)按如下方法计算所构建的网络的邻接矩阵A^(l)(G^(l))，其中，l代表运算的次数：

按照Kronecker和的规则进行运算，得到所构建的复杂网络的邻接矩阵；矩阵A(a_ij)_m×m及矩阵B(b_ij)_n×n的Kronecker和定义如下：

$A_{m\×m}\⊕B_{n\×n}=A_{m\×m}\⊗I_{n\×n}+I_{m\×m}\⊗B_{n\×n}---\left(2\right)$

其中I_n×n表示n×n单位矩阵，表示Kronecker乘积运算，矩阵P_p×p与矩阵Q_q×q的Kronecker乘积定义如下：

(5)按照如下方法计算所构建的复杂网络的度分布PolyDD(G^(l))，其中，l代表运算的次数：

$\begin{array}{c}\mathrm{PolyDD}\left(G^{(k+1)}\right)=\mathrm{DD}(\mathrm{Poly}\left(G^{\left(k\right)}\right),\mathrm{Poly}\left(G\right))\\ =\mathrm{DD}(\underset{i=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{N}_i^{\left(k\right)}{x}^j,\underset{j=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{N}_j{x}^j)\\ =\underset{i=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{N}_i^{\left(k\right)}{N}_j{x}^{i+j}(i,j=\mathrm{1,2,3},...)\end{array}---\left(4\right)$

特别的，当生成网络G的节点的度只有两类时，即时，使用二项展开式，有：

$\mathrm{PolyDD}\left(G^{\left(l\right)}\right)=\underset{i=0}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}\frac{l!}{i!(l-i)!}{N_{a_1}}^{l-i}{N_{a_2}}^i{x}^{{a_1}^{l-i}+{a_2}^i}---\left(5\right)$

当生成网络G的节点的度只有三类时，即时，使用三项展开式，有：

$\mathrm{PolyDD}\left(G^{\left(l\right)}\right)=\underset{i=0}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=0}{\overset{i}{\mathrm{\Σ}}}\frac{l!}{j!(i-j)!(l-i)!}{N_{a_1}}^{l-i}{N_{a_2}}^{i-j}{N_{a_3}}^j{x}^{{a_1}^{l-i}+{{a_2}^{i-j}+a_3}^j}---\left(6\right)$

(6)重复步骤(4)及步骤(5)，得到指定节点数目或指定链路数目的复杂网络时，终止操作。

对于拥有n个节点及m条链路的生成网络G，在运算的每一个阶段l得到的复杂网络的节点数n(l)＝n^l，链路数m(l)＝lmn^l－1，网络密度

采用此种易于实现的迭代策略构建复杂网络，类似于聚合物的人工合成，可以看成是基于类似于小分子形式的简单生成网络，通过人工合成的方法迭代的得到大分子、高分子，乃至超分子形式的复杂网络。采用本发明得到的复杂网络度分布呈多项式分布，而且通过对其度分布多项式表述形式采用通常多项式乘法的次数相乘及系数相加的运算可以从理论上严格计算出此类复杂网络的度分布。在迭代次数较多时，其度分布近似为正态分布，具备经典随机网络的特点，可视为随机网络。在生成网络较为简单时，采用多项式展开式可以直接得到此种复杂网络的度分布。

仿真实验

为了验证本发明基于一个简单生成网络邻接矩阵Kronecker和的复杂网络构建方法的有效性，进行了仿真实验。

实验一

设定生成网络有4个节点，其拓扑结构图如图5所示，其中：第1个节点的度为3，第2个节点的度为2，第3个节点的度为2，第4个节点的度为1，因此，其度分布的多项式表述形式为：

Poly(G)＝x+2x²+x³

其对应的邻接矩阵如图6所示。

按照本发明，迭代30次后得到的复杂网络的度分布如图7所示。

实验二

设定生成网络有5个节点，其拓扑结构图如图8所示，其中：第1个节点的度为3，第2个节点的度为1，第3个节点的度为2，第4个节点的度为2，第5个节点的度为2，因此，其度分布的多项式表述形式为：

Poly(G_c)＝x+3x²+x³

其对应的邻接矩阵如图9所示。

按照本发明，迭代27次后得到的复杂网络的度分布如图10所示。

实验三

设定生成网络有6个节点，其拓扑结构图如图11所示，其中：第1个节点的度为3，第2个节点的度为1，第3个节点的度为2，第4个节点的度为2，第5个节点的度为3，第6个节点的度为1，因此，其度分布的多项式表述形式为：

Poly(G)＝2x+2x²+2x³

其对应的邻接矩阵如图12所示。

按照本发明，迭代24次后得到的复杂网络的度分布如图13所示。

从图7、图10、图13可以看出，由于迭代次数较多，采用本发明得到的复杂网络度分布近似呈正态分布，与经典的ER随机网络模型相似(如图1)，不同于WS小世界网络模型(如图2等)、BA无标度网络模型(如图3等)及LL自相似网络模型(如图4等)。从图1及图7、图10、图13还可以看出，基于一个简单的生成网络，在迭代次数较多时，采用本发明得到的复杂网络度分布具有经典随机网络的特点，但较通过逐步添加节点而得到的经典随机网络度分布更为平滑，在迭代次数足够多时，可以将采用本发明得到的复杂网络视为随机网络。

Claims (3)

1.一种复杂网络构建方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)确定生成网络G；

(2)计算生成网络G的邻接矩阵A(G)：

对于具有n个节点的生成网络G，其邻接矩阵A(G)是n×n的方阵，其中对于方阵中的每一个数据，若节点i与节点j相邻，则有A(G)(i,j)＝1，否则，A(G)(i,j)＝0；若生成网络G的链路数为m，则邻接矩阵A(G)中1的个数也为m，且生成网络的网络密度 $\mathrm{Density}=\frac{2m}{n(n-1)};$

(3)根据生成网络G的度分布确定生成网络G的度分布多项式Poly(G)：

$\mathrm{Poly}\left(G\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}^{D_i}=\underset{j=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{N}_j{x}^j$

式中，n为节点数目，D_i表示第i个节点的度，N_j表示度为j的节点的数目；

(4)按如下方法计算所构建的网络的邻接矩阵A^(l)(G^(l))，其中，l代表运算的次数：

按照Kronecker和的规则进行运算，得到所构建的复杂网络的邻接矩阵；矩阵A(a_ij)_m×m及矩阵B(b_ij)_n×n的Kronecker和定义如下：

$A_{m\×m}\⊕B_{n\×n}=A_{m\×m}\⊗I_{n\×n}+I_{m\×m}\⊗B_{n\×n}$

其中I_n×n表示n×n单位矩阵，表示Kronecker乘积运算，矩阵P_p×p与矩阵Q_q×q的Kronecker乘积定义如下：

(5)按照如下方法计算所构建的复杂网络的度分布PolyDD(G^(l))，其中，l代表运算的次数：

$\begin{array}{c}\mathrm{PolyDD}\left(G^{(k+1)}\right)=\mathrm{DD}(\mathrm{Poly}\left(G^{\left(k\right)}\right),\mathrm{Poly}\left(G\right))\\ =\mathrm{DD}(\underset{i=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{N}_i^{\left(k\right)}{x}^j,\underset{j=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{N}_j{x}^j)\\ =\underset{i=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{N}_i^{\left(k\right)}{N}_j{x}^{i+j}(i,j=\mathrm{1,2,3},...)\end{array}$

(6)重复步骤(4)及步骤(5)，得到指定节点数目或指定链路数目的复杂网络时，终止操作。

2.根据权利1所述的一种复杂网络构建方法，其特征在于，当生成网络G的节点的度只有两类时，即步骤(3)中度分布多项式时，步骤(5)中度分布PolyDD(G^(l))使用二项展开式，得：

$\mathrm{PolyDD}\left(G^{\left(l\right)}\right)=\underset{i=0}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}\frac{l!}{i!(l-i)!}{N_{a_1}}^{l-i}{N_{a_2}}^i{x}^{{a_1}^{l-i}+{a_2}^i}.$

3.根据权利1所述的一种复杂网络构建方法，其特征在于，当生成网络G的节点的度只有三类时，即步骤(3)中度分布多项式时，步骤(5)中度分布PolyDD(G^(l))使用三项展开式，可得：

$\mathrm{PolyDD}\left(G^{\left(l\right)}\right)=\underset{i=0}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=0}{\overset{i}{\mathrm{\Σ}}}\frac{l!}{j!(i-j)!(l-i)!}{N_{a_1}}^{l-i}{N_{a_2}}^{i-j}{N_{a_3}}^j{x}^{{a_1}^{l-i}+{{a_2}^{i-j}+a_3}^j}.$