CN103870691A - 一种复杂网络的构建方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种复杂网络的构建方法，其主要步骤包括确定生成网络、计算邻接矩阵、确定度分布多项式、计算复杂网络的邻接矩阵等。采用本发明得到的复杂网络同时具有自相似及小世界特性，其自相似特性源于通过生成网络邻接矩阵的Kronecker乘积迭代的产生的分形矩阵形式的邻接矩阵，而其小世界特性源于其直径不超过生成网络直径的两倍。此外，通过对其度分布多项式表述形式的次数相乘及系数相乘的运算可以从理论上计算出此类复杂网络的度分布。研究表明，此种复杂网络度分布不满足幂律分布，即其不是无标度网络。

Description

一种复杂网络的构建方法

技术领域

本发明属于电数字数据处理领域，特别适用于特定功能的数据处理方法，具体涉及一种基于邻接矩阵Kronecker乘积的复杂网络构建方法。

背景技术

复杂网络研究的深入促进了网络科学的兴起，自然科学和社会科学等许多领域的研究对象均可抽象成复杂网络进行研究。复杂网络模型的构建在社会网络、计算机网络、虚拟社会网络等其它领域的分析研究中有着极为重要的地位。上世纪末，小世界特性及无标度特性的发现开辟了复杂网络研究的新纪元。近年来，自相似特性被视为复杂网络的第三个特性而受到了人们越来越大的关注。对复杂网络的小世界特性及无标度特性的认识及研究较为深入，且有较为成熟的理论、方法与模型，但对自相似特性的研究成果较少。小世界特性及无标度特性均是通过统计方法得出的，而自相似特性则是通过构造方法得出的。现阶段复杂网络的构建主要有如下几种方法：

（1）基于图论的方法

复杂网络的研究发轫于图论，复杂网络的研究遗留了图论的研究策略。参考文献[1]“Collective dynamics of'small-world'networks”（Watts D J,Strogatz SH.Nature[J].1998,393:440–442）采用随机重连处理节点之间的连接，提出了WS网络模型，阐述了复杂网络的小世界特征，构造出节点的度分布服从指数分布的小世界网络（‘small-world’network）。参考文献[2]“Emergence of Scalingin Random Networks”（Barabasi A L,Albert R.Science[J].1999,286:509-512）采用增长及择优处理节点之间的连接，提出了BA网络模型，阐述了复杂网络的无标度性质，构造出节点的度分布服从幂律分布的无标度网络（scale-freenetwork）。小世界特性与无标度特性被誉为复杂网络的两大特性，对复杂网络的许多研究均是基于WS模型或BA模型的。这两种方法构建的复杂网络在统计意义上具有小世界或无标度特性，但上述模型或其改进无法构建出自相似的复杂网络。

（2）基于超图或超网络的方法

普通图一条边只能连接两个节点，超图中的“边”可包含多个节点。参考文献[3]“一种超网络演化模型构建及特性分析”（胡枫,赵海兴,马秀娟.中国科学:物理学力学天文学[J],2013,43:16-22）构建了一种超网络动态演化模型，从理论上分析了超度分布的特性，并进行了仿真实验，发现随着网络规模的增大，模型出现与已有的增长和优先连接复杂网络一致的结果，即复杂超网络的几种度分布显示出无标度特性。实际上此种模型构建的是另一种形式的无标度网络，对复杂网络的自相似特性仍没有给出足够的论述。

（3）其他方法

除传统的图论、超图及超网络方法外，其他方法也用于复杂网络的构架。参考文献[4]“基于Sierpinski分形垫的确定性复杂网络演化模型研究”（邢长明,刘方爱.物理学报[J].2010,59(3):1608-1614）基于Sierpinski分形垫，通过迭代的方式构造了小世界网络模型S-DSWN和无标度网络模型S-DSFN两个确定性增长的复杂网络模型及一个确定性的统一模型S-DUM。参考文献[5]“多种类型的网络金字塔的研究进展”（方锦清，李永，刘强.复杂系统与复杂性科学.2013.10(2):69-76）总结综述了网络模型复杂性金字塔、高科技网络金字塔及广义Farey树组织的金字塔3种类型的网络金字塔，并分析了这些金字塔的特点和性质。

总体上讲，对复杂网络特性的研究仍是现今复杂网络研究的一大热点，不可否认的是，尽管对小世界特性及无标度特性均有较为成熟的理论与方法，但对自相似特性的研究仍有待进一步深入，现有的对复杂网络的研究仍未能全面反映复杂网络的各项特性。其中，网络模型的构建是重中之重。

发明内容

为了克服现有技术的上述缺点，本发明提供了一种基于邻接矩阵运算的同时具有小世界及自相似特性的复杂网络构建方法，基于简单生成网络邻接矩阵的Kronecker乘积，迭代的生成具有小世界及自相似特性的复杂网络，并可从理论上计算出此种复杂网络的度分布，其度分布不满足幂律分布，也即此种网络不是无标度网络。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：一种复杂网络的构建方法，包括如下步骤：

（1）确定生成网络G；

（2）计算生成网络G的邻接矩阵A(G)：

对于具有n个节点的生成网络G，其邻接矩阵A(G)是n×n的方阵，其中对于方阵中的每一个数据，若节点i与节点j相邻，则有A(G)(i,j)=1，否则，A(G)(i,j)=0；若生成网络G的链路数为m，则邻接矩阵A(G)中1的个数也为m，且生成网络的网络密度 $\mathrm{Density}=\frac{2m}{n(n-1)};$

（3）根据生成网络G的度分布确定生成网络G的度分布多项式Poly(G)：

$\mathrm{Poly}\left(G\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}^{D_i}=\underset{j=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{N}_j{x}^j$

式中，n为节点数目，D_i表示第i个节点的度，N_j表示度为j的节点的数目；

（4）按如下方法计算所构建的网络的邻接矩阵A^(l)(G^(l))，其中，l代表运算的次数：

按照Kronecker乘积的规则

进行运算，得到所构建的网络的邻接矩阵；矩阵A(a_ij)_m×n及矩阵B(b_ij)_p×q的Kronecker乘积

定义如下：

（5）按照如下方法计算所构建的网络的度分布PolyDD(G^(l))，其中，l代表运算的次数：

$\begin{array}{c}\mathrm{PolyDD}\left(G^{(k+1)}\right)=\mathrm{DD}(\mathrm{Poly}\left(G^{\left(k\right)}\right),\mathrm{Poly}\left(G\right))\\ =\mathrm{DD}(\underset{i=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{N}_i^{\left(k\right)}{x}^i,\underset{j=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{N}_j{x}^j)\\ =\underset{i=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{N}_i^{\left(k\right)}{N}_j{x}^{\mathrm{ij}}(i,j=\mathrm{1,2,3},...)\end{array}$

（6）重复步骤（4）及步骤（5），得到指定节点数目或指定链路数目的复杂网络时，终止操作。

与现有技术相比，本发明的积极效果是：

一、通过网络的邻接矩阵分析网络的特性，改进现有复杂网络的构建方法，计算复杂度低，实现容易。

现阶段对复杂网络的研究绝大部分是基于其拓扑特性的，但尚未有从其邻接矩阵的视角分析复杂网络的各项特性。相较于其他复杂网络构建方法，本发明基于邻接矩阵的迭代运算实现复杂网络模型的构建，只涉及到矩阵运算。由于矩阵运算是现有大部分软件工具（如MATLAB等）的基础，本发明提出的复杂网络构建方法借助已有的工具易于实现。

二、将分形矩阵理论应用于网络的邻接矩阵中，复杂网络继承了对应的分形矩阵形式的邻接矩阵的自相似特性。

分形矩阵可应用于任意形式的矩阵，自然也适用于作为布尔矩阵及对称矩阵的邻接矩阵。Kronecker乘积与通常意义上的矩阵乘积相比，对矩阵的行数及列数没有限制。在布尔代数中，逻辑意义上的加可以视为数学意义上的乘，于是可将基于加的分形矩阵理论与基于乘的Kronecker乘积结合起来，由此基于迭代策略得到的复杂网络自然继承了分形矩阵的自相似特性。

三、提出了网络的度分布多项式表述的方式，网络的度分布可从理论上计算出来。

复杂网络的小世界特性及无标度特性均是通过统计方法得到的，无标度特性更是直接统计复杂网络的度分布得到的，但对度分布却缺少直观、形象的认识与了解。采用本发明所得到的复杂网络，其度分布可通过类似于多项式乘积的方法从理论上得到，区别在于通常的多项式乘积是系数相乘次数相加，而本发明所得到的复杂网络，通过系数相乘次数相乘可以得到复杂网络的度分布。

附图说明

本发明将通过例子并参照附图的方式说明，其中：

图1是基于4个节点的生成网络的拓扑结构图；

图2是基于4个节点的生成网络的邻接矩阵；

图3是基于4个节点的生成网络迭代20次后得到的复杂网络的度分布；

图4是基于4个节点的生成网络迭代其间复杂网络的直径；

图5是基于5个节点的生成网络的拓扑结构图；

图6是基于5个节点的生成网络的邻接矩阵；

图7是基于5个节点的生成网络迭代20次后得到的复杂网络的度分布；

图8是基于5个节点的生成网络迭代其间复杂网络的直径；

图9是基于6个节点的生成网络的拓扑结构图；

图10是基于6个节点的生成网络的邻接矩阵；

图11是基于6个节点的生成网络迭代20次后得到的复杂网络的度分布；

图12是基于6个节点的生成网络迭代其间复杂网络的直径。

具体实施方式

一种复杂网络的构建方法，包括如下步骤：

（1）确定生成网络G：

选择或构建节点数目n较少、节点间连接较少的简单网络作为生成网络G。一般情况下，建议节点数目n不超过10。

（2）计算生成网络G的邻接矩阵A(G)：

对于具有n个节点的生成网络G而言，其对应的邻接矩阵A(G)是n×n的方阵，其中对于方阵中的每一个数据，若节点i与节点j相邻，则有A(G)(i,j)=1，否则，A(G)(i,j)=0。生成网络G的链路数为m，则邻接矩阵A(G)中1的个数也为m，而且生成网络的网络密度Density为

（3）根据生成网络G的度分布确定生成网络G的度分布多项式Poly(G)：

$\mathrm{Poly}\left(G\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}^{D_i}=\underset{j=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{N}_j{x}^j---\left(1\right)$

式中，n为节点数目，D_i表示第i个节点的度（即与第i个节点相邻的节点的数目），为大于零且小于n的整数，N_j表示度为j的节点的数目。由于一般情况下不存在孤立的节点，即不存在不与其他节点相邻的节点，所以Poly(G)中不存在次数为0的项，即Poly(G)中不存在常数项。

（4）按如下方法计算所构建的网络的邻接矩阵A^(l)(G^(l))，其中，l代表运算的次数：

按照Kronecker乘积的规则进行运算，得到所构建的网络的邻接矩阵。矩阵A(a_ij)_m×n及矩阵B(b_ij)_p×q的Kronecker乘积

定义如下：

（5）按照如下方法计算所构建的网络的度分布PolyDD(G^(l))，其中，l代表运算的次数：

$\begin{array}{c}\mathrm{PolyDD}\left(G^{(k+1)}\right)=\mathrm{DD}(\mathrm{Poly}\left(G^{\left(k\right)}\right),\mathrm{Poly}\left(G\right))\\ =\mathrm{DD}(\underset{i=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{N}_i^{\left(k\right)}{x}^i,\underset{j=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{N}_j{x}^j)\\ =\underset{i=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{N}_i^{\left(k\right)}{N}_j{x}^{\mathrm{ij}}(i,j=\mathrm{1,2,3},...)\end{array}---\left(3\right)$

具体运算时，可按照通常意义上的多项式乘法先将两个多项式的每一项相乘，并将得到的结果进行合并。区别于通常意义上的多项式相乘时对相乘的两项系数相乘、次数相加的乘积运算，此种对网络度分布多项式的运算方法是系数相乘、次数也相乘。这样，通过对已有的多项式相乘硬件或软件工具的改进及拓展，可以从理论上严格计算出复杂网络构建过程中每一个阶段的度分布。

（6）重复步骤（4）及步骤（5），得到指定节点数目或指定链路数目的复杂网络时，终止操作。

作为拥有n个节点及m条链路的初始网络G，在运算的每一个阶段l得到的复杂网络的节点数n(l)=n^l，链路数m(l)=2m^l，网络密度Density(l)为

$\mathrm{Density}\left(l\right)=\frac{{4m}^l}{n^l(n^l-1)}.$

采用此种易于实现的迭代策略构建复杂网络，类似于Koch雪花的构建，由于网络对应的邻接矩阵的自相似特性，与邻接矩阵对应的复杂网络自然具有自相似特性。另外，由于从理论上证明此种网络的直径不超过生成网络直径的两倍，此种网络具有小世界特性；而且，从理论上计算得到的度分布表明其度分布不服从幂律分布，即其不是无标度网络。这样，迭代的采用基于邻接矩阵Kronecker乘积的构建方法就可以通过简单的生成网络得到同时具有小世界及自相似特性的复杂网络，其度分布可以从理论上严格计算得到。

仿真实验

为了验证本发明基于邻接矩阵Kronecker乘积的复杂网络构建方法的有效性，进行了仿真实验。

实验一

设定生成网络有4个节点，其拓扑结构图如图1所示，其中：第1个节点的度为3，第2个节点的度为2，第3个节点的度为2，第4个节点的度为1，因此，其度分布的多项式表述形式为：

Poly(G)=x+2x²+x³

其对应的邻接矩阵如图2所示。

按照本发明，迭代20次后得到的复杂网络的度分布如图3所示，迭代其间复杂网络的直径如图4所示。

实验二

设定生成网络有5个节点，其拓扑结构图如图5所示，其中：第1个节点的度为3，第2个节点的度为1，第3个节点的度为2，第4个节点的度为2，第5个节点的度为2，因此，其度分布的多项式表述形式为：

Poly(G_c)=x+3x²+x³

其对应的邻接矩阵如图6所示。

按照本发明，迭代20次后得到的复杂网络的度分布如图7所示，迭代其间复杂网络的直径如图8所示。

实验三

设定生成网络有6个节点，其拓扑结构图如图9所示，其中：第1个节点的度为3，第2个节点的度为1，第3个节点的度为2，第4个节点的度为2，第5个节点的度为3，第6个节点的度为1，因此，其度分布的多项式表述形式为：

Poly(G)=2x+2x²+2x³

其对应的邻接矩阵如图10所示。

按照本发明，迭代20次后得到的复杂网络的度分布如图11所示，迭代其间复杂网络的直径如图12所示。

从图3、图7、图11可以看出，本发明得到的复杂网络度分布不服从幂律分布，即采用本方法得到的复杂网络不是无标度网络；从图4、图8、图12可以看出，本发明得到的复杂网络直径不超过生成网络直径的两倍，即采用本方法得到的复杂网络是小世界网络。此外，由于邻接矩阵是布尔矩阵，也是对称矩阵，其Kronecker乘积得到的邻接矩阵可以视为分形矩阵，分形矩阵具有的自相似特性使得对应的复杂网络满足自相似特性。总而言之，采用本发明得到的复杂网络同时具有自相似及小世界特性。

Claims (3)

1.一种复杂网络的构建方法，其特征在于：包括如下步骤：

（1）确定生成网络G；

（2）计算生成网络G的邻接矩阵A(G)：

对于具有n个节点的生成网络G，其邻接矩阵A(G)是n×n的方阵，其中对于方阵中的每一个数据，若节点i与节点j相邻，则有A(G)(i,j)=1，否则，A(G)(i,j)=0；若生成网络G的链路数为m，则邻接矩阵A(G)中1的个数也为m，且生成网络的网络密度 $\mathrm{Density}=\frac{2m}{n(n-1)};$

（3）根据生成网络G的度分布确定生成网络G的度分布多项式Poly(G)：

$\mathrm{Poly}\left(G\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}^{D_i}=\underset{j=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{N}_j{x}^j$

式中，n为节点数目，D_i表示第i个节点的度，N_j表示度为j的节点的数目；

（4）按如下方法计算所构建的网络的邻接矩阵A^(l)(G^(l))，其中，l代表运算的次数：

按照Kronecker乘积的规则

进行运算，得到所构建的网络的邻接矩阵；矩阵A(a_ij)_m×n及矩阵B(b_ij)_p×q的Kronecker乘积

定义如下：

（5）按照如下方法计算所构建的网络的度分布PolyDD(G^(l))，其中，l代表运算的次数：

$\begin{array}{c}\mathrm{PolyDD}\left(G^{(k+1)}\right)=\mathrm{DD}(\mathrm{Poly}\left(G^{\left(k\right)}\right),\mathrm{Poly}\left(G\right))\\ =\mathrm{DD}(\underset{i=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{N}_i^{\left(k\right)}{x}^i,\underset{j=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{N}_j{x}^j)\\ =\underset{i=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{N}_i^{\left(k\right)}{N}_j{x}^{\mathrm{ij}}(i,j=\mathrm{1,2,3},...)\end{array}$

（6）重复步骤（4）及步骤（5），得到指定节点数目或指定链路数目的复杂网络时，终止操作。

2.根据权利要求1所述的一种复杂网络的构建方法，其特征在于：确定生成网络G时，选择节点数目n小于等于10且节点间连接较少的简单网络作为生成网络。

3.根据权利要求1所述的一种复杂网络的构建方法，其特征在于：对于拥有n个节点及m条链路的生成网络G，在运算的每一个阶段l得到的复杂网络的节点数n(l)=n^l，链路数m(l)=2m^l，网络密度

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