CN104036549A - 一种合轴分枝树木形态结构三维可视化模拟方法 - Google Patents

Abstract

一种合轴分枝树木形态结构三维可视化模拟方法，属于合轴分枝树木形态结构建模及三维可视化模拟技术领域。通过分析合轴分枝树木的特征，确定合轴分枝树木的相关形态、枝系结构参数，采用迭代函数系统(Iterated Function System，IFS)分形算法，构建合轴分枝树木形态结构模型及其三维可视化模拟算法，实现合轴分枝树木形态结构的三维可视化模拟。

Description

一种合轴分枝树木形态结构三维可视化模拟方法

技术领域

本发明涉及一种合轴分枝树木形态结构三维可视化模拟方法，属于合轴分枝树木形态结构建模及三维可视化模拟技术领域。这种算法将应用于合轴分枝树木三维可视化模拟。

背景技术

树木可视化模拟技术的发展不仅为树木形态结构与生长的研究提供了便利的途径，同时也对林业的管理和决策产生至关重要的作用，具有广泛的实用价值。上世纪70年代以来，树木形态结构和功能模拟方面建立了大量模型，但是由于树木种类繁多、几何形态与结构复杂等原因，大部分树木可视化模型都集中在单轴分枝树种，合轴分枝树种作为常见树种，在树种类型中占有很大的比例，但是合轴分枝树木与单轴分枝树木的形态结构特征差异明显，形态结构相对更加复杂，目前对树木枝系结构的分析都是从单轴分枝树木的形态结构考虑，缺乏合轴分枝树木的形态结构三维建模方法。

发明内容

为了克服现有技术的不足,本发明提供一种合轴分枝树木形态结构三维可视化模拟方法。

一种合轴分枝树木形态结构三维可视化模拟方法,通过分析合轴分枝树木的特征，确定合轴分枝树木的相关形态、枝系结构参数，采用迭代函数系统(Iterated Function System，IFS)分形算法，构建合轴分枝树木形态结构模型及其三维可视化模拟算法，实现合轴分枝树木形态结构的三维可视化模拟。

一种合轴分枝树木形态结构三维可视化模拟方法,含有以下步骤；

步骤1，合轴分枝树木形态结构参数确定；

步骤2，确定冠型模型及其参数；

步骤3，确定IFS因子与形态结构参数关系；

步骤4，确定合轴分枝树木形态结构模型；

步骤5，主干及枝系结构绘制；

步骤6，合轴分枝树木三维可视化模拟。

本发明的优点利用了合轴分枝树木特征，通过获取合轴分枝树木的主要形态结构参数，提出一种适应于合轴分枝树种木形态特征的三维可视化模拟方法。利用这种方法可以实现对合轴分枝类型的树木形态结构的三维建模与可视化模拟。

附图说明

当结合附图考虑时，通过参照下面的详细描述，能够更完整更好地理解本发明以及容易得知其中许多伴随的优点，但此处所说明的附图用来提供对本发明的进一步理解，构成本发明的一部分，本发明的示意性实施例及其说明用于解释本发明，并不构成对本发明的不当限定，如图其中：

图1为本发明的合轴分枝树木形态结构三维可视化模拟技术流程图；

图2为本发明的合轴分枝形态示意图；

图3为本发明的合轴分枝形态结构参数示意图；

图4为本发明的IFS因子与合轴分枝形态结构参数关系图；

图5为本发明的合轴分枝树木IFS迭代过程图；

图6为本发明的合轴分枝树木模型绘制过程图；

图7为本发明的合轴分枝树木枝长示意图；

图8为本发明的树冠计算过程流程图；

图9a为本发明的槐树形态结构三维可视化模拟图；

图9b为本发明的槐树形态结构三维可视化模拟图。

下面结合附图和实施例对本发明进一步说明。

具体实施方式

显然，本领域技术人员基于本发明的宗旨所做的许多修改和变化属于本发明的保护范围。

实施例1：如图1、图2、图3、图4、图5、图6、图7、图8、图9a、图9b所示，一种合轴分枝树木形态结构三维可视化模拟方法,通过分析合轴分枝树木的特征，确定合轴分枝树木的相关形态、枝系结构参数，采用迭代函数系统IFS分形算法，建立合轴分枝树木形态结构特征参数与IFS因子的关系，构建合轴分枝树木形态结构模型及其三维可视化模拟的具体算法，实现合轴分枝树木形态结构的三维可视化模拟，技术流程如下图1所示：

步骤1.合轴分枝树木形态

分枝模式可以被看作是物种生物学、分类学的一个重要特征。根据树木分枝的组成和外部形态特点，可将常见树木的分枝模式归结为两类：单轴分枝与合轴分枝。合轴分枝树木没有明显的主干，其主干由许多腋芽发育而成的侧枝联合组成。以这种方式分枝的植物，具有弯曲的主轴，整个地上部分呈开张状态，主干没有明显的顶端优势。分枝植物顶芽发育一定时间后就会死亡或生长缓慢，或分化成花芽，或成为卷须等变态器官，而位于顶芽下面的侧芽就取而代之，代替原来的主轴继续发育，不断生长形成强的侧枝连接在原来的主轴上。然后生长一段时间后，这种侧枝上的顶芽停止发育，又由它下面的侧芽来代替，如此更迭，就形成了弯曲的主轴。常见树种如槐树，榆树等。图2为合轴分枝形态示意图。

步骤2.合轴分枝树木形态结构参数

决定树木分枝格局的关键因素包括树干的分枝方式、分枝个数、分枝角度、分枝长度以及树冠形状。合轴树木的树冠呈开张状态，根据合轴分枝树木分枝结构特点，将描述合轴分枝树木的分枝结构指标分为两类：一类为形态指标，描述树木的整体形态特点，包括树高，路径长度，冠高，冠幅，冠型指数等；另一类为结构指标，体现了树木枝系的几何结构特征，包括分枝仰角，枝径比，枝长比，分枝级数，分枝率等。以枝径的大小为划分标准，将合轴树木的分枝分为主枝与次枝分别进行统计分析上述形态结构指标(各参数如图3所示)。

树冠决定了树木的整体轮廓，以树冠纵断面作为研究对象，将树冠的横断面看作圆形，即认为冠型曲线以树干为对称轴对称，以枝下高、树高、冠高和冠幅为自变量，利用一般幂函数的形式建立冠形曲线函数，冠型曲线公式如下：

$h\left(x\right)=H-a_1{x}^{b_1}---\left(1\right)$

其中b₁为上冠形指数，a₁为与b₁相关的参数，H为树高值，Hc为冠高值，x表示沿冠幅方向的数值，其取值范围为x≤0.5Cr，Cr为冠幅值。

通过上述的分析，将合轴分枝树木的形态结构参数汇总如表1所示。

表1合轴分枝形态结构建模参数

步骤3.基于IFS算法的合轴分枝树木形态结构模型

迭代函数系统IFS可以看作是初始图形经过一系列变换映射，即对初始图形单元进行一定原则的旋转，缩放，平移等基本操作，最后形成的图形集合。IFS方法的关键步骤即为仿射变换，通常可以用一系列的仿射变换来表示IFS。

定义三维空间中的仿射变换为ω:R³→R³。表示成如下形式：

${\mathrm{\ω}}_n\left(X\right)=A_n\left(X\right)+B_n=\left(\begin{array}{ccc}{a}_n& b_n& c_n\\ d_n& e_n& f_n\\ g_n& h_n& i_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{u}_n\\ v_n\\ w_n\end{array}\right)---\left(2\right)$

其中X为三维欧氏空间的一个点集，ω_n是由N个仿射变换组成的一组仿射变换。B_n为位移矩阵，A_n实际上是一个复合变换矩阵，它包含了基本的仿射变换(旋转变换、缩放变换等)，这里表示的是绕Y轴与Z轴旋转的两个旋转矩阵与一个缩放矩阵的乘积。

a_n，b_n，c_n，d_n，e_n，f_n，g_n，h_n，i_n为仿射变换矩阵元素；U_n，V_n，W_n为平移矩阵元素

合轴分枝树木其形态结构局部与整体相似，遵循自相似规律。宏观上树木形态结构可以看作为分层结构，由树木主干、分枝和树叶构成。即主干生长分生产生第一层分枝，再在第一层分枝的基础上分生第二层分枝，如此一层一层分生下去，直至最后一层为树叶，树木形态体现出一定的分形的自相似特征。用IFS方法对树木进行建模时，描述并建立IFS因子与合轴分枝形态结构参数的关系，可以使所建立的树木模型更加符合实际树木本身的结构特点。

考虑IFS算法本身的特点并结合合轴分枝树木形态参数的实际意义，给出了IFS因子与形态参数间的对应关系(图4)。应用分枝级数来控制IFS的迭代次数；分枝个数确定IFS仿射变换的个数；枝长、分枝角度确定IFS的位移矩阵及旋转矩阵，枝长比确定IFS的缩放矩阵。

(1)IFS旋转矩阵与分枝角度

分枝的仰角确定IFS旋转矩阵中绕Y轴的旋转矩阵，绕Z轴的旋转矩阵由方位角决定。

(2)IFS位移矩阵与父枝枝长

对单轴分枝树木而言，枝下高确定IFS中的位移矩阵，而合轴分枝树木每一分枝的着枝点都在其父枝的枝端，根据这样的分枝特点，可确定建立合轴分枝树木模型时IFS位移矩阵中的位移值是所建分枝的父枝枝长。

(3)IFS缩放矩阵与分枝枝长比

IFS的缩放矩阵由树木分枝的枝长比确定，即分枝的枝长比为缩放比，该因子通过仿射变换计算要建立枝的长度，直接决定树木的最终形态。

(4)IFS迭代次数与分枝级数

每一个树种的分枝级数都是确定的，通过大量的观察可以确定一个树种的分枝级数，分枝级数决定了IFS的迭代次数，IFS过程的迭代次数不能超过所模拟树种的分枝级数。

(5)IFS仿射变换个数与分枝个数

父枝上子枝的分枝个数对应于IFS中仿射变换的个数，合轴分枝树木以分枝为两个的为主，定义该IFS包括两个仿射变换分别对应与主枝与次枝。

以树木分枝前的主干长为初始三维向量，首先将向量绕Y轴旋转对应于分枝仰角的角度，绕Z轴旋转对应于分枝方位角的角度，再将该向量平移长度为其父枝枝长的位移值，即到达所建立分枝的着枝点处。每产生一个树木分枝都可以看作是由主干经过了一次IFS迭代变换旋转、平移、缩放操作，直到树木停止分枝，IFS停止迭代，即达到一个相对稳定的状态。

步骤4.合轴分枝树木三维可视化模拟算法

合轴分枝的迭代方法中，将树木枝系结构分为主干，分枝分别说明。主干是一个特殊的IFS迭代，即进行仰角，方位角，位移值为前段主干起止点对应的向量差的仿射变换。分枝是主干经过了旋转，平移，收缩变换后得到的，每一次迭代产生一个分枝。每一分枝都可看做是主干的一个复制品。树木的分枝级数控制IFS算法中迭代次数，达到分枝级数时IFS停止迭代，算法如下，迭代过程如图5所示。

递归算法：

Step1：参数初始化，包括枝长，枝径，仰角，分枝级数CN，分枝个数R等；

Step2：通过初始参数建立主干，主干不需要做IFS变换；

Step3：判断CN的值，不等于0时，建立R个n-1级树枝；

Step4：当CN等于0时结束，否则CN＝CN-1，转到step3；

如图5所示：a.CN＝0，树木没有分枝；b.CN＝1，第1次迭代经过2个变换产生2个分枝；c.CN＝2，第2次迭代经过4个变换，即每一个一级分枝分别产生2个子枝；d.CN＝3，第3次迭代经过8个变换，每一个二级分枝继续分别产生2个子枝；e.CN＝4，第4次迭代经过16个变换，每一个三级分枝再继续分别产生2个子枝。

树木的每一层分枝都与其上一层分枝相似，单轴分枝树木的每一分枝枝系都是相似的，故在模拟时迭代使用的仿射变换通常是相同的一组，而合轴分枝树木的主枝与次枝枝系有不同的特点，因此为了使构建的形态模型更加符合真实树木的形态，在利用递归算法构造树木模型时，建立两组仿射变换对应于主枝与次枝，并对分枝参数指标值仰角，枝长，方位角等引入随机因子，且考虑其级数的不同采用不同的收缩矩阵，旋转矩阵，使得树枝分枝角度和长度产生随机变动，避免了所构建合轴分枝树木模型的过度自相似性。

绘制过程如图6所示；

步骤1，初始化；

步骤2，绘制主干，进行IFS变换；

步骤3，绘制R个分枝；

步骤4，判断是否递归完成，若是“否”回到步骤3；若是“是”执行步骤5；

步骤5，绘制树叶；

步骤6，绘制完成。

合轴分枝枝长计算方法如图7所示，计算由P₁，P₂，P₃枝段组成的枝长，即P₃末端点的坐标，已知(x₀，y₀)，每一枝段长度l_k，仰角γ_k，其中k＝0，1，2，3，代表枝段层数，求解(x₃，y₃)。

第一层枝P₁的方程为：

y₁＝y₀+tanγ₀(x₁-x₀) (3)

根据已知的第一层分枝枝长l₁，可得：

l₁ ²＝(x₁-x₀)²+(y₁-y₀)² (4)

求解(3)与(4)，计算得：

$x_1=x_0+\frac{l_1}{\sqrt{1+\frac{1}{{\tan }^2{\mathrm{\γ}}_0}}}---\left(5\right)$

$y_1=y_0+\frac{l_1{\tan }^2{\mathrm{\γ}}_0}{\sqrt{1+{\tan }^2{\mathrm{\γ}}_0}}---\left(6\right)$

由得到的(x₁，y₁),继续计算可得到(x₂，y₂)，直到得到(x₃，y₃)。即根据P₀计算P₁，P₁计算P₂，P₂计算P₃，不断迭代计算直到分枝级数到达设定值，这时计算得到的x，y值即最后一级枝末端的坐标。

由最后一级枝的方程与冠形曲线求交点，即可实现对树冠形状的控制。

如图8所示，计算过程如下：

步骤1，已知仰角，枝长，K级分枝；

步骤2，根据已知条件建立分枝方程；

步骤3，求解分枝末端点坐标；

步骤4，判断是否到达k的值，若是“否”回到步骤1；若是“是”执行步骤5；

步骤5，计算最后一级分枝方程和冠型曲线；

步骤6，计算符合冠型曲线的长度。

实施例2：如图9a、图9b所示，以典型合轴分枝类型树种槐树为例，进行三维可视化模拟应用。根据槐树分枝结构的调查和统计分析，得出槐树次枝仰角均呈正态分布，且主要分布在20°-40°之间；分枝枝径与分枝路径长度的相关性较强；枝长的分布范围为20cm-40cm；枝长比分布在0.5-2.0之间；分枝率随分枝层数的增大有变大的趋势；槐树冠形曲线函数中上部分冠形指数的值大于2。根据以上槐树形态结构参数，建立槐树的三维可视化模型，实现槐树的三维可视化模拟效果。设置不同的形态结构参数模拟槐树，图9.a为主次分枝仰角分别为10°，40°时的槐树模拟效果。图9.b为主次分枝仰角分别为20°，30°时的模拟效果。

如上所述，对本发明的实施例进行了详细地说明，但是只要实质上没有脱离本发明的发明点及效果可以有很多的变形，这对本领域的技术人员来说是显而易见的。因此，这样的变形例也全部包含在本发明的保护范围之内。

Claims (2)

1.一种合轴分枝树木形态结构三维可视化模拟方法，其特征在于含有以下步骤；

步骤1，合轴分枝树木形态结构参数确定；

步骤2，确定冠型模型及其参数；

步骤3，确定IFS因子与形态结构参数关系；

步骤4，确定合轴分枝树木形态结构模型；

步骤5，主干及枝系结构绘制；

步骤6，合轴分枝树木三维可视化模拟。

2.根据权利要求1所述的一种合轴分枝树木形态结构三维可视化模拟方法，其特征在于:

步骤1.合轴分枝树木形态结构参数确定；

根据树木分枝的组成和外部形态特点，将常见树木的分枝模式归结为两类：单轴分枝与合轴分枝；合轴分枝树木没有明显的主干，其主干由许多腋芽发育而成的侧枝联合组成；以这种方式分枝的植物，具有弯曲的主轴，整个地上部分呈开张状态，主干没有明显的顶端优势；分枝植物顶芽发育一定时间后就会死亡或生长缓慢，或分化成花芽，或成为卷须变态器官，而位于顶芽下面的侧芽就取而代之，代替原来的主轴继续发育，不断生长形成强的侧枝连接在原来的主轴上；然后生长一段时间后，这种侧枝上的顶芽停止发育，又由它下面的侧芽来代替，如此更迭，就形成了弯曲的主轴；

步骤2.确定冠型模型及其参数；

决定树木分枝格局的关键因素包括树干的分枝方式、分枝个数、分枝角度、分枝长度以及树冠形状；合轴树木的树冠呈开张状态，根据合轴分枝树木分枝结构特点，将描述合轴分枝树木的分枝结构指标分为两类：一类为形态指标，描述树木的整体形态特点，包括树高，路径长度，冠高，冠幅，冠型指数；另一类为结构指标，体现了树木枝系的几何结构特征，包括分枝仰角，枝径比，枝长比，分枝级数，分枝率；以枝径的大小为划分标准，将合轴树木的分枝分为主枝与次枝分别进行统计分析上述形态结构指标；

树冠决定了树木的整体轮廓，以树冠纵断面作为研究对象，将树冠的横断面看作圆形，即认为冠型曲线以树干为纵轴对称，以枝下高、树高、冠高和冠幅为自变量，利用一般幂函数的形式建立冠形曲线函数，冠型曲线公式如下：

$h\left(x\right)=H-a_1{x}^{b_1}---\left(1\right)$

其中b₁为上冠形指数，a₁为与b₁相关的参数，H为树高值，Hc为冠高值，x表示沿冠幅方向的数值，其取值范围为x≤0.5Cr，Cr为冠幅值；

步骤3.确定IFS因子与形态结构参数关系；

迭代函数系统IFS可以看作是初始图形经过一系列仿射变换，即对初始图形单元进行一定原则的旋转，缩放，平移基本操作，最后形成的图形集合；IFS方法的关键步骤即为仿射变换，用一系列的仿射变换来表示IFS；

定义三维空间中的仿射变换为ω:R³→R³；表示成如下形式：

${\mathrm{\ω}}_n\left(X\right)=A_n\left(X\right)+B_n=\left(\begin{array}{ccc}{a}_n& b_n& c_n\\ d_n& e_n& f_n\\ g_n& h_n& i_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{u}_n\\ v_n\\ w_n\end{array}\right)---\left(2\right)$

其中X为三维欧氏空间的一个点集，ω_n是由N个仿射变换组成的一组仿射变换；B_n为位移矩阵，A_n实际上是一个复合变换矩阵，它包含了基本的仿射变换(旋转变换、缩放变换)，这里表示的是绕Y轴与Z轴旋转的两个旋转矩阵与一个缩放矩阵的乘积；

a_n，b_n，c_n，d_n，e_n，f_n，g_n，h_n，i_n为仿射变换矩阵元素；U_n，V_n，W_n为平移矩阵元素。

合轴分枝树木其形态结构局部与整体相似，遵循自相似规律；宏观上树木形态结构可以看作为分层结构，由树木主干、分枝和树叶构成；即主干生长分生产生第一层分枝，再在第一层分枝的基础上分生第二层分枝，如此一层一层分生下去，直至最后一层为树叶，树木形态体现出一定的分形的自相似特征；

IFS因子与形态参数间的对应关系；应用分枝级数来控制IFS的迭代次数；分枝个数确定IFS仿射变换的个数；枝长、分枝角度确定IFS的位移矩阵及旋转矩阵，枝长比确定IFS的缩放矩阵；

(1)IFS旋转矩阵与分枝角度；

分枝的仰角确定IFS旋转矩阵中绕Y轴的旋转矩阵，绕Z轴的旋转矩阵由方位角决定；

(2)IFS位移矩阵与父枝枝长；

对单轴分枝树木而言，枝下高确定IFS中的位移矩阵，而合轴分枝树木每一分枝的着枝点都在其父枝的枝端，根据这样的分枝特点，确定建立合轴分枝树木模型时IFS位移矩阵中的位移值是所建分枝的父枝枝长；

(3)IFS缩放矩阵与分枝枝长比；

IFS的缩放矩阵由树木分枝的枝长比确定，即分枝的枝长比为缩放比，该因子通过仿射变换计算要建立枝的长度，直接决定树木的最终形态；

(4)IFS迭代次数与分枝级数；

每一个树种的分枝级数都是确定的，通过大量的观察确定一个树种的分枝级数，分枝级数决定了IFS的迭代次数，IFS过程的迭代次数不能超过所模拟树种的分枝级数；

(5)IFS仿射变换个数与分枝个数；

父枝上子枝的分枝个数对应于IFS中仿射变换的个数，合轴分枝树木以分枝为两个的为主，定义该IFS包括两个仿射变换分别对应与主枝与次枝；

以树木分枝前的主干长为初始三维向量，首先将向量绕Y轴旋转对应于分枝仰角的角度，绕Z轴旋转对应于分枝方位角的角度，再将该向量平移长度为其父枝枝长的位移值，即到达所建立分枝的着枝点处；每产生一个树木分枝都可以看作是由主干经过了一次IFS迭代变换旋转、平移、缩放操作，直到树木停止分枝，IFS停止迭代，即达到一个相对稳定的状态；

步骤4.确定合轴分枝树木形态结构模型；

合轴分枝的迭代方法中，将树木枝系结构分为主干，分枝分别说明；主干是一个特殊的IFS迭代，即进行仰角，方位角，位移值均为0的仿射变换；分枝是主干经过了旋转，平移，收缩变换后得到的，每一次迭代产生一个分枝；每一分枝都可看做是主干的一个复制品；树木的分枝级数控制IFS算法中迭代次数，达到分枝级数时IFS停止迭代，

递归算法：

Step1：参数初始化，包括枝长，枝径，仰角，分枝级数CN，分枝个数R；

Step2：通过初始参数建立主干，主干不需要做IFS变换；

Step3：判断CN的值，不于0时，建立R个n-1级树枝；

Step4：当CN于0时结束，否则CN＝CN-1，转到step3；

a.CN＝0，树木没有分枝；b.CN＝1，第1次迭代经过2个变换产生2个分枝；c.CN＝2，第2次迭代经过4个变换，即每一个一级分枝分别产生2个子枝；d.CN＝3，第3次迭代经过8个变换，每一个二级分枝继续分别产生2个子枝；e.CN＝4，第4次迭代经过16个变换，每一个三级分枝再继续分别产生2个子枝；

步骤5，主干及枝系结构绘制；

步骤1，初始化；

步骤2，绘制主干，进行IFS变换；

步骤3，绘制R个分枝；

步骤4，判断是否递归完成，若是“否”回到步骤3；若是“是”执行步骤5；

步骤5，绘制树叶；

步骤6，绘制完成；

合轴分枝枝长计算方法，计算由P₁，P₂，P₃枝段组成的枝长，即P₃末端点的坐标，已知(x₀，y₀)，每一枝段长度l_k，仰角γ_k，其中k＝0，1，2，3，代表枝段层数，求解(x₃，y₃)；

第一层枝P₁的方程为：

y₁＝y₀+tanγ₀(x₁-x₀) (3)

根据已知的第一层分枝枝长l₁，可得：

l₁ ²＝(x₁-x₀)²+(y₁-y₀)² (4)

求解(3)与(4)，计算得：

$x_1=x_0+\frac{l_1}{\sqrt{1+\frac{1}{{\tan }^2{\mathrm{\γ}}_0}}}---\left(5\right)$

$y_1=y_0+\frac{l_1{\tan }^2{\mathrm{\γ}}_0}{\sqrt{1+{\tan }^2{\mathrm{\γ}}_0}}---\left(6\right)$

由得到的(x₁，y₁),继续计算可得到(x₂，y₂)，直到得到(x₃，y₃)；即根据P₀计算P₁，P₁计算P₂，P₂计算P₃，不断迭代计算直到分枝级数到达设定值，这时计算得到的x，y值即最后一级枝末端的坐标；

由最后一级枝的方程与冠形曲线求交点，实现对树冠形状的控制；

步骤6，合轴分枝树木三维可视化模拟；

步骤1，已知仰角，枝长，K级分枝；

步骤2，根据已知条件建立分枝方程；

步骤3，求解分枝末端点坐标；

步骤4，判断是否到达k的值，若是“否”回到步骤1；若是“是”执行步骤5；

步骤5，计算最后一级分枝方程和冠型曲线的交点；

步骤6，计算符合冠型曲线的分枝长度。