CN104020771B - 一种基于动态虚拟小船制导算法的欠驱动船舶路径跟踪规划方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于动态虚拟小船制导算法的欠驱动船舶路径跟踪规划方法，包括以下步骤：S1：建立导引虚拟小船数学模型，根据导引虚拟小船数学模型采用制导算法规划出船舶跟踪控制参考路径，获取导引虚拟小船产生参考路径的命令时间序列信号；S2：进入路径跟踪控制状态：S3：根据实际船舶与导引虚拟小船的相对位置动态配置动态虚拟小船的船舶位置和运动姿态；S4：根据鲁棒自适应控制策略设计控制律，即实船的主机转速n_c和舵角命令信号δ_c，控制实船主机和舵机执行装置，驱动控制实船跟踪动态虚拟小船，最终实现船舶在航海实践中的路径跟踪控制任务；S5：测量实际船舶位置判断是否到达目的地，如果“是”，结束船舶航行；如果“否”，时间更新t＝t+1并进入S2。

Description

一种基于动态虚拟小船制导算法的欠驱动船舶路径跟踪规划 方法

技术领域

本发明涉及船舶控制工程与船舶自动化航行领域，尤其涉及一种基于动态虚拟小船制导算法的欠驱动船舶路径跟踪规划方法。

背景技术

目前已有的制导算法是从导弹射击制导研究领域引入到船舶导航领域中，即我们通常所说的Line of sight(LOS)算法。它解决了间接航迹保持控制中利用航迹偏差和航向偏差计算船舶引导航向的问题，也是目前船载自动操舵仪中较为广泛采用的算法，下面我们对制导算法做简单的解释和说明。

可变的LOS半径和航路点切换边界环是LOS算法中两个重要的概念或变量。LOS算法的目的是演绎出航迹保持控制中完成控制任务需求的航向参考命令，即ψ_los(方位角)。利用现有的船舶航向保持控制器驱动转舵执行装置，使船舶航向跟踪参考命令ψ_los，减小航迹偏差，最终实现船舶沿着计划航线自动航行。图1给出了LOS算法的基本制导原理图。在航海实践中，计划航线通常由驾驶员通过设置航路点进行设计，如图1中的(x_i-1,y_i-1),(x_i,y_i)和(x_i+1,y_i+1)。以当前船位(x,y)为中心，以LOS半径R画弧，在LOS半径选取恰当的前提下能够交计划航线P_i-1P_i于点A_B和A_F。起始于当前船位(x,y)终止于点A_F的线段定义为LOS线，所对应的方位角即为ψ_los，可由式(1)计算且ψ_los∈<-π,π>。通常情况下R有3种取法：1)传统LOS算法：R＝αL_pp，L_pp为船舶的两柱间长。这种情况下必须要求α＞1，否则船舶将绕着计划航线频繁转圈；2)改进LOS算法：R＝d+L_pp，d为当前船位到计划航向的投影距离，即航迹偏差。这样选择能够保证R＞d恒成立，保证LOS线始终存在；3)指数收敛LOS算法，如式(2)所示。其中，lambertw是函数f(x)＝xe^x的反函数，选取最小LOS半径R_min＝1.7L_pp，系数b为指数收敛因子，b＝0.05。

LOS制导算法能够实现直线航线对船舶的导航引导作用，最终实现航迹保持控制任务。但船舶驶向航路点附近时，即图1中P_i位置处，需要进行航路点转换。这就涉及到了航路点切换边界环的概念，即以(x_i,y_i)为中心以δ_i为半径的圆形区域。但船舶进入到该区域内，参考计划航线就由航线段{(x_i-1,y_i-1)，(x_i,y_i)}切换到航线段{(x_i,y_i)，(x_i+1,y_i+1)}，切换条件为式(3)。

在航海实践中，参考路径(即计划航线)是由驾驶员通过设置航路点来确定，以引导船舶在公海上按照预设航线航行。参考路径不仅包括直线段，还包括转向部分的曲线段。已有技术LOS制导算法主要思想是通过航迹偏差计算出参考航向，通过航向保持控制引导船舶沿着计算出的参考航向航行，间接引导船舶沿着计划参考路径航行，实现航迹保持控制。

由于常规水面船舶运动具有大惯性、欠驱动等特点，时间常数为几十秒甚至可达到几百秒，近年来，国内外学者在欠驱动船舶路径跟踪控制方面做了大量研究工作。这些成果都基于一个前提假设“任何参考路径可以由虚拟小船产生，包括直线和光滑曲线”，所解决的问题集中于欠驱动船舶能够有效跟踪虚拟小船产生的运动轨迹，从而实现路径跟踪控制。然而，关于如何解决虚拟小船和航路点之间的路径规划问题在当前研究成果中少有提及。

基于以上分析，LOS制导算法应用于欠驱动船舶路径跟踪规划方法主要存在以下2点缺陷：

1、LOS算法只解决了直线段的航迹保持控制问题，航路点位置附近采用自动转向，并没有进行有效的航迹保持控制。

2、LOS算法不能直接应用于已有的路径跟踪控制研究成果，解决航海实践中的船舶航迹保持控制问题(包括直线和光滑曲线)。尽管欠驱动船舶路径跟踪控制研究在一定假设基础上解决了船舶对虚拟小船运动轨迹的跟踪，但虚拟小船与参考路径之间的路径规划问题没有得到有效解决。

发明内容

根据现有技术存在的问题，本发明公开了一种基于动态虚拟小船制导算法的欠驱动船舶路径跟踪规划方法，包括以下步骤：

S1：设定航路点信息W₁,W₂,…，W_n，建立导引虚拟小船数学模型，设定航行 速度u_r，根据导引虚拟小船数学模型采用制导算法规划出船舶跟踪控制参考路径，获取导引虚拟小船产生参考路径的命令时间序列信号；

S2：进入路径跟踪控制状态：根据S1中获取的导引虚拟小船产生参考路径的命令时间序列信号，利用导引虚拟小船数学模型实时获取导引虚拟小船的船舶位置和运动姿态；

S3：根据实际船舶与导引虚拟小船的相对位置动态配置动态虚拟小船的船舶位置和运动姿态；

S4：根据鲁棒自适应控制策略设计控制律即实船的主机转速n_c和舵角命令信号δ_c，控制实船主机和舵机执行装置，驱动控制实船跟踪动态虚拟小船，最终实现船舶在航海实践中的路径跟踪控制任务；

S5：测量实际船舶位置判断是否到达目的地，如果“是”，结束船舶航行；如果“否”，时间更新t＝t+1并进入S2。

进一步的，S1中：导引虚拟小船数学模型采用如下公式(4)表示：

其中：W_i为计划航路点、对应的坐标值用(x_i y_i)表示；(x_r y_r)和ψ_r分别为导引虚拟小船的位置坐标和艏向角，u_r和r_r分别为导引虚拟小船前进速度命令信号和转首角速率命令信号；

当参考路径为直线时：u_r＝constant,r_rLi＝0,t_rLi＝distance/u_r，(i＝1,2,…n-1)，distance代表直线段航线的长度，其中：r_rLi和t_rLi为参考路径为直线时导引虚拟小船的命令信号及对应的时间序列；

当参考路径为曲线时：将转向点部分过渡曲线作为圆弧计算，r_rCi为非零常量，利用公式(5)求每一段直线航线的方位角φ_i-1,i和φ_i,i+1，转向偏差Δφ_i＝φ_i,i+1- φ_i-1,i其中：]Δφ_i∈ (0, π/2]转向半径R_i通过内插求取，R_i∈ [R_min,R_max]当Δφ_i＞π/2，R_i＝R_min；则当参考路径为光滑曲线时，u_r＝constant,r_rCi＝u_r/R_i,t_rCi＝Δφ_i/r_rCi,(i＝2,3,…n-1)；

其中：φ_i-1,i为直线航线W_i-1W_i的方位角，r_rCi和t_rCi为参考路径为曲线时导引虚拟小船的命令信号及对应的时间序列。

进一步的，S3中：动态配置动态虚拟小船的船舶位置和运动姿态具体采用如下方式：设实际船舶与导引虚拟小船之间的距离为Z_e，实船与动态虚拟小船之间的距离为l_db；

当Z_e≥l_dbset，l_dbset为设定的参数阈值，动态虚拟小船首向角ψ_d和船舶位置(x_d y_d)分别采用如下公式(6)和公式(7)计算：

x_d＝x+l_dbsetcos(ψ_d),y_d＝y+l_dbsetsin(ψ_d) (7)

当Z_e＜l_dbset时，动态虚拟小船位置与导引虚拟小船位置重合，即：x_d＝x_r,y_d＝y_r，艏向角ψ_d仍采用公式(6)计算。

进一步的，S4中设计控制律时：动态虚拟小船相关微分变量通过公式(8)所示的参考模型解决：

其中：(x y)和ψ为实际船舶的位置和艏向角，分别为x_ds和y_ds对应变量的导数，τ为时间常数。

由于采用了上述技术方案，本发明提供的基于动态虚拟小船制导算法的欠驱动船舶路径跟踪规划方法，采用制导算法解决了实际船舶对虚拟小船运动轨迹的跟踪，在跟踪过程中解决了虚拟小船与参考路径之间的规划问题。本发明还具有以下有益效果：

利用本发明公开的制导算法解决了“LOS算法只能用于直线段航迹保持控制问题”的缺陷，能够实现船舶在直线和转向段的有效航迹保持控制，对海底电缆铺设、探矿、扫雷等控制精度要求高的船舶工程具有重大意义。

目前，欠驱动船舶路径跟踪控制理论研究日趋繁荣，而其在船舶控制工程中的应用仍未见报道。本发明适用于已有的路径跟踪控制理论研究成果，为相关理论和船舶控制工程搭建了桥梁，使理论研究成果应用于船舶工程实践提供了可能。

利用该发明实现的船舶运动路径跟踪控制考虑了船舶执行装置：主机推进和舵机伺服系统之间的耦合影响，控制精度高，具有节能、绿色的特点，符合目前IMO推动的航运目标“清洁海洋上安全、保安和高效的航运。

附图说明

为了更清楚地说明本申请实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍。显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本申请中记载的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图

图1为现有技术中LOS算法的基本制导原理图；

图2为本发明中船舶路径跟踪控制逻辑结构示意图；

图3为本发明中欠驱动船舶路径跟踪规划方法的流程图；

图4为本发明中动态虚拟小船制导算法基本原理图；

图5为制导参考路径规划示意图；

图6为本发明中实施例的示意图；

图7为实施例中试验海浪干扰的三维视图；

图8为实施例中航海实践条件下船舶路径跟踪控制结果示意图；

图9为实施例中船舶运动姿态变量u,v,ψ,φ时间变化曲线的示意图；

图10为实施例中执行装置控制输入n,δ时间变化曲线示意图。

具体实施方式

为使本发明的技术方案和优点更加清楚，下面结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚完整的描述

如图2和图3所示：本发明公开的基于动态虚拟小船制导算法的欠驱动船舶路径跟踪规划方法的示意图，如图4中从左至右依次是实船即实际船舶、动态虚拟小船和导引虚拟小船。本发明的发明点在于设定航路点后采用制导算法实现船舶路径跟踪控制的过程，具体包括以下步骤：

S1：设定航路点信息W₁,W₂,…，W_n，建立导引虚拟小船数学模型，设定航行速度u_r，根据导引虚拟小船数学模型采用制导算法规划出船舶跟踪控制参考路径，获取导引虚拟小船参考路径的命令时间序列信号。

S2：进入路径跟踪控制状态。根据S1中获取的导引虚拟小船的参考路径的命令时间序列信号利用导引虚拟小船数学模型实时获取导引虚拟小船的船舶位置和运动姿态；

在航海实践中，参考路径通常由船舶驾驶员通过设置航路点W₁,W₂,…，W_n(W_i＝(x_i,y_i))进行设定，引导海上船舶自动航行。这也是路径跟踪控制的主要任务。其中导引虚拟小船数学模型不考虑任何船舶惯性和不确定性因素，主要任务在于利用航路点信息演绎出光滑的参考路径和与之对应的命令信号u_r,r_r 和时间序列命令t_r，动态虚拟小船的船位和运动状态通过实船和导引虚拟小船的相对位置动态配置确定(并不是连续变化)，它的主要作用在于解决(或一定程度上补偿)船舶控制工程中舵机和主机执行装置存在饱和或速率约束条件这一限制。对于导引虚拟小船，其制导参考路径根据驾驶员设置航路点信息产生。导引虚拟小船数学模型采用如下公式(4)表示：

其中：W_i为计划航路点、对应的坐标值用(x_i y_i)表示；(x_r y_r)和ψ_r分别为导引虚拟小船的船位坐标和艏向角，u_r和r_r分别为导引虚拟小船前进速度命令信号和转首角速率命令信号。在实际航行中，参考路径包括直线和曲线两种：

当参考路径为直线时：u_r＝constant,r_rLi＝0,t_rLi＝distance/u_r,(i＝1,2,…n-1)，distance代表直线段航线的长度，其中：r_rLi和t_rLi为参考路径为直线时导引虚拟小船的命令信号及对应的时间序列。如图5所示：制导参考路径W_i-1W_i+1可以规划为3段：对于路径跟踪控制任务而言，通常u_r＞0由船舶驾驶员决定，而r_r则是随时间变化的命令信号。

当参考路径为曲线时：将转向点部分过渡曲线作为圆弧计算。如图5所示的r_rCi为非零常量，利用如下公式(5)求每一段直线航线的方位角φ_i-1,i和φ_i,i+1，转向偏差Δφ_i＝φ_i,i+1-φ_i-1,i其中：Δφ_i∈(0,π/2]，转向半径R_i通过内插求取，R_i∈[R_min,R_max]，当Δφ_i＞π/2，R_i＝R_min，则当参考路径为光滑曲线时，u_r＝constant,r_rCi＝u_r/R_i,t_rCi＝Δφ_i/r_rCi,(i＝2,3,…n-1)；

其中：φ_i-1,i为直线航线W_i-1W_i的方位角，r_rCi和t_rCi为参考路径为曲线时导引虚拟小船的命令信号。

S3：根据实际船舶与导引虚拟小船的相对位置动态配置动态虚拟小船的船舶位置和运动姿态。动态虚拟小船的引入是为了保证当船舶偏离参考路径较大时仍能够有效合理地提高航行速度，同时借助操舵回归到计划航线上。从这一点可以看出，利用本发明算法实现的船舶运动路径跟踪控制考虑了主机推进装 置和转舵驱动装置之间的耦合效应。如图4所示：动态配置动态虚拟小船的船舶位置和运动姿态具体采用如下方式：设实际船舶与导引虚拟小船之间的距离为Z_e，实船与动态虚拟小船之间的距离为l_db。

当Z_e≥l_dbset，(_tl_debs为设定的参数阈值)，动态虚拟小船首向角ψ_d和船舶位置(x_dy_d)分别采用如下公式(6)和公式(7)计算：

x_d＝x+l_dbsetcos(ψ_d),y_d＝y+l_dbsetsin(ψ_d) (7)

当Z_e＜l_dbset时，动态虚拟小船位置与导引虚拟小船位置重合，即：x_d＝x_r,y_d＝y_r，艏向角ψ_d仍采用公式(6)计算。

S4：如图2所示：根据鲁棒自适应控制策略设计控制律即实船的主机转速n_c和舵角命令信号δ_c，控制实船主机和舵机执行装置，驱动控制实船跟踪动态虚拟小船，最终实现船舶在航海实践中的路径跟踪控制任务。

动态虚拟小船相关微分变量通过公式(8)所示的参考模型解决：

其中：(x y)和ψ为实际船舶的位置和艏向角，分别为x_ds和y_ds对应变量的导数，τ为时间常数。(x_d y_d)和ψ_d为动态虚拟小船的船位坐标和艏向角，(x y)和ψ为实际船舶的船位和艏向角，

S5：测量实际船舶位置判断是否到达目的地，如果“是”，结束船舶航行；如果“否”，时间更新t＝t+1并进入S2。

实施例：以大连海事大学教学科研实习船“育鲲”轮为被控对象，利用matlab进行计算机仿真实验。表1给出了“育鲲”轮的主要尺度参数。这里所采用的船舶运动数学模型如公式(4)；相关水动力导数及其他参数是基于2013年9月“育鲲”轮开展的系列实船操纵性试验(如图6所示)，利用先进系统辨识算法处理、辨识获得，且该数学模型包括主机和舵机执行装置模型，能够较准确地反应“育鲲”轮的实际操纵性能。关于船舶辨识建模研究成果正在发表，在此不做赘述。

表1.“育鲲”轮主要参数

该实例中，计划航线由5个航路点W₁(0,0),W₂(500,100),W₃(800,900),W₄(800,1800),W₅(100,2000)确定，对应的船舶初始运动状态为[x,y,φ,ψ,u,v,p,r]|_t＝0＝[-50m,20m,0deg,25deg,8m/s,0m/s,0deg/s,0deg/s]，期望路径跟踪航速为u_r＝8.5m/s，制导算法参数设置l_dbset＝0.37L_pp。试验环境干扰考虑了风、不规则海浪和海流因素的影响，所采用的机理模型可参见文献[7,9]。为了保证整个闭环控制系统能够正常运行，控制策略采用文献[4]提出的欠驱动船舶路径跟踪控制算法。这一应用也体现了本发明在航海实践中的重要意义：通过本发明可以将目前关于欠驱动船舶路径跟踪控制(甚至包括轨迹追踪控制)理论研究成果应用于船舶控制工程当中，提高船舶海上航行安全性和经济性。

仿真实验所使用环境干扰为：风速(蒲福风7级)V_wind＝15.25m/s，风向ψ_wind＝050deg；海浪干扰由风干扰模型耦合产生，即为在蒲福风7级情况下充分成长生成的海浪，图7给出了试验海浪干扰的三维视图；海流V_current＝0.5m/s，流向β_current＝280deg。图8-10给出了在上述实验条件下，利用动态虚拟小船制导算法实现的航海实践中船舶路径跟踪控制结果。从图8可以看出，导引虚拟小船能够精确地根据航路点信息规划出导引轨迹引导船舶实现直线和曲线段的有效航迹 控制。与已有文献中研究成果相比，船舶在转向部分也实现了有效控制，这说明“动态虚拟小船”的引入对克服船舶大惯性、大时滞，在转向部分提前操纵难以把握等缺陷。图9和图10分别给出了实验过程中船舶运动姿态变量u,v,ψ,φ和执行装置控制输入n,δ的时间变化曲线。可以看出，利用该发明实现的航海实践中的船舶路径跟踪控制执行装置动作合理符合船舶控制工程的实际需求，推进装置和转舵装置控制考虑其相互耦合因素，能够有效保证船舶运动路径跟踪控制精度。

文献4：Jihong Li,PanMook Lee,BongHuan Jun,YongKon Lim.Point-to-pointnavigation of underactuated ships.Automatica,2008,44:3201-3205.

文献7：Fossen,T.I..Handbook of Marine Craft Hydrodynamics and MotionControl.New York:Wiley,2011

文献8：Xianku Zhang,Guoqing Zhang.Researches on Williamson Turn forVery Large Carriers.Naval Engineers Journal,2013,124(4):113-119

文献9：贾欣乐,杨盐生.船舶运动数学模型.大连:大连海事大学出版社,1999

以上所述，仅为本发明较佳的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，根据本发明的技术方案及其发明构思加以等同替换或改变，都应涵盖在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种基于动态虚拟小船制导算法的欠驱动船舶路径跟踪规划方法，其特征在于包括以下步骤：

S1：设定航路点信息W₁,W₂,…，W_n，建立导引虚拟小船数学模型，设定航行速度u_r，根据导引虚拟小船数学模型采用制导算法规划出船舶跟踪控制参考路径，获取导引虚拟小船产生参考路径的命令时间序列信号；

S2：进入路径跟踪控制状态：根据S1中获取的导引虚拟小船产生参考路径的命令时间序列信号，利用导引虚拟小船数学模型实时获取导引虚拟小船的船舶位置和运动姿态；

S3：根据实际船舶与导引虚拟小船的相对位置动态配置动态虚拟小船的船舶位置和运动姿态；

S4：根据鲁棒自适应控制策略设计控制律即实船的主机转速n_c和舵角命令信号δ_c，控制实船主机和舵机执行装置，驱动控制实船跟踪动态虚拟小船，最终实现船舶在航海实践中的路径跟踪控制任务；

S5：测量实际船舶位置判断是否到达目的地，如果“是”，结束船舶航行；如果“否”，时间更新t＝t+1并进入S2。

2.根据权利要求1所述的一种基于动态虚拟小船制导算法的欠驱动船舶路径跟踪规划方法，其特征还在于：S1中：导引虚拟小船数学模型采用如下公式(4)表示：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_r=u_r\cos \left({\mathrm{\&psi;}}_r\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_r=u_r\sin \left({\mathrm{\&psi;}}_r\right)\\ \stackrel{\&CenterDot;}{{\mathrm{\&psi;}}_r}=r_r\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中：W_i为计划航路点、对应的坐标值用(x_i y_i)表示；(x_r y_r)和ψ_r分别为导引虚拟小船的位置坐标和艏向角，u_r和r_r分别为导引虚拟小船前进速度命令信号和转首角速率命令信号；

当参考路径为直线时：u_r＝constant,r_rLi＝0,t_rLi＝distance/u_r，(i＝1,2,…n-1)，distance代表直线段航线的长度，其中：r_rLi和t_rLi为参考路径为直线时导引虚拟小船的命令信号及对应的时间序列；

当参考路径为曲线时：将转向点部分过渡曲线作为圆弧计算，r_rCi为非零常量，利用如下公式(5)求每一段直线航线的方位角φ_i-1,i和φ_i,i+1，转向偏差Δφ_i＝φ_i,i+1-φ_i-1,i其中：Δφ_i∈(0,π/2]，转向半径R_i通过内插求取，R_i∈[R_min,R_max]，当Δφ_i＞π/2，R_i＝R_min；则当参考路径为光滑曲线时，u_r＝constant,r_rCi＝u_r/R_i,t_rCi＝Δφ_i/r_rCi,(i＝2,3,…n-1)；

${\mathrm{\&phi;}}_{i-1,i}=arctan\left(\frac{y_i-y_{i-1}}{x_i-x_{i-1}}\right)---\left(5\right)$

其中：φ_i-1,i为直线航线W_i-1W_i的方位角，r_rCi和t_rCi为参考路径为曲线时导引虚拟小船的命令信号及对应的时间序列。

3.根据权利要求1所述的一种基于动态虚拟小船制导算法的欠驱动船舶路径跟踪规划方法，其特征还在于：S3中：动态配置动态虚拟小船的船舶位置和运动姿态具体采用如下方式：设实际船舶与导引虚拟小船之间的距离为Z_e，实船与动态虚拟小船之间的距离为l_db；

当Z_e≥l_dbset，l_dbset为设定的参数阈值，动态虚拟小船首向角ψ_d和船舶位置(x_d y_d)分别采用如下公式(6)和公式(7)计算：

${\mathrm{\&psi;}}_d=0.5\&lsqb;1-\mathrm{sgn}(x_r-x)\&rsqb;\mathrm{sgn}(y_r-y)\&CenterDot;\mathrm{\&pi;}+arctan\left(\frac{y_r-y}{x_r-x}\right)---\left(6\right)$

x_d＝x+l_dbset cos(ψ_d),y_d＝y+l_dbset sin(ψ_d) (7)

当Z_e＜l_dbset时，动态虚拟小船位置与导引虚拟小船位置重合，即：x_d＝x_r,y_d＝y_r，艏向角ψ_d仍采用公式(6)计算；(x y)和ψ为实际船舶的位置和艏向角。

4.根据要求1所述的一种基于动态虚拟小船制导算法的欠驱动船舶路径跟踪规划方法，其特征还在于：S4中设计控制律时：动态虚拟小船相关微分变量通过公式(8)所示的参考模型解决：

$\mathrm{\&tau;}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{ds}+x_{ds}=x_d,\mathrm{\&tau;}{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_{ds}+y_{ds}=y_d---\left(8\right)$

其中：(x_d y_d)为动态虚拟小船的

船舶位置分别为x_ds和y_ds对应变量的导数，τ为时间常数。