CN103985152B - 基于二维手绘线画图的三维对称自由形体生成方法 - Google Patents

Abstract

基于二维手绘线画图的三维对称自由形体生成方法，包括以下三个步骤：1)将二维手绘平面取为XOY坐标平面，为目标自由形体的每个子部分绘制4条二维构造曲线，利用构造曲线重建物体的每一部分；2)根据用户的绘制顺序确定自由形体每个子部分的构造曲线，并以曲线对形式进行三维坐标计算；3)根据生成的物体每一子部分的三维构造曲线对，可以利用混合方法生成表示自由形体每一子部分的曲面，物体各个子部分可以由一系列环形曲线混合生成相应曲面表示，最终由各个子部分共同组成三维对称自由形体。本发明提供了一种操作简单、方便快捷、造型丰富的三维对称自由形体的生成方法。

Description

基于二维手绘线画图的三维对称自由形体生成方法

技术领域

本发明专利设计针对用户输入的二维手绘线画图，提供了一种能够方便快捷地生成三维对称自由形体的方法。

背景技术

在构建一个三维模型之前，设计者往往会在画布上先画出模型的二维投影草图，借助于二维投影草图往往能让三维建模过程更加方便。如果能够从二维线画草图直接重构出目标三维模型，从而摆脱操作非常专业的三维建模软件如AutoCAD等软件的繁琐过程，这方面研究将很有意义。现有的三维模型重建技术可以分为基于非精确二维线画图重建的优化方法和基于精确二维线画图重建的方法两类。对于一个非精确的二维线画图的输入，前者主要是通过构建目标函数、对目标函数进行最优化来求解目标三维模型。目标函数包含一些列加权的正则性，而这些正则性是通过探索图画中的几何约束来构建的。然而，基于优化的重建方法往往比较耗时。一方面，最优化求解是一个迭代过程；另一方面，寻找几何约束也可能是一个复杂的过程。基于最优化的重建方法的结果容易受到所使用的正则性及其权因子的影响。

基于二维线画图重建三维对称自由形体的方法是以三维物体在某一平面上的正交投影作为输入的二维线画图。换言之，二维线画图上顶点的x和y坐标实际对应于三维物体上顶点的x和y坐标，重建的主要问题就是如果恢复出第三维z坐标。现有的基于精确二维线画图三维重建的方法主要针对多面体物体的重建，这类方法主要通过对原始二维手绘线条添加某些约束或者设计具有记忆功能的系统将二维系统匹配到库中的已有模型完成重建任务。然而，目前许多方法假定二维手绘线条在三维空间中的曲线都位于同一平面。尽管如此，对二维手绘线条解释的模糊性依然存在，往往需要用户提供更多的交互操作来辅助建模，尤其是对于复杂物体的建模，将涉及各个子部分之间相对位置关系的确定。

本发明主要针对三维对称自由形体的重建和生成，这些形体的各部分关于对称面对称，并且各个不同部分组合在一起得到复杂的三维物体。通过二维手绘线画图中提供的对称信息，可以方便地计算出形体每一部分三维空间的构造曲线，并且根据每组四条空间构造曲线重构生成物体的各个部分，最终的三维物体可以由多个相对位置确定的子部分组合生成。

发明内容

为了克服三维模型生成中的操作复杂、重建生成的三维形体外形简单类型单一等方面的不足，根据设计者设计出的二维手绘线画图和对称平面，本发明提供了一种操作简单、方便快捷、造型丰富的三维对称自由形体模型的生成方法。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：

基于二维手绘线画图的三维对称自由形体生成方法，包括以下步骤：

1)将二维手绘平面取为XOY坐标平面，设计者为目标自由形体的每个子部分绘制4条二维构造曲线，利用构造曲线重建物体的每一部分。其中关于对称面自身对称的物体子部分，用户首先绘制两条对称曲线，然后绘制两条非对称一般曲线，从而可以得到4条构造曲线；对于物体中一个子部分与另一子部分关于对称面相互对称的情况，用户首先绘制分属两个子部分的两对对称曲线，再根据每个子部分中的对称曲线分别绘制出一对非对称一般曲线。

2)方法根据用户的绘制顺序确定自由形体每个子部分的构造曲线，并以曲线对形式进行三维坐标计算。每个子部分中的构造曲线都进行滤波去噪并利用二次B-样条曲线进行插值，从4条构造曲线中分别采样相同数目的采样点，利用用户指定的对称面，由深度z坐标计算方法计算出构造曲线上采样点的三维坐标。将二维手绘平面中手绘线画图上的顶点x坐标和y坐标实际对应于三维实体上顶点的x坐标和y坐标，需要恢复的仅仅是每个顶点的z坐标。对于每个子部分里的两条对称曲线，可以利用下式计算它们每个采样点z坐标：

$z_{\mathrm{si}}=-\frac{1}{2}(\frac{(x_{\mathrm{si}}+x_{\mathrm{si}}^{\′})\·x^s}{z^s}+\frac{(y_{\mathrm{si}}+y_{\mathrm{si}}^{\′})\·y^s}{z^s}+\frac{(x_{\mathrm{si}}-x_{\mathrm{si}}^{\′})\·x^g}{z^g}+\frac{(y_{\mathrm{si}}-y_{\mathrm{si}}^{\′})\·y^g}{z^g})$

$z_{\mathrm{si}}^{\′}=-\frac{1}{2}(\frac{(x_{\mathrm{si}}+x_{\mathrm{si}}^{\′})\·x^s}{z^s}+\frac{(y_{\mathrm{si}}+y_{\mathrm{si}}^{\′})\·y^s}{z^s}-\frac{(x_{\mathrm{si}}-x_{\mathrm{si}}^{\′})\·x^g}{z^g}-\frac{(y_{\mathrm{si}}-y_{\mathrm{si}}^{\′})\·y^g}{z^g})---\left(1\right)$

其中，z_si和为待求的对称点z坐标，x_si，和y_si，分别为对称点的x，y坐标，N_s(x^s,y^s,z^s)为对称面法向量，N_g(x^g,y^g,z^g)为位于对称面内的一个向量。

同时，对于每个子部分可以利用下式计算出各自一对非对称一般曲线内的采样点z坐标点：

$z_{\mathrm{gi}}=-\frac{1}{2}(\frac{({2x}_{\mathrm{gi}}-x_{\mathrm{si}}-x_{\mathrm{si}}^{\′})\·x^s}{z^s}+\frac{({2y}_{\mathrm{gi}}-y_{\mathrm{si}}-y_{\mathrm{si}}^{\′})\·y^s}{z^s}+\frac{(x_{\mathrm{si}}+x_{\mathrm{si}}^{\′})\·x^s}{z^s}+\frac{(y_{\mathrm{si}}+y_{\mathrm{si}}^{\′})\·y^s}{z^s})$

$z_{\mathrm{gi}}^{\′}=-\frac{1}{2}(\frac{({2x}_{\mathrm{gi}}^{\′}-x_{\mathrm{si}}-x_{\mathrm{si}}^{\′})\·x^s}{z^s}+\frac{({2y}_{\mathrm{gi}}^{\′}-y_{\mathrm{si}}-y_{\mathrm{si}}^{\′})\·y^s}{z^s}+\frac{(x_{\mathrm{si}}+x_{\mathrm{si}}^{\′})\·x^s}{z^s}+\frac{(y_{\mathrm{si}}+y_{\mathrm{si}}^{\′})\·y^s}{z^s})---\left(2\right)$

其中，z_gi和为待求的非对称一般点z坐标，x_gi，和y_gi，分别为非对称一般点的x，y坐标。

另外，由于用户绘制的不精确性，尤其在绘制非对称一般曲线时会产生误差，使得两个关于对称面相互对称的不同子部分中的非对称一般曲线的实际形状差异较大。因此，在一个子部分与另一子部分关于对称面相互对称的情形下，方法可以由其中一个子部分的非对称一般曲线利用对称性自动计算得到另一子部分的非对称一般曲线如下：

$x_{\mathrm{gi}}^{\′}=\frac{({\left(y^s\right)}^2+{\left(z^s\right)}^2-{\left(x^s\right)}^2)\·x_{\mathrm{gi}}-{2x}^s\·(y_{\mathrm{gi}}\·y^s+z_{\mathrm{gi}}\·z^s)}{{\left(x^s\right)}^2+{\left(y^s\right)}^2+{\left(z^s\right)}^2}$

$y_{\mathrm{gi}}^{\′}=\frac{({\left(x^s\right)}^2+{\left(z^s\right)}^2-{\left(y^s\right)}^2)\·y_{\mathrm{gi}}-{2y}^s\·(x_{\mathrm{gi}}\·x^s+z_{\mathrm{gi}}\·z^s)}{{\left(x^s\right)}^2+{\left(y^s\right)}^2+{\left(z^s\right)}^2}$

$z_{\mathrm{gi}}^{\′}=\frac{({\left(x^s\right)}^2+{\left(y^s\right)}^2-{\left(z^s\right)}^2)\·z_{\mathrm{gi}}-{2z}^s\·(x_{\mathrm{gi}}\·x^s+y_{\mathrm{gi}}\·y^s)}{{\left(x^s\right)}^2+{\left(y^s\right)}^2+{\left(z^s\right)}^2}---\left(3\right)$

其中，x^s，y^s和z^s分别为对称面法向量坐标，x_gi，y_gi和z_gi分别为一般曲线上非对称点的x，y和z坐标。

从而，关于对称面自身对称的物体子部分情形，根据用户指定的对称面，先利用(1)式计算出两条对称曲线上采样点的三维坐标，得到相应的三维构造曲线；再利用(2)式计算出两条非对称一般曲线上采样点的三维坐标，得到相应的三维构造曲线。对于物体中一个子部分与另一子部分关于对称面相互对称的情形，对分别属于两个子部分的2对对称曲线，首先利用(1)式分别计算出每对对称曲线上采样点的三维坐标，得到相应的三维构造曲线；然后利用(2)式计算出其中一个子部分的两条非对称一般曲线上采样点的三维坐标，得到相应的三维构造曲线；最后利用(3)式由前一子部分的两条非对称一般曲线计算出另一子部分的两条非对称一般曲线上采样点的三维坐标，得到相应的三维构造曲线。

3)根据生成的物体每一子部分的三维构造曲线对，可以利用混合方法生成表示自由形体每一子部分的曲面。对于一个子部分，由分别位于4条三维构造曲线上的4个三维空间点可以生成一个环形曲线，该环形曲线由两个半椭圆衔接而成，这两个半椭圆分别取自共享一条相同轴（对称点连线）的两个标准椭圆的一部分，截取的端点为公共轴的端点，两个标准椭圆各自的另一条轴可以不同。生成的环形曲线与公共轴的交点经过对称点，而与另一条轴的交点分别经过非对称一般点。这样，对4条构造曲线分别采样相同数目的采样点，并对4条曲线上相应采样点组成的集合（每条曲线取1个点加入一个集合，每个集合含4个点）均可以生成相应的环形曲线。物体各个子部分可以由一系列环形曲线混合生成相应曲面表示。最终由各个子部分共同组成三维对称自由形体。

本发明的技术构思为：

根据深度z坐标计算理论，利用用户指定的对称面信息，可以恢复出二维手绘线条的相应三维空间曲线。根据用户在二维手绘面板上绘制的对称曲线和非对称一般曲线，分别由手绘曲线对称信息快速恢复出三维构造曲线的顶点坐标，从而得到一系列三维构造曲线对。每个子部分由一对对称曲线和一对非对称曲线表示，根据生成的物体每一子部分的三维构造曲线对，利用混合方法生成表示自由形体每一子部分的曲面。最终由各个子部分共同组成三维对称自由形体。

本发明的有益效果主要表现在：操作简单、方便快捷、造型丰富。

附图说明

图1是关于对称面自身对称的物体子部分三维构造曲线计算示例；

图2是物体子部分与另一子部分相互对称情况下的三维构造曲线计算示例；

图3是每个子部分中环形曲线生成示例图；

图4是利用环形曲线混合生成的物体子部分示例图；

图5a-图5f是从二维手绘线画图中重构三维对称自由形体示例图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的技术方法和生成的各种三维对称自由形体效果作进一步描述和详细说明。

参照附图1---附图5，一种基于二维手绘线画图的三维对称自由形体生成方法，所述的方法包括以下三个步骤：

1)将二维手绘平面取为XOY坐标平面，设计者为目标自由形体的每个子部分绘制4条二维构造曲线，利用构造曲线重建物体的每一部分。其中关于对称面自身对称的物体子部分(如附图1)，用户首先绘制两条对称曲线，然后绘制两条非对称一般曲线，从而可以得到4条构造曲线；对于物体中一个子部分与另一子部分关于对称面相互对称的情况(如附图2)，用户首先绘制分属两个子部分的两对对称曲线，再根据每个子部分中的对称曲线分别绘制出一对非对称一般曲线。

2)方法根据用户的绘制顺序确定自由形体每个子部分的构造曲线，并以曲线对形式进行三维坐标计算。每个子部分中的构造曲线都进行滤波去噪并利用二次B-样条曲线进行插值，从4条构造曲线中分别采样相同数目的采样点，利用用户指定的对称面，由深度z坐标计算方法计算出构造曲线上采样点的三维坐标。将二维手绘平面中手绘线画图上的顶点x坐标和y坐标实际对应于三维实体上顶点的x坐标和y坐标，需要恢复的仅仅是每个顶点的z坐标。对于每个子部分里的两条对称曲线，可以利用下式计算它们每个采样点z坐标：

$z_{\mathrm{si}}=-\frac{1}{2}(\frac{(x_{\mathrm{si}}+x_{\mathrm{si}}^{\′})\·x^s}{z^s}+\frac{(y_{\mathrm{si}}+y_{\mathrm{si}}^{\′})\·y^s}{z^s}+\frac{(x_{\mathrm{si}}-x_{\mathrm{si}}^{\′})\·x^g}{z^g}+\frac{(y_{\mathrm{si}}-y_{\mathrm{si}}^{\′})\·y^g}{z^g})$

$z_{\mathrm{si}}^{\′}=-\frac{1}{2}(\frac{(x_{\mathrm{si}}+x_{\mathrm{si}}^{\′})\·x^s}{z^s}+\frac{(y_{\mathrm{si}}+y_{\mathrm{si}}^{\′})\·y^s}{z^s}-\frac{(x_{\mathrm{si}}-x_{\mathrm{si}}^{\′})\·x^g}{z^g}-\frac{(y_{\mathrm{si}}-y_{\mathrm{si}}^{\′})\·y^g}{z^g})---\left(1\right)$

其中，z_si和为待求的对称点z坐标，x_si，和y_si，分别为对称点的x，y坐标，N_s(x^s,y^s,z^s)为对称面法向量，N_g(x^g,y^g,z^g)为位于对称面内的一个向量。

同时，对于每个子部分可以利用下式计算出各自一对非对称一般曲线内的采样点z坐标点：

$z_{\mathrm{gi}}=-\frac{1}{2}(\frac{({2x}_{\mathrm{gi}}-x_{\mathrm{si}}-x_{\mathrm{si}}^{\′})\·x^s}{z^s}+\frac{({2y}_{\mathrm{gi}}-y_{\mathrm{si}}-y_{\mathrm{si}}^{\′})\·y^s}{z^s}+\frac{(x_{\mathrm{si}}+x_{\mathrm{si}}^{\′})\·x^s}{z^s}+\frac{(y_{\mathrm{si}}+y_{\mathrm{si}}^{\′})\·y^s}{z^s})$

$z_{\mathrm{gi}}^{\′}=-\frac{1}{2}(\frac{({2x}_{\mathrm{gi}}^{\′}-x_{\mathrm{si}}-x_{\mathrm{si}}^{\′})\·x^s}{z^s}+\frac{({2y}_{\mathrm{gi}}^{\′}-y_{\mathrm{si}}-y_{\mathrm{si}}^{\′})\·y^s}{z^s}+\frac{(x_{\mathrm{si}}+x_{\mathrm{si}}^{\′})\·x^s}{z^s}+\frac{(y_{\mathrm{si}}+y_{\mathrm{si}}^{\′})\·y^s}{z^s})---\left(2\right)$

其中，z_gi和为待求的非对称一般点z坐标，x_gi，和y_gi，分别为非对称一般点的x，y坐标。

另外，由于用户绘制的不精确性，尤其在绘制非对称一般曲线时会产生误差，使得两个关于对称面相互对称的不同子部分中的非对称一般曲线的实际形状差异较大。因此，在一个子部分与另一子部分关于对称面相互对称的情形下(如附图2)，方法可以由其中一个子部分的非对称一般曲线利用对称性自动计算得到另一子部分的非对称一般曲线如下：

$x_{\mathrm{gi}}^{\′}=\frac{({\left(y^s\right)}^2+{\left(z^s\right)}^2-{\left(x^s\right)}^2)\·x_{\mathrm{gi}}-{2x}^s\·(y_{\mathrm{gi}}\·y^s+z_{\mathrm{gi}}\·z^s)}{{\left(x^s\right)}^2+{\left(y^s\right)}^2+{\left(z^s\right)}^2}$

$y_{\mathrm{gi}}^{\′}=\frac{({\left(x^s\right)}^2+{\left(z^s\right)}^2-{\left(y^s\right)}^2)\·y_{\mathrm{gi}}-{2y}^s\·(x_{\mathrm{gi}}\·x^s+z_{\mathrm{gi}}\·z^s)}{{\left(x^s\right)}^2+{\left(y^s\right)}^2+{\left(z^s\right)}^2}$

$z_{\mathrm{gi}}^{\′}=\frac{({\left(x^s\right)}^2+{\left(y^s\right)}^2-{\left(z^s\right)}^2)\·z_{\mathrm{gi}}-{2z}^s\·(x_{\mathrm{gi}}\·x^s+y_{\mathrm{gi}}\·y^s)}{{\left(x^s\right)}^2+{\left(y^s\right)}^2+{\left(z^s\right)}^2}---\left(3\right)$

其中，x^s，y^s和z^s分别为对称面法向量坐标，x_gi，y_gi和z_gi分别为一般曲线上非对称点的x，y和z坐标。

从而，关于对称面自身对称的物体子部分情形(如附图1)，根据用户指定的对称面，先利用(1)式计算出两条对称曲线上采样点的三维坐标，得到相应的三维构造曲线；再利用(2)式计算出两条非对称一般曲线上采样点的三维坐标，得到相应的三维构造曲线。对于物体中一个子部分与另一子部分关于对称面相互对称的情形(如附图2)，对分别属于两个子部分的2对对称曲线，首先利用(1)式分别计算出每对对称曲线上采样点的三维坐标，得到相应的三维构造曲线；然后利用(2)式计算出其中一个子部分的两条非对称一般曲线上采样点的三维坐标，得到相应的三维构造曲线；最后利用(3)式由前一子部分的两条非对称一般曲线计算出另一子部分的两条非对称一般曲线上采样点的三维坐标，得到相应的三维构造曲线。

3)根据生成的物体每一子部分的三维构造曲线对，可以利用混合方法生成表示自由形体每一子部分的曲面。对于一个子部分，由分别位于4条三维构造曲线上的4个三维空间点可以生成一个环形曲线(如附图3)，该环形曲线由两个半椭圆衔接而成，这两个半椭圆分别取自共享一条相同轴（对称点连线）的两个标准椭圆的一部分，截取的端点为公共轴的端点，两个标准椭圆各自的另一条轴可以不同。生成的环形曲线与公共轴的交点经过对称点，而与另一条轴的交点分别经过非对称一般点。这样，对4条构造曲线分别采样相同数目的采样点，并对4条曲线上相应采样点组成的集合（每条曲线取1个点加入一个集合，每个集合含4个点）均可以生成相应的环形曲线。物体各个子部分可以由一系列环形曲线混合生成相应曲面表示(如附图4)。最终由各个子部分共同组成三维对称自由形体(如附图5)。

附图1是关于对称面自身对称的物体子部分三维构造曲线计算示例；附图2是物体子部分与另一子部分相互对称情况下的三维构造曲线计算示例；附图3是每个子部分中环形曲线生成示例图；附图4是利用环形曲线混合生成的物体子部分示例图；附图5是从二维手绘线画图中重构三维对称自由形体示例图，附图5(a,d)是用户输入的二维手绘线画图，附图5(b,c)和附图5(e,f)分别是在不同观察视角下观察重构生成的三维对称自由形体结果。

Claims (1)

1.基于二维手绘线画图的三维对称自由形体生成方法，包括以下步骤：

步骤1)将二维手绘平面取为XOY坐标平面，为目标自由形体的每个子部分绘制4条二维构造曲线，利用构造曲线重建物体的每一部分；其中关于对称面自身对称的物体子部分，首先绘制两条对称曲线，然后绘制两条非对称一般曲线，从而可以得到4条构造曲线；对于物体中一个子部分与另一子部分关于对称面相互对称的情况，首先绘制分属两个子部分的两对对称曲线，再根据每个子部分中的对称曲线分别绘制出一对非对称一般曲线；

步骤2)根据绘制顺序确定自由形体每个子部分的构造曲线，并以曲线对形式进行三维坐标计算；每个子部分中的构造曲线都进行滤波去噪并利用二次B-样条曲线进行插值，从4条构造曲线中分别采样相同数目的采样点，利用指定的对称面，由深度z坐标计算方法计算出构造曲线上采样点的三维坐标；将二维手绘平面中手绘线画图上的顶点x坐标和y坐标实际对应于三维物体上顶点的x坐标和y坐标，需要恢复的仅仅是每个顶点的z坐标；对于每个子部分里的两条对称曲线，利用下式计算它们每个采样点z坐标：

$z_{si}=-\frac{1}{2}\left(\frac{\left(x_{si}+x_{si}^{\′}\right)\·x^s}{z^s}+\frac{\left(y_{si}+y_{si}^{\′}\right)\·y^s}{z^s}+\frac{\left(x_{si}-x_{si}^{\′}\right)\·x^g}{z^g}+\frac{\left(y_{si}-y_{si}^{\′}\right)\·y^g}{z^g}\right)$

$z_{si}^{\′}=-\frac{1}{2}\left(\frac{\left(x_{si}+x_{si}^{\′}\right)\·x^s}{z^s}+\frac{\left(y_{si}+y_{si}^{\′}\right)\·y^s}{z^s}-\frac{\left(x_{si}-x_{si}^{\′}\right)\·x^g}{z^g}-\frac{\left(y_{si}-y_{si}^{\′}\right)\·y^g}{z^g}\right)---\left(1\right)$

其中，z_si和z′_si分别为待求的对称曲线上采样点的z坐标，x_si，x′_si和y_si，y′_si分别为对称曲线上采样点的x，y坐标，N_s(x^s,y^s,z^s)为对称面法向量，N_g(x^g,y^g,z^g)为位于对称面内的一个向量；

同时，对于每个子部分可以利用下式计算出各自一对非对称一般曲线上采样点的z坐标：

$z_{gi}=-\frac{1}{2}\left(\frac{\left(2x_{gi}-x_{si}-x_{si}^{\′}\right)\·x^s}{z^s}+\frac{\left(2y_{gi}-y_{si}-y_{si}^{\′}\right)\·y^s}{z^s}+\frac{\left(x_{si}+x_{si}^{\′}\right)\·x^s}{z^s}+\frac{\left(y_{si}+y_{si}^{\′}\right)\·y^s}{z^s}\right)$

$z_{gi}^{\′}=-\frac{1}{2}\left(\frac{\left(2x_{gi}^{\′}-x_{si}-x_{si}^{\′}\right)\·x^s}{z^s}+\frac{\left(2y_{gi}^{\′}-y_{si}-y_{si}^{\′}\right)\·y^s}{z^s}+\frac{\left(x_{si}+x_{si}^{\′}\right)\·x^s}{z^s}+\frac{\left(y_{si}+y_{si}^{\′}\right)\·y^s}{z^s}\right)---\left(2\right)$

其中，z_gi和z′_gi分别为待求的非对称一般曲线上采样点的z坐标，x_gi，x′_gi和y_gi，y′_gi分别为非对称一般曲线上采样点的x，y坐标，x_si，x′_si和y_si，y′_si分别为对称曲线上采样点的x，y坐标，x^s，y^s和z^s分别为对称面法向量坐标；

在一个子部分与另一子部分关于对称面相互对称的情形下，由其中一个子部分的非对称一般曲线利用对称性自动计算得到另一子部分的非对称一般曲线如下：

$x_{gi}^{\′}=\frac{({\left(y^s\right)}^2+{\left(z^s\right)}^2-{\left(x^s\right)}^2)\·x_{gi}-2x^s\·(y_{gi}\·y^s+z_{gi}\·z^s)}{{\left(x^s\right)}^2+{\left(y^s\right)}^2+{\left(z^s\right)}^2}$

$y_{gi}^{\′}=\frac{({\left(x^s\right)}^2+{\left(z^s\right)}^2-{\left(y^s\right)}^2)\·y_{gi}-2y^s\·(x_{gi}\·x^s+z_{gi}\·z^s)}{{\left(x^s\right)}^2+{\left(y^s\right)}^2+{\left(z^s\right)}^2}$

$z_{gi}^{\′}=\frac{({\left(x^s\right)}^2+{\left(y^s\right)}^2-{\left(z^s\right)}^2)\·z_{gi}-2z^s\·(x_{gi}\·x^s+y_{gi}\·y^s)}{{\left(x^s\right)}^2+{\left(y^s\right)}^2+{\left(z^s\right)}^2}---\left(3\right)$

其中，x_gi，y_gi和z_gi分别为一个子部分的非对称一般曲线上采样点的x，y和z坐标，x′_gi，y′_gi和z′_gi分别为另一子部分的非对称一般曲线上采样点的x，y和z坐标，x^s，y^s和z^s分别为对称面法向量坐标；

从而，关于对称面自身对称的物体子部分情形，根据用户指定的对称面，先利用(1)式计算出两条对称曲线上采样点的三维坐标，得到相应的三维构造曲线；再利用(2)式计算出两条非对称一般曲线上采样点的三维坐标，得到相应的三维构造曲线；对于物体中一个子部分与另一子部分关于对称面相互对称的情形，对分别属于两个子部分的2对对称曲线，首先利用(1)式分别计算出每对对称曲线上采样点的三维坐标，得到相应的三维构造曲线；然后利用(2)式计算出其中一个子部分的两条非对称一般曲线上采样点的三维坐标，得到相应的三维构造曲线；最后利用(3)式由前一子部分的两条非对称一般曲线上采样点的坐标计算出另一子部分的两条非对称一般曲线上采样点的三维坐标，得到相应的三维构造曲线；

步骤3)根据生成的物体每一子部分的三维构造曲线对，利用混合方法生成表示自由形体每一子部分的曲面；对于一个子部分，由分别位于4条三维构造曲线上的4个三维空间点可以生成一个环形曲线，该环形曲线由两个半椭圆衔接而成，这两个半椭圆分别取自共享一条相同轴的两个标准椭圆的一部分，所述的相同轴是对称曲线上采样点的连线，截取的端点为公共轴的端点，两个标准椭圆各自的另一条轴可以不同；生成的环形曲线与公共轴的交点经过对称曲线上采样点，而与另一条轴的交点分别经过非对称一般曲线上采样点；这样，对4条构造曲线分别采样相同数目的采样点，并对4条曲线上相应采样点组成的集合均可以生成相应的环形曲线；物体各个子部分可以由一系列环形曲线混合生成相应曲面表示；最终由各个子部分共同组成三维对称自由形体。