CN103839292B - 对等值面进行采样并生成高质量三角网格的方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种对等值面进行采样并生成高质量三角网格的方法，包括如下步骤：S1、通过建立一个三维均匀网格对等值面进行剖分；S2、对所述等值面进行最大化泊松圆盘采样；S3、利用所得到的泊松盘圆采样点集，提取出三角网格。本发明的方法是完全自动的，而且生成的泊松圆盘采样点和高质量的网格可以用于许多领域，如光照渲染、几何建模、医学数据处理和物理模拟等。

Description

对等值面进行采样并生成高质量三角网格的方法

技术领域

本发明属于计算机图形处理技术领域，具体涉及计算机图形处理中的采样技术和网格生成技术，特别是一种对等值面进行最大化的泊松圆盘采样方法，以及利用该采样点生成高质量三角网格的方法。

背景技术

在信息处理领域，采样是指将连续信号转换为离散表示，从而对其进行计算机模拟。采样是信息处理领域的基本问题，广泛应用于生物、物理、化学以及医学等诸多领域。在多媒体处理与计算机图形学领域，采样技术尤为重要。例如，可视媒体应用通常对自然界的物理现象在一定空间区域内进行采样。常见的采样技术包括阵列采样、抖动的阵列采样、随机采样、泊松圆盘采样等。在众多的采样方法中，泊松圆盘采样得到的点集具有蓝噪声性质。蓝噪声具有低频能量低、能量径向对称等重要的频谱特征，这些性质在图像处理与图形学中有着广泛的应用。其中最大化泊松圆盘采样是最经典的具有蓝噪声性质的采样方法，近二十年来一直持续受到关注。

网格是三维几何表示的基本形式，网格生成技术是连接计算机图形学和工业界的重要桥梁。比如，在船舶工业、桥梁建筑、汽车制造中，用户通常首先在计算机中设计构建三维模型，再将三维模型离散成网格模型，从而对其稳定性、硬度进行计算机模拟。这个过程涉及到求解偏微分方程(PDE)。PDE的求解对输入的网格模型的质量要求很高。如果输入网格模型结构性很强，比如规则的点阵，在模拟过程中会产生伪差；如果输入网格模型的顶点采样过于随机，模拟的准确程度会受到影响；而采用泊松圆盘采样则会取得满意的效果。Yan等人(D.-M.Yan，B.Lévy，Y. Liu，F.Sun，and W. Wang，“Isotropic remeshing withfast and exact computation of restricted Voronoi diagram，”Computer GraphicsForum，vol.28，no.5，pp.1445-1454，2009)提出了一种在曲面上根据采样点生成各向同性网格的方法。

另外，等值面在医学数据处理、科学可视化、体渲染和几何处理等多个领域有着重要的意义。一个三维的等值面被隐式地定义为函数F(x，y，z)=v，其中v为一常数。在实际应用中，由于直接对等值面进行操作很困难，人们往往首先在等值面上进行采样，然后将其转化为三角网格进行处理。Lorensen和Cline(W. E.Lorensen and H.E.Cline，“Marchingcubes：A high resolution3D surface construction algorithm，”in ComputerGraphics(Proc.SIGGRAPH)，vol.21，1987，pp.163-169.)首先提出了一种从等值面采样和提取三角网格的方法，称为Marching Cubes(简称MC)。之后许多方法在此基础上进行扩充来提高网格的质量和拓扑正确性。Schreiner等人(J.Schreiner，C.Scheidegger，andC.Silva，“High-quality extraction of isosurfaces from regular and irregulargrids，”IEEE Trans.Vis.Comp.Graphics，vol.12，pp.1205-1212，2006.)提出了一种基于活跃峰(active front，简称AF)的方法从体数据中提取出等值网格，这种方法得到的网格非常规则，但是在多个峰相交的区域容易出现伪差。

发明内容

(一)要解决的技术问题

本发明提供一种对等值面进行采样并生成高质量三角网格的方法，以解决现有的等值面提取方法不能够产生理想的采样点，提取的网格质量不够高的缺点。

(二)技术方案

为实现上述目的，本发明提供了一种对等值面进行采样并生成高质量三角网格的方法，包括如下步骤：S1、通过建立一个三维均匀网格对所述等值面进行剖分；S2、对所述等值面进行最大化泊松圆盘采样；S3、利用所得到的最大化泊松圆盘采样点集，提取三角网格。

根据本发明的一种具体实施方式，所述步骤S1建立一个三维均匀网格G={C_i}，每个网格单元C_i的长度为r为采样半径大小。

根据本发明的一种具体实施方式，所述步骤S2的最大化泊松圆盘采样步骤包括：S2.1、对所述等值面进行初始采样，得到一个非最大化的泊松圆盘采样点集；S2.2、检测所述非最大化的泊松圆盘采样点集中的空隙区域，并对空隙区域按照步骤S2.1的方式进行采样；S2.3、迭代地执行步骤S2.2，直到所有的空隙区域都被填充，最终得到最大化泊松圆盘采样点集。

根据本发明的一种具体实施方式，在步骤S2.1中，每次在等值面上随机产生一个采样点p，在均匀采样的情况下，检查位于点p周围5×5×5邻域内的所有网格单元内的采样点，如果点p对应的采样球不包括其中任何采样点，同时点p不被其他任何采样点对应的采样球包围，那么点p被接受并将其加入到采样点集中；否则点p被拒绝，此次采样失败；在非均匀采样的情况下，首先根据密度函数计算该点p处的采样半径r(p)，然后检查其周围n×n×n(r_min是最小采样半径)范围内的网格单位，这个过程不断进行下去直到连续采样失败的次数大于某一阈值。

根据本发明的一种具体实施方式，在步骤S2.2中，将所有未被采样球完全覆盖的网格单元细分为8个更小的网格单元，然后按照步骤S2.1的方式，在未被采样球完全覆盖的更小网格单元内进行采样。

根据本发明的一种具体实施方式，在等值面上随机产生一个采样点的过程包括：假设所述等值面为S，定义在该曲面S上的密度函数为φ(x，y，z)，在均匀采样的情况下该密度函数为常数，S2.1.1、随机选择一个网格单元C，计算包含在C内部的等值面ψ=S∩C，ψ可以用网格单元8个顶点的三线性插值表示，记为F(x，y，z)=v，其中v是一个常数；S2.1.2、将ψ分别用对应yz平面、xz平面、xy平面的高度场函数表示，分别为x=f₁(y，z)，y=f₂(x，z)，z=f₃(x，y)。，同时计算以下数据：D_i，BB_i，其中D_i为ψ在对应平面的投影区域，BB_i为D_i对应的包围盒， (f_i，x，f_i，y，f_i，z为对应函数的偏导数)；S2.1.3、对ψ上的任意一点，使用该点处的单位法向量(n₁，n₂，n₃)估计该点处的密度值

其中，

S2.1.4、在所有函数中寻找一个最大值并记为δ_i，max；S2.1.5、随机选择j∈{1，2，3}，选择j的概率为

式中w_j=area(BB_i)·δ_i，max，area(BB_i)为包围盒BB_i的面积；S2.1.6、在区域D_j中根据密度执行一次拒绝采样，以D₃为例，构造三维空间区域在包围盒BB_i区域内随机选择一个点(x，y)，并在区间[O，δ_3，max]内随机选择一个数z，如果(x，y，z)位于内，则该次采样成功，并且(x，y，z)为等值面的一个随机采样点；否则该次采样失败，重复步骤S2.1.5和S2.1.6直到一次采样成功。

根据本发明的一种具体实施方式，所述步骤S3包括：S3.1、计算所述最大化的泊松圆盘采样点集的三维Voronoi图；S3.2、计算所述最大化的泊松圆盘采样点集的三维Voronoi图与所述等值面的交集，得到限制Voronoi图；S3.3、提取所述限制Voronoi图的对偶三角化，得到最终的三角网格。

根据本发明的一种具体实施方式，在步骤S3.2中，对于等值面的每个三角形，找到和它相交的所有Voronoi单元，通过Sutherland裁剪算法将每个三角形进行划分，并将划分的各个部分分配到相关采样点的Voronoi单元。

根据本发明的一种具体实施方式，在步骤S3.3中，对于限制Voronoi图的每个顶点，如果该顶点是两个二等分线(x_i，x_j)和(x_i，x_k)的交点，那么(x_i，x_j，x_k)就可以形成一个三角形Δx_ix_jx_k，其中x_i，x_j，x_k是三个采样点。处理完所有的顶点便得到限制Voronoi图的对偶三角网格。

(三)有益效果

本发明采用计算机图形处理的基本技术，在等值面上进行最大化的泊松圆盘采样，得到的采样点集满足蓝噪声的性质，即具有低频能量低，能量径向对称等重要的频谱特征。因此采样点集在实时渲染、特征匹配、医学数据可视化以及重新网格化等方向有着重要的应用。

本发明利用得到的采样点集可以提取出高质量的三角网格。由于最大化的泊松采样点集具有很多完美的几何性质，对该点集做Delaunay三角化，那么网格的边长严格介于[r，2r]，角度严格介于[30°，120°]。同时，提取的网格完全遵循随机采样过程，没有任何结构信息，可以适用于裂痕、爆炸等的物理模拟。

附图说明

图1是本发明的对等值面进行采样和据此生成三角网格的方法的总体框架流程图；

图2是本发明的最大化泊松圆盘采样方法的流程图；

图3是本发明的从采样点集提取三角网格的流程图；

图4A～图4D是本发明的一个实施例在大脑CT扫描数据上的试验结果。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚明白，以下结合具体实施例，并参照附图，对本发明作进一步的详细说明。

图1是本发明的对等值面进行采样和据此生成三角网格的方法的框架流程图。如附图1所示，本发明的方法主要包括以下步骤：

S1、通过建立一个三维均匀网格对所述等值面进行剖分；

S2、对所述等值面进行最大化泊松圆盘采样；

S3、利用所得到的最大化泊松圆盘采样点集，提取出三角网格。

下面对上述每个步骤的进行更加详细说明。

S1、通过建立一个三维均匀网格对所述等值面进行剖分。

等值面是指三维空间中的一个曲面，在该曲面上函数F(x，y，z)的值等于某一给定值v，即等值面S是由所有点{(x，y，z)：F(x，y，z)=v}组成的一个曲面。由于等值面通常是隐式定义的，因此，本发明的实际输入是一个三维体数据I和一个常数值v。I包含n_x×n_y×n_z个体元(每个体元是一个立方块)，等值面S上的任意一点可以用包含该点的体元上的8个点通过三线性插值表示。另外，假设定义在该等值面S上的密度函数为φ(x，y，z)。密度函数的定义有多种方式，本发明在均匀采样的情况下设置该密度函数为常数，在非均匀采样的情况下采用各个点的曲率作为该点的密度值。

本发明首先将I进行归一化，即假设I的宽度、高度和深度分别为l_x、l_y和l_z，本发明将其中的最大值归一化为1，其他部分都做同等的缩放。然后建立一个三维均匀网格G={C_i}，每个网格单元C_i的长度为(r为用户指定的采样半径，在非均匀采样的情况下r为最小采样半径，记为r_min)，这样可以保证每个网格单元最多包含一个采样点。接下来计算G与等值面S的相交情况，并且只记录保存与等值面相交的网格单元，记为边界网格单元。每个边界网格单元保存一个布尔变量“occupied”来标记该单元格中是否包含一个采样点，初始时该值设为“false”。

S2、对所述等值面进行最大化泊松圆盘采样。

最大化泊松圆盘采样(Maximal Poisson-disk Sampling，简称MPS)是最经典的具有蓝噪声性质的采样方法。最大化泊松圆盘采样的定义是：给定一个采样区域Ω和一个采样半径r，一个理想的MPS点集应满足如下性质：

(a)最大化性质：该性质表明等值面所有区域都被覆盖；

(b)最小距离性质：该性质规定了任何两个采样点之间需要满足的最小距离；

(c)无偏差性质：该性质表明了采样点需要随机等概率的产生。

每个采样点p都可以用一个采样球表示，采样球的圆心在p位置，球半径为采样半径r。

图2是本发明步骤S2对等值面进行最大化泊松圆盘采样的流程图。

如附图2所示，步骤S2包括如下分步骤：

步骤S2.1、对等值面进行初始采样，得到一个非最大化的泊松圆盘采样点集。

初始采样阶段，本发明每次在等值面上随机产生一个采样点p，然后：

在均匀采样的情况下，遍历点p周围5×5×5邻域内的所有网格单元内的采样点。如果点p对应的采样球不包括其中任何采样点，同时点p不被其他任何采样点对应的采样球包围，那么点p满足最小距离性质，因此p被接受并将其加入到采样点集中，同时将包含p的网格单元的“occupied”变量值设为“true”；否则点p被拒绝，此次采样失败。

在非均匀采样的情况下，首先根据密度函数计算该点p处的采样半径r(p)，然后检查其周围n×n×n(r_min是最小采样半径)范围内的网格单位。上述过程不断进行下去直到连续采样失败的次数大于某一阈值(本发明设为300)。

至此，本发明得到一个非最大化的采样点集。

本发明在等值面上随机产生一个采样点的过程可以归结为在一个随机的网格单元中随机产生一个采样点，采样的过程包括：

S2.1.1、随机选择一个网格单元C，计算包含在C内部的等值面ψ=S∩C，ψ可以用该网格单元8个顶点的三线性插值表示，记为F(x，y，z)=v，v是一个常数；

S2.1.2、将ψ分别用对应yz平面、xz平面、xy平面的高度场函数表示，分别为x=f₁(y，z)，y=f₂(x，z)，z=f₃(x，y)。同时计算以下数据：D_i，BB_i，其中D_i为ψ在对应平面的投影区域，BB_i为D_i对应的包围盒， (f_i，x，f_i，y，f_i，z为对应函数的偏导数)；

S2.1.3、对ψ上的任意一点，使用该点处的单位法向量(n₁，n₂，n₃)估计该点处的密度值

其中，

S2.1.4、在所有函数中寻找一个最大值并记为δ_i，max；

S2.1.5、随机选择j∈{1，2，3}，而选择j的概率为

式中w_j=area(BB_i)·δ_i，max，area(BB_i)为包围盒BB_i的面积；

S2.1.6、在二维区域D_j中根据密度执行一次拒绝采样。以D₃为例，构造辅助三维空间区域在包围盒BB_i区域内随机选择一个点(x，y)，并在区间[0，δ_3，max]内随机选择一个数z，如果(x，y，z)位于内，则该次采样成功，并且(x，y，z)为等值面的一个随机采样点；否则该次采样失败，重复步骤S2.1.5和S2.1.6直到成功产生一个采样点。

步骤S2.2、检测所述非最大化的泊松圆盘采样点集中的空隙区域，并对空隙区域按照步骤S2.1的方式进行采样。

遍历所有边界网格单元，检查其是否被某一个采样点对应的采样球完全覆盖，完全覆盖是指该单元格完全在采样球的内部。如果一个单元格被某个采样球完全覆盖，那么将该网格单元丢弃掉，因为在该单元格内产生的任何采样点都被这个采样球包含，这样不满足最小距离性质。然后将未被完全覆盖的单元格平等细分为8个更小的网格单元，仍然将被完全覆盖的单元格丢弃。最后，按照步骤S2.1的方式，在未被采样球完全覆盖的更小网格单元内进行采样。

步骤S2.3、迭代地执行步骤S2.2，直到所有的空隙区域都被填充，最终得到最大化泊松圆盘采样点集。

在步骤S2.1之后，不断地执行步骤S2.2，点集中的空隙区域越来越小直至消失，此时等值面的所有区域都被覆盖，即得到了最大化的泊松圆盘采样点集。

步骤S3、利用所述最大化的泊松圆盘采样点集，提取三角网格。

本发明S2步骤产生的最大化的泊松圆盘采样点集具有蓝噪声的性质以及很多完美的几何性质，可以使用Yan等人提出的方法从该点集中直接提取出高质量的三角网格。如图3所示，步骤S3包括如下分步骤：

步骤S3.1、计算所述最大化的泊松圆盘采样点集的三维Voronoi图。

对于三维空间R³中的MPS点集该点集的Voronoi图是对三维空间的一个划分，其中每个Ω_i称为一个Voronoi单元，每个Voronoi单元Ω_i对应一个采样点x_i，其数学定义如下：

Voronoi图的对偶图称为Delaunay三角化。每个Voronoi单元是由多个半平面限定的，每个半平面是对应Delaunay边的二等分平面。计算Voronoi图和Delaunay三角化是计算机图形学的基本问题，有很多的工具可以对其进行计算。本发明采样一个开源的几何处理库CGAL(http:／／www.cgal.org)来计算MPS的Voronoi图和Delaunay三角化。

步骤S3.2、计算所述最大化的泊松圆盘采样点集的三维Voronoi图与所述等值面的交集，得到限制Vorono i图。

对于曲面S∈R³和曲面上的MPS点集定义X在S上的限制Voronoi图为其中R_i称为限制Voronoi单元，它是Voronoi单元Ω_i在曲面S上的部分，通过R_i=Ω_i∩S计算。

本发明对于等值面的每个三角形，找到和它相交的所有Voronoi单元，通过Sutherland裁剪算法将每个三角形进行划分，并将划分的各个部分分配到相关采样点的Voronoi单元。

步骤S3.3、提取所述限制Vorono i图的对偶三角化，得到最终的三角网格。

对于限制Voronoi图的每个顶点，如果该顶点是两个二等分平面(x_i，x_j)和(x_i，x_k)的交点，那么(x_i，x_j，x_k)就可以形成一个三角形Δx_ix_jx_k，其中x_i，x_j，x_k是三个采样点。处理完所有的顶点便得到限制Voronoi图的对偶三角网格。

图4A～4D是采用本发明的一个实施例对大脑的三维CT扫描数据进行最大化采样和生成三角网格的结果，同时列出了前人方法MC和AF的结果图作为对比。四幅图依次是：图4A使用MC方法提取的等值三角网格；图4B使用本发明的方法进行均匀采样后得到的网格；图4C使用AF方法得到的网格；图4D使用本发明的方法进行非均匀采样后提取的网格。针对这四个网格模型，本发明对网格质量进行了统计。图4A和图4B做对比，本发明进行均匀采样得到的三角网格，其角度范围均为[30°，120°]，边长范围均为[r，2r]，其中r为采样半径；而采用MC方法得到的网格的最小角度小于1°，最大角度均大于170°。图4C和图4D做对比，AF方法提取的网格更加规则，但是在多个峰相交的区域容易产生一些伪差，这是在物理模拟中不希望发生的现象，同时使用该方法得到的网格角度范围也在[1°，170°]之间；使用本发明进行非均匀采样后提取的网格，其最小角度在24°左右，最大角度在123°左右。因此，采用本发明提取的三角网格质量最高，同时完全遵循随机采样过程，没有任何结构信息，非常适用于裂痕、爆炸等的物理模拟。

本发明的方法的特色和创新在于，根据等值面的特点，提出了一种利用三维均匀网格对等值面进行最大化泊松圆盘采样的方法；深入探索了最大化泊松圆盘采样与网格生成之间的关系，并提出高质量网格生成的框架，可以极大的提升生成网格的最小角。

上述实验结果和对等值面进行最大化泊松圆盘采样和生成高质量网格的方法，可以用于计算机图形学、医学数据处理、科学可视化以及物体模拟等应用领域，具有较高的实际应用价值。

以上所述的具体实施例，对本发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施例而已，并不用于限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (7)

1.一种对等值面进行采样并生成高质量三角网格的方法，包括如下步骤：

S1、通过建立一个三维均匀网格对所述等值面进行剖分；

S2、对所述等值面进行最大化泊松圆盘采样，包括：

S2.1、对所述等值面进行初始采样，得到一个非最大化的泊松圆盘采样点集，其中，每次在等值面上随机产生一个采样点p，在均匀采样的情况下，检查位于点p周围5×5×5邻域内的所有网格单元内的采样点，如果点p对应的采样球不包括其中任何采样点，同时点p不被其他任何采样点对应的采样球包围，那么点p被接受并将其加入到采样点集中；否则点p被拒绝，此次采样失败；在非均匀采样的情况下，首先根据密度函数计算该点p处的采样半径r(p)，然后检查其周围n×n×n，r_min是最小采样半径，范围内的网格单位，这个过程不断进行下去直到连续采样失败的次数大于某一阈值；

S2.2、检测所述非最大化的泊松圆盘采样点集中的空隙区域，并对空隙区域按照步骤S2.1的方式进行采样；

S2.3、迭代地执行步骤S2.2，直到所有的空隙区域都被填充，最终得到最大化泊松圆盘采样点集；

S3、利用所得到的最大化泊松圆盘采样点集，提取三角网格。

2.如权利要求1所述的对等值面进行采样并生成高质量三角网格的方法，其特征在于，所述步骤S1建立一个三维均匀网格G＝{C_i}，每个网格单元C_i的长度为r为采样半径大小。

3.如权利要求1所述的对等值面进行采样并生成高质量三角网格的方法，其特征在于，在步骤S2.2中，将所有未被采样球完全覆盖的网格单元细分为8个更小的网格单元，然后按照步骤S2.1的方式，在未被采样球完全覆盖的更小网格单元内进行采样。

4.如权利要求1所述的对等值面进行采样并生成高质量三角网格的方法，其特征在于，在等值面上随机产生一个采样点的过程包括：假设所述等值面为S，定义在该等值面S上的密度函数为φ(x,y,z)，在均匀采样的情况下该密度函数为常数，

S2.1.1、随机选择一个网格单元C，计算包含在C内部的等值面Ψ＝S∩C，Ψ可以用网格单元8个顶点的三线性插值表示，记为F(x,y,z)＝v,其中v是一个常数；

S2.1.2、将Ψ分别用对应yz平面、xz平面、xy平面的高度场函数表示，分别为x＝f₁(y,z),y＝f₂(x,z),z＝f₃(x,y)，同时计算以下数据：D_i，BB_i，其中D_i为Ψ在对应平面的投影区域，BB_i为D_i对应的包围盒，f_i,x、f_i,y、f_i,z为对应函数的偏导数；

S2.1.3、对Ψ上的任意一点，使用该点处的单位法向量(n₁,n₂,n₃)估计该点处的密度值

${\mathrm{\φ}}_i=\mathrm{\φ}(x,y,z)\·\frac{\mathrm{\γ}\left(\left|n_i\right|\right)}{\mathrm{\γ}\left(\right|n_1\left|\right)+\mathrm{\γ}\left(\right|n_2\left|\right)+\mathrm{\γ}\left(\right|n_3\left|\right)}$

其中，i∈{1,2,3}，

S2.1.4、在所有函数中寻找一个最大值并记为δ_i,max；

S2.1.5、随机选择j∈{1,2,3}，选择j的概率为

$\frac{w_j}{w_1+w_2+w_3}$

式中w_j＝area(BB_i)·δ_i,max，area(BB_i)为包围盒BB_i的面积；

S2.1.6、在区域D_j中根据密度执行一次拒绝采样，以D₃为例，构造三维空间区域在包围盒BB_i区域内随机选择一个点(x,y)，并在区间[0,δ_3,max]内随机选择一个数z，如果(x,y,z)位于内，则该次采样成功，并且(x,y,z)为等值面的一个随机采样点；否则该次采样失败，重复步骤S2.1.5和S2.1.6直到一次采样成功。

5.如权利要求1所述的对等值面进行采样并生成高质量三角网格的方法，其特征在于，所述步骤S3包括：

S3.1、计算所述最大化的泊松圆盘采样点集的三维Voronoi图；

S3.2、计算所述最大化的泊松圆盘采样点集的三维Voronoi图与所述等值面的交集，得到限制Voronoi图；

S3.3、提取所述限制Voronoi图的对偶三角化，得到最终的三角网格。

6.如权利要求5所述的对等值面进行采样并生成高质量三角网格的方法，其特征在于，在步骤S3.2中，对于等值面的每个三角形，找到和它相交的所有Voronoi单元，通过Sutherland裁剪算法将每个三角形进行划分，并将划分的各个部分分配到相关采样点的Voronoi单元。

7.如权利要求5所述的对等值面进行采样并生成高质量三角网格的方法，其特征在于，在步骤S3.3中，对于限制Voronoi图的每个顶点，如果该顶点是两个二等分线(x_i,x_j)和(x_i,x_k)的交点，那么(x_i,x_j,x_k)就可以形成一个三角形Δx_ix_jx_k，其中x_i,x_j,x_k是三个采样点，处理完所有的顶点便得到限制Voronoi图的对偶三角网格。