CN103970017A - 基于ts模糊控制的分数阶和整数阶混沌系统之间的同步 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种基于TS模糊控制的分数阶和整数阶混沌系统之间的同步方法。包括如下步骤：1）将两个混沌系统分别看做驱动系统和响应系统；2）通过对驱动系统和响应系统的分析获得驱动系统和响应系统的数学模型；3）确定驱动系统和响应系统的参数及初值；4）将驱动系统和响应系统写成TS模糊模型形式，变量由它的上下界代替；5）通过选取满足分数阶线性稳定性理论的矩阵G和非奇异矩阵B，获得反馈增益F_i及控制器的表达式U(t)；6）将控制器加到响应系统，运行此系统。本发明基于TS模糊控制的方法，实现了随机参数的分数阶混沌系统与整数阶混沌系统之间的同步；本发明不但可以应用到通信领域，并且可以广泛应用到产业发展控件的数目少于状态数目的系统的同步。

Description

基于TS模糊控制的分数阶和整数阶混沌系统之间的同步

技术领域

本发明涉及一种不但可以应用到通信领域，并且可以广泛应用到产业发展控件的数目少于状态数目的系统的同步，具体是一种基于TS模糊控制的分数阶和整数阶混沌系统之间的同步。

背景技术

混沌控制的一个重要的方面是混沌系统的同步。所谓混沌同步，指的是对于从不同初始条件出发的混沌系统，随着时间的推移，它们的轨迹逐渐一致。混沌同步在通信领域的研究在国际上已经经历了十多年，在混沌控制、同步方法等方面已取得了许多成果，如自适应同步方法、观测器同步方法、脉冲同步方法等，但在混沌通信中一直没有获得广泛的应用。然而，众多已经存在的混沌同步结果只针对整数阶混沌系统之间的同步或者只针对分数阶混沌系统之间的同步，关于分数阶混沌系统与整数阶混沌系统之间的同步研究却很少涉及。通过对分数阶混沌系统与整数阶混沌系统之间的同步研究，利用分数阶系统稳定性理论和反馈控制方法，实现了分数阶混沌系统与整数阶混沌系统之间的同步。

TS模糊模型是由一组IF-THEN模糊规则来描述的非线性系统，每条规则代表一个子系统，其原始形式模糊蕴含条件句“IF xis M,THEN y＝f(x)”,其中f(x)是x的线性函数。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于TS模糊控制的分数阶和整数阶混沌系统之间的同步方法，不仅实现了整数阶混沌系统与整数阶混沌系统的同步、分数阶混沌系统与分数阶混沌系统的同步，还实现了整数阶混沌系统与分数阶混沌系统的同步。它可以广泛应用到产业发展控件的数目少于状态数目的系统的同步，如通信领域。

为达到上述目的，本发明采取的技术方案是:

1）将两个混沌系统分别看做驱动系统和响应系统；

2)通过对驱动系统和响应系统的分析获得驱动系统和响应系统的数学模型;

3）确定驱动系统和响应系统的参数及初值；

4）将驱动系统和响应系统写成TS模糊模型形式，变量由它的上下界代替；

5）通过选取满足分数阶线性稳定性理论的矩阵G和非奇异矩阵B，获得反馈增益F_i及控制器的表达式U(t)；

6）将控制器加到响应系统，运行此系统。

所述步骤3）中，本发明的系统由驱动系统和响应系统构成。

驱动系统的数学模型为：D^αx＝Ax+f(x)；

响应系统的数学模型为：D^αy＝Cy+g(y)+U(t)。

其中，

x,y∈Rⁿ是关于驱动系统和响应系统的n维状态向量；

f,g是驱动系统和响应系统的连续向量函数；

U(t)是该系统的控制器；

α,β表示驱动系统和响应系统的阶次；

A，C是关于驱动系统和响应系统线性部分的参数矩阵。

所述步骤4）中，当矩阵B满足非奇异矩阵，矩阵G满足|arg(eig(G))|＞απ/2时，可以得到反馈增量F_i＝B^-1(A_i-G)。

控制器是由一个补偿控制器U₁(t)和一个模糊控制器U₂(t)组成的，其设计基于分数阶线性稳定性理论。

如果 $z_1\left(t\right)=M_1^i,$ $z_2\left(t\right)=M_2^i,$ …， $z_p\left(t\right)=M_p^i,$

那么，D^α(t)=A_ix(t)，i=1，2，...，r。

其中，

x(t)＝[x₁(t)...x_n(t)]^T∈Rⁿ是状态向量，A_i∈R^m×n，α是分数阶系统的阶次，r是模糊集的数量。

根据单值模糊化和加权平均模糊化规则，可以得到输出为:

$D^{\mathrm{\α}}x\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{h}_i\left(z\left(t\right)\right)A_{i}x\left(t\right)$

其中，

$h_i\left(z\left(t\right)\right)={\mathrm{\ω}}_i/\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_i,$ ${\mathrm{\ω}}_i=\underset{j=1}{\overset{p}{\mathrm{\Π}}}{M}_{\mathrm{ij}}\left(z_j\left(t\right)\right).$

根据输出与输入的同步误差e＝y-χx、广义的TS模糊的控制模型和模糊控制理论，可以得到控制器的表达式：

$U\left(t\right)=U_1\left(t\right)+U_2\left(t\right)=D^{\mathrm{\β}}\left(\mathrm{\χx}\left(t\right)\right)-\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{h}_i\left(z\left(t\right)\right)B{F}_{i}y\left(t\right).$

当α_i＝1时，通过控制器U(t)可以实现分数阶混沌系统与整数阶混沌系统之间的同步。

当χ＝1时，可以实现系统的同步；当χ＝-1时，可以实现系统的反同步。

其中，

χ是关于输出与输入的同步误差e＝y-χx的任意常数比例因子。

同步与反同步可以通过同一控制实现。

当随机参数在一定范围内变化时，反馈增量F_i也会随着变化，控制器也会跟着变化。因此，对于随机参数，这个控制器U(t)也是有效的。

本发明的技术效果体现在：

本发明开创性的使用TS模糊控制的方法，即通过TS模糊控制的方法，实现分数阶混沌系统和整数阶混沌系统之间的同步。它不仅可以实现整数阶混沌系统与整数阶混沌系统的同步、分数阶混沌系统与分数阶混沌系统的同步，还实现了整数阶混沌系统与分数阶混沌系统的同步。相对于脉冲同步方法等其它方法而言，本发明所提供的方法的适用范围更大。

附图说明

图1为本发明应用实施例的整数阶混沌系统和分数阶混沌系统各个状态变量的轨迹。其中，（a）为x₁，x₂变量的轨迹；（b）为y₁，y₂变量的轨迹；（c）为z₁，z₂变量的轨迹。

图2为本发明应用实施例的整数阶混沌系统和分数阶混沌系统的同步误差的轨迹（e₁＝x₂-x₁，e₂＝y₂-y₁，e₃＝z₂-z₁）。

具体实施方式

下面结合实际对本发明做进一步的详细说明：

本案例完成了随机参数的整数阶混沌系统和分数阶混沌系统之间的同步，系统包括驱动系统和响应系统。

1）将两个混沌系统分别看做驱动系统和响应系统；

2)通过对驱动系统和响应系统的分析获得驱动系统和响应系统的数学模型;

驱动系统： $\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=a(y_1-x_1)\\ {\stackrel{\·}{y}}_1=(c-a)x_1-x_1{z}_1+c{y}_1\\ {\stackrel{\·}{z}}_1=x_1{y}_1-b{z}_1\end{array}\right.$

响应系统： $\left\{\begin{array}{c}{D}^{\mathrm{\β}}{x}_2=a(y_2-x_2)\\ D^{\mathrm{\β}}{y}_2=-x_2{z}_2+c{y}_2\\ D^{\mathrm{\β}}{z}_2=x_2{y}_2-b{z}_2\end{array}\right.$

3）确定驱动系统和响应系统的参数及初值；

驱动系统：(a,b,c)＝(35,3,28)；初值(x₁,y₁,z₁)＝(1,3,5)；假设x₁∈[-d,d]，d＞0。响应系统：(a,b,c)＝(35,3,28)；分数阶次：β＝[β₁,β₂,β₃]＝[0.90,0.92,0.94]，初值(x₂,y₂,z₂)＝(2,4,30)；假设x₂∈[-d,d]，d＞0。

4）将驱动系统和响应系统写成TS模糊模型形式，变量由它的上下界代替；

驱动系统：如果x₁＝M₁(x)，那么

如果x₁＝M₂(x)，那么

这里，X＝[x₁,y₁,z₁]^T， $A_1=\left(\begin{array}{ccc}-a& a& 0\\ c-a& c& -d\\ 0& d& -b\end{array}\right),$ $A_2=\left(\begin{array}{ccc}-a& a& 0\\ c-a& c& d\\ 0& -d& -b\end{array}\right),$ $M_1\left(x\right)=\frac{1}{2}(1+\frac{x}{d}),$ $M_2\left(x\right)=\frac{1}{2}(1-\frac{x}{d}),$ d＝30。

经过等价变化后，得到： $\stackrel{\·}{X}\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{h}_i\left(z\left(t\right)\right)A_{i}x\left(t\right)$

响应系统：如果x₂＝M₁′(x)，那么

如果x₂＝M₂′(x)，那么

这里，Y＝[x₂,y₂,z₂]^T， $C_1=\left(\begin{array}{ccc}-a& a& 0\\ 0& c& -d\\ 0& d& -b\end{array}\right),$ $C_2=\left(\begin{array}{ccc}-a& a& 0\\ 0& c& d\\ 0& -d& -b\end{array}\right),$

$M_1^{\′}\left(x\right)=\frac{1}{2}(1+\frac{x}{d}),$ $M_2^{\′}\left(x\right)=\frac{1}{2}(1-\frac{x}{d}),$ d＝30。

经过等价变化后，得到： $D^{\mathrm{\β}}Y\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{h}_i^{\′}\left(z\left(t\right)\right)C_{i}Y\left(t\right).$

选择随机的系统变量：a＝35+0.7rand(t)，b＝3+0.2rand(t)，c＝28+rand(t)，其中rand(t)是随机有界的，rand(t)＜1。

5）通过选取满足分数阶线性稳定性理论的矩阵G和非奇异矩阵B，获得反馈增益F_i及控制器的表达式U(t)；

为了简单，选取矩阵B为单位矩阵， $G=\left(\begin{array}{ccc}-4& 4& -1.5\\ -6& 2& -6\\ -1& 6& -4.5\end{array}\right).$ 从而，可以得到F₁＝C₁-G和F₂＝C₂-G。继而，可以得到控制器的表达式U(t)为：

$U\left(t\right)=D^{\mathrm{\β}}X-\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{h}_i^{\′}\left(z\left(t\right)\right)F_{i}Y.$

6）将控制器加到响应系统，运行此系统。

将控制器 $U\left(t\right)=D^{\mathrm{\β}}X-\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{h}_i^{\′}\left(z\left(t\right)\right)F_{i}Y$ 加到 $D^{\mathrm{\β}}Y\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{h}_i^{\′}\left(z\left(t\right)\right)C_{i}Y\left(t\right),$ 运行该系统。

图1为本发明应用实施例的整数阶混沌系统和分数阶混沌系统各个状态变量的轨迹。其中，（a）为x₁，x₂变量的轨迹；（b）为y₁，y₂变量的轨迹；（c）为z₁，z₂变量的轨迹。

图2为本发明应用实施例的整数阶混沌系统和分数阶混沌系统的同步误差的轨迹（e₁＝x₂-x₁，e₂＝y₂-y₁，e₃＝z₂-z₁）。

Claims (7)

1.一种基于TS模糊控制的分数阶和整数阶混沌系统之间的同步，包括如下步骤：

1）将两个混沌系统分别看做驱动系统和响应系统；

2）通过对驱动系统和响应系统的分析获得驱动系统和响应系统的数学模型；

3）确定驱动系统和响应系统的参数及初值；

4）将驱动系统和响应系统写成TS模糊模型形式，变量由它的上下界代替；

5）通过选取满足分数阶线性稳定性理论的矩阵 G 和非奇异矩阵 B ，获得反馈增益及控制器的表达式；

6）将控制器加到响应系统，运行此系统。

2.根据权利要求1所述的基于TS模糊控制的分数阶和整数阶混沌系统之间的同步，其特征在于：

驱动系统的数学模型为：

响应系统的数学模型为：

其中，

是关于驱动系统和响应系统的n维状态向量；

是驱动系统和响应系统的连续向量函数；

是该系统的控制器；

表示驱动系统和响应系统的阶次；

A，C是关于驱动系统和响应系统线性部分的参数矩阵。

3.根据权利要求1所述的基于TS模糊控制的分数阶和整数阶混沌系统之间的同步，其特征在于：控制器是由一个补偿控制器和一个模糊控制器组成的，其设计基于分数阶线性稳定性理论。

4.根据权利要求2所述的驱动系统和响应系统，其特征在于：当时，通过控制器可以实现分数阶混沌系统与整数阶混沌系统之间的同步。

5.根据权利要求2所述的驱动系统和响应系统，其特征在于：当时，可以实现系统的同步；当时，可以实现系统的反同步，其中，是关于输出与输入的同步误差的任意常数比例因子。

6.根据权利要求2所述的驱动系统和响应系统，其特征在于：同步与反同步可以通过同一控制实现。

7.根据权利要求3所述的控制器，其特征在于：当随机参数在一定范围内变化时，反馈增量也会随着变化，控制器也会跟着变化。