CN108267950A - 简单的分数阶复杂网络外部混合同步方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种简单的分数阶复杂网络外部混合同步方法，包括以下步骤：设分数阶混沌系统D^qx＝f(x)在坐标变换(x₁,x₂)→(‑x₁,x₂)下具有对称性，对于驱动网络(1)和响应网络(2)，通过引入线性耦合控制技术，使得两个网络中对应节点的轨道收敛到混合同步流形M＝{(x_i1,x_i2,y_i1,y_i2):x_i1＝‑y_i1,x_i2＝y_i2}，即实现状态变量集x_i1上的反相同步与状态变量集x_i2上的正相同步共存。本发明所述的简单的分数阶复杂网络外部混合同步方法，只在响应网络(2)的每个节点上设计一个单项线性控制器，即可实现两个复杂网络对应节点之间的混合同步。该方法适用于具有对称性的分数阶混沌系统。数值仿真结果表明，该方法具有同步效果好，控制器实现简单的优点。

Description

简单的分数阶复杂网络外部混合同步方法

技术领域

本发明涉及一种简单的分数阶复杂网络外部混合同步方法。

背景技术

复杂网络是由大量节点通过边相互连接而构成的具有一定状态和功能的复杂系统。如果一个复杂网络中的每个节点都是用分数阶混沌系统表示的，该复杂网络称为分数阶复杂网络。

复杂网络的同步一般是指网络中的节点之间达到同步，因此，分数阶复杂网络的同步研究的本质即为研究分数阶混沌系统的同步。然而，由于网络中存在多个节点，节点之间又存在着复杂的耦合关系，对分数阶复杂网络同步的研究具有一定的特殊性。

复杂网络同步包括两种机制，第一种称为内同步，是指一个复杂网络内部的节点之间达到同步，另一种称为外部同步，是指两个复杂网络对应节点之间达到同步。

在实际应用中，两个复杂网络之间同样需要沟通、交互与共享，也同样存在很多的同步现象。例如，Internet网络与交通、城市电网与国家电网之间，Internet网络与电信网络之间的信号同步控制等。

将复杂网络外部同步方法应用在混沌保密通信中时，在信息的发送端，通过驱动网络将信息表示成具有混沌特性的波形或者码流，在信息的接收端，通过相应网络从接收到的信号中恢复出正确的信息。

因此，设计同步效果好、同步速度快的复杂网络外部同步方法有助于提高保密通信的效率和解密结果的准确性。

目前，国内外专家学者对复杂网络的研究主要集中在内同步，而对复杂网络的外部同步研究的比较少，尤其对分数阶复杂网络外部同步的研究更是寥寥无几。

发明内容

根据上述提出的技术问题，而提供一种简单的分数阶复杂网络外部混合同步方法，用于解决现有同步控制方法控制器复杂、硬件实现困难的缺点。

本发明采用的技术手段如下：

一种简单的分数阶复杂网络外部混合同步方法，包括以下步骤：

若一个包含N个相同节点的复杂网络为驱动网络，网络中每个节点都是n维分数阶混沌系统，其中第i个节点的状态方程为：

其中，x_i∈Rⁿ为节点i的状态变量，f∈Rⁿ为一个连续可微函数，a＞0为驱动网络总的耦合强度，A＞0为各节点之间的内部耦合矩阵，C＝(c_ij)_N×N为驱动网络的外部耦合配置矩阵，若节点i与节点j(j≠i)之间存在连接，则c_ij＞0，否则c_ij＝0，对角元素定义为

设包括N个相同动态节点的复杂网络：

为响应网络；

其中，y_i∈Rⁿ为响应网络中第i个节点的状态向量，a＞0为响应网络总的耦合强度，A＞0为各节点之间的内部耦合矩阵，C＝(c_ij)_N×N为响应网络的外部耦合配置矩阵，u_i(t)为第i个节点的控制器；

设分数阶混沌系统D^qx＝f(x)在坐标变换(x₁,x₂)→(-x₁,x₂)下具有对称性，对于驱动网络(1)和响应网络(2)，通过引入线性耦合控制技术，即驱动网络通过状态变量的线性形式控制响应网络，使得两个网络中对应节点的轨道收敛到混合同步流形M＝{(x_i1,x_i2,y_i1,y_i2):x_i1＝-y_i1,x_i2＝y_i2}，即实现状态变量集x_i1上的反相同步与状态变量集x_i2上的正相同步共存。

外部混合同步的定义。对于驱动网络(1)和响应网络(2)，如果存在一个控制器u_i(t)，使得混合同步误差满足下式：

则称两个网络实现外部混合同步。其中，e_i1被称为反相同步误差，e_i2被称为正相同步误差。

因此，复杂网络(1)和复杂网络(2)外部混合同步的误差向量可以写为

e_i＝(e_i1,e_i2)^T＝(x_i1+y_i1,x_i2-y_i2)^T；

并且通过单项线性控制器k_iBe_i(t)使得误差趋向于0，实现混合同步。

优选的将控制器u_i(t)设计为单项线性控制器k_iBe_i(t)，其中，k_i为响应网络中第i个节点的控制强度，e_i(t)为两个网络对应节点之间的同步误差，控制矩阵B设计为

优选的所述响应网络中的外部耦合配置矩阵C不必是对称的或不可约简的，对内部耦合矩阵A也没有任何的条件限制。

优选的若分数阶混沌系统D^qx＝f(x)在坐标变换(x₁,x₂)→(-x₁,x₂)下具有对称性，则定义为对称分数阶混沌系统；

具有对称性的分数阶混沌系统：

如果分数阶混沌系统D^qx＝f(x,t)是连续的，且能够被拆分成两个部分：

其中，n₁+n₂＝n(n₁,n₂≥0)，且有

成立；也就是说，f₁是关于x₁的奇函数，f₂是关于x₁的偶函数；此时，我们称该分数阶混沌系统在坐标变换(x₁,x₂)→(-x₁,x₂)下具有对称性。

与现有技术相比较，本发明所述的简单的分数阶复杂网络外部混合同步方法，只在响应网络的每个节点上设计一个单项线性控制器，即可实现两个复杂网络对应节点之间的混合同步。该方法适用于具有对称性的分数阶混沌系统。数值仿真结果表明，该方法具有同步效果好，控制器实现简单的优点。

附图说明

下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步详细的说明。

图1是本发明两个网络第1个对应节点状态变化图。

图2是本发明外部混合同步误差曲线图。

图3是本发明控制强度k_i取值5的同步误差E(t)变化曲线图。

图4是本发明控制强度k_i取值35的同步误差E(t)变化曲线图。

具体实施方式

一种简单的分数阶复杂网络外部混合同步方法，包括以下步骤：

若一个包含N个相同节点的复杂网络为驱动网络，网络中每个节点都是n维分数阶混沌系统，其中第i个节点的状态方程为：

其中，x_i∈Rⁿ为节点i的状态变量，f∈Rⁿ为一个连续可微函数，它描述了单个节点的动态性，a＞0为驱动网络总的耦合强度，A＞0为各节点之间的内部耦合矩阵，它决定节点状态变量之间的相互作用方式，C＝(c_ij)_N×N为驱动网络的外部耦合配置矩阵，表示网络的耦合强度和拓扑结构，若节点i与节点j(j≠i)之间存在连接，则c_ij＞0，否则c_ij＝0，对角元素定义为

设包括N个相同动态节点的复杂网络：

为响应网络；

其中，y_i∈Rⁿ为响应网络中第i个节点的状态向量，a＞0为响应网络总的耦合强度，A＞0为各节点之间的内部耦合矩阵，C＝(c_ij)_N×N为响应网络的外部耦合配置矩阵，常量a＞0、矩阵A＞0和C＝(c_ij)_N×N的意义与驱动网络中相同，u_i(t)为第i个节点的控制器；所述响应网络中的外部耦合配置矩阵C不必是对称的或不可约简的，对内部耦合矩阵A也没有任何的条件限制。

设分数阶混沌系统D^qx＝f(x)在坐标变换(x₁,x₂)→(-x₁,x₂)下具有对称性，对于驱动网络(1)和响应网络(2)，通过引入线性耦合控制技术，即驱动网络通过状态变量的线性形式控制响应网络，使得两个网络中对应节点的轨道收敛到混合同步流形M＝{(x_i1,x_i2,y_i1,y_i2):x_i1＝-y_i1,x_i2＝y_i2}，即实现状态变量集x_i1上的反相同步与状态变量集x_i2上的正相同步共存。

外部混合同步的定义。对于驱动网络(1)和响应网络(2)，如果存在一个控制器u_i(t)，使得混合同步误差满足下式：

则称两个网络实现外部混合同步。其中，e_i1被称为反相同步误差，e_i2被称为正相同步误差。

将控制器u_i(t)设计为单项线性控制器k_iBe_i(t)，其中，k_i为响应网络中第i个节点的控制强度，e_i(t)为两个网络对应节点之间的同步误差，控制矩阵B设计为

因此，复杂网络(1)和复杂网络(2)外部混合同步的误差向量可以写为

e_i＝(e_i1,e_i2)^T＝(x_i1+y_i1,x_i2-y_i2)^T；

并且通过单项线性控制器k_iBe_i(t)使得误差趋向于0，实现混合同步。

所述单项线性控制器k_iBe_i(t)是线性耦合控制技术的具体表现形式，它是本发明中主要创新点部分，是为了实现同步附加在响应网络中的特征部件。

若分数阶混沌系统D^qx＝f(x)在坐标变换(x₁,x₂)→(-x₁,x₂)下具有对称性，则定义为对称分数阶混沌系统；

给出对称分数阶混沌系统的实例，说明分数阶复杂网络外部混合同步的总体思路。

定义1具有对称性的分数阶混沌系统：

如果分数阶混沌系统D^qx＝f(x,t)是连续的，且能够被拆分成两个部分：

其中，n₁+n₂＝n(n₁,n₂≥0)，且有

成立；也就是说，f₁是关于x₁的奇函数，f₂是关于x₁的偶函数；此时，我们称该分数阶混沌系统在坐标变换(x₁,x₂)→(-x₁,x₂)下具有对称性。

在众多的混沌系统中，具有对称性的分数阶混沌系统有很多，统一混沌系统、超混沌Qi系统和Lorenz系统族进化来的新系统都是对称分数阶混沌系统。

2002年，吕金虎等人提出了一个新的混沌系统，该系统将Lorenz吸引子和Chen吸引子连接在一起，被称为统一混沌系统(unified chaotic system)，其数学模型的分数阶形式为

其中，系统参数α∈[0,1]；当0≤α＜0.8时，系统属于广义Lorenz系统；

当0.8＜α≤1时，系统称为广义Chen系统；

当α＝0.8时，系统成为Lü混沌系统。

它代表了由中间无穷多个混沌系统组成的整体。

分数阶统一混沌系统可以拆分成如下两个子系统

由此可见，我们称分数阶统一混沌系统在坐标变换(x₁,x₂)→(-x₁,x₂)下具有对称性。

本发明所述的简单的分数阶复杂网络外部混合同步方法，是一种适用于所有对称分数阶混沌系统的复杂网络外部混合同步方法，将控制器设计为极为简单的单项线性控制器。该方法具有通用性强和控制器简单的优点，在混沌保密通信和混沌加密中具有非常广泛的应用前景。

实施例1，本实施方式中，采用预估-校正法求解分数阶混沌系统，采用数学软件Matlab进行数值仿真。以分数阶统一混沌系统为例，给出复杂网络外部混合同步的具体实施方式。

驱动网络和响应网络的分数阶次均取为q＝0.96，网络的大小取为N＝5，为简便起见，耦合强度选为a＝1，内部耦合矩阵选取为A＝I₃，驱动网络和响应网络的外部耦合配置矩阵取为：

驱动网络(1)第1个节点的动态性表现为：

响应网络(2)第1个节点的动态性表现为：

两个网络中其它节点的动态性以此类推。驱动网络和响应网络的同步误差表示为e_i＝(y_i1+x_i1,y_i2+x_i2,y_i3-x_i3)(i＝1,2,...,5)。

网络中节点状态的初始值x_ij(0),y_ij(0)(i＝1,2,...,5,j＝1,2,3)在(-10,10)范围内任意选择。

当统一混沌系统的参数取α＝1时，各节点的控制强度选择为k＝{20,15,25,18,10}。

驱动网络(1)与响应网络(2)第1个对应节点状态变化图，如图1所示。

根据图1，我们能够大体看出，随着时间的变化，状态x₁₁与状态y₁₁呈现绝对值相同符号相反的反相同步，状态x₁₂与状态y₁₂呈现绝对值相同符号相反的反相同步，状态x₁₃与状态y₁₃呈现幅值完全相同的正相同步。

驱动网络(1)与响应网络(2)实现外部混合同步的误差曲线如图2所示。

从图2可以看出，实现的外部混合同步为全局渐进同步，同步误差精度高，随着时间的变化，两个网络之间的15个误差变量e_i1，e_i2和e_i3(i＝1,2,...,5)都能很快趋向于0。

从以上两组仿真结果能够看出，单项线性控制器u_i(t)＝k_iBe_i(t)能够实现两个网络对应状态的混合同步，充分证明了本发明所设计的控制器的有效性。

研究结果表明，控制强度的值k_i对同步效果有很大的影响。

k_i的值越大，同步的速度越快，即误差变量收敛到原点所需的时间越少。

为了从总体上描述驱动网络和响应网络的同步过程，定义外部混合同步的平均同步误差：

由该定义看出，当E(t)趋向于0时，我们能够实现外部混合同步。

为了简化问题，设k₁＝k₂＝k₃＝k₄＝k₅。

k_i＝5和k_i＝35(i＝1,2,...,5)时的平均同步误差E(t)随时间变化的曲线，如图3和图4所示。

从图3和图4中，我们能够看出，随着耦合强度值k_i的增大，外部同步的速度明显加快。

以上所述，仅为本发明较佳的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，根据本发明的技术方案及其发明构思加以等同替换或改变，都应涵盖在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种简单的分数阶复杂网络外部混合同步方法，其特征在于包括以下步骤：

—设定一个包含N个相同节点的复杂网络为驱动网络，网络中每个节点都是n维分数阶混沌系统，其中第i个节点的状态方程为：

其中，x_i∈Rⁿ为节点i的状态变量，f∈Rⁿ为一个连续可微函数，a＞0为驱动网络总的耦合强度，A＞0为各节点之间的内部耦合矩阵，C＝(c_ij)_N×N为驱动网络的外部耦合配置矩阵，

若节点i与节点j(j≠i)之间存在连接，则c_ij＞0，否则c_ij＝0，对角元素定义为

—设定包括N个相同动态节点的复杂网络：

为响应网络；

其中，y_i∈Rⁿ为响应网络中第i个节点的状态向量，a＞0为响应网络总的耦合强度，A＞0为各节点之间的内部耦合矩阵，C＝(c_ij)_N×N为响应网络的外部耦合配置矩阵，u_i(t)为第i个节点的控制器；

—设分数阶混沌系统D^qx＝f(x)在坐标变换(x₁,x₂)→(-x₁,x₂)下具有对称性，对于驱动网络(1)和响应网络(2)，通过引入线性耦合控制技术，即驱动网络通过状态变量的线性形式控制响应网络，使得两个网络中对应节点的轨道收敛到混合同步流形M＝{(x_i1,x_i2,y_i1,y_i2):x_i1＝-y_i1,x_i2＝y_i2}，即实现状态变量集x_i1上的反相同步与状态变量集x_i2上的正相同步共存，完成同步。

2.根据权利要求1所述的简单的分数阶复杂网络外部混合同步方法，其特征在于：

将控制器u_i(t)设计为单项线性控制器k_iBe_i(t)，其中，k_i为响应网络中第i个节点的控制强度，e_i(t)为两个网络对应节点之间的同步误差，控制矩阵B设计为

因此，驱动网络(1)和响应网络(2)外部混合同步的误差向量写为

e_i＝(e_i1,e_i2)^T＝(x_i1+y_i1,x_i2-y_i2)^T；

并且通过单项线性控制器k_iBe_i(t)使得误差趋向0，实现混合同步。

3.根据权利要求1或2所述的简单的分数阶复杂网络外部混合同步方法，其特征在于：

所述响应网络中的外部耦合配置矩阵C不必是对称的或不可约简的，对内部耦合矩阵A也没有任何的条件限制。

4.根据权利要求1所述的简单的分数阶复杂网络外部混合同步方法，其特征在于：

若分数阶混沌系统D^qx＝f(x)在坐标变换(x₁,x₂)→(-x₁,x₂)下具有对称性，则定义为对称分数阶混沌系统；

具有对称性的分数阶混沌系统：

设定分数阶混沌系统D^qx＝f(x,t)是连续的，且能够被拆分成两个部分：

其中，n₁+n₂＝n(n₁,n₂≥0)，且有

成立；则f₁是关于x₁的奇函数，f₂是关于x₁的偶函数；此时，我们称该分数阶混沌系统在坐标变换(x₁,x₂)→(-x₁,x₂)下具有对称性。