CN103954914A

CN103954914A - 基于概率集成的锂离子电池剩余寿命直接预测方法

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Publication number: CN103954914A
Application number: CN201410208640.1A
Authority: CN
Inventors: 刘大同; 彭宇; 周建宝; 卢斯远; 彭喜元
Original assignee: Harbin Institute of Technology
Current assignee: Harbin Institute of Technology
Priority date: 2014-05-16
Filing date: 2014-05-16
Publication date: 2014-07-30

Abstract

基于概率集成的锂离子电池剩余寿命直接预测方法，涉及锂离子电池剩余寿命预测技术领域。它为了解决传统单调回声状态网络MONESN方法的不稳定性以及缺乏剩余寿命不确定性表达的问题。本发明首先测量锂离子电池每个循环周期的最大容量；采用N个MONESN模型预测锂离子电池剩余寿命，得到N个预测结果；对上述结果进行不确定性估计和集成，以得到基于概率集成的锂离子电池剩余寿命预测结果。本发明充分发挥了MONESN模型较强的非线性预测能力，有效克服传统MONESN算法不稳定性的问题。同时，能够实现剩余寿命不确定性的表达和管理。本发明适用于容量能够直接测量获得的情况下，锂离子电池剩余寿命的预测。

Description

基于概率集成的锂离子电池剩余寿命直接预测方法

技术领域

本发明涉及锂离子电池剩余寿命(Remaining Useful Life,RUL)预测技术领域。

背景技术

相比于传统的NiMH电池和NiCd电池，锂离子电池存在诸多优点，比如，高能量密度、长寿命、高输出电压、低自放电率、高可靠性和安全性等等。因此，锂离子电池被广泛应用于电动汽车、消费电子、通讯、导航、航海、航空、航天等领域，尤其是，锂离子电池已经成为第三代卫星电池，可以有效提高载荷效率和降低航天器自重。

随着锂离子电池技术的快速发展，以及在诸多工业领域的快速推广，电池的性能退化、预测和寿命预计、维修优化等，吸引了研究者的关注，已经成为能源、电源、可靠性工程和航空航天工程领域的研究热点。

然而，由于锂离子电池本身是一个复杂的电化学系统，难于监测其内部的状态，以建立泛化的、准确的物理模型。参数的识别也是模型应用的另外一个挑战，尤其是在动态负载、环境变化影响以及其他的不确定性因素影响。

近年来，该研究领域转向基于数据驱动的故障预测方法，实现电池的退化建模和寿命预计。特别地，数据驱动方法仅依赖于测试和监测数据，可以实现健康状态评估和可靠性估计。换句话说，数据驱动方法不需要考虑复杂的化学过程、物理原理等，因此，大量的基于统计、计算智能和人工智能的方法，如自回归模型(AutoRegressive,AR)，粒子滤波(Particle Filter,PF)，高斯回归过程(Gaussian Process Regression,GPR)，相关向量机(Relevance Vector Machine,RVM)，支持向量机(Support Vector Machine,SVM)和人工神经网络，用于实现电池的寿命预测。然而，数据驱动的方法针对不同问题、或者同一问题的不确定性，存在不稳定性和模型失配的问题。

为提升这些数据驱动预测方法的能力，基于融合的预测方法逐渐成为主流。Liu等提出一种将数据驱动和基于模型的PF方法融合的预测框架，提升长时预测性能。Saha等提出一种电池的寿命预测方法，融合了RVM方法和PF方法。Xing等提出了一种集成模型，将回归模型和PF方法融合。Hu等提出了一种集成数据驱动的方法，将不同数据驱动方法通过加权模型进行融合。

理论上，递归神经网络(Recurrent Neural Network，RNN)可以近似任意动态系统，但传统递归神经网络模型难以建立，训练效率低导致其难以在现实中应用。储备池计算技术(reservoir computing,RC)作为一种新型的递归神经网络，可以克服传统方法的缺点。随着RC的发展，Jaeger提出了回声状态网络(Echo State Network,ESN)。回声状态网络保持传统递归神经网络高度非线性逼近能力，同时解决传统递归神经网络在使用中遇到的问题。回声状态网络是一种新型的递归神经网络，它采用储备池结构代替传统神经网络的隐含层，将低维输入空间映射到高维的状态空间，使其具有高度的非线性逼近能力。同时网络输出空间和状态空间满足线性关系，可以采用最小二乘方法计算ESN输出权值的最优值，使ESN的输出值和真实值之间满足误差平方和最小原则。

如图1所示。假设系统有M维输出变量，N维内部处理单元，L维输入变量，在时刻k的输入单元、内部处理单元和输出单元可以表达为：u(k)＝(u₁(k),…,u_L(k)),x(k)＝(x₁(k),…,x_N(k)),and y(k)＝(y₁(k),…,y_M(k))，内部处理单元的更新方程为：

x(k)＝f(Wⁱⁿu(k)+Wx(k-1)+W^backy(k-1)), (1)

输入变量和内部处理单元之间由输入连接权矩阵Wⁱⁿ∈R^N×M连接，内部处理单元之间由内部连接权矩阵W∈R^N×N连接，内部处理单元和输出变量之间由输出连接权矩阵W^out∈R^L×(M+N+L)，输出变量有可能对内部处理单元产生反馈，由反馈矩阵W^back∈R^N×L连接。若系统不复杂，W^back一般取0。f＝[f₁,…,f_N]表示内部神经元激活函数，通常情况下取做双曲正切函数。表示输出函数，一般情况下，输出层是线性的，即取恒等函数。ESN输出方程为：

y(k)＝f_out(W^out(u(k),x(k),y(k-1)), (2)

输出层一般为线性，式(3)所示为本文所用线性输出形式。W^out＝(w_ij ^out)是一个M×(L+N+M)维输出权值矩阵(假定W^back＝0).

y(k)＝W^out(u(k),x(k)). (3)

输入和输出单元之间的关系可以表示为：

为了保证ESN的输出变量y_i(i∈[1,…,M])和输入变量u_j(j∈[1,…,L])具有单调递增的关系，即将式(4)对u_j求偏导，得到式(5)：

\frac{&PartialD; y_{i}}{&PartialD; u_{j}} = w_{ij}^{out} + Σ_{t = 1}^{N} w_{j^{*} (L + t)}^{out} (1 - θ_{t}^{2}) w_{tj}^{in} > 0 . - - - (5)

已知：双曲正切的导数恒大于零，即则输出变量y_i和输入变量u_j保持单调递增的关系的充分条件如式(6)所示：

\frac{&PartialD; y_{i}}{&PartialD; u_{j}} = w_{ij}^{out} + Σ_{t = 1}^{N} w_{j^{*} (L + t)}^{out} w_{tj}^{in} > 0, &ForAll; i, j . - - - (6)

式(6)包含两项：一项是连接输出y_i和输入u_j的输出权值w_ij ^out，另一项是连接输出y_i和内部状态x_t(t∈[1,…,N])的输出权值w_j(L+t) ^out和连接输入u_j和内部状态x_t的乘积w_ij ⁱⁿ的和若ESN的输入权值和输出权值满足式(6)，则可以保证输出变量y_i相对于输入变量u_j是单调递增的。

同理可证，保证输出变量yi相对于输入变量uj是单调递减的充分条件是两项之和小于零，如式(7)所示：

\frac{&PartialD; y_{i}}{&PartialD; u_{j}} = w_{ij}^{out} + Σ_{k = 1}^{N} w_{j^{*} (L + k)}^{out} w_{ki}^{in} < 0, &ForAll; i, j . - - - (7)

由此可知：如果想用ESN逼近具有单调趋势的函数，那么在ESN的训练过程中加入(6)或(7)式的约束就可以保证ESN的输出变量yi和ESN输入变量uj之间具有单调递增或者递减的关系。

Liu等提出了一种单调回声状态网络(monotonic echo state networks,MONESN)方法实现精确的RUL预测。而且，为了提高MONESN方法的稳定性，将集成学习(ensemblelearning，EL)引入，集成多个MONESN子模型。然而，这种EL集成方法缺少对于预测不确定性的管理能力。

集成多个子模型的集成学习方法可以降低单个模型的精度，相比于单个MONESN模型，整体的预测精度和稳定度都得到提升。

集成学习方法就是建立一系列用于集成的子模型的过程，通过子模型组合进行输出，如式(8)所示：

F₀＝{f_i,i＝1,2,...,K₀}. (8)

其中，F₀表示由K₀个子模型组成的子模型库，f_i表示子模型。如果用于预测的子模型都是同一种子模型，称之为同态集成学习。如果使用各种不同的子模型进行集成，称为异态集成学习。

为了完成集成子模型的建立，首先需要知道集成子模型具有何种性质才能保证集成方法的有效性。集成方法的提出是用于提高预测的精度，体现为模型泛化误差的减小，那么最直接的方法就是将集成泛化误差分解寻找集成子模型之间的关系。泛化误差通常用均方误差(Mean Squared Error,MSE)表示，如式(9)所示。

MSE(f_F)＝E[(f_F-f)²], (9)

其中αi≥0且是由K₀个子模型集成的输出，所以MSE近似等于K₀个子模型预测输出和真实值误差的平方，如式(10)所示。

MSE (f_{F}) \approx {(Σ_{i = 1}^{K_{0}} α_{i} \times (f_{i} - f))}^{2} . - - - (10)

针对神经网络的集成，Brown提出一种通用的MSE的分解方法，称为偏差/方差分解法，由式(11)和式(12)所示。

E[(f_F-f)²]＝[E(f_F)-E(f)]²+E{[f_F-E(f_F)]²}. (11)

MSE(f_F)＝bias(f_F)²+var(f_F). (12)

将式(11)分解为式(12)等号右边所示的偏差和方差两项。分别表示测量值和真实值之间的距离和预测值的方差。将式(10)带入式(12)得到式(13)，由于等式右边第二项非负，所以可以证明集成的泛化误差小于或者等于子模型库中随机选择的任意一个子模型的泛化误差。

MSE (f_{F}) = Σ_{i = 1}^{K_{0}} [α_{i} \times {(f_{i} - f)}^{2}] - Σ_{i = 1}^{K_{0}} [α_{i} \times {(f_{i} - f_{F})}^{2}] . - - - (13)

由式(13)可以知道，当方差项越大的时候，集成的泛化误差越小。也就是说，子模型之间的差异越大，集成的泛化误差越小。由此，我们可以得到一个重要的结论：集成子模型预测准确性和多样性是满足集成泛化误差减小的条件。但是准确性和多样性是两个互相矛盾的指标，所以集成方法是采用多模型的多样性降低对单个模型准确性的要求，同时达到预测泛化误差的减小，那么就需要采用方法试图达到准确性和多样性之间的一个好的折衷。在集成子模型建立过程中，主要通过操纵数据或者通过操纵模型参数两种方法。

子模型库建立完成之后，下一步需要完成的是将多个子模型输出融合得到一个集成输出。集成子模型融合的方法主要有分为基本集成方法和泛化集成方法。

基本集成方法是计算集成子模型的平均值，如式(14)所示，这种方法不依赖于子模型也不依赖于训练数据，使用基本集成方法的前提是子模型的误差是相互独立的而且误差的均值为零。

f_{F} = \frac{1}{K_{0}} Σ_{i = 1}^{K_{0}} f_{i} . - - - (14)

泛化集成方法是对集成子模型加权得到，其中子模型的权值和误差的大小成反比。如公式(15)所示。采用Bagging方法中36.8％没有出现在新的数据集的数据作为验证数据集，计算子模型的预测误差，从而得到和误差成反比的权值w_i。

f_{F} = Σ_{i = 1}^{T} w_{i} f_{i} . - - - (15)

但是由于验证集中的信息不能完全覆盖测试集中的信息，所以泛化集成方法会增加过拟合的概率，这个问题通过交叉验证过程得以改善。

因此，虽然基于EL方法可以提升预测性能，但是EL方法并不具备预测不确定性管理能力。

发明内容

本发明的目的是为了解决传统单调回声状态网络(MONESN)方法的不稳定性以及缺乏剩余寿命不确定性表达的问题，提供一种基于概率集成的锂离子电池剩余寿命直接预测方法。

本发明所述的基于概率集成的锂离子电池剩余寿命直接预测方法包括以下步骤：

步骤一、测量锂离子电池容量，得到锂离子电池容量数据序列；

步骤二、利用步骤一中的锂离子电池容量数据序列，采用N个单调回声状态网络模型MONESN进行锂离子电池剩余寿命预测，得到N个锂离子电池剩余寿命预测结果；N为正整数；

步骤三、对锂离子电池剩余寿命预测结果进行不确定性区间估计，得到基于概率集成的锂离子电池剩余寿命预测结果。

步骤三所述的对锂离子电池剩余寿命预测结果进行不确定性区间估计的方法为：

将步骤二中的N个锂离子电池剩余寿命预测结果作为子模型输出，所述子模型输出数据服从威布尔分布，其概率密度函数为：

g (f) = \frac{β}{η^{β}} f^{β - 1} e^{- {(f / η)}^{β}}, f > 0, η, β > 0

式中η为尺度参数，β为形状参数，f为随机变量，似然函数为：

\ln L (η, β) = K_{0} \ln β - K_{0} β \ln η + (β - 1) Σ_{i = 1}^{K_{0}} \ln (f_{i}) - Σ_{i = 1}^{K_{0}} {(f_{i} / η)}^{β}

通过对lnL(η,β)分别η和β的1阶偏微分并设定，能够得到：

\{\begin{matrix} \frac{&PartialD; \ln L (η, β)}{&PartialD; n} = - \frac{K_{0} β}{η} + \frac{β}{η^{β + 1}} Σ_{i = 1}^{k_{0}} {f_{i}}^{β} = 0 \\ \frac{&PartialD; \ln L (η, β)}{&PartialD; β} = \frac{K_{0}}{β} - K_{0} \ln (η) - \frac{1}{η^{β}} Σ_{i = 1}^{K_{0}} {f_{i}}^{β} \ln (f_{i}) + Σ_{i = 1}^{K_{0}} \ln (f_{i}) + \frac{\ln (η)}{η^{β}} Σ_{i = 1}^{K_{0}} f_{i}^{β} = 0 \end{matrix}

通过求解上式得到(η,β)的估计值其中，K₀是对数似然函数的系数，N个锂离子电池剩余寿命预测结果的均值即为基于概率集成的锂离子电池剩余寿命直接预测方法的预测结果，N个锂离子电池剩余寿命预测结果的方差为所述预测结果的不确定性区间估计。

本发明首先测量锂离子电池每个循环周期的最大容量；采用N个MONESN模型预测锂离子电池剩余寿命，得到N个预测结果；对上述结果进行不确定性估计和集成，以得到基于概率集成的锂离子电池剩余寿命预测结果。

本发明所述的基于概率集成的锂离子电池剩余寿命直接预测方法充分发挥了单调回声状态网络MONESN较强的非线性预测能力，提出一种概率集成策略。基于概率集成的MONESN模型能够有效克服传统MONESN方法的不稳定性以及缺乏剩余寿命不确定性表达的问题。同时，能够实现不确定性的表达和管理，以提供更为科学的维修决策参考。

附图说明

图1为回声状态网络模型的原理图；

图2为概率集成子模型方法框架的原理框图；

图3为基于不同预测起始点的锂离子电池RUL预测；

图4为基于EL的MONESN与基于PE的MONESN的锂离子电池RUL预测。

具体实施方式

具体实施方式一：结合图1说明本实施方式，本实施方式所述的基于概率集成的锂离子电池剩余寿命直接预测方法包括以下步骤：

本实施方式中，采用N个单调回声状态模型进行锂离子电池剩余寿命预测，得到N个锂离子电池剩余寿命预测结果。将N个预测结果作为公式(16)的随机变量，估计威布尔分布(Weibull distribution)的均值和方差，即可计算出最终锂离子电池剩余寿命预测结果，其方差就可以作为不确定性区间估计，对应于上下限，具体方法为：采用概率分布描述子模型的输出，将其作为一种新颖的集成方法，以实现不确定性表达。威布尔分布能够十分灵活地拟合各种不同数据，同时，这种分布也是广泛应用于产品可靠性和寿命描述的分布类型。假定子模型输出，比如RUL预测结果，服从威布尔分布，其似然函数如公式(16)所示，

L (\underset{&OverBar;}{θ}) = Π_{i = 1}^{K_{0}} g (f_{i}; \underset{&OverBar;}{θ}), - - - (16)

式中θ为包括所有待求参数的向量，比如，威布尔分布θ＝(η,β)。由于L(θ)与其对数形式具有相同的单调性，通过求解方程以获得最大似然估计值(估计分布参数)，因此，对于威布尔分布，其对应的对数似然函数为：

\ln L (η, β) = K_{0} \ln β - K_{0} β \ln η + (β - 1) Σ_{i = 1}^{K_{0}} \ln (f_{i}) - Σ_{i = 1}^{K_{0}} {(f_{i} / η)}^{β} . - - - (17)

通过对lnL(η,β)分别η和β的1阶偏微分并设定可得：

\{\begin{matrix} \frac{&PartialD; \ln L (η, β)}{&PartialD; n} = - \frac{K_{0} β}{η} + \frac{β}{η^{β + 1}} Σ_{i = 1}^{k_{0}} {f_{i}}^{β} = 0 \\ \frac{&PartialD; \ln L (η, β)}{&PartialD; β} = \frac{K_{0}}{β} - K_{0} \ln (η) - \frac{1}{η^{β}} Σ_{i = 1}^{K_{0}} {f_{i}}^{β} \ln (f_{i}) + Σ_{i = 1}^{K_{0}} \ln (f_{i}) + \frac{\ln (η)}{η^{β}} Σ_{i = 1}^{K_{0}} f_{i}^{β} = 0 \end{matrix} - - - (18)

可以通过求解式(18)获得。

本实施方式通过概率集成以提高基本EL方法的性能，采用最大似然估计(Maximumlikelihood estimation，MLE)获取概率分布类型，以集成MONESN子模型。最后，基于概率集成的模型能够输出RUL预测结果的不确定性，适用于容量能够直接在线获得的情况下，锂离子电池剩余寿命的预测。

具体实施方式二：结合图2说明本实施方式，本实施方式是对实施方式一所述的基于概率集成的锂离子电池剩余寿命直接预测方法的进一步限定，本实施方式中，步骤三所述的对锂离子电池剩余寿命预测结果进行不确定性区间估计的方法为：

g (f) = \frac{β}{η^{β}} f^{β - 1} e^{- {(f / η)}^{β}}, f > 0, η, β > 0

\ln L (η, β) = K_{0} \ln β - K_{0} β \ln η + (β - 1) Σ_{i = 1}^{K_{0}} \ln (f_{i}) - Σ_{i = 1}^{K_{0}} {(f_{i} / η)}^{β}

通过对lnL(η,β)分别η和β的1阶偏微分并设定能够得到：

\{\begin{matrix} \frac{&PartialD; \ln L (η, β)}{&PartialD; n} = - \frac{K_{0} β}{η} + \frac{β}{η^{β + 1}} Σ_{i = 1}^{k_{0}} {f_{i}}^{β} = 0 \\ \frac{&PartialD; \ln L (η, β)}{&PartialD; β} = \frac{K_{0}}{β} - K_{0} \ln (η) - \frac{1}{η^{β}} Σ_{i = 1}^{K_{0}} {f_{i}}^{β} \ln (f_{i}) + Σ_{i = 1}^{K_{0}} \ln (f_{i}) + \frac{\ln (η)}{η^{β}} Σ_{i = 1}^{K_{0}} f_{i}^{β} = 0 \end{matrix}

通过求解上式得到(η,β)的估计值其中，K₀是对数似然函数的系数，N个锂离子电池剩余寿命预测结果的均值即为基于概率集成的锂离子电池剩余寿命直接预测方法的预测结果，N个锂离子电池剩余寿命预测结果的方差为所述预测结果的不确定性区间估计。图2中K₀即为N。

具体实施方式三：结合图3和图4说明本实施方式，本实施方式对实施方式一和二所述的基于概率集成的锂离子电池剩余寿命直接预测方法进行验证。

锂离子电池数据集：

采用两类锂离子电池数据集进行方法验证。两类数据集操作和测试条件不同，包括了不同类型电池样本，确保对方法验证的有效性。

第一类数据集，来源于NASA PCoE实验室，测试对象样本为商用18650锂离子电池，电池的额定容量为2Ah，电池实验(充电，放电和阻抗测量)在室温(25℃)下运行。1)在恒定电流为1.5A的模式下进行充电，直到电池电压达到4.2V；2)在恒定电流为2A的模式下进行放电，直到电池电压下降到2.5V；3)通过EIS测量电池阻抗，频率扫描的范围从0.1Hz到5kHz。NASA PCoE开展的电池退化实验中，当电池达到寿命结束(End OfLife，EOL)的标准，即电池容量到达额定容量的70％左右(即30％容量退化定义为失效阈值)时，实验停止。

第二类数据集，来源于美国马里兰大学先进寿命周期工程中心(Center for AdvancedLife Cycle Engineering，CALCE)，采用Arbin BT2000的锂电池实验系统进行测试，电池样本的额定容量为1.1Ah，实验在室温下进行：1)在恒定电流为0.55A的模式下进行充电，直到电池电压达到4.2V；2)在恒定电流为1.1A的模式下进行放电，直到电池电压下降到2.7V。CALCE电池的充电容量到达额定容量的80％左右(即20％容量退化定义为失效阈值)时，实验停止。

锂离子电池剩余寿命预测实验及结果：

采用NASA18号电池，基于不同预测起始点(starting points)进行的RUL预测，采用容量作为HI的结果如图3所示。其中定义30％容量退化作为寿命终止，预测起始点分别为44^th cycle、70^th cycle、83^th cycle。该样本集共132个电池容量样本，实际的寿命终止(EoL)为96^th cycle，对应选取的三个预测起始点所对应的电池RUL值分别为52cycles、26cycles、13cycles。从图3可以看到，RUL预测值与实际值十分接近，尤其在寿命中期之后的预测结果较为满意。另外，RUL预测结果都落在了不确定区间内，表明所提出方法的有效性。

本文所提出方法与文献中基于EL的MONESN方法的对比结果如图4所示。图中，本文所提出方法记为PE算法预测值，Liu等提出的方法记为EL算法预测值。

从图4能够看出，基于EL的预测方法仅仅可以给出点估计值，相对地，基于PE的预测方法不仅可以实现类似的精度，而且可以给出RUL预测值的不确定性区间表达，对维护和保障更具科学意义。

量化预测结果如表1所示。表中包含了不同预测起始点、多个电池样本的预测值，同时给出了两种方法的点估计值，以及误差和基于PE方法预测的68％和95％置信区间(confidence interval,CI)。

表1锂离子电池直接RUL预测结果(NASA电池样本)

由表1可以发现，对于大多数样本，基于PE预测方法的性能优于基于EL方法，而且，实际RUL预测值都落入了68％置信区间，对于健康管理和决策更具参考价值。需要指出的是，除了第一个预测结果，其他所有预测结果的误差均不超过10cycles，引起这个问题的原因是NASA18号电池在预测起始点60^th cycle产生了较大幅度的能量再生。

类似地，采用CALCE电池样本进行上述实验，实验中定义15％容量退化作为失效阈值条件，分别预测RUL为200cycle和100cycle两种情况。结果如表2所示。

表2锂离子电池直接RUL预测结果(CALCE电池样本)

需要指出的是，相比于表1，预测误差增大，但相对于RUL实际值，整体预测结果仍然较为满意。

Claims

1.基于概率集成的锂离子电池剩余寿命直接预测方法，其特征在于：该方法包括以下步骤：

2.根据权利要求1所述的基于概率集成的锂离子电池剩余寿命间接预测方法，其特征在于：步骤三所述的对锂离子电池剩余寿命预测结果进行不确定性区间估计的方法为：

g (f) = \frac{β}{η^{β}} f^{β - 1} e^{- {(f / η)}^{β}}, f > 0, η, β > 0

\ln L (η, β) = K_{0} \ln β - K_{0} β \ln η + (β - 1) Σ_{i = 1}^{K_{0}} \ln (f_{i}) - Σ_{i = 1}^{K_{0}} {(f_{i} / η)}^{β}

通过对lnL(η,β)分别η和β的1阶偏微分并设定能够得到：

\{\begin{matrix} \frac{&PartialD; \ln L (η, β)}{&PartialD; n} = - \frac{K_{0} β}{η} + \frac{β}{η^{β + 1}} Σ_{i = 1}^{k_{0}} {f_{i}}^{β} = 0 \\ \frac{&PartialD; \ln L (η, β)}{&PartialD; β} = \frac{K_{0}}{β} - K_{0} \ln (η) - \frac{1}{η^{β}} Σ_{i = 1}^{K_{0}} {f_{i}}^{β} \ln (f_{i}) + Σ_{i = 1}^{K_{0}} \ln (f_{i}) + \frac{\ln (η)}{η^{β}} Σ_{i = 1}^{K_{0}} f_{i}^{β} = 0 \end{matrix}