CN103904653A - 电网谐波状态估计中的可观性分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了电网谐波状态估计中的可观性分析方法：1)结合数学分析和实际电网分析，从减少状态量的角度，实现方程由欠定变为恰定或超定，在保证系统状态完全可观的前提下，大大减少量测设备的数目；2)将奇异值分解法(SVD)应用在系统可观部分的判断和计算中；3)针对可观性分析中传统代数方法不足，结合矩阵条件数，提出一种实用的线性无关排序法，并将该方法用于指导不可观系统量测设备的调整和添加，实现系统良好的可观性。本发明找到系统中的冗余量测；在系统范围内找到使系统量测-状态矩阵呈良性的量测安装点；克服实际工程中小数点的保留问题，以及计算过程中因矩阵病态情况导致计算结果不可靠的问题。

Description

电网谐波状态估计中的可观性分析方法

技术领域

本发明涉及一种电网谐波状态估计中的可观性分析方法。

背景技术

谐波状态估计的提出，是为解决电力系统中谐波源位置和类型未知情况下，系统谐波状态的求解问题。基本原理为：通过对电网局部的有限的量测点进行量测，根据所得的量测数据，建立数学模型，求解全网的谐波状态。目前，随着谐波源全网化的发展趋势，谐波潮流分析方法在求解电网谐波状态中的劣势日益突出，为此，国内外多位学者相继对谐波状态估计方法进行了研究。谐波状态估计与传统状态估计主要的不同在于量测设备的类型、数量以及方程的求解方式。传统状态估计中，量测为有功、无功和电压幅值，量测数目一般大于状态量数目，估计的目的在于优化计算的结果；在谐波状态估计中，量测一般为电压相量、母线注入电流和线路电流相量，量测数目一般小于状态量数目，估计的目的为在有限的量测情况下，得到全网的谐波状态。谐波状态估计中，由于量测数目通常小于状态量数目，导致量测-状态方程欠定，系统不完全可观。这成为谐波状态估计的一个突出的难点。目前，对谐波状态估计的分析也多集中于可观性分析和量测配置分析两方面。

总而言之，目前需要本领域技术人员迫切解决的一个技术问题是：如何在系统不可观或者部分可观的前提下，通过一系列技术和方法对量测设备进行布置和调整，减少冗余量测，使得系统变为可观。

发明内容

本发明的目的就是为了解决上述问题，提供一种电网谐波状态估计中的可观性分析方法，它能够对系统可观部分进行有效的判断和计算，指导不可观系统量测设备的调整和添加，实现系统良好的可观性。

为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

电网谐波状态估计中的可观性分析方法，包括如下步骤：

步骤(1)：通过减少量测方程的状态变量数目，使量测方程变为恰定或超定；

步骤(2)：所述步骤(2)包括并列的两个步骤：步骤(2-1)和步骤(2-2)；

步骤(2-1)：在系统状态不完全可观时，利用奇异值分解法找出系统状态的可观部分并对之进行求解：结合线性代数中方程组基础解系和奇异值分解中矩阵的关系，将奇异值分解法用于寻找电网可观部分，同时在量测方程欠定情况下对可观部分进行计算；

步骤(2-2)：在系统状态不完全可观时，依据线性无关排序法调整或添加量测设备，在量测设备最少的情况下，实现系统的可观性。

所述步骤(1)的具体步骤为：

步骤(1-1)：建立谐波状态估计的数学模型；

步骤(1-2)：根据电网节点属性，减少状态变量的个数。

所述步骤(1-1)的具体步骤为：建立谐波状态估计的数学模型：

谐波情况下，对系统建立三相模型，将各相导线与各相母线的交点称作节点，节点的数目为母线数目的三倍；选取节点电压，节点注入电流和线路电流作为量测量，节点电压为状态量，建立谐波状态估计的数学模型；

在未配置量测设备的前提下，对所有节点注入电流、线路电流和节点电压列写方程，如公式(2)所示，

$\left[\begin{array}{c}{I}_N\left(n\right)\\ I_L\left(n\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{Y}_{\mathrm{NN}}\left(n\right)\\ Y_{\mathrm{LN}}\left(n\right)\end{array}\right]U_N\left(n\right)---\left(2\right)$

其中，I_N(n)为所有节点注入电流列向量，I_L(n)为所有线路电流列向量，U_N(n)为所有节点电压列向量，n为谐波次数，Y_NN(n)为节点注入电流与节点电压对应的导纳阵；Y_LN(n)为线路电流与节点电压对应的导纳阵。

所述步骤(1-2)的具体步骤为：根据电网节点属性，减少状态变量的个数；

将电网所有节点分为非谐波源节点和谐波源节点，调整方程(2)中各元素的位置，为了叙述方便，省略n，得到方程(3)

$\left[\begin{array}{c}{I}_{N_0}\\ I_{N_S}\\ I_L\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\stackrel{\‾}{Y}}_{N_0{N}_0}& {\stackrel{\‾}{Y}}_{N_0{N}_S}\\ {\stackrel{\‾}{Y}}_{N_S{N}_0}& {\stackrel{\‾}{Y}}_{N_S{N}_S}\\ {\stackrel{\‾}{Y}}_{{\mathrm{LN}}_0}& {\stackrel{\‾}{Y}}_{{\mathrm{LN}}_S}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{U}_{N_0}\\ U_{N_S}\end{array}\right]---\left(3\right)$

其中，

为非谐波源节点的注入电流，

为非谐波源节点的节点电压，

为可能的谐波源节点的注入电流，

为可能的谐波源节点的节点电压，I_L为线路电流，

为非谐波源节点注入电流和非谐波源节点电压对应的节点导纳阵，

为非谐波源节点注入电流和谐波源节点电压对应的节点导纳阵，

为谐波源节点注入电流和非谐波源节点电压对应的节点导纳阵，

为谐波源节点注入电流和谐波源节点电压对应的节点导纳阵，

为线路电流和非谐波源节点电压对应的节点导纳阵，为线路电流和谐波源节点电压对应的节点导纳阵。

对于非谐波源节点而言，节点注入电流值为零，因此

得

$U_{N_0}={-{\stackrel{\‾}{Y}}_{N_0{N}_0}}^{-1}{\stackrel{\‾}{Y}}_{N_0{N}_S}{U}_{N_S}---\left(4\right)$

其中，

矩阵的逆。

将公式(4)代入公式(3)，可得

$\left[\begin{array}{c}{I}_{N_S}\\ I_L\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{Y}_{N_S{N}_S}\\ Y_{{\mathrm{LN}}_S}\end{array}\right]U_{N_S}---\left(5\right)$

其中

$\left\{\begin{array}{c}{Y}_{N_S{N}_S}={\stackrel{\‾}{Y}}_{N_S{N}_S}-{\stackrel{\‾}{Y}}_{N_S{N}_0}{{\stackrel{\‾}{Y}}_{N_0{N}_0}}^{-1}{\stackrel{\‾}{Y}}_{N_0{N}_S}\\ Y_{{\mathrm{LN}}_S}={\stackrel{\‾}{Y}}_{{\mathrm{LN}}_S}-{\stackrel{\‾}{Y}}_{{\mathrm{LN}}_0}{{\stackrel{\‾}{Y}}_{N_0{N}_0}}^{-1}{\stackrel{\‾}{Y}}_{N_0{N}_S}\end{array}\right.---\left(6\right)$

于是，状态量个数由N减少为N_S；为保证系统可观，最少量测数目也由N减少为N_S。

所述步骤(2-1)的具体步骤为：

步骤(2-1-1)：利用奇异值分解法来判定电网状态的可观部分；

步骤(2-1-2)：利用奇异值分解法求解欠定情况下的可观变量。

所述步骤(2-1-1)的具体步骤为：

任意矩阵A都能够对之进行奇异值分解，形式如下

A＝UWV^T     (9)

其中，U为m×m的酉矩阵，W为m×n的对角阵，V为n×n的酉矩阵；假设对角矩阵W中非零对角线的元素个数为r，那么进行奇异值分解后，酉矩阵V的第r+1,r+2,...,n列即为方程AX＝B的基础解系。据此，根据矩阵A的秩(矩阵A病态时，根据矩阵W中非零对角元素的个数)和奇异值分解后的矩阵V，判定矩阵的可观部分。

所述步骤(2-1-2)的具体步骤为：

利用奇异值分解可求解量测方程欠定情况下的可观变量

X＝(UWV^T)^-1B       (10)

其中，X为量测方程的解，B为量测矩阵。

所述步骤(2-2)的具体步骤为：

步骤(2-2-1)：将条件数域线性无关排序法结合，解决量测-状态方程的病态问题；

步骤(2-2-2)：依据线性无关排序法指导量测设备的调整和增加。

所述步骤(2-2-1)的具体步骤为：

对于任意的矩阵h，进行奇异值分解，分解的形式为：

$h={\mathrm{UWV}}^T=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\σ}}_i{u}_i{\mathrm{\υ}}_i^T---\left(12\right)$

那么，对方程z＝hx(11)进行求解，可得

$x=h^{-1}z={\left({\mathrm{UWV}}^T\right)}^{-1}z=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{u_i^{T}z}{{\mathrm{\σ}}_I}{\mathrm{\υ}}_i---\left(13\right)$

其中，z为量测，x为状态量，h为系数矩阵，z中每一个元素对应一个量测位置。状态量x可观，等价于系数矩阵h的秩等于状态量x中元素的个数，σ_i表示系数矩阵h到奇异矩阵集的距离。当σ_i很小时，系数矩阵h或z有微小的变动，也会导致x较大的变化。所以，σ_i越大，计算结果越可信；σ_i越小，计算结果越不可信。如果逐个地判断σ_i的大小，会使得计算和判断非常繁琐，且大小没有统一的标准；为此，引进条件数的概念，用一个数表示所有σ_i的整体情况。

矩阵的条件数反应的是矩阵靠近奇异矩阵(病态矩阵)的程度。采用以下方式进行定义：

κ₂(h)＝||h||₂||h^-1||₂         (14)

矩阵的条件数越小，矩阵越远离病态情况，计算结果可信度越高；矩阵的条件数越大，矩阵越靠近病态情况，计算结果可信度越低。

所述步骤(2-2-2)的具体步骤为：

步骤(2-2-2-1)：判断已有量测设备是否存在冗余；

步骤(2-2-2-2)：找到合适的量测安装点，调整并添加量测设备。

所述步骤(2-2-2-1)的具体步骤为：

根据已有的量测配置，建立量测-状态方程：

$\left[\begin{array}{c}{I}_{\mathrm{Nm}}\\ I_{\mathrm{Lm}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{Y}_{\mathrm{Nm}}\\ Y_{\mathrm{Lm}}\end{array}\right]U_{N_S}---\left(15\right)$

其中，I_Nm为已量测的节点注入电流，I_Lm为已量测的线路电流，量测的数目为m，电压状态变量

的数目为n，Y_Nm为节点注入电流对应的节点导纳矩阵；Y_Lm为线路电流对应的节点导纳矩阵。

利用线性无关排序法对方程(15)进行分析，将Y分为 $\left[\begin{array}{c}{Y}_c\\ Y_n\end{array}\right],$ 其中Y_c为r行，并将量测设备分为对r个可观性有贡献的量测以及m-r个冗余量测，其中，Y_c为线性无关部分，为对可观性有贡献的节点导纳阵，Y_n为线性相关部分，为对可观性没有贡献的节点导纳阵。

所述步骤(2-2-2-2)的具体步骤为：

根据步骤(2-2-2-1)中的分析，得到Y_c，并得到对系统可观性有贡献的量测。为使系统完全可观，就需要得到一个新的矩阵Y_c+，使得矩阵 $\left[\begin{array}{c}{Y}_c\\ Y_{c+}\end{array}\right]$ 的秩等于状态量的数目。为此，需要在整个系统的范围内，建立电流-电压方程：

$\left[\begin{array}{c}{I}_N\\ I_L\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{Y}_N\\ Y_L\end{array}\right]U---\left(16\right)$

其中，I_N为所有谐波源节点的注入电流，I_L为所有的线路电流，U为所有谐波源节点的注入电流。从电流-电压方程(16)中减去量测-状态方程(15)，得到一个新的方程：

$\left[\begin{array}{c}{I}_{N-\mathrm{Nm}}\\ I_{L-\mathrm{Lm}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{Y}_{N-\mathrm{Nm}}\\ Y_{L-\mathrm{Lm}}\end{array}\right]U---\left(17\right)$

其中，Y_N-Nm的为未量测的节点注入电流对应的节点导纳阵，Y_L-Lm为未量测的线路电流对应的节点导纳阵，I_N-Nm为未量测的节点注入电流，I_L-Lm为未量测的线路电流。

首先，对矩阵 $\left[\begin{array}{c}{Y}_{N-\mathrm{Nm}}\\ Y_{L-\mathrm{Lm}}\end{array}\right]$ 进行排序，将与谐波源节点相连的量测往上排，将与谐波源节点不相连的量测往下排，形成矩阵 $\left[\begin{array}{c}{Y}_{\mathrm{conj}}\\ Y_{\mathrm{un}}\end{array}\right];$ 其中，Y_conj为未量测的与谐波源节点相连的节点导纳阵部分，Y_un为未量测的与谐波源节点不相连的节点导纳阵部分。

然后对矩阵 $\left[\begin{array}{c}{Y}_c\\ Y_{\mathrm{conj}}\\ Y_{\mathrm{un}}\end{array}\right]$ 进行线性无关排序，得到系统范围内的一个满秩矩 $\left[\begin{array}{c}{Y}_c\\ Y_{c+}\end{array}\right];$ 其中，Y_c为已量测的线性无关的节点导纳阵部分，Y_c+为需要追加的量测对应的节点导纳阵部分。

判断满秩矩阵 $\left[\begin{array}{c}{Y}_c\\ Y_{c+}\end{array}\right]$ 的条件数：

当条件数小于设定值时，采纳该配置方案；

当条件数大于设定值时，不采纳该配置方案；

当条件数大于设定值时，删除Y_c+中所对应的部分行，重新进行排序，如此反复，直到矩阵 $\left[\begin{array}{c}{Y}_c\\ Y_{c+}\end{array}\right]$ 条件数小于设定值；将m-r个冗余设备和要添加的n-m个量测设备调整到矩阵Y_c+对应位置处，实现系统的完全可观。

本发明的有益效果：

本发明主要对谐波状态估计中三个方面的问题进行了分析：

1)结合数学分析和实际电网分析，从减少状态量的角度，实现量测-状态方程由欠定变为恰定或超定，在保证系统状态完全可观的前提下，大大减少量测设备的数目。通过对菏泽-仿山配电系统进行分析，状态量的数目减少了2/3，最少量测设备的数目也减少了2/3。

2)结合线性代数中方程基础解系和奇异值分解之间的关系，在系统不完全可观情况下，将奇异值分解法用于系统可观部分的判断和计算中。

3)结合矩阵条件数的概念，提出一种线性无关排序法，用于指导量测设备的调整和添加。该方法有三个功能：找到系统中的冗余量测；在系统范围内找到使系统量测-状态矩阵呈良性的量测安装点；克服实际工程中小数点的保留问题，以及计算过程中因矩阵病态情况导致计算结果不可靠的问题。

4)用条件数的概念可以解决的问题：

小数点位数的选取，对矩阵中两行向量相关性的判断产生很大影响，是在两个向量近似相关的情况下发生的，此时矩阵呈现病态。矩阵病态时，其条件数非常大。虽然进行相关性判断时，可能为线性无关，但因其条件数过大，而可将其视为相关。这样，可以消除小数点位数的选取对向量相关性判断的影响；

选择条件数较小的量测配置方案时，量测-状态矩阵远离病态情况，参数的变动以及量测误差对计算出来的状态量的影响较小，计算结果可信度高。

最后以菏泽-仿山220-110-35kV配电系统说明并验证了本发明所提出方法的可行性。

附图说明

图1为本发明的整体流程图；

图2为本发明步骤(1)的方法流程图；

图3为本发明步骤(2-1)的方法流程图；

图4为本发明步骤(2-2)的方法流程图；

图5为本发明步骤(2-2-2)的方法流程图；

图6为菏泽-仿山220-110-35kV级配电系统图；

图7为节点分类及谐波源节点的判定；

图8为菏泽-仿山站单相等值电路模型(标么值)。

具体实施方式

下面结合附图与实施例对本发明作进一步说明。

本发明针对谐波状态估计中的可观性分析部分进行了3方面的研究：

首先，通过减少状态变量数目，使量测-状态方程由欠定变为恰定甚至超定。对于线性量测-状态方程而言，在仅保证系统可观的前提下，减少状态量的数目，意味着减少最少量测的数目。文献[8]中利用非谐波源母线注入谐波电流为零的特点，通过方程变换，将状态量的个数减少为可能为谐波源母线的母线数。通常认为非谐波源母线为不带负荷的母线，但在结合实际系统分析时，发现非谐波源母线不单单局限于不带负荷的母线。本发明在数学分析的基础上，结合实际电网及各元器件的特点，找到减少状态变量的判定规律。对山东菏泽供电公司菏泽-仿山220-110-35kV配电系统进行分析，状态量数目减少了2/3，最少量测数目减少了2/3。

其次，系统不完全可观时，找出可观部分并对之求解。目前，已有多位学者对这方面进行研究。本发明结合线性代数中方程组基础解系和奇异值分解中矩阵V的关系，将奇异值分解法用于寻找电网可观部分，同时在方程欠定情况下对其进行计算。

最后，在系统状态不完全可观时，调整或添加量测设备，在量测设备最少的情况下，实现系统良好的可观性。进行可观性分析时，代数方法具有理论简单且与方程直接相关的优点；其缺点在于判断系数矩阵的秩时，无法排除矩阵病态的情况。对一个n×n的病态系数矩阵求秩，结果可能仍为满秩。在系数矩阵为病态情况下求解状态变量，计算结果可信度低。

本发明针对传统代数方法的不足，结合矩阵条件数，提出了一种实用的线性无关排序法。该方法从三个方面对传统代数法进行改进：1)该方法可以找到冗余量测，即对可观性没有贡献的量测；2)该方法可以在系统范围内找到使系统量测-状态矩阵呈良性的量测安装点；3)该方法结合条件数的概念，解决两个在实际中遇到的问题：a.解决因量测-状态矩阵病态情况，造成计算结果可信度不高的问题；b.解决部分参数小数点位数的保留，对向量相关性判断的影响问题。

1减少系统的状态量

谐波状态估计的量测-状态方程为

YU＝I         (1)

其中，I为量测量，U为状态量。为保证系统状态可观，量测数目应大于等于状态量数目。其中，量测数目等于状态量数目的情况为最少量测的情况。减少状态量的数目，意味着减少最少量测的数目。下面从理论和实际电网两方面详细分析如何减少状态量。

1.1简化状态变量的理论分析

首先，建立谐波状态估计的数学模型。

谐波情况下，通常对系统建立三相模型。将各相导线与各相母线的交点称作节点，节点的数目为母线数目的三倍。选取节点电压，节点注入电流和线路电流作为量测量，节点电压为状态量，建立谐波状态估计的数学模型。为了引出下面的分析，在未配置量测设备的前提下，对所有节点注入电流、线路电流和节点电压列写方程，如(2)所示，

$\left[\begin{array}{c}{I}_N\left(n\right)\\ I_L\left(n\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{Y}_{\mathrm{NN}}\left(n\right)\\ Y_{\mathrm{LN}}\left(n\right)\end{array}\right]U_N\left(n\right)---\left(2\right)$

其中，I_N(n)为所有节点注入电流列向量，I_L(n)为所有线路电流列向量，U_N(n)为所有节点电压列向量，n为谐波次数。

然后，根据已知的信息，减少状态变量的个数。

将所有节点分为非谐波源节点和可能的谐波源节点，相应地调整方程(2)中各元素的位置，为了叙述方便，省略n，可以得到方程(3)

$\left[\begin{array}{c}{I}_{N_0}\\ I_{N_S}\\ I_L\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\stackrel{\‾}{Y}}_{N_0{N}_0}& {\stackrel{\‾}{Y}}_{N_0{N}_S}\\ {\stackrel{\‾}{Y}}_{N_S{N}_0}& {\stackrel{\‾}{Y}}_{N_S{N}_S}\\ {\stackrel{\‾}{Y}}_{{\mathrm{LN}}_0}& {\stackrel{\‾}{Y}}_{{\mathrm{LN}}_S}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{U}_{N_0}\\ U_{N_S}\end{array}\right]---\left(3\right)$

其中

和

为非谐波源节点的注入电流和节点电压，

和

为可能的谐波源节点的注入电流和节点电压。对于非谐波源节点而言，节点注入电流值为零，因此

可得

$U_{N_0}={-{\stackrel{\‾}{Y}}_{N_0{N}_0}}^{-1}{\stackrel{\‾}{Y}}_{N_0{N}_S}{U}_{N_S}---\left(4\right)$

将公式(4)代入公式(3)，可得

$\left[\begin{array}{c}{I}_{N_S}\\ I_L\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{Y}_{N_S{N}_S}\\ Y_{{\mathrm{LN}}_S}\end{array}\right]U_{N_S}---\left(5\right)$

其中

$\left\{\begin{array}{c}{Y}_{N_S{N}_S}={\stackrel{\‾}{Y}}_{N_S{N}_S}-{\stackrel{\‾}{Y}}_{N_S{N}_0}{{\stackrel{\‾}{Y}}_{N_0{N}_0}}^{-1}{\stackrel{\‾}{Y}}_{N_0{N}_S}\\ Y_{{\mathrm{LN}}_S}={\stackrel{\‾}{Y}}_{{\mathrm{LN}}_S}-{\stackrel{\‾}{Y}}_{{\mathrm{LN}}_0}{{\stackrel{\‾}{Y}}_{N_0{N}_0}}^{-1}{\stackrel{\‾}{Y}}_{N_0{N}_S}\end{array}\right.---\left(6\right)$

于是，状态量个数由N减少为N_S；为保证系统可观，最少量测数目也由N减少为N_S。

1.2实际系统中减少状态变量的规律

前面在对谐波状态估计数学模型进行分析，减少状态量数目的过程中，将所有节点分为非谐波源节点和可能的谐波源节点两类。为了实现这一步，需要在实际电力系统中判定某一节点为非谐波源节点还是可能的谐波源节点。下面通过对实际电力系统的分析，找到判定的规律。

图6为国网山东菏泽供电公司的菏泽-仿山220-110-35kV配电系统。该配电系统共包含5条母线，15个节点，2台变压器(1台双绕组变压器和1台三绕组变压器)，1台发电机。虚线方框内为三绕组变压器等效处理后的数学模型。经等效处理后，在三绕组变压器处增加1条等效母线，3个等效节点。这样，整个配电系统共包含6条母线，18个节点。其中，仿山站35kV母线和110kV母线处带有负荷，并且不能确定负荷类型；在菏泽电厂13.8kV母线处为发电机。

结合图6，分两步对节点进行分类：

第一步，区分不带负荷的节点和带负荷节点。

通常情况下，不带负荷的节点分为两类：1)变压器高压侧母线处的节点；2)三绕组变压器等效后等效母线处的节点。如图6所示，母线N2-N3为变压器高压侧母线，对应节点为4-9；母线N4为三绕组变压器等效处理后的等效母线，对应节点为10-12。这两类节点均不带负荷，确定为非谐波源节点。

带负荷节点一般也可以分为2类：1)发电机节点；2)实际带负荷节点。如图6所示，母线N1连发电机，对应节点为1-3；母线N5-N6带负荷，对应节点为13-18。

第二步，区分带线性负荷节点和不能确定负荷类型的节点。

通常情况下，带线性负荷节点可分为两类：1)发电机所在节点；2)供电公司确定带线性负荷的节点。在谐波情况下，发电机不再对电网供电，而被视为线性阻抗负荷。将其余不能确定负荷类型的节点，均视为可能的谐波源节点。

经过以上两步的分析以后，原有的18个节点中有12个确定为非谐波源节点，有6个为可能的谐波源节点。这样，状态变量的数目减少了2/3，相应的最少量测设备的数目减少为原来的1/3，简化效果非常可观。根据简化效果，绘制图7。其中圆1和圆2表示非谐波源源节点，圆3表示可能的谐波源节点。由图可以清晰地看到，状态变量由起先的18个减少为6个，最少量测设备的数目相应地减少了2/3。

2奇异值分解法(SVD，sigular value decomposition)在判断和计算可观测部分中的应用

在量测配置不能使电网状态完全可观的条件下，需要解决两个问题：1)找到其中可观部分，2)计算可观部分的值。采用SVD可以同时解决以上两个问题。为了更好地说明SVD用于寻找可观测部分的原理，结合线性代数的基本知识，对之进行说明。

2.1线性方程组解的形式

设线性方程组如(7)所示。其中A为m×n维矩阵，X为n×1维向量，B为m×1维向量。考虑到实际系统中量测数目通常小于状态量数目，设定m＜n。

AX＝B        (7)

因为m＜n，所以方程组(7)必定存在无穷多个解。如果矩阵A的秩为r，那么方程解表示如下

$X=X_P+\underset{i=1}{\overset{n-r}{\mathrm{\Σ}}}{c}_i{X}_i---\left(8\right)$

其中，X_P为方程组的特解，X_i为基础解系，X_i数目为n-r，c_i为系数。如果X_i(i＝1,2...n-r)中某一行所有的元素都为0，那么，无论c_i取为何值，相应的X在该行位置处的值均不改变，该变量为可观变量。如果X_i(i＝1,2...n-r)中存在多行所有元素都为零的情况，那么就存在多个可观变量。

2.2奇异值分解法在可观部分判断中的应用

任意矩阵A都可对之进行奇异值分解，形式如下

A＝UWV^T       (9)

其中，U为m×m的酉矩阵，W为m×n的对角阵，V为n×n的酉矩阵。假设对角矩阵W中非零对角线的元素个数为r，那么进行奇异值分解后，酉矩阵V的第r+1,r+2,...,n列即为方程AX＝B的基础解系。据此，可直接根据矩阵A的秩(矩阵A病态时，根据矩阵W中非零对角元素的个数)和奇异值分解后的矩阵V，判定矩阵的可观部分。

2.3利用奇异值分解法求解欠定情况下的可观变量

利用奇异值分解可求解欠定情况下的可观变量

X＝(UWV^T)^-1B        (10)

在MATLAB中，直接用语句A\b即可实现求解，此时所得到的方程组的解为最小范数解，其中对应可观变量的解为精确解。

3线性无关排序法及其在指导量测设备调整和添加中的应用

实际系统中，如果已有量测设备不能使系统完全可观，则存在两种可能：1)量测设备数目太少；2)部分量测冗余，对可观性没有贡献。因此，为使系统由不完全可观变为完全可观，就需要在已有量测配置的基础上，对量测设备进行调整或者添加。本发明结合矩阵的条件数以及向量线性无关的相关性质，提出一种用于量测设备调整和添加的实用方法，称为线性无关排序法。下面从该方法的原理以及如何将之应用于实际系统两方面进行分析。

3.1线性无关排序法

3.1.1未结合条件数时的线性无关排序法

以一简单的线性方程组来说明该方法的基本原理。如公式(11)所示，

z＝hx         (11)

其中，z为量测，x为状态量，h为系数矩阵，z中每一个元素对应一个量测位置。状态量x可观，等价于矩阵h的秩等于x中元素的个数。

对矩阵h进行分析可知，h的每一行对应于z中的一个量测。如果对矩阵h中的行向量换行的过程中，同时改变z中元素的位置，那么z中的元素将始终与矩阵h中的行向量一一对应。对矩阵h进行排序，排序的原理为：将h中线性无关的行挪到矩阵的最上方，将线性相关的行挪到矩阵的最下方，相应地调整z中元素的位置，x中元素的位置不改变。排序后矩阵h可写为 $\left[\begin{array}{c}{h}_c\\ h_n\end{array}\right],$ 其中h_c为线性无关部分，对应z中元素处的量测，对系统可观性有贡献；h_n对应的量测对系统可观性没有贡献，为冗余量测。

该方法可以实现两个功能：1)判断已有量测是否为冗余量测；2)在系统范围内找到合适的量测安装点，实现系统的可观。对应的编程实现步骤如下：

1)判断量测类型的编程实现步骤：(其中矩阵h为已有量测配置的量测-状态矩阵)

①设定变量num，表示矩阵h在排序过程中以及排序结束后最上端互不相关的行向量的个数。

②num置为1。选取h中第二行向量，判断与第一行是否相关。若不相关，将num值加1；若相关，不做处理。

③依次选取h中下一行向量，判断与前num行向量是否相关。若不相关，将该行与第(num+1)行换位，相应地调整向量z中元素的位置，并将num值加1。判断是否已经取到h的最后一行，如果不是，重复步骤③；如果是，转到步骤④。

④矩阵h最上方num行对应的量测对系统可观性有贡献；其余量测对可观性没有贡献。判断结束。

2)寻找合适量测安装点的编程实现步骤：(其中矩阵h为所有节点注入电流、线路电流与节点电压对应的量测-状态矩阵)

①设定变量num，表示矩阵h在排序过程中以及排序结束后最上端互不相关的行向量的个数。

②num置为1。选取h中第二行向量，判断与第一行是否相关。若不相关，将num的值加1；若相关，不做处理。

③依次选取h中下一行向量，判断与前num行向量是否相关。若不相关，将该行与第(num+1)行换位，并相应地调整向量z中元素的位置，将num值加1。判断num是否等于状态变量的数目，并且判断是否已经取到h的最后一行：如果num小于状态变量数目，并且没有取到h最后一行，重复步骤③；如果num等于状态变量数目，转到步骤④；如果num小于状态变量数目，但h已经取到最后一行，转到步骤⑤。

④在矩阵h最上方num行对应位置处配置量测，可实现系统可观。判断结束。

⑤无论如何配置量测，不能实现系统可观。判断结束。

3.1.2将条件数与线性无关排序法相结合，解决量测-状态方程的病态问题

上述排序法在理论上可行，但在工程上会遇到两个问题：1)系数矩阵通常为小数形式而不是整数形式。作为小数，必然会面对小数点位数的选取，保留不同的位数有时会对矩阵中行向量线性无关的判断产生很大的影响。两个近似相关的矩阵，可能会因小数点位数多取一位或少取一位，其相关性的判断产生完全不同的结果。2)如果量测-状态方程的系数矩阵为病态矩阵，那么量测的误差和系数矩阵参数的微小变动会对计算出来的状态量产生很大的影响，计算结果可信度低。为此，引进条件数的概念，旨在解决以上的两个问题。

对于任意的矩阵h，都可进行奇异值分解，分解的形式为：

$h={\mathrm{UWV}}^T=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\σ}}_i{u}_i{\mathrm{\υ}}_i^T---\left(12\right)$

那么，对方程(11)进行求解，可得

$x=h^{-1}z={\left({\mathrm{UWV}}^T\right)}^{-1}z=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{u_i^{T}z}{{\mathrm{\σ}}_I}{\mathrm{\υ}}_i---\left(13\right)$

其中，σ_i表示矩阵h到奇异矩阵集的距离。当σ_i很小时，矩阵h或z有微小的变动，也会导致x较大的变化。所以，σ_i越大，计算结果越可信；σ_i越小，计算结果越不可信。如果一个一个的判断σ_i的大小，会使得计算和判断非常繁琐，且大小没有统一的标准。为此，引进条件数的概念，用一个数表示所有σ_i的整体情况。

矩阵的条件数反应的是矩阵靠近奇异矩阵(病态矩阵)的程度。通常采用以下方式进行定义：

κ₂(h)＝||h||₂||h^-1||₂     (14)

矩阵的条件数越小，矩阵越远离病态情况，计算结果可信度越高；矩阵的条件数越大，矩阵越靠近病态情况，计算结果可信度越低。用条件数的概念可以解决本节开头的问题：1)小数点位数的选取，对矩阵中两行向量相关性的判断产生很大影响，是在两个向量近似相关的情况下发生的，此时矩阵呈现病态。矩阵病态时，其条件数非常大。虽然进行相关性判断时，可能为线性无关，但因其条件数过大，而可将其视为相关。这样，可以消除小数点位数的选取对向量相关性判断的影响；2)选择条件数较小的量测配置方案时，量测-状态矩阵远离病态情况，参数的变动以及量测误差对计算出来的状态量的影响较小，计算结果可信度高。通常情况下，当量测点越靠近可能为谐波源的母线时，所形成的矩阵条件数越小。因此，为简化代数方法判断的复杂性，在使用排序法寻找合适的量测点之前，对矩阵进行简单的排序：使与待求状态量母线相连的电流量测往上排，不与待求状态量母线相连的电流量测往下排，这样可以尽可能简化判断过程。另外，由于条件数的概念通常使用在矩阵为方阵的情况下，所以对条件数的判断会放在通过排序法选定量测配置以后进行。过程可见第4章算例分析部分。

3.2应用线性无关排序法指导量测设备的调整和添加

通过1.1和1.2的分析可知两点：1)非谐波源节点处的注入电流量测和电压量测不会改变系统的可观性，因此不在这些位置配置量测；2)当量测设备的数目大于等于可能为谐波源节点的数目时，通过合适的量测配置，可以实现系统的完全可观。现假设量测设备的数目小于可能为谐波源节点的数目，对该情况进行分析。

a.判断已有量测设备是否存在冗余

根据已有的量测配置，建立量测-状态方程，并对方程进行如公式(2)-(6)的化简，可得

$\left[\begin{array}{c}{I}_{\mathrm{Nm}}\\ I_{\mathrm{Lm}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{Y}_{\mathrm{Nm}}\\ Y_{\mathrm{Lm}}\end{array}\right]U_{N_S}---\left(15\right)$

其中I_Nm为已量测的母线注入电流，I_Lm为已量测的线路电流，量测的数目为m，电压状态变量

的数目为n。利用线性无关排序法对方程(15)进行分析，将Y分为 $\left[\begin{array}{c}{Y}_c\\ Y_n\end{array}\right],$ 其中Y_c为r行，并将量测设备分为对可观性有贡献的量测(r个)以及冗余量测(m-r个)。

b.找到合适的量测安装点，调整并添加量测设备

根据3.2a中的分析，可以得到Y_c，并得到对系统可观性有贡献的量测。为使系统完全可观，就需要得到一个新的矩阵Y_c+，使得矩阵 $\left[\begin{array}{c}{Y}_c\\ Y_{c+}\end{array}\right]$ 的秩等于状态量的数目。为此，需要在整个系统的范围内，建立电流-电压方程，并进行如公式(2)-(6)的化简，得到

$\left[\begin{array}{c}{I}_N\\ I_L\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{Y}_N\\ Y_L\end{array}\right]U---\left(16\right)$

其中，I_N为所有可能为谐波源节点的注入电流，I_L为所有的线路电流，U为所有可能为谐波源节点的注入电流。从电流-电压方程(16)中减去量测-状态方程(15)，得到一个新的方程，

$\left[\begin{array}{c}{I}_{N-\mathrm{Nm}}\\ I_{L-\mathrm{Lm}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{Y}_{N-\mathrm{Nm}}\\ Y_{L-\mathrm{Lm}}\end{array}\right]U---\left(17\right)$

首先对矩阵 $\left[\begin{array}{c}{Y}_{N-\mathrm{Nm}}\\ Y_{L-\mathrm{Lm}}\end{array}\right]$ 进行排序，将与可能为谐波源节点相连的量测往上排，将不相连的量测往下排，形成矩阵 $\left[\begin{array}{c}{Y}_{\mathrm{conj}}\\ Y_{\mathrm{un}}\end{array}\right].$ 然后对矩阵 $\left[\begin{array}{c}{Y}_c\\ Y_{\mathrm{conj}}\\ Y_{\mathrm{un}}\end{array}\right]$ 行线性无关排序，即可得到系统范围内的一个满秩矩阵 $\left[\begin{array}{c}{Y}_c\\ Y_{c+}\end{array}\right].$ 判断矩阵 $\left[\begin{array}{c}{Y}_c\\ Y_{c+}\end{array}\right]$ 的条件数：若条件数小于设定值，采纳该配置方案；若条件数大于设定值，不采纳该配置方案。当条件数大于设定值时，删除Y_c+中所对应的部分行，重新进行排序，如此反复，直到矩阵 $\left[\begin{array}{c}{Y}_c\\ Y_{c+}\end{array}\right]$ 条件数小于设定值。将(m-r)个冗余设备和要添加的(n-m)个量测设备调整到矩阵Y_c+对应位置处，即可实现系统的完全可观，且可观性良好。

4算例分析

以图6所示的菏泽-仿山220-110-35kV配电系统对本发明所提出的方法进行说明。图中，仿山站35kV母线N5和110kV母线N6处带有负荷，并且不能确定负荷类型，对应的节点分别为13-18；在13.8kV母线N1处为发电机，对应的节点为1-3。图中变压器及线路的参数如表1所示。

为了叙述方便，对该网络进行一些简化，具体如下：1)假设系统三相平衡，仅以单相为例进行分析。2)对于输电线路和变压器而言，其等效电抗一般大于电阻。在谐波情况下，随着谐波次数的增加，电抗值也相应的呈线性倍数增加。在7次谐波下，该网络的电抗值大于电阻值好几十甚至上百倍。为了简化分析，仅考虑电抗和电导而忽略电阻。在7次谐波下，以导纳表示时，单相的等值电路如图8所示。

$\left[\begin{array}{c}{I}_{N1}\\ I_{N2}\\ I_{N3}\\ I_{N4}\\ I_{N6}\\ I_{L1}\\ I_{N5}\\ I_{L6}\\ I_{L7}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}0.4210& -0.4431& 0& 0& 0& 0\\ -0.4431& 47.4983& -24.2131& 0& 0& 0\\ 0& -24.2131& 48.3284& -1.2311& 0& 0\\ 0& 0& -1.2311& 20.6620& -17.4216& -2.0704\\ 0& 0& 0& -2.0704& 0& 2.0704\\ 0.4220& -0.4431& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& -17.4216& 17.4216& 0\\ 0& 0& 0& 17.4216& -17.4216& 0\\ 0& 0& 0& 2.0704& 0& -2.0704\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{U}_{N1}\\ U_{N2}\\ U_{N3}\\ U_{N4}\\ U_{N5}\\ U_{N6}\end{array}\right]---\left(18\right)$

因为非谐波源母线的注入电流为零，所以母线N1-N4的电压可由母线N5和N6的电压表示，根据公式(2)-(6)，方程(18)可化简为

$\left[\begin{array}{c}{I}_{N6}\\ I_{L1}\\ I_{N5}\\ I_{L6}\\ I_{L7}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1.7493& 1.8625\\ 1.5716e-05& 1.8677e-06\\ 2.7021& -1.7493\\ -2.7021& 1.7493\\ 1.7493& -1.8625\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{U}_{N5}\\ U_{N6}\end{array}\right]---\left(19\right)$

表1配电系统元件参数(标么值)

变压器	R1*	X1*	K*高低	R2*	X2*	K*中低	R3*	X3*
									仿山站#1变	0.0016	0.1221	0.9504	0.0008	-0.0082	1	0.0019	0.069
菏泽电厂#1变	0.0084	0.3385	0.9524
									线路	R*	X*	B(1/2)*
荷仿线	0.0012	0.0059	3.2600

1)列写方程，判断系统的可观性

假设系统仅有两个量测设备，分别配置在母线N6处测量注入电流，在线路L1处量测线路电流。根据已有量测列写方程，方程中包含所有节点注入电流(无论是否已量测)和已量测的线路电流，以及靠近可能为谐波源母线的线路电流。根据非谐波源母线注入电流→已量测电流→与可能为谐波源母线相连的电流量测(未量测但可能会被安装量测的位置)的顺序进行排序。列写方程如下：

方程(19)中最上面两行所组成的方程为(20)

$\left[\begin{array}{c}{I}_{N6}\\ I_{L1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1.7493& 1.8625\\ 1.5716e-05& 1.8677e-06\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{U}_{N5}\\ U_{N6}\end{array}\right]---\left(20\right)$

该方程为已配置量测设备情况下的量测-状态方程。该方程系数矩阵各行线性无关，但条件数却为κ＝2.0066e+05。不同的情况下，作为判断矩阵是否为病态矩阵的边界条件数不同。在本发明中，可设定一个较为合理的值κ_b＝100，矩阵条件数大于边界值时，不采用该量测方案；矩阵条件数小于边界值时，采用该量测方案。因为该系统已有量测方案的κ＞κ_b，并且大很多，故将此系数矩阵视为病态矩阵，系统不可观，不采用该量测方案。因此，需要寻找新的量测配置方案，使系统完全可观。

2)判断系统可观测部分

此时，对方程(20)中的系数矩阵进行奇异值分解，可得

$W=\left[\begin{array}{cc}2.5552& 0\\ 0& 1.2734e-05\end{array}\right]---\left(21\right)$

$V=\left[\begin{array}{cc}0.6846& 0.7289\\ -0.7289& 0.6846\end{array}\right]---\left(22\right)$

通过分析可知，此时系数矩阵的秩为2，但因W对角线元素中有一个数近似为0，因此该系数矩阵的秩近似为1。由于V的最后一列没有含零行，此时可以判定系统状态量均不可观。

3)使用线性无关排序法，找到合适的量测配置方案

考虑到I_N6靠近可能为谐波源的母线，而I_L1远离可能为谐波源的母线，因此在方程(19)中保留I_N6，删除I_L1，按照排序法再选取I_N5，此时量测-状态方程为

$\left[\begin{array}{c}{I}_{N6}\\ I_{N5}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1.7493& 1.8625\\ 2.7021& -1.7493\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{U}_{N5}\\ U_{N6}\end{array}\right]---\left(23\right)$

方程(23)的系数矩阵各行线性无关，且其条件数为κ＝8.4434。κ＜κ_b，且非常接近条件数的最小值κ_min＝1，此时方程的系数矩阵为良性矩阵，系统完全可观。将安装在L1处的电流量测，安装到母线N5处，测量母线注入电流，该量测方案满足要求。判断完毕。

上述虽然结合附图对本发明的具体实施方式进行了描述，但并非对本发明保护范围的限制，所属领域技术人员应该明白，在本发明的技术方案的基础上，本领域技术人员不需要付出创造性劳动即可做出的各种修改或变形仍在本发明的保护范围以内。

Claims (12)

1.电网谐波状态估计中的可观性分析方法，其特征是，包括如下步骤：

步骤(1)：通过减少量测方程状态变量数据，使量测方程变为恰定或超定；

步骤(2)：所述步骤(2)包括并列的两个步骤：步骤(2-1)和步骤(2-2)；

步骤(2-1)：在系统状态不完全可观时，利用奇异值分解法找出系统状态的可观部分并对之进行求解：结线性代数中方程组基础解系和奇异值分解中矩阵的关系，将奇异值分解法用于寻找电网可观部分，同时在量测方程欠定情况下对其进行计算；

步骤(2-2)：在系统状态不完全可观时，依据线性无关排序法调整或添加量测设备，在量测设备最少的情况下，实现系统的可观性。

2.如权利要求1所述的电网谐波状态估计中的可观性分析方法，其特征是，所述步骤(1)的具体步骤为：

步骤(1-1)：建立谐波状态估计的数学模型；

步骤(1-2)：根据已知信息，减少状态变量的个数。

3.如权利要求2所述的电网谐波状态估计中的可观性分析方法，其特征是，所述步骤(1-1)的具体步骤为：建立谐波状态估计的数学模型：

谐波情况下，对系统建立三相模型，将各相导线与各相母线的交点称作节点，节点的数目为母线数目的三倍；选取节点电压，节点注入电流和线路电流作为量测量，节点电压为状态量，建立谐波状态估计的数学模型；

在未配置量测设备的前提下，对所有节点注入电流、线路电流和节点电压列写方程，如公式(2)所示，

$\left[\begin{array}{c}{I}_N\left(n\right)\\ I_L\left(n\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{Y}_{\mathrm{NN}}\left(n\right)\\ Y_{\mathrm{LN}}\left(n\right)\end{array}\right]U_N\left(n\right)---\left(2\right)$

其中，I_N(n)为所有节点注入电流列向量，I_L(n)为所有线路电流列向量，U_N(n)为所有节点电压列向量，n为谐波次数，Y_NN(n)为节点注入电流与节点电压对应的导纳阵；Y_LN(n)为线路电流与节点电压对应的导纳阵。

4.如权利要求2所述的电网谐波状态估计中的可观性分析方法，其特征是，所述步骤(1-2)的具体步骤为：根据电网节点属性，减少状态变量的个数；

将电网所有节点分为非谐波源节点和谐波源节点，调整方程(2)中各元素的位置，为了叙述方便，省略n，得到方程(3)

$\left[\begin{array}{c}{I}_{N_0}\\ I_{N_S}\\ I_L\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\stackrel{\‾}{Y}}_{N_0{N}_0}& {\stackrel{\‾}{Y}}_{N_0{N}_S}\\ {\stackrel{\‾}{Y}}_{N_S{N}_0}& {\stackrel{\‾}{Y}}_{N_S{N}_S}\\ {\stackrel{\‾}{Y}}_{{\mathrm{LN}}_0}& {\stackrel{\‾}{Y}}_{{\mathrm{LN}}_S}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{U}_{N_0}\\ U_{N_S}\end{array}\right]---\left(3\right)$

其中，

为非谐波源节点的注入电流，

为非谐波源节点的节点电压，

为可能的谐波源节点的注入电流，

为可能的谐波源节点的节点电压，I_L为线路电流，

为非谐波源节点注入电流和非谐波源节点电压对应的节点导纳阵，

为非谐波源节点注入电流和谐波源节点电压对应的节点导纳阵，

为谐波源节点注入电流和非谐波源节点电压对应的节点导纳阵，

为谐波源节点注入电流和谐波源节点电压对应的节点导纳阵，

为线路电流和非谐波源节点电压对应的节点导纳阵，

为线路电流和谐波源节点电压对应的节点导纳阵；

对于非谐波源节点而言，节点注入电流值为零，因此

得

$U_{N_0}={-{\stackrel{\‾}{Y}}_{N_0{N}_0}}^{-1}{\stackrel{\‾}{Y}}_{N_0{N}_S}{U}_{N_S}---\left(4\right)$

将公式(4)代入公式(3)，得

$\left[\begin{array}{c}{I}_{N_S}\\ I_L\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{Y}_{N_S{N}_S}\\ Y_{{\mathrm{LN}}_S}\end{array}\right]U_{N_S}---\left(5\right)$

其中

$\left\{\begin{array}{c}{Y}_{N_S{N}_S}={\stackrel{\‾}{Y}}_{N_S{N}_S}-{\stackrel{\‾}{Y}}_{N_S{N}_0}{{\stackrel{\‾}{Y}}_{N_0{N}_0}}^{-1}{\stackrel{\‾}{Y}}_{N_0{N}_S}\\ Y_{{\mathrm{LN}}_S}={\stackrel{\‾}{Y}}_{{\mathrm{LN}}_S}-{\stackrel{\‾}{Y}}_{{\mathrm{LN}}_0}{{\stackrel{\‾}{Y}}_{N_0{N}_0}}^{-1}{\stackrel{\‾}{Y}}_{N_0{N}_S}\end{array}\right.---\left(6\right)$

于是，状态量个数由N减少为N_S；为保证系统可观，最少量测数目也由N减少为N_S。

5.如权利要求1所述的电网谐波状态估计中的可观性分析方法，其特征是，所述步骤(2-1)的具体步骤为：

步骤(2-1-1)：利用奇异值分解法来判定电网状态的可观部分；

步骤(2-1-2)：利用奇异值分解法求解欠定情况下的可观变量。

6.如权利要求5所述的电网谐波状态估计中的可观性分析方法，其特征是，所述步骤(2-1-1)的具体步骤为：

任意矩阵A都能够对之进行奇异值分解，形式如下

A＝UWV^T        (9)

其中，U为m×m的酉矩阵，1为m×n的对角阵，V为n×n的酉矩阵；假设对角矩阵W中非零对角线的元素个数为r，那么进行奇异值分解后，酉矩阵V的第r+1,r+2,...,n列即为方程AX＝B的基础解系；据此，根据矩阵A的秩和奇异值分解后的矩阵V，判定矩阵的可观部分。

7.如权利要求5所述的电网谐波状态估计中的可观性分析方法，其特征是，所述步骤(2-1-2)的具体步骤为：

利用奇异值分解可求解量测方程欠定情况下的可观变量

X＝(UWV^T)^-1B        (10)

其中，X为量测方程的解，B为量测矩阵。

8.如权利要求1所述的电网谐波状态估计中的可观性分析方法，其特征是，所述步骤(2-2)的具体步骤为：

步骤(2-2-1)：将条件数域线性无关排序法结合，解决量测-状态方程的病态问题；

步骤(2-2-2)：依据线性无关排序法指导量测设备的调整和增加。

9.如权利要求8所述的电网谐波状态估计中的可观性分析方法，其特征是，所述步骤(2-2-1)的具体步骤为：

对于任意的矩阵h，进行奇异值分解，分解的形式为

$h={\mathrm{UWV}}^T=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\σ}}_i{u}_i{\mathrm{\υ}}_i^T---\left(12\right)$

那么，对方程z＝hx(11)进行求解，得

$x=h^{-1}z={\left({\mathrm{UWV}}^T\right)}^{-1}z=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{u_i^{T}z}{{\mathrm{\σ}}_I}{\mathrm{\υ}}_i---\left(13\right)$

其中，z为量测，x为状态量，h为系数矩阵，z中每一个元素对应一个量测位置；状态量x可观，等价于系数矩阵h的秩等于状态量x中元素的个数，σ_i表示系数矩阵h到奇异矩阵集的距离；当σ_i很小时，系数矩阵h或z有微小的变动，也会导致x较大的变化；所以，σ_i越大，计算结果越可信；σ_i越小，计算结果越不可信；如果逐个地判断σ_i的大小，会使得计算和判断非常繁琐，且大小没有统一的标准；为此，引进条件数的概念，用一个数表示所有σ_i的整体情况；

矩阵的条件数反应的是矩阵靠近奇异矩阵的程度；采用以下方式进行定义：

κ₂(h)＝||h||₂||h^-1||₂   (14)

矩阵的条件数越小，矩阵越远离病态情况，计算结果可信度越高；矩阵的条件数越大，矩阵越靠近病态情况，计算结果可信度越低。

10.如权利要求8所述的电网谐波状态估计中的可观性分析方法，其特征是，所述步骤(2-2-2)的具体步骤为：

步骤(2-2-2-1)：判断已有量测设备是否存在冗余；

步骤(2-2-2-2)：找到合适的量测安装点，调整并添加量测设备。

11.如权利要求10所述的电网谐波状态估计中的可观性分析方法，其特征是，所述步骤(2-2-2-1)的具体步骤为：

根据已有的量测配置，建立量测-状态方程：

$\left[\begin{array}{c}{I}_{\mathrm{Nm}}\\ I_{\mathrm{Lm}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{Y}_{\mathrm{Nm}}\\ Y_{\mathrm{Lm}}\end{array}\right]U_{N_S}---\left(15\right)$

其中，I_Nm为已量测的节点注入电流，I_Lm为已量测的线路电流，量测的数目为m，电压状态变量

的数目为n，Y_Nm为节点注入电流对应的节点导纳矩阵；Y_Lm为线路电流对应的节点导纳矩阵；

利用线性无关排序法对方程(15)进行分析，将Y分为 $\left[\begin{array}{c}{Y}_c\\ Y_n\end{array}\right],$ 其中Y_c为r行，并将量测设备分为对r个可观性有贡献的量测以及m-r个冗余量测，其中，Y_c为线性无关部分，为对可观性有贡献的节点导纳阵，Y_n为线性相关部分，为对可观性没有贡献的节点导纳阵。

12.如权利要求10所述的电网谐波状态估计中的可观性分析方法，其特征是，所述步骤(2-2-2-2)的具体步骤为：

根据步骤(2-2-2-1)中的分析，得到Y_c，并得到对系统可观性有贡献的量测；为使系统完全可观，就需要得到一个新的矩阵Y_c+，使得矩阵 $\left[\begin{array}{c}{Y}_c\\ Y_{c+}\end{array}\right]$ 的秩等于状态量的数目；为此，需要在整个系统的范围内，建立电流-电压方程：

$\left[\begin{array}{c}{I}_N\\ I_L\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{Y}_N\\ Y_L\end{array}\right]U---\left(16\right)$

其中，I_N为所有可能为谐波源节点的注入电流，I_L为所有的线路电流，U为所有可能为谐波源节点的注入电流；从电流-电压方程(16)中减去量测-状态方程(15)，得到一个新的方程：

$\left[\begin{array}{c}{I}_{N-\mathrm{Nm}}\\ I_{L-\mathrm{Lm}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{Y}_{N-\mathrm{Nm}}\\ Y_{L-\mathrm{Lm}}\end{array}\right]U---\left(17\right)$

其中，Y_N-Nm的为未量测的节点注入电流对应的节点导纳阵，Y_L-Lm为未量测的线路电流对应的节点导纳阵，I_N-Nm为未量测的节点注入电流，I_L-Lm为未量测的线路电流；

首先，对矩阵 $\left[\begin{array}{c}{Y}_{N-\mathrm{Nm}}\\ Y_{L-\mathrm{Lm}}\end{array}\right]$ 进行排序，将与谐波源节点相连的量测往上排，将与谐波源节点不相连的量测往下排，形成矩阵 $\left[\begin{array}{c}{Y}_{\mathrm{conj}}\\ Y_{\mathrm{un}}\end{array}\right];$ 其中，Y_conj为未量测的与谐波源节点相连的节点导纳阵部分，Y_un为未量测的与谐波源节点不相连的节点导纳阵部分；

然后对矩阵 $\left[\begin{array}{c}{Y}_c\\ Y_{\mathrm{conj}}\\ Y_{\mathrm{un}}\end{array}\right]$ 行线性无关排序，得到系统范围内的一个满秩矩阵 $\left[\begin{array}{c}{Y}_c\\ Y_{c+}\end{array}\right];$ 其中，Y_c为已量测的线性无关的节点导纳阵部分，Y_c+为需要追加的量测对应的节点导纳阵部分；

判断满秩矩阵 $\left[\begin{array}{c}{Y}_c\\ Y_{c+}\end{array}\right]$ 的条件数：

当条件数小于设定值时，采纳该配置方案；

当条件数大于设定值时，不采纳该配置方案；

当条件数大于设定值时，删除Y_c+中所对应的部分行，重新进行排序，如此反复，直到矩阵 $\left[\begin{array}{c}{Y}_c\\ Y_{c+}\end{array}\right]$ 条件数小于设定值；将m-r个冗余设备和要添加的n-m个量测设备调整到矩阵Y_c+对应位置处，实现系统的完全可观。

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