CN103823986B - 带有不确定损失的不确定网络最大流量的计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种带有不确定损失的不确定网络最大流量的计算方法，所述方法包括模型（1）、（2）和（3），并且包括n个节点和m条弧具有单源点和单汇点的网络，令c_ij表示从节点i到节点j的弧容量，并用x_ij来表示节点i到节点j流量，u_i表示流在节点i损失的流量，i,j=1，2，...，n，s表示源节点和t是汇节点。所述方法为解决有不确定损失的不确定网络最大流问题提供了一种新的处理方法，并且简单高效。

Description

带有不确定损失的不确定网络最大流量的计算方法

技术领域

本发明涉及一种流量的计算方法，具体涉及一种不确定损失的不确定网络最大流量的计算方法。

背景技术

众所周知，最大流问题起源于前苏联铁路系统。Ford和Fulkerson通过T.E.Harris提到了最大流问题：考虑通过一定数量的中间城市来连接两个城市的一个铁路网络，在网络的每一个链都有一个数字代表它的通行能力(称为弧容量)。假设在一个稳定的条件下，找到从一个城市到另一个城市的最大通行量。

最大流问题是一个经典的网络优化问题，并且已经广泛应用于各个领域，如电力，交通，通讯系统，计算机网络和物流等。所以从理论和实践的角度来看研究此问题是非常重要的。在过去的五十年，关于最大流问题涌现了许多高效的算法。对于一个固定的网络，如果给定网络的弧容量，就可以计算出这个网络的最大流。在经典的最大流问题中，我们不仅需要知道网络的弧容量，而且除了源点和汇点外，其它任何中间点要满足守恒原则。然而，在实践中经常遇到的各种各样的不确定性信息，处理实际问题时必须考虑这些不确定性信息。特别地，在现实世界的网络中，我们不仅不知道每条弧的容量，而且网络中的某些节点的流量也不守恒。这就意味着，网络中的一些节点流量丢失。有时我们不知道已丢失了多少流量，这就使得传统的方法不能用于验证的最大流问题的性质。一些研究人员认为这些属于随机性因素，他们使用概率论来研究这些不确定现象，如Nawathe和Rao；同时，一些研究人员采用模糊理论来处理这件事。

然而，概率论的应用前提是我们获知的概率分布必须充分接近实际频率。不幸的是，我们经常面对的问题恰恰缺乏观测数据，从而既无法计算事件发生的频率也无法确定概率分布。在这种情况下，我们不得不依据专家的经验和知识估计事件可能发生的信度。由于人们经常高估不太可能发生的事件，这使得信度的方差远远大于频率。此时，如果把信度看成主观概率，则推导出的结果与我们的预期大相径庭。为了研究主观不确定现象，不确定理论应运而生，不仅发展成为公理化数学分支，而且取得了一系列成功的应用。这为我们把不确定理论引入最大流问题的研究提供了一个动机，不确定理论为最大流问题的研究提供了一种新方法。本文我们将基于不确定理论研究带有不确定损失的最大流问题。同时，我们可以看到，不确定理论是处理这个问题的一个功能强大工具。

2.1 不确定性理论

不确定理论是清华大学刘宝碇教授在2007年提出并于2010年由刘进行了精炼修编,它为处理不确定因素提供了一种新的研究方法。如今它已成为基于规范性、对偶性、次可加性及乘积测度公理系统的一个数学分支。到目前为止,理论和实践都表明处理不确定信息,特别是处理经验数据和主观估计信息，不确定性理论是一种非常有效的工具。

在这里我们简单介绍不确定理论在不同领域的主要发展情况。刘介绍了不确定过程并且给出了不确定微分方程的定义，刘在2010年建立了不确定集理论并提出了包含一种新推理规则的不确定推理。作为不确定理论的应用,刘在2009年提出了不确定规划即包含不确定变量的数学规划.高在2009年证明连续不确定测度的一些性质。高等人在2010年讨论了刘的带有多个先行词和有多个假设条件的推理规则。You给出了一些不确定序列的收敛定理。2011年高研究了弧长不确定的最短路问题。基于不确定理论，一些重要的理论研究如不确定分析，不确定微分方程，不确定逻辑，不确定性风险分析已经建立。简而言之，不确定理论的研究与应用日益广泛，读者可以查阅文献。

发明内容

现在,我们介绍一些本文所需要的不确定理论的概念和结果。

令Γ是一个非空集合，L是Γ上的σ-代数.任意元素Λ∈L称为一个事件.若集函数Μ满足下面三个公理(规范性、对偶性、次可列可加性)则被称为不确定测度：

公理1.(规范性)Μ{Γ}＝1.

公理2.(对偶性)对任意事件Λ，都有Μ{Λ}+Μ{Λ^c}＝1.

公理3.(次可列可加性)对每个可数的事件序列{Λ_i}，都有

三元组(Γ,L,Μ)被称为一个不确定空间.不确定变量是指从不确定空间(Γ,L,Μ)到实数集上的一个测度函数ξ.2009年刘定义了乘积不确定测度，得到下面的公理4(乘积公理)：

公理4.(乘积公理)令(Γ_k,L_k,Μ_k)是不确定空间,k＝1,2,…,n.则乘积不确定测度Μ是乘积σ-代数L＝L₁×L₂×…×L_n上的不确定测度，满足

这里Λ_k是L_k中的任意闭事件，k＝1,2,…,n.

如果对任意的实Borel集Β₁,Β₂,…,Β_m，满足

则不确定变量ξ₁,ξ₂,…,ξ_m被称为是独立的。

定义1(刘)一个不确定变量ξ的不确定性分布Φ：R→[0，1]被定义的变量为

Φ(x)＝Μ{ξ≤x}.

注1不确定分布Φ(x)是一个递增函数。

定义2(刘)，假如对任意的α∈(0,1)，一个不确定分布Φ的逆函数Φ^-1(α)都存在且唯一，则称这个不确定分布Φ是正则的。

本文中，我们假设所有给定的不确定分布都是正则的。否则，我们可以给不确定分布一个小的扰动，使得它变成为正则的。由一个不确定分布计算不确定度度，刘^[16]提出了测度逆定理，即

Μ{ξ≤x}＝Φ(x),Μ{ξ≥x}＝1-Φ(x)

一个实值函数f(x₁,x₂,…,x_n)是严格递增的，假如f满足以下条件

(1)如果x_i≤y_i,i＝1,2,…n,则f(x₁,x₂,…,x_n)≤f(y₁,y₂,…,y_n)；

(2)如果x_i＜y_i,i＝1,2,…n，则f(x₁,x₂,…,x_n)＜f(y₁,y₂,…,y_n).

定义3(刘)令ξ是一个不确定变量。则ξ的期望值被定义为

假如这两个积分的中至少一个是有限的。

为了通过不确定逆分布计算期望值，刘证明了

同时，对两个独立的不确定变量ξ,η和两个清晰的数字a,b，刘证明了期望值运算的线性性质，即

E[aξ+bη]＝aE[ξ]+bE[η]。

带有不确定的损失最大流模型：

一般来说，一个确定性网络表示为N＝(V,A)，其中V＝{1,2,...,n}有限的顶点集，而A＝{(i,j)|i,j∈V}是弧集。在本文中，我们假设n个节点和m条弧网络具有单源点和单汇点。如图1所示，6节点和8条弧的网络，其中节点1是源和节点6是汇。

令c_ij表示从节点i到节点j的弧容量，并用x_ij来表示节点i到节点j的的流量，u_i表示流在节点i损失的流量，i,j＝1,2,...,n,s表示源节点和t是汇节点，则带有损失的最大流问题可以归结如下：

在上述模型，需要的数量c_ij，u_i都假定是清晰准确的数字。但是，有时网络计划需要预先制定，所以这些数量一般不是固定的，而是从专家经验评价或专业知识中获得的。在这种情况下，我们可以假设的数量是不确定的变量。然后将模型(1)仅仅是一个概念模型，而不是一个数学模型，因为在一个不确定的世界中不存在一个本质规律。这里我们以期望值准或置信水平作约束函数。则模型(1)变成了下面的数学模型：

其中，β_i，γ_ij是一些预定的置信水平，i≠s,t,(i,j)∈A。下定理表明，模型(2)相当于一个确定的模型,求解此模型有许多高效的算法。

定理1假设c_ij，u_i是独立的不确定变量，其不确定分布为Φ_ij，Ψ_i，则模型(2)相当于下面的模型：

证明：从期望值算子的线性性质可得

其中u_i是独立的不确定变量，i∈N,i≠s,t.

因为

可得

因为u_i和c_ij具有不确定分布Ψ_i和Φ_ij，由测度逆定理可得

等价于

而

M{x_ij≤c_ij}≥γ_ij,(i,j)∈A

等价于

因此，综上所述定理得证。

附图说明：

图1是6节点和8条弧的网络；

图2是实施例1中的网络G。

具体实施方式：

在本节中，我们将举一个例子，如何计算带有不确定损失的不确定网络的最大流量。

实施例1：

假设G是有五条弧的有向网络，如图2所示。

在不确定的环境中，我们假设第i节点损失的流量ξ_i是线性不确定变量，其分布为Φ_i,i＝2,3.

我们假设(i,j)弧的容量是线性不确定变量η_ij其不确定分布为Ψ_ij,i≠j,i,j＝1,2,3,4,5,

由定理1可得下面的等价模型(4)

注意，线性不确定变量L(a,b)的期望值是其逆不确定分布为

Φ^-1(α)＝(1-α)α+αb

则上述模型变成

该模型是一个典型的线性规划问题，其可行域是一个多面凸集。假设的置信水平是β_i＝0.5,γ_ij＝0.75.由单纯形法可得，图2所示的网络的最大流量是14。

结论：

本文基于不确定理论主要研究了一种新的最大流模型。它是以期望值或置信水平为约束函数，然后将其转化为确定性模型。最后给出了一个数值例子并用单纯形法得到最优解。

Claims (1)

1.一种带有不确定损失的不确定网络最大流量的计算方法，其特征在于，包括以下步骤：

n个节点和m条弧的网络具有单源点和单汇点，令c_ij表示从节点i到节点j的弧容量，并用x_ij来表示节点i到节点j的的流量，u_i表示流在节点i损失的流量，A＝{(i,j)|i,j∈V}是弧集，其中V＝{1,2,...，n}是有限的顶点集，s表示源节点和t是汇节点，则带有损失的最大流问题可以归结如下模型：

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>max</mi> </mtd> <mtd> <mi>v</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>s</mi> <mi>u</mi> <mi>b</mi> <mi>j</mi> <mi>e</mi> <mi>c</mi> <mi>t</mi> <mi> </mi> <mi>t</mi> <mi>o</mi> <mo>:</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mi>j</mi> </munder> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>v</mi> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mi>j</mi> </munder> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>v</mi> <mo>+</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>u</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mi>j</mi> </munder> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>N</mi> <mi> </mi> <mi>i</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>0</mn> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>A</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

在上述模型中，需要的数量c_ij，u_i都是假定清晰准确的数字；在网络计划需要预先制定、这些数量是不固定的变量的情况下，将模型(1)作为概念模型，以期望值准则或置信水平做约束函数，则模型(1)变成了下面的数学模型：

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其中β_ij,γ_ij是预定的置信水平，i≠s,t,(i,j)∈A；

假设c_ij，u_i是独立的不确定变量，其不确定分布分别为Φ_ij,Ψ_i，则模型(2)相当于以下确定的模型：

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根据该确定的模型(3)及单纯形法技术，计算得到网络最大流量。