CN103714200A - 铁基粉末冶金材料超声拉压疲劳实验的试样尺寸设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种铁基粉末冶金材料超声拉压疲劳实验的试样尺寸设计方法，首先测量铁基粉末冶金材料的密度和弹性模量等参数；其次，计算出拉压疲劳中试样的理论尺寸；将理论尺寸作为边界条件，采用有限元分析计算出材料共振时所需要的响应频率，当频率不符合超声振动频率时，对试样的尺寸进行修正微调，直到符合超声振动频率，则该尺寸设计可作为实验参数。本发明的设计方法可以在不同密度和性能的铁基粉末冶金材料中使用，超声疲劳试验测试频率达到20kHz，提高了超声疲劳测试的可行性和效率。

Description

铁基粉末冶金材料超声拉压疲劳实验的试样尺寸设计方法

技术领域

本发明涉及铁基粉末冶金材料超声拉压疲劳实验的技术领域，尤其是指一种铁基粉末冶金材料超声拉压疲劳实验的试样尺寸设计方法。

背景技术

疲劳现象是结构材料在循环载荷下，并在一定循环次数后形成裂纹、或使裂纹进一步扩展直到完全断裂的现象。为便于分析研究，一般按破坏循环次数的高低将疲劳分为高周疲劳和低周疲劳。高周疲劳作用于零件、构件的应力水平较低，破坏循环次数一般高于10⁴～10⁵的疲劳。一般的传统疲劳周次在10⁷以下，在高周疲劳中又可以分为一般的高周疲劳及超高周疲劳。其中，超高周疲劳是指疲劳周次达到10⁸及其以上时材料的疲劳行为。

在现代工程中的许多金属结构件大多在循环变化的载荷作用下工作，承受着高频、低应力幅循环载荷。疲劳断裂通常是突然发生的，往往导致灾难性的事故。另外，我们对零部件的寿命要求也越来越高，因此研究材料的高周疲劳性能显得尤为重要。20世纪70年代中期，频率达到15～22kHz的超声疲劳技术逐渐在材料研究中使用，并被用于加速常规疲劳试验。由于频率高,超声疲劳短时间即可达到很高的循环周次(甚至达到10⁹周次),这是用常规试验技术(50Hz)仅从耗时考虑几乎是不可能的。超声疲劳试验是使试件受激谐振而发生共振现象。超声信号由压电陶瓷换能器发出,在试件中生成谐振波,沿试件长度方向形成位移幅值和应变-应力场,其中试验试件几何形状必须在超声频率下满足谐振条件。20世纪90年代中期，超声弯曲疲劳试验技术已应用于陶瓷和金属基复合材料。

对于铁基粉末冶金材料，由于工艺特点，材料当中存在较多的孔隙，材料的密度和钢铁材料的理论密度有一定差距，大约有80%以上的结构强度破坏都是由于疲劳造成的。粉末冶金制连杆的轴向拉压疲劳失效时有发生。国内外针对材料的超声疲劳性能及装置进行了一定程度的研究。其中，发明专利CN201010162234.8超声弯曲疲劳实验装置，发明了一种超声弯曲疲劳实验装置，实现超声弯曲疲劳实验，能实现不同加载载荷、不同几何尺寸试样的超声弯曲疲劳实验。实用新型专利CN201120412120.4薄片超声弯曲振动疲劳加速试验装置采用超声波发生器、压电陶瓷换能器等结构，能够实现弯曲疲劳加载，同时能获得较高的试验精度。

然而，针对铁基粉末冶金材料的超声疲劳试验仍然有一些不足。首先，对材料的拉压疲劳却不能很好的进行模拟测试。其次，目前缺少可以用于铁基粉末冶金材料测试超高周拉压疲劳性能的方法。最后，由于铁基粉末冶金材料的特性，不同工艺得到的材料往往拥有不同密度和弹性模量，还缺少一种铁基粉末冶金材料超声拉压疲劳尺寸的快速设计方法。为此，开发一种能够应用于铁基粉末冶金材料的轴向拉压的超声疲劳测试试样尺寸设计方法是很有必要的。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的不足，提供一种高效、省时、准确的铁基粉末冶金材料超声拉压疲劳实验的试样尺寸设计方法，使轴向拉压试样能够有效地在超声疲劳试验机上发生谐振，快速的模拟轴向拉压的疲劳试验方式。

为实现上述目的，本发明所提供的技术方案为：铁基粉末冶金材料超声拉压疲劳实验的试样尺寸设计方法，首先，根据铁基粉末冶金材料的密度和弹性模量，采用解析计算得到铁基粉末冶金材料超声拉压疲劳实验的轴向拉压试样的理论尺寸；其次，再将理论尺寸作为边界条件，采用有限元分析计算出材料共振时所需要的响应频率；当该频率不符合超声振动频率时，需要对轴向拉压试样的尺寸进行修正微调，并再次进行有限元分析，直到计算出来的频率符合超声振动频率，使轴向拉压试样能够发生谐振为止，这样便得到实验所需的试样尺寸，即该尺寸可作为实验参数。

本发明所述的试样尺寸设计方法，包括以下步骤：

1）测量出铁基粉末冶金材料的密度ρ及弹性模量E_d；

2）对哑铃状的轴向拉压试样进行解析计算，如下：

2.1）拟定R₁、R₂、L₁数据，R₁为试样中部最细处的半径，R₂为试样两端处圆柱的半径，L₁为试样中间弯曲部分长度的一半；

2.2）计算共振长度L₂，L₂为试样两端处圆柱的长度，如下：

由于哑铃状的轴向拉压试样为轴对称形状，其横截面的一半在旋转360°后可得到疲劳试样的体，横截面的一半的两端为矩形，中段部分可看做悬链线；

根据试样纵向自由振动方程：

$\frac{d^{2}U\left(x\right)}{d{x}^2}+\frac{V^{\′}\left(x\right)}{V\left(x\right)}\frac{\mathrm{dU}\left(x\right)}{\mathrm{dx}}+k^{2}U\left(x\right)=0$

式中，U为材料的纵向位移；x为材料的横向位移；V为材料延纵向的截面面积；d为对函数U求导，dU/dx为一阶求导，d²U/dx²为二阶求导；k为铁基粉末冶金材料的一个混合参数，

f为振动频率，ρ为铁基粉末冶金材料的密度，E_d为铁基粉末冶金材料的弹性模量；

根据悬链线方程y＝acosh(αx)，当x＝0时，y＝R₁；x＝L₁时，y＝R₂；则α＝arch(R₂/R₁)/L₁，故得到如下公式：

$\left\{\begin{array}{cc}V\left(x\right)=\mathrm{\&pi;}{R}_2^2,& L_1<\left|x\right|<L_1+L_2\\ V\left(x\right)=\mathrm{\&pi;}{R}_1^2\cos h^2\left(\mathrm{\&alpha;x}\right),& \left|x\right|\&le;L_1\end{array}\right.$

在轴向拉压试样两端，

轴向拉压试样两端纵向自由振动方程通解为：U(x)＝Acos(kx)+Bsin(kx)

而在轴向拉压试样的中段部分， $\frac{V^{\&prime;}\left(x\right)}{V\left(x\right)}=2\mathrm{\&alpha;}\tanh \left(\mathrm{\&alpha;x}\right);$

联立纵向自由振动方程得到：

U′′(x)+2αtanh(αx)U′(x)+K²U(x)＝0

设方程ω(x)＝cosh(αx)U(x)

则 $\frac{{\mathrm{\&omega;}}^{\&prime;\&prime;}\left(x\right)}{\cosh \left(\mathrm{\&alpha;x}\right)}=({\mathrm{\&alpha;}}^2-k^2)U\left(x\right)={\mathrm{\&beta;}}^{2}U\left(x\right)$

将ω(x)＝Ce^βx+De^-βx代入方程，

$U\left(x\right)=\frac{\mathrm{\&omega;}\left(x\right)}{\cosh \left(\mathrm{\&alpha;x}\right)}=\frac{{\mathrm{Ce}}^{\mathrm{\&beta;k}}+{\mathrm{De}}^{-\mathrm{\&beta;x}}}{\cosh \left(\mathrm{\&alpha;x}\right)},\left|x\right|\&le;L_1$

U(x)＝Acos(kx)+Bsin(kx)，L₁＜|x|＜L₁+L₂

将边界条件和连续性条件代入方程中，计算得到A＝A₀cos(kL)，B＝A₀sin(kL)，D＝-C，

故U(x)＝A₀cos[k(L-x)]，L₁≤|x|≤L

因此，从上可以推算试样的共振长度L₂为：

$L_2=\frac{1}{k}\arctan \left\{\frac{1}{k}\right[\frac{\mathrm{\&beta;}}{\tanh \left(\mathrm{\&beta;}{L}_1\right)}-\mathrm{\&alpha;}\tanh \left(\mathrm{\&alpha;}{L}_1\right)\left]\right\}$

式中，α＝arch(R₂/R₁)/L₁，β＝(α²-k²)^1/2；

3）得到R₁，R₂，L₁和L₂的数据后，将该轴向拉压试样尺寸作为边界条件进行建模，将铁基粉末冶金材料的密度和弹性模量带入模型中，采用有限元软件Ansys进行有限元模态分析，模态频率分析范围为10000～30000Hz，计算试样的谐振频率；

4）根据超声试验原理，需要试样的固有频率达到20KHz，这样轴向拉压试样才能够发生超声振动；因此，有限元计算得到谐振频率须在20000±500Hz范围内，否则，要微调L₂的数据，每次微调的范围为0.2～0.5mm，再次进行有限元分析，直到谐振频率在20000±500Hz范围内。

所述R₁=1.2～3mm，R₂=4～10mm，L₁=10～30mm。

所述铁基粉末冶金材料组分为Fe-Cu-Mn-C或Fe-Cu-Ni-Mo-C系列，密度在6.9～7.4g/cm³的烧结材料。

本发明与现有技术相比，具有如下优点与有益效果：

1、使轴向拉压试样能够有效地在超声疲劳试验机上发生谐振，快速的模拟轴向拉压的疲劳试验方式；

2、本发明所述的试样尺寸设计方法适用于不同工艺及密度的铁基粉末冶金材料（材料中含有Mn、Cu、Ni、Mo等合金元素）；超声拉压疲劳快速的模拟轴向拉压疲劳测试，能够更快捷的进行断口分析，从而获得铁基粉末冶金材料的疲劳破坏的规律；

3、本发明采用的超声疲劳试样方法的频率达到20kHz，能够大大加速疲劳试验的进行，减少试验时间。

附图说明

图1为超声拉压疲劳实验的试样结构示意图。

图2为试样谐振频率计算流程图。

图3为Ansys模态分析有限元模拟图。

图4为超声波放大器示意图。

图5为疲劳测试后试样断裂后的示意图。

具体实施方式

下面结合具体实施例对本发明作进一步说明。

实施例1

将Fe、Cu、Ni和Mo粉末混合均匀，在830℃进行部分预扩散处理，混入1%的石墨和0.1%润滑剂，在120℃下进行模壁润滑压制，压制压力为650MPa。之后进行1120℃1小时的网带烧结，得到铁基温压Fe-Cu-Ni-Mo-C粉末冶金材料，测量出材料密度为7.31g/cm³，抗拉强度为776MPa，弹性模量为156GPa。接着对试样尺寸进行计算，预设轴向拉压试样的形状为哑铃状，如图1所示。其中，对哑铃状的轴向拉压试样进行计算，其具体过程如下：

1）先拟定R₁、R₂、L₁数据，R₁为试样中部最细处的半径，R₂为试样两端处圆柱的半径，L₁为试样中间弯曲部分长度的一半，其中，R₁=1.2～3mm，R₂=4～10mm，L₁=10～30mm。而在本实施例中，R₁=1.5mm，R₂=5mm，L₁=14mm。

2）计算共振长度L₂，L₂为试样两端处圆柱的长度，如下：

由于哑铃状的轴向拉压试样为轴对称形状，其横截面的一半在旋转360°后可得到疲劳试样的体，横截面的一半的两端为矩形，中段部分可看做悬链线；

根据试样纵向自由振动方程：

$\frac{d^{2}U\left(x\right)}{d{x}^2}+\frac{V^{\&prime;}\left(x\right)}{V\left(x\right)}\frac{\mathrm{dU}\left(x\right)}{\mathrm{dx}}+k^{2}U\left(x\right)=0$

式中，U为材料的纵向位移；x为材料的横向位移；V为材料延纵向的截面面积；d为对函数U求导，dU/dx为一阶求导，d²U/dx²为二阶求导；k为铁基粉末冶金材料的一个混合参数，

f为振动频率，ρ为铁基粉末冶金材料的密度，E_d为铁基粉末冶金材料的弹性模量；

根据悬链线方程y＝acosh(αx)，当x＝0时，y＝R₁；x＝L₁时，y＝R₂；则α＝arch(R₂/R₁)/L₁，故得到如下公式：

$\left\{\begin{array}{cc}V\left(x\right)=\mathrm{\&pi;}{R}_2^2,& L_1<\left|x\right|<L_1+L_2\\ V\left(x\right)=\mathrm{\&pi;}{R}_1^2\cos h^2\left(\mathrm{\&alpha;x}\right),& \left|x\right|\&le;L_1\end{array}\right.$

在轴向拉压试样两端，

轴向拉压试样两端纵向自由振动方程通解为：U(x)＝Acos(kx)+Bsin(kx)

而在轴向拉压试样的中段部分， $\frac{V^{\&prime;}\left(x\right)}{V\left(x\right)}=2\mathrm{\&alpha;}\tanh \left(\mathrm{\&alpha;x}\right);$

联立纵向自由振动方程得到：

U′′(x)+2αtanh(αx)U′(x)+K²U(x)＝0

设方程ω(x)＝cosh(αx)U(x)

则 $\frac{{\mathrm{\&omega;}}^{\&prime;\&prime;}\left(x\right)}{\cosh \left(\mathrm{\&alpha;x}\right)}=({\mathrm{\&alpha;}}^2-k^2)U\left(x\right)={\mathrm{\&beta;}}^{2}U\left(x\right)$

将ω(x)＝Ce^βx+De^-βx代入方程，

$U\left(x\right)=\frac{\mathrm{\&omega;}\left(x\right)}{\cosh \left(\mathrm{\&alpha;x}\right)}=\frac{{\mathrm{Ce}}^{\mathrm{\&beta;k}}+{\mathrm{De}}^{-\mathrm{\&beta;x}}}{\cosh \left(\mathrm{\&alpha;x}\right)},\left|x\right|\&le;L_1$

U(x)＝Acos(kx)+Bsin(kx)，L₁＜|x|＜L₁+L₂

将边界条件和连续性条件代入方程中，计算得到A＝A₀cos(kL)，B＝A₀sin(kL)，D＝-C，

故U(x)＝A₀cos[k(L-x)]，L₁≤|x|≤L

因此，从上可以推算试样的共振长度L₂为：

$L_2=\frac{1}{k}\arctan \left\{\frac{1}{k}\right[\frac{\mathrm{\&beta;}}{\tanh \left(\mathrm{\&beta;}{L}_1\right)}-\mathrm{\&alpha;}\tanh \left(\mathrm{\&alpha;}{L}_1\right)\left]\right\}$

式中，α＝arch(R₂/R₁)/L₁，β＝(α²-k²)^1/2；

最后，代入相关数据，计算得到共振长度L₂=13.2mm。

3）得到R₁，R₂，L₁和L₂的数据后，将该轴向拉压试样尺寸作为边界条件进行建模，采用有限元软件Ansys进行有限元模态分析，如图2所示，本有限元模态分析步骤为定义材料参数，建模，划分网格，有限元计算，结果输出。

4）计算试样的谐振频率为20182Hz，拟合后的图像如图3所示。根据超声试验原理，需要试样的固有频率达到20KHz，这样轴向拉压试样才能够发生超声振动，由于计算所得的谐振频率为20182Hz，在20000±500Hz范围内。则该试样尺寸达到超声拉压疲劳测试的要求，不用进行微调，因此，本实施例设计的试样尺寸为R₁=1.5mm，R₂=5mm，L₁=14mm，L₂=13.2mm。

以下采用上述设计的试样尺寸进行铁基粉末冶金材料的超声拉压疲劳实验，其具体过程如下：

将材料车成轴向超声拉压试样的尺寸，抛光试样中部的工作区域，光洁度为0.32，对试样的一侧进行攻孔，螺孔直径为5mm。在实验室条件下，将试样固定在超声波振动放大器的一端，如图4所示。

由于超声疲劳试验测试材料高周周次的疲劳性能，在此范围内，材料服从虎克定律。超声疲劳漏斗型试样应力位移系数为：C＝E_dA₀βφ(L₁,L₂)。应力位移系数可以通过软件进行计算。

式中， $\mathrm{\&alpha;}=\mathrm{arch}(R_2/R_1)/L_1,\mathrm{\&beta;}={({\mathrm{\&alpha;}}^2-k^2)}^{1/2},\mathrm{\&phi;}(L_1,L_2)=\frac{\cos \left(k{L}_2\right)\cosh \left(\mathrm{\&alpha;}{L}_1\right)}{\sinh \left(\mathrm{\&beta;}{L}_1\right)}.$

计算得到材料的应力位移系数是20.887MPa/μm，即超声波振动放大器为1μm时相当于疲劳试验的应力强度是20.887MPa。设定超声波放大器的振幅为7.66μm，则疲劳试验的应力强度是160MPa。对轴向超声拉压试样进行振动，频率为20kHz，经过9.01*10⁸周次的循环后，即45045秒，试样完全断裂，断裂后试样形貌如图5所示。

实施例2

将Fe、Cu、Mn粉末混合均匀，先进行830℃预扩散处理，再混入1%的石墨和0.1%润滑剂，在120℃下进行模壁润滑压制，压制压力为700MPa。之后进行1120℃1小时的网带烧结，得到铁基温压Fe-Cu-Mn-C粉末冶金材料，在本实施例中，测量得出材料密度为7.32g/cm³，抗拉强度为709MPa，弹性模量为146GPa。

预设轴向拉压试样的形状为哑铃状，同样，先设R₁=1.5mm，R₂=5mm，L₁=14mm，接着对试样尺寸进行计算（本实施例的计算过程与实施例1相同），求出共振长度L₂=12.2mm。同样，在得到R₁，R₂，L₁和L₂的数据后，将该轴向拉压试样尺寸作为边界条件进行建模，采用Ansys有限元模态分析，计算试样的谐振频率为20163Hz，在20000±500Hz范围内。则该试样尺寸达到超声拉压疲劳测试的要求，不用进行微调。

将材料车成轴向超声拉压试样的尺寸，抛光试样中部的工作区域，光洁度为0.32，对试样的一侧进行攻孔，螺孔直径为5mm。在实验室条件下，将试样固定在超声波振动放大器的一端。采用实施例1中的方法，计算得到材料的应力位移系数是19.694MPa/μm，设定超声波放大器的振幅为22.85μm，则疲劳试验的应力强度是450MPa。对轴向超声拉压波试样进行振动，频率为20kHz，经过7.56*10⁵周次的循环后，即38秒后，疲劳试样完全断裂。

实施例3

将Fe、Cu、Ni和Mo粉末混合均匀，在830℃进行部分预扩散处理，混入1%的石墨和0.1%润滑剂，在室温下进行压制，压制压力为500MPa。之后进行1120℃1小时的网带烧结，得到铁基温压Fe-Cu-Mn-C粉末冶金材料，在本实施例中，测量得出材料密度为6.91g/cm³，抗拉强度为510MPa，弹性模量为120GPa。

预设轴向拉压试样的形状为哑铃状，并设R₁=1.75mm，R₂=5mm，L₁=16mm，接着对试样尺寸进行计算（本实施例的计算过程与实施例1相同），求出共振长度L₂=11mm。同样，在得到R₁，R₂，L₁和L₂的数据后，将该轴向拉压试样尺寸作为边界条件进行建模，采用Ansys有限元模态分析，计算试样的谐振频率为20142Hz，在20000±500Hz范围内。则该试样尺寸达到超声拉压疲劳测试的要求，不用进行微调。

将材料车成轴向超声拉压试样的尺寸，抛光试样中部的工作区域，光洁度为0.32，对试样的一侧进行攻孔，螺孔直径为5mm。在实验室条件下，将试样固定在超声波振动放大器的一端。采用实施例1中的方法，计算得到材料的应力位移系数是13.382MPa/μm，设定超声波放大器的振幅为24.66μm，则疲劳试验的应力强度是330MPa。对轴向超声拉压波试样进行振动，频率为20kHz，经过7.32*10⁵周次的循环后，即36.6秒后，疲劳试样完全断裂。

以上所述之实施例子只为本发明之较佳实施例，并非以此限制本发明的实施范围，故凡依本发明之形状、原理所作的变化，均应涵盖在本发明的保护范围内。

Claims (4)

1.铁基粉末冶金材料超声拉压疲劳实验的试样尺寸设计方法，其特征在于：首先，根据铁基粉末冶金材料的密度和弹性模量，采用解析计算得到铁基粉末冶金材料超声拉压疲劳实验的轴向拉压试样的理论尺寸；其次，再将理论尺寸作为边界条件，采用有限元分析计算出材料共振时所需要的响应频率；当该频率不符合超声振动频率时，需要对轴向拉压试样的尺寸进行修正微调，并再次进行有限元分析，直到计算出来的频率符合超声振动频率，使轴向拉压试样能够发生谐振为止，这样便得到实验所需的试样尺寸，即该尺寸可作为实验参数。

2.根据权利要求1所述的铁基粉末冶金材料超声拉压疲劳实验的试样尺寸设计方法，其特征在于，包括以下步骤：

1）测量出铁基粉末冶金材料的密度ρ及弹性模量E_d；

2）对哑铃状的轴向拉压试样进行解析计算，如下：

2.1）拟定R₁、R₂、L₁数据，R₁为试样中部最细处的半径，R₂为试样两端处圆柱的半径，L₁为试样中间弯曲部分长度的一半；

2.2）计算共振长度L₂，L₂为试样两端处圆柱的长度，如下：

由于哑铃状的轴向拉压试样为轴对称形状，其横截面的一半在旋转360°后可得到疲劳试样的体，横截面的一半的两端为矩形，中段部分可看做悬链线；

根据试样纵向自由振动方程：

$\frac{d^{2}U\left(x\right)}{d{x}^2}+\frac{V^{\&prime;}\left(x\right)}{V\left(x\right)}\frac{\mathrm{dU}\left(x\right)}{\mathrm{dx}}+k^{2}U\left(x\right)=0$

式中，U为材料的纵向位移；x为材料的横向位移；V为材料延纵向的截面面积；d为对函数U求导，dU/dx为一阶求导，d²U/dx²为二阶求导；k为铁基粉末冶金材料的一个混合参数，

f为振动频率，ρ为铁基粉末冶金材料的密度，E_d为铁基粉末冶金材料的弹性模量；

根据悬链线方程y＝acosh(αx)，当x＝0时，y＝R₁；x＝L₁时，y＝R₂；则α＝arch(R₂/R₁)/L₁，故得到如下公式：

$\left\{\begin{array}{cc}V\left(x\right)=\mathrm{\&pi;}{R}_2^2,& L_1<\left|x\right|<L_1+L_2\\ V\left(x\right)=\mathrm{\&pi;}{R}_1^2\cos h^2\left(\mathrm{\&alpha;x}\right),& \left|x\right|\&le;L_1\end{array}\right.$

在轴向拉压试样两端，

轴向拉压试样两端纵向自由振动方程通解为：U(x)＝Acos(kx)+Bsin(kx)

而在轴向拉压试样的中段部分， $\frac{V^{\&prime;}\left(x\right)}{V\left(x\right)}=2\mathrm{\&alpha;}\tanh \left(\mathrm{\&alpha;x}\right);$

联立纵向自由振动方程得到：

U′′(x)+2αtanh(αx)U′(x)+K²U(x)＝0

设方程ω(x)＝cosh(αx)U(x)

则 $\frac{{\mathrm{\&omega;}}^{\&prime;\&prime;}\left(x\right)}{\cosh \left(\mathrm{\&alpha;x}\right)}=({\mathrm{\&alpha;}}^2-k^2)U\left(x\right)={\mathrm{\&beta;}}^{2}U\left(x\right)$

将ω(x)＝Ce^βx+De^-βx代入方程，

$U\left(x\right)=\frac{\mathrm{\&omega;}\left(x\right)}{\cosh \left(\mathrm{\&alpha;x}\right)}=\frac{{\mathrm{Ce}}^{\mathrm{\&beta;k}}+{\mathrm{De}}^{-\mathrm{\&beta;x}}}{\cosh \left(\mathrm{\&alpha;x}\right)},\left|x\right|\&le;L_1$

U(x)＝Acos(kx)+Bsin(kx)，L₁＜|x|＜L₁+L₂

将边界条件和连续性条件代入方程中，计算得到A＝A₀cos(kL)，B＝A₀sin(kL)，D＝-C，

故U(x)＝A₀cos[k(L-x)]，L₁≤|x|≤L

因此，从上可以推算试样的共振长度L₂为：

$L_2=\frac{1}{k}\arctan \left\{\frac{1}{k}\right[\frac{\mathrm{\&beta;}}{\tanh \left(\mathrm{\&beta;}{L}_1\right)}-\mathrm{\&alpha;}\tanh \left(\mathrm{\&alpha;}{L}_1\right)\left]\right\}$

式中，α＝arch(R₂/R₁)/L₁，β＝(α²-k²)^1/2；

3）得到R₁，R₂，L₁和L₂的数据后，将该轴向拉压试样尺寸作为边界条件进行建模，将铁基粉末冶金材料的密度和弹性模量带入模型中，采用有限元软件Ansys进行有限元模态分析，模态频率分析范围为10000～30000Hz，计算试样的谐振频率；

4）根据超声试验原理，需要试样的固有频率达到20KHz，这样轴向拉压试样才能够发生超声振动；因此，有限元计算得到谐振频率须在20000±500Hz范围内，否则，要微调L₂的数据，每次微调的范围为0.2～0.5mm，再次进行有限元分析，直到谐振频率在20000±500Hz范围内。

3.根据权利要求2所述的铁基粉末冶金材料超声拉压疲劳实验的试样尺寸设计方法，其特征在于：所述R₁=1.2～3mm，R₂=4～10mm，L₁=10～30mm。

4.根据权利要求1或2所述的铁基粉末冶金材料超声拉压疲劳实验的试样尺寸设计方法，其特征在于：所述铁基粉末冶金材料组分为Fe-Cu-Mn-C或Fe-Cu-Ni-Mo-C系列，密度在6.9～7.4g/cm³的烧结材料。

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