CN103701554B - 一类具有抗多址干扰的完美正交码的产生方法 - Google Patents

Abstract

一类具有抗多址干扰的完美正交码的产生方法，涉及CDMA技术领域。通过寻找具有完美自相关特性和完美互相关特性的完美正交码，进而构造出了具有良好正交性的完全互补码、超级互补码和二维正交可变展频系数码；从而使得到的上述三种互补码的特性得到有效改善。根据完美正交码的定义，通过在码空间进行穷举搜索从而获得具有长度为H的完美正交码，通过长度为H的完美正交码可构造出三个正交矩阵A、B、D，且A、B、D维度均为H×H，且均符合矩阵中元素的范都为1，在产生过程中，完全互补码和超级互补码用到三个正交矩阵A、B、D，二维正交可变展频系数码仅用到两个正交矩阵A、B；本方法得到的完美正交码能够更有效地抵抗多用户干扰和多径干扰。

Description

一类具有抗多址干扰的完美正交码的产生方法

技术领域

本发明涉及一类具有抗多址干扰的完美正交码的产生方法及应用，涉及CDMA技术领域。

背景技术

在民用第二代（2G）和第三代（3G）蜂窝移动通信系统以及军事通信中广为应用的基于直接序列频谱扩展通信的CDMA系统中，用户的区分是利用扩频码来实现的，系统的核心性能，如抗多径能力、抗多址干扰能力等也是由所采用的扩频码所决定，因此在CDMA系统中，扩频码组的设计是实现CDMA系统性能的一项核心技术。

现有基于CDMA技术的2G和3G蜂窝移动通信系统中，用户的区分方式都是通过每个用户分配一个固定扩频码实现的，而所采用的扩频码主要可以分为两类扩频码：一类称为准正交码，例如我们所熟悉的m序列、Gold序列、Kasami序列等；一类称为正交码，如IS-95和cdma2000系统所采用的Walsh-Hadamard序列、WCDMA系统和TD-SCDMA系统所采用的正交可变扩频因子码(OVSF)。准正交码码字间的互相关特性不为零，因此不同码字代表的不同用户在理论上就存在相互干扰，即称之为的多用户干扰。而对于正交码，虽然他们互相关为零，但是其前提条件必须是在同步系统中，若处于非同步系统中，则它们无法保证良好的正交特性，从而同样引入用户间的相互干扰问题。而在实际系统中，完全的同步系统很难保证，或者即使得以保障，也要付出很大的设备代价和成本，因此上述两类扩频码在一般情况下均要引入多用户干扰，从而严重制约了CDMA系统的性能。因此，期望发现或找到能够在非同步系统中具有正交特性扩频码的要求，成为今后CDMA技术发展的一个重要特征。

因而，下一代码分多址技术（Next Generation Code Division Multiple Accesstechnology，NG-CDMA）将是一种利用完美正交的扩频码，通过实现码片级（Chip-level）的正交性，从而能够更有效地抵抗多用户干扰和多径干扰、提供一个近乎无干扰的系统，从而最大程度地发挥CDMA技术的性能优势。

发明内容

本发明的目的是在上述技术背景下，提供一类具有抗多址干扰的完美正交码的产生方法，通过寻找具有完美自相关特性和完美互相关特性的完美正交码，进而构造出了具有良好正交性的完全互补码(complete complementary code，CCC)、超级互补码(supercomplementary code，SCC)和二维正交可变展频系数码(2D-orthogonal variablespreading factor code，2D-OVSF)。从而使得到的上述三种互补码的特性：子码个数、子码码长、支持最大用户数得到有效改善，进而能够更有效地抵抗多用户干扰和多径干扰。

本发明为解决上述技术问题采取的技术方案是：

一类具有抗多址干扰的完美正交码的产生方法，所述方法的实现过程为：

步骤Ⅰ、根据完美正交码的定义，通过在码空间进行穷举搜索从而获得具有长度为H的完美正交码，通过长度为H的完美正交码可构造出三个正交矩阵A、B、D，且A、B、D维度均为H×H，且均符合矩阵中元素(element)的范(norm)都为1，即A=[A_ij];|A_ij|=1,for i,j=1,2,…,H；B、D定义同A；

在产生过程中，完全互补码和超级互补码用到三个正交矩阵A、B、D，二维正交可变展频系数码仅用到两个正交矩阵A、B；

步骤Ⅱ、完全互补码的产生过程为：

完全互补码的子码长度用H^2+r表示，其中r代表扩展次数，当r=0时代表无扩展的完全互补码，当r≠0时代表扩展的完全互补码；完全互补码仅靠参数r决定子码码长；

第一步：利用矩阵A的列向量和矩阵B的元素产生出矩阵C，其大小为H×H²；

首先，令A_i为A的第i行行向量，i=1,2,…,H，则A可表示为

$A=\left[A_{\mathrm{ij}}\right]=\left[\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\\ .\\ .\\ .\\ A_H\end{array}\right]---\left(3\right)$

而B表示为

接着A的行向量与B的元素产生H个长度为H²的序列C₁、C₂、…、C_H；

$\begin{array}{c}{C}_1=(b_{11}{A}_1,b_{12}{A}_2,...,b_{1H}{A}_H)\\ C_2=(b_{21}{A}_1,b_{22}{A}_2,...,b_{2H}{A}_H)\\ .\\ .\\ .\\ C_H=(b_{H1}{A}_1,b_{H2}{A}_2,...,b_{\mathrm{HH}}{A}_H)\end{array}---\left(5\right)$

将C₁、C₂、…、C_H表示成矩阵C形式，C₁、C₂、…、C_H就是矩阵C的行向量；

第二步：利用矩阵C的元素和矩阵D的元素产生矩阵E，其大小为H×H²；

同样的，D表示为

利用矩阵C的元素和矩阵D的元素产生H²个长度为H²的序列E_ij，通式如下，

$E_{\mathrm{ij}}=(c_{i1}{d}_{j1},...c_{\mathrm{iH}}{d}_{\mathrm{jH}},...,c_{i(H^2-H+1)}{d}_{j1},...,c_{{\mathrm{iH}}^2}{d}_{\mathrm{jH}}),i,j,=\mathrm{1,2},...,H---\left(8\right)$

至此，已经得到了H组[E_i1;E_i2;…;E_iH]这样的完全互补码，i=1,2,…,H，将此表示再改写成矩阵形式，

矩阵E中的每一行就是一组完全互补码；E_ij表示为第i组码的第j个子码，i,j=1,2,…,H，于是，矩阵E代表的是子码个数H，子码码长H²，最大支持用户数H的完全互补码；

至此，完成了未扩展完全互补码的产生过程；

未扩展完全互补码的子码码长和子码个数只能维持平方比的关系，根据以下步骤，则可将完全互补码的子码长加大，达到2+r次方比的关系，其中r=1,2,…；

第三步：利用产生的未扩展完全互补码矩阵E，重新处理并定义为矩阵F，以取代第一步中的矩阵C；

首先，改写矩阵E

其中E_ij=(E_ij1，E_ij2，…E_ijH)，i,j=1，2，…,H

由矩阵E行向量依序每隔H个排列成矩阵F的行向量，即

第四步：利用矩阵F的元素和矩阵D的元素，做同第二步的处理，得到矩阵G，其大小为H×H⁴。

利用矩阵F的元素和矩阵D的元素产生H²个长度为H³的序列G_ij，通式如下，

$G_{\mathrm{ij}}=(f_{i1}{d}_{j1},...,f_{\mathrm{iH}}{d}_{\mathrm{jH}},...,f_{i(H^3-H+1)}{d}_{j1},...,f_{{\mathrm{iH}}^3}{d}_{\mathrm{jH}}),i,j=\mathrm{1,2},...,H---(3-1)$

同样的，将[G_i1;G_i2;…;G_iH]，i=1,2,…,H排列成矩阵的形式：

矩阵G中的每一行就是一组扩展一次完全互补码，G_ij表示第i组码的第j个子码，i,j=1,2,…,H，所以矩阵G代表的是子码个数H，子码码长H³，最大支持用户数H的扩展一次完全互补码；

第五步：当需要产生子码码长H⁴的扩展二次完全互补码，则需重复第三步至第四步的步骤；若要产生子码码长H⁵的扩展二次完全互补码，则需要重复两次第三步至第四步的步骤；

每做一次扩展动作，也就是第三步至第四步，子码码长变为原来H倍，但子码个数和支持最大用户数依旧为H；

至此，完成了扩展完全互补码的产生过程；

步骤Ⅲ、超级互补码的产生过程为：

超级互补码先依靠参数r先生成完全互补码，再靠参数s决定子码个数；

第一步：分割完全互补码即成超级互补码基本码：

假设[E₁₁;E₁₂;…;E_1H]、…、[E_H1;E_H2;…;E_HH]是H组完全互补码，E_ij表示第i组码的第j个子码，i,j=1,2,…,H，子码个数H，子码码长H^2+r，支持最大用户数H；

将子码E_ij视为一组超级互补码的基本码，分割子码H²段使码长成为H^r，也就是

其中矩阵T中每一行就代表一组超级互补码基本码，T_ij表示第i组码的第j个子码，i,j=1,2,…,H²，所以子码个数为H²，子码码长为H^r，r=0,1,2,…，最大支持用户数为H²；

第二步：将矩阵T每两行划作一区块，此2行可生成4组超级互补码；

如由T的第1行，和第2行可产生

$\begin{array}{c}{S}_1={\left[\begin{array}{ccccccc}{T}_{11}& T_{21}& T_{12}& T_{22}& ...& T_{{1H}^2}& T_{{2H}^2}\end{array}\right]}_{1\×{2H}^{2+r}}\\ S_2={\left[\begin{array}{ccccccc}{T}_{11}& -T_{21}& T_{12}& {-T}_{22}& ...& T_{{1H}^2}& -T_{{2H}^2}\end{array}\right]}_{1\×{2H}^{2+r}}\\ S_3={\left[\begin{array}{ccccccc}{T}_{21}& T_{11}& T_{22}& T_{12}& ...& T_{{2H}^2}& T_{{1H}^2}\end{array}\right]}_{1\×{2H}^{2+r}}\\ S_4={\left[\begin{array}{ccccccc}{T}_{21}& -T_{11}& T_{22}& -T_{12}& ...& T_{{2H}^2}& -T_{{1H}^2}\end{array}\right]}_{1\×{2H}^{2+r}}\end{array}---\left(14\right)$

写成通式表示为由T之第j-1行和第j行产生，

$\begin{array}{c}{S}_{2j-3}={\left[\begin{array}{ccccccc}{T}_{(j-1)1}& T_{j1}& T_{(j-1)2}& T_{j2}& ...& T_{{(j-1)H}^2}& T_{{\mathrm{jH}}^2}\end{array}\right]}_{1\×{2H}^{2+r}}\\ S_{2j-3}={\left[\begin{array}{ccccccc}{T}_{(j-1)1}& -T_{j1}& T_{(j-1)2}& {-T}_{j2}& ...& T_{{(j-1)H}^2}& -T_{{\mathrm{jH}}^2}\end{array}\right]}_{1\×{2H}^{2+r}}\\ S_{2j-1}={\left[\begin{array}{ccccccc}{T}_{j1}& T_{(j-1)1}& T_{j2}& T_{(j-1)2}& ...& T_{{\mathrm{jH}}^2}& T_{{(j-1)H}^2}\end{array}\right]}_{1\×{2H}^{2+r}}\\ S_{2j}={\left[\begin{array}{ccccccc}{T}_{j1}& -T_{(j-1)1}& T_{j2}& -T_{(j-1)2}& ...& T_{{\mathrm{jH}}^2}& -T_{{(j-1)H}^2}\end{array}\right]}_{1\×{2H}^{2+r}}\end{array}---\left(15\right)$

$\∀j=\mathrm{2,4},...,H^2$

再将改写成矩阵形式表达

其中矩阵S的每一行就代表一组超级互补码，S_ij表示第i组码的第j个子码，i,j=1,2,…,2H²，所以此为子码个数为2H²，子码码长为H^r，r=0,1,2,…，最大支持用户数为H²的扩展二次超级互补码；

第三步：将矩阵S重复第二步的步骤，子码个数就会成长至4H²；若以此类推，当实现扩展s次超级互补码时，其子码个数和支持用户数就会达到2^s-1H²，其子码长度依旧维持在H^r，与超级互补码基本码相同；

步骤Ⅳ、二维正交可变展频系数码（2D-OVSF）的产生过程为：

二维正交可变展频系数码由两个参数，a及t，a=0,1,…，t=1,2,…，决定子码个数和子码码长，生成后的子码个数是2^t，子码码长2^t+a；

设矩阵P与矩阵Q的维度均为mq×nl，若P与Q作Kronecker product，记作，则表示

其中

,i=0，1，…，mq-1，j=0，1，…，nl-1

第一步：产生2D-OVSF码的根矩阵

将上述的维度H×H正交矩阵A、B，均以H=2且矩阵代表矩阵A，矩阵代表矩阵B；

考虑a=0情况下，就是2D-OVSF码的根矩阵；考虑a≥1情况，则要使用以下的式子来产生根矩阵：

$A_{2\×2^{1+i}}^{\left(1\right)}=\left[\begin{array}{cc}{A}_{2\×2^i}^{\left(1\right)}& A_{2\×2^i}^{\left(2\right)}\end{array}\right],i=\mathrm{1,2},...,a---\left(19\right)$

和

$A_{2\×2^{1+i}}^{\left(2\right)}=\left[\begin{array}{cc}{A}_{2\×2^i}^{\left(1\right)}& -A_{2\×2^i}^{\left(2\right)}\end{array}\right],i=\mathrm{1,2},...,a---\left(20\right)$

第二步：利用根矩阵作扩展动作：

假设是根矩阵，将根矩阵作增加子码个数，也是增加支持最大用户数的扩展，考虑如下式子，

$A_{2^j\×2^{j+a}}^{(2i-1)}=A_{2\×2}^{\left(1\right)}\⊗A_{2^{j-1}\×2^{j-1+a}}^{\left(i\right)},i=\mathrm{1,2},...,2^{j-1},j=2,...,t---\left(21\right)$

和

$A_{2^j\×2^{j+a}}^{\left(2i\right)}=A_{2\×2}^{\left(2\right)}\⊗A_{2^{j-1}\×2^{j-1+a}}^{\left(i\right)},i=\mathrm{1,2},...,2^{j-1},j=2,...,t---\left(22\right)$

式(21)和式(22)表达的是一个递归的概念，矩阵维度大的必先由矩阵维度小生成；

首先j=2，i=1,2的情况下，根矩阵可以扩展成 再来是j=3，i=1,2,…,8的情况，表示可扩展成 这样持续到j=t，i=1,2，…，2^t-1时就可以产生所需要的码组，即得到最后的结果i=1，2，…，2^t-1;

i=1，2，…，2^t-1，一个矩阵即是代表一个码组，一个矩阵中的一个行向量代表的是该码组的子码，产生出来的二维正交可变展频系数码是具有子码个数2^t，子码码长2^t+a，最大支持用户数2^t的性质。

本发明的有益效果是：本发明给出了上述三种正交码的构造方法，并通过算法搜索，获得了一定数量的上述码组。本发明主要技术要点是：三种完美正交互补码（完全互补码(CCC)、超级互补码(SCC)和二维正交可变展频系数码(2D-OVSF)是由完美正交码产生的三种特殊正交码组）的产生方式以及搜索到的部分码字。

对本发明方法产生的三种正交码组的特性分析：

以子码个数M、子码码长N、支持最大用户数K表示的三种码组的关系如下表。

【表1】给出了完全互补码、超级互补码、二维正交可变展频系数码的参数与子码个数和子码码长的关系；

【表1】

其中r≥0、s≥1及t≥1、a≥0，而r=0表示完全互补码没有经过扩展动作；s=1表示其为扩展1次超级互补码，为超级互补码的基本码。本发明的主要特点是所提三种互补码的特性，即子码个数、子码码长、支持最大用户数均得到有效改善，本方法得到的三种完美正交码能够更有效地抵抗多用户干扰和多径干扰。理论上可以证明，以本方法获得码子所表示的不同通信用户，可彻底消除多用户干扰和多径干扰。

附图说明

图1是完全互补码的产生过程图，图2是超级互补码的产生过程图，图3是二维正交可变展频系数码的产生过程图，图4是2D-OVSF码的产生过程树形图。

具体实施方式

本实施方式结合图1～图4对本发明方法的进行详细说明，本方法分为三个部分；其中，第一部分主要是给出了完美正交码的定义,说明了完美正交码的产生算法，通过该搜索算法，可以找到彼此独立的完美正交码；第二部分是在此基础上，给出了通过获得的完美正交码产生完全互补码、超级互补码和二维正交可变展频系数码的构造方法，并讨论了码组独立性问题；第三部分给出了搜索到的部分完全互补码、超级互补码和二维正交可变展频系数码。

第一部分：完美正交码的定义及产生方法；

满足完美自相关和完美互相关特性的码称为完美正交码，首先给出完美自相关码组的定义。

自相关完美定义：

考虑子码个数为M，子码码长为N的情况下，假设有一码组x=[X_I，x₂;…;x_M]=[x₁₁…x_1N;x₂₁…x_2N;…;x_M1…x_MN]，而x_i为第i个子码，x_ij为第i个子码中的第j个切片(chip)，i=1,2,…,M，j=1,2,…,N。若其符合自相关完美，即表示符合以下以矩阵-向量乘积表示的关系式：

由码组x产生的维度(2N-1)×(MN)的矩阵称为相关系数矩阵，其第一行的部分是零位移路径讯号，第二行至第N行分别表示位移为1至(N-1)的偶周期的移位信号，而第(N+1)行至第(2N-1)行分别表示位移为1至(N-1)的奇周期的移位信号。考虑多路径干扰(multipath interference)条件下，假设每条路径延迟均相差1个切片(chip)，则在一个位内一共会有N条路径的延迟；在要求自相关完美下，应只有延迟0的部份，其乘积和为MN，其余延迟的均为0。

互相关完美定义：

考虑子码个数为M，子码码长为N的情况下，假设有两码组x=[x₁;x₂;...;x_M]=[x₁₁...x_1N;x₂₁...x_2N;...;x_M1...x_MN]及y=[y₁;y₂;…;y_M]=[y₁₁…y_1M;y₂₁…y_2M;…;y_M1…y_MN]，而x_i、y_i为第i个子码，xi_j、yi_j为第i个子码中的第j个切片(chip)，i=1,2,…,M，j=1,2,…,N。若其符合互相关完美，即表示符合以下以矩阵-向量乘积表示的关系式：

针对一完美互相关码组x、y而言，指的是没有多用户干扰(multiple accessinterference)，所以码组x所形成的相关系数矩阵乘上码组y时，右边结果向量应该是为零向量，代表不论当码组x是零位移信号，或因为多重路径原因造成位移为1至(N-1)的偶周期信号或是奇周期信号，对于码组y是不造成任何的干扰的。同理，当进一步假设三码组x、y、z为一组完美互相关码组时，式子变为

满足完美自相关和完美互相关特性的码统称为完美正交码。本发明中完美正交码的产生方法采用了码空间的穷举搜索法。采用此方法，可以获得不同阶数的码字。为了便于后续的描述，有不同阶码字组成的正交矩阵分别表示为：A、B、D，它们的维度均定义为H×H。

需要注意的是，通过本文所提算法寻找到的完美正交码组，存在“相似”问题，即几个码组看似不同，实质上它们却并不独立，只需通过一个码组的适当变换，就可得到另一个码组。这要，需要在完美正交码组的寻找过程中通过判断“相似”性的产生条件，将具有相似性的码组剔除。

第二部分：由完美正交码产生的三种特殊正交码组

本部分首先给出的完全互补码(complete complementary code，CCC)、超级互补码(super complementary code，SCC)和二维正交可变展频系数码(2D-orthogonalvariable spreading factor code，2D-OVSF)的相关定义及生成方法；其次对它们的参数特性进行了分析和总结；最后针对码组的独立性问题进行了讨论，从而为后续部分具体码组生成奠定了理论基础。

上述三种正交码组的参数均为用户数K、子码个数M和子码码长N，它们均由完美正交码之间的相互运算产生。为了便于表述，设正交矩阵A、B、D的维度均为H×H，且均符合矩阵中元素(element)的范(norm)都为1，即

A=[A_ij];|A_ij|=1,for i,j=1,2,…,H

B、D定义同A。在产生过程中，完全互补码和超级互补码用到三个正交矩阵A、B、D，二维正交可变展频系数码仅用到两个正交矩阵A、B。

2.1完全互补码

最基本的互补码定义是两个相同长度的序列，而在这两个序列中相同的元素的数目和不同的元素的数目是相同的。例如，P=－－－＋－－＋－、Q=－－－＋＋＋－＋便是一组互补码(＋代表+1、－代表-1)，这两个码的最大特性在于，若Q序列作任意的位移后，与序列P的互相关函数皆为0。完全互补码的产生过程如图1所示。

2.1.1未扩展完全互补码

第一步：利用矩阵A的行向量和矩阵B的元素产生出矩阵C，其大小为H×H²。

首先，令A_i为A的第i行行向量，i=1,2,…,H，则A可表示为

$A=\left[A_{\mathrm{ij}}\right]=\left[\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\\ .\\ .\\ .\\ A_H\end{array}\right]---\left(3\right)$

而B表示为

接着A的行向量与B的元素产生H个长度为H²的序列C₁、C₂、…、C_H

$\begin{array}{c}{C}_1=(b_{11}{A}_1,b_{12}{A}_2,...,b_{1H}{A}_H)\\ C_2=(b_{21}{A}_1,b_{22}{A}_2,...,b_{2H}{A}_H)\\ .\\ .\\ .\\ C_H=(b_{H1}{A}_1,b_{H2}{A}_2,...,b_{\mathrm{HH}}{A}_H)\end{array}---\left(5\right)$

为便于表示，将C₁、C₂、…、C_H表示成矩阵C形式，C₁、C₂、…、C_H就是矩阵C的行向量；

第二步：利用矩阵C的元素和矩阵D的元素产生矩阵E，其大小为H×H²。

同样的，D表示为

利用矩阵C的元素和矩阵D的元素产生H²个长度为H²的序列E_ij，通式如下，

$E_{\mathrm{ij}}=(c_{i1}{d}_{j1},...c_{\mathrm{iH}}{d}_{\mathrm{jH}},...,c_{i(H^2-H+1)}{d}_{j1},...,c_{{\mathrm{iH}}^2}{d}_{\mathrm{jH}}),i,j,=\mathrm{1,2},...,H---\left(8\right)$

至此，已经得到了H组[E_i1;E_i2;…;E_iH]这样的完全互补码，i=1,2,…,H，将此表示再改写成矩阵形式，

矩阵E中的每一行就是一组完全互补码；E_ij表示为第i组码的第j个子码，i,j=1,2,…,H，于是，矩阵E代表的是子码个数H，子码码长H²，最大支持用户数H的完全互补码。

2.1.2扩展完全互补码

未扩展完全互补码的子码码长和子码个数只能维持平方比的关系，根据以下步骤，则可进一步将完全互补码的子码长加大，达到2+r次方比的关系，其中r=1,2,…。

第三步：利用产生的未扩展完全互补码矩阵E，重新处理并定义为矩阵F，以取代第一步中的矩阵C。

首先，改写矩阵E

其中E_ij=(E_ij1，E_ij2，…E_ijH)，i,j=1，2，…,H

由矩阵E行向量依序每隔H个排列成矩阵F的行向量，即

第四步：利用矩阵F的元素和矩阵D的元素，做同第二步的处理，得到矩阵G，其大小为H×H⁴。

利用矩阵F的元素和矩阵D的元素产生H²个长度为H³的序列G_ij，通式如下，

$G_{\mathrm{ij}}=(f_{i1}{d}_{j1},...,f_{\mathrm{iH}}{d}_{\mathrm{jH}},...,f_{i(H^3-H+1)}{d}_{j1},...,f_{{\mathrm{iH}}^3}{d}_{\mathrm{jH}}),i,j=\mathrm{1,2},...,H---(3-1)$

同样的，将[G_i1;G_i2;…;G_iH]，i=1,2,…,H排列成矩阵的形式

矩阵G中的每一行就是一组扩展一次完全互补码，G_ij表示第i组码的第j个子码，i,j=1,2,…,H，所以矩阵G代表的是子码个数H，子码码长H³，最大支持用户数H的扩展一次完全互补码。

第五步：当需要产生子码码长H⁴的扩展二次完全互补码，则需重复第三步至第四步的步骤；若要产生子码码长H⁵的扩展二次完全互补码，则需要重复两次第三步至第四步的步骤。所以归纳可得：每做一次扩展动作，也就是第三步至第四步，子码码长变为原来H倍，但子码个数和支持最大用户数依旧为H。

2.2超级互补码

超级互补码源于完全互补码。不论是扩展或无扩展的完全互补码，其子码长度均可用H^2+r表示，其中r代表扩展次数，当r=0代表无扩展的完全互补码。所以以下无论是扩展或无扩展的完全互补码均用完全互补码称呼，所需要考虑的只是r值而已。超级互补码的产生过程如图2所示。

2.2.1超级互补码基本码

第一步：分割完全互补码即成超级互补码基本码。

假设[E₁₁;E₁₂;…;E_1H]、…、[E_H1;E_H2;…;E_HH]是H组完全互补码，E_ij表示第i组码的第j个子码，i,j=1,2,…,H，子码个数H，子码码长H^2+r，支持最大用户数H。接下来将子码E_ij就视为一组超级互补码的基本码，分割子码H²段使码长成为H^r，也就是

其中矩阵T中每一行就代表一组超级互补码基本码，T_ij表示第i组码的第j个子码，i,j=1,2,…,H²，所以子码个数为H²，子码码长为H^r，r=0,1,2,…，最大支持用户数为H²。

2.2.2扩展超级互补码

经过第一步过程的扩展，可达到增加用户数的目的。这里经过第一次扩展动作，就称为扩展2次超级互补码；扩展第二次就称为扩展3次超级互补码，余类推。

第二步：将矩阵T每两列划作一区块，此2列可生成4组超级互补码。

如由T的第1行和第2行可产生

$\begin{array}{c}{S}_1={\left[\begin{array}{ccccccc}{T}_{11}& T_{21}& T_{12}& T_{22}& ...& T_{{1H}^2}& T_{{2H}^2}\end{array}\right]}_{1\×{2H}^{2+r}}\\ S_2={\left[\begin{array}{ccccccc}{T}_{11}& -T_{21}& T_{12}& {-T}_{22}& ...& T_{{1H}^2}& -T_{{2H}^2}\end{array}\right]}_{1\×{2H}^{2+r}}\\ S_3={\left[\begin{array}{ccccccc}{T}_{21}& T_{11}& T_{22}& T_{12}& ...& T_{{2H}^2}& T_{{1H}^2}\end{array}\right]}_{1\×{2H}^{2+r}}\\ S_4={\left[\begin{array}{ccccccc}{T}_{21}& -T_{11}& T_{22}& -T_{12}& ...& T_{{2H}^2}& -T_{{1H}^2}\end{array}\right]}_{1\×{2H}^{2+r}}\end{array}---\left(14\right)$

写成通式可表示为由T之第j-1行和第j行产生

$\begin{array}{c}{S}_{2j-3}={\left[\begin{array}{ccccccc}{T}_{(j-1)1}& T_{j1}& T_{(j-1)2}& T_{j2}& ...& T_{{(j-1)H}^2}& T_{{\mathrm{jH}}^2}\end{array}\right]}_{1\×{2H}^{2+r}}\\ S_{2j-3}={\left[\begin{array}{ccccccc}{T}_{(j-1)1}& -T_{j1}& T_{(j-1)2}& {-T}_{j2}& ...& T_{{(j-1)H}^2}& -T_{{\mathrm{jH}}^2}\end{array}\right]}_{1\×{2H}^{2+r}}\\ S_{2j-1}={\left[\begin{array}{ccccccc}{T}_{j1}& T_{(j-1)1}& T_{j2}& T_{(j-1)2}& ...& T_{{\mathrm{jH}}^2}& T_{{(j-1)H}^2}\end{array}\right]}_{1\×{2H}^{2+r}}\\ S_{2j}={\left[\begin{array}{ccccccc}{T}_{j1}& -T_{(j-1)1}& T_{j2}& -T_{(j-1)2}& ...& T_{{\mathrm{jH}}^2}& -T_{{(j-1)H}^2}\end{array}\right]}_{1\×{2H}^{2+r}}\end{array}---\left(15\right)$

$\∀j=\mathrm{2,4},...,H^2$

再将改写成矩阵形式表达

其中矩阵S的每一行就代表一组超级互补码，S_ij表示第i组码的第j个子码，i,j=1,2,…,2H²，所以此为子码个数为2H²，子码码长为H^r，r=0,1,2,…，最大支持用户数为H²的扩展二次超级互补码。

第三步：将矩阵S重复第二步的步骤，子码个数就会成长至4H²；若以此类推，当实现扩展s次超级互补码时，其子码个数和支持用户数就会达到2^s-1H²，然而其子码长度依旧维持在H^r，与超级互补码基本码相同。

2.3二维正交可变展频系数码（2D-OVSF）

二维正交可变展频系数码由两个参数，a及t，a=0,1,…，t=1,2,…，决定子码个数和子码码长，生成后的子码个数是2^t，子码码长2^t+a。而完全互补码仅靠参数r决定子码码长，超级互补码先依靠参数r先生成完全互补码，再靠参数s决定子码个数。二维正交可变展频系数码的产生过程如图3所示，2D-OVSF码的产生过程树形图如图4所示。

Kronecker乘积：

Kronecker product是一种特殊的矩阵运算。设矩阵P与矩阵Q的维度均为mq×nl，若P与Q作Kronecker product，记作，则表示

其中

,i=0，1，…，mq-1，j=0，1，…，nl-1

2.3.12D-OVSF码生成过程：

第一步：产生2D-OVSF码的根矩阵

为表示方便，将开始提到的维度H×H正交矩阵A、B，均以H=2且矩阵代表矩阵A，矩阵代表矩阵B。

考虑a=0情况下，就是2D-OVSF码的根矩阵；考虑a≥1情况，则要使用以下的式子来产生根矩阵：

$A_{2\×2^{1+i}}^{\left(1\right)}=\left[\begin{array}{cc}{A}_{2\×2^i}^{\left(1\right)}& A_{2\×2^i}^{\left(2\right)}\end{array}\right],i=\mathrm{1,2},...,a---\left(19\right)$

和

$A_{2\×2^{1+i}}^{\left(2\right)}=\left[\begin{array}{cc}{A}_{2\×2^i}^{\left(1\right)}& -A_{2\×2^i}^{\left(2\right)}\end{array}\right],i=\mathrm{1,2},...,a---\left(20\right)$

这两个表达的是一个递归的概念，例如，假设a=3，表示所需要的根矩阵为所以必须先利用产生再利用产生所要的

第二步：利用根矩阵作扩展动作。

假设是根矩阵，将根矩阵作增加子码个数，也是增加支持最大用户数的扩展，考虑如下式子，

$A_{2^j\×2^{j+a}}^{(2i-1)}=A_{2\×2}^{\left(1\right)}\⊗A_{2^{j-1}\×2^{j-1+a}}^{\left(i\right)},i=\mathrm{1,2},...,2^{j-1},j=2,...,t---\left(21\right)$

和

$A_{2^j\×2^{j+a}}^{\left(2i\right)}=A_{2\×2}^{\left(2\right)}\⊗A_{2^{j-1}\×2^{j-1+a}}^{\left(i\right)},i=\mathrm{1,2},...,2^{j-1},j=2,...,t---\left(22\right)$

式(21)和式(22)表达的同样是一个递归的概念，矩阵维度大的必先由矩阵维度小生成。例如：欲得到最后的结果i=1，2，…，2^t-1，则最先j=2，i=1,2的情况下，也就是根矩阵可以扩展成再来是j=3，i=1,2,…,8的情况，表示可以扩展成 这样持续到j=t，i=1,2,…,2^t-1时就可以产生所需要的码组。

i=1，2，…，2^t-1，一个矩阵即是代表一个码组，一个矩阵中的一个行代表的是该码组的子码，所以这样产生出来的二维正交可变展频系数码是具有子码个数2^t，子码码长2^t+a，最大支持用户数2^t的性质。

第三部分：搜索到的部分特殊正交码组

3.1本部分主要是利用上述定义和算法，通过计算机搜索到一系列特殊的完全互补码(complete complementary code，CCC)、超级互补码(super complementary code，SCC)和二维正交可变展频系数码(2D-orthogonal variable spreading factor code，2D-OVSF)。现将其一并列出。

本部分表示的码组是在特定的M、N、K下，经过码组自相关完美检验及码组间互相关完美检验的过程，再进一步剔除相似码群后得到的码组。其表示格式为：

一列代表一个用户，并用中括号[]框住，子码间以分号「；」区隔。而且完全互补码及超级互补码的{A,B,D}或二维正交可变展频系数码的{A⁽¹⁾,A⁽²⁾}均以一维序列展示二维矩阵，如 $\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]$ 以a₁₁a₁₂a₂₁a₂₂表示，其中a_ij∈{+-}，+表1，-表-1。

3.2搜索到的具体码组

【表2】完美正交码相关信息总表

3.2.1M=2，N=1

●完全互补码：

解联立方程式 $\left\{\begin{array}{c}H=2\\ H^{2+r}=1\end{array}\right.,$ 无解

●超级互补码：

解联立方程式 $\left\{\begin{array}{c}{2}^{s-1}{H}^2=2\\ H^r=1\end{array}\right.,$ 无解

●二维正交可变展频系数码：

解联立方程式 $\left\{\begin{array}{c}{2}^t=2\\ 2^{t+a}=1\end{array}\right.,$ 无解

【表3】K=2，M=2，N=1的完美正交码群数为1，用户码包括在中括号[]中，子码以分号「；」区隔

3.2.2M=2，N=2

●完全互补码：

解联立方程式 $\left\{\begin{array}{c}H=2\\ H^{2+r}=2\end{array}\right.,$ 无解

●超级互补码：

解联立方程式 $\left\{\begin{array}{c}{2}^{s-1}{H}^2=2\\ H^r=2\end{array}\right.,$ 无解

●二维正交可变展频系数码：

解联立方程式 $\left\{\begin{array}{c}{2}^t=2\\ 2^{t+a}=2\end{array}\right.,$ 有解 $\left\{\begin{array}{c}t=1\\ a=0\end{array}\right.,$ 表示先产生维度2x2基本码本身就是二维正交可变展频系数码。

【表4】K=2，M=2，N=2的完美正交码群数为2，用户码包括在中括号[]中，子码以分号「；」区隔

3.2.3M=2，N=4

●完全互补码：

解联立方程式 $\left\{\begin{array}{c}H=2\\ H^{2+r}=4\end{array}\right.,$ 有解 $\left\{\begin{array}{c}H=2\\ r=0\end{array}\right.,$ 表示须利用维度2x2的正交矩阵，可产生完全互补码。

●超级互补码：

解联立方程式 $\left\{\begin{array}{c}{2}^{s-1}{H}^2=2\\ H^r=4\end{array}\right.,$ 无解

●二维正交可变展频系数码：

解联立方程式 $\left\{\begin{array}{c}{2}^t=2\\ 2^{t+a}=4\end{array}\right.,$ 有解 $\left\{\begin{array}{c}t=1\\ a=1\end{array}\right.,$ 表示先利用维度2x2的正交矩阵产生维度2x4的基本码，本身就是二维正交可变展频系数码。

【表5】K=2，M=2，N=4的完美正交码群数为4，用户码包括在中括号[]中，子码以分号「；」区隔

3.2.4M=2，N=8

●完全互补码

解联立方程式 $\left\{\begin{array}{c}H=2\\ H^{2+r}=8\end{array}\right.,$ 有解 $\left\{\begin{array}{c}H=2\\ r=1\end{array}\right.,$ 表示须利用维度2x2的正交矩阵，可产生扩展1次完全互补码。

●超级互补码：

解联立方程式 $\left\{\begin{array}{c}{2}^{s-1}{H}^2=2\\ H^r=8\end{array}\right.,$ 无解

●二维正交可变展频系数码：

解联立方程式 $\left\{\begin{array}{c}{2}^t=2\\ 2^{t+a}=8\end{array}\right.,$ 有解 $\left\{\begin{array}{c}t=1\\ a=2\end{array}\right.,$ 表示表示先利用维度2x2的正交矩阵产生维度2x8的基本码，本身就是二维正交可变展频系数码。

【表6】K=2，M=2，N=8的完美正交码群数为24，用户码包括在中括号[]中，子码以分号「；」区隔

3.2.5M=2，N=10

●完全互补码：

解联立方程式 $\left\{\begin{array}{c}H=2\\ H^{2+r}=10\end{array}\right.,$ 无解

●超级互补码：

解联立方程式 $\left\{\begin{array}{c}{2}^{s-1}{H}^2=2\\ H^r=10\end{array}\right.,$ 无解

●二维正交可变展频系数码：

解联立方程式 $\left\{\begin{array}{c}{2}^t=2\\ 2^{t+a}=10\end{array}\right.,$ 无解

【表7】K=2，M=2，N=10的完美正交码群数为16，用户码包括在中括号[]中，子码以分号「；」区隔

3.2.6M=4，N=1

●完全互补码：

解联立方程式 $\left\{\begin{array}{c}H=4\\ H^{2+r}=1\end{array}\right.,$ 无解

●超级互补码

解联立方程式 $\left\{\begin{array}{c}{2}^{s-1}{H}^2=4\\ H^r=1\end{array}\right.,$ 当H=2时，有解 $\left\{\begin{array}{c}s=1\\ r=0\end{array}\right.,$ 表示须利用维度2x2的正交矩阵，可产生超级互补码的基本码。

●二维正交可变展频系数码：

解联立方程式 $\left\{\begin{array}{c}{2}^t=4\\ 2^{t+a}=1\end{array}\right.,$ 无解

【表8】K=4，M=4，N=1的完美正交码群数为2，用户码包括在中括号[]中，子码以分号「；」区隔

3.2.7M=4，N=2

●完全互补码：

解联立方程式 $\left\{\begin{array}{c}H=4\\ H^{2+r}=2\end{array}\right.,$ 无解

●超级互补码

解联立方程式 $\left\{\begin{array}{c}{2}^{s-1}{H}^2=4\\ H^r=2\end{array}\right.,$ 当H=2时，有解 $\left\{\begin{array}{c}s=1\\ r=1\end{array}\right.,$ 表示须利用维度2x2的正交矩阵，先产生扩展1次完全互补码，再接着产生超级互补码的基本码。

●二维正交可变展频系数码：

解联立方程式 $\left\{\begin{array}{c}{2}^t=4\\ 2^{t+a}=2\end{array}\right.,$ 无解

【表9】K=4，M=4，N=2的完美正交码群数为3，用户码包括在中括号[]中，子码以分号「；」区隔

Claims (1)

1.一类具有抗多址干扰的完美正交码的产生方法，其特征在于：所述方法的实现过程为：

步骤I、根据完美正交码的定义，通过在码空间进行穷举搜索从而获得具有长度为H的完美正交码，通过长度为H的完美正交码可构造出三个正交矩阵A、B、D，且A、B、D维度均为H×H，且均符合矩阵中元素(element)的范(norm)都为1，即A＝[A_ij]；|A_ij|＝1,其中i,j＝1,2,…,H；B、D定义同A；

步骤II、完全互补码的产生过程为：

完全互补码的子码长度用H^2+r表示，其中r代表扩展次数，当r＝0时代表无扩展的完全互补码，当r≠0时代表扩展的完全互补码；完全互补码仅靠参数r决定子码码长；

第一步：利用矩阵A的列向量和矩阵B的元素产生出矩阵C，其大小为H×H²；

首先，令A_i为A的第i行行向量，i＝1,2,…,H，则A可表示为

$A=\[A_{ij}\]=\left[\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\\ .\\ .\\ .\\ A_H\end{array}\right]---\left(3\right)$

而B表示为

接着A的行向量与B的元素产生H个长度为H²的序列C₁、C₂、…、C_H；

$\begin{array}{c}{C}_1=(b_{11}{A}_1,b_{12}{A}_2,\mathrm{...},b_{1H}{A}_H)\\ C_2=(b_{21}{A}_1,b_{22}{A}_2,\mathrm{...},b_{2H}{A}_H)\\ .\\ .\\ .\\ C_H=(b_{H1}{A}_1,b_{H2}{A}_2,\mathrm{...},b_{HH}{A}_H)\end{array}---\left(5\right)$

将C₁、C₂、…、C_H表示成矩阵C形式，C₁、C₂、…、C_H就是矩阵C的行向量；

第二步：利用矩阵C的元素和矩阵D的元素产生矩阵E，其大小为H×H²；

同样的，D表示为

利用矩阵C的元素和矩阵D的元素产生H²个长度为H²的序列E_ij，通式如下，

$E_{ij}=(c_{i1}{d}_{j1},...,c_{iH}{d}_{jH},...,c_{i(H^2-H+1)}{d}_{j1},...,c_{{\mathrm{iH}}^2}{d}_{jH}),i,j=1,2,...,H---\left(8\right)$

至此，已经得到了H组[E_i1；E_i2；…；E_iH]这样的完全互补码，i＝1,2,…,H，

将此表示再改写成矩阵形式，

矩阵E中的每一行就是一组完全互补码；E_ij表示为第i组码的第j个子码，i,j＝1,2,…,H，于是，矩阵E代表的是子码个数H，子码码长H²，最大支持用户数H的完全互补码；

至此，完成了未扩展完全互补码的产生过程；

第三步：利用产生的未扩展完全互补码矩阵E，重新处理并定义为矩阵F，以取代第一步中的矩阵C；

首先，改写矩阵E

其中E_ij＝(E_ij1,E_ij2,…,E_ijH)，i,j＝1,2,…,H

由矩阵E行向量依序每隔H个排列成矩阵F的行向量，即

第四步：利用矩阵F的元素和矩阵D的元素，做同第二步的处理，得到矩阵G，其大小为H×H⁴；

利用矩阵F的元素和矩阵D的元素产生H²个长度为H³的序列G_ij，通式如下，

$G_{ij}=(f_{i1}{d}_{j1},...,f_{iH}{d}_{jH},...,f_{i(H^3-H+1)}{d}_{j1},...,f_{{\mathrm{iH}}^3}{d}_{jH}),i,j=1,2,...,H---(3-1)$

同样的，将[G_i1；G_i2；…；G_iH]，i＝1,2,…,H排列成矩阵的形式：

矩阵G中的每一行就是一组扩展一次完全互补码，G_ij表示第i组码的第j个子码，i,j＝1,2,…,H，所以矩阵G代表的是子码个数H，子码码长H³，最大支持用户数H的扩展一次完全互补码；

第五步：当需要产生子码码长H⁴的扩展二次完全互补码，则需重复第三步至第四步的步骤；若要产生子码码长H⁵的扩展二次完全互补码，则需要重复两次第三步至第四步的步骤；

每做一次扩展动作，也就是第三步至第四步，子码码长变为原来H倍，但子码个数和支持最大用户数依旧为H；

至此，完成了扩展完全互补码的产生过程；

步骤Ⅲ、超级互补码的产生过程为：

超级互补码先依靠参数r先生成完全互补码，再靠参数s决定子码个数；

第一步：分割完全互补码即成超级互补码基本码：

假设[E₁₁；E₁₂；…；E_1H]、…、[E_H1；E_H2；…；E_HH]是H组完全互补码，E_ij表示第i组码的第j个子码，i,j＝1,2,…,H，子码个数H，子码码长H^2+r，支持最大用户数H；

将子码E_ij视为一组超级互补码的基本码，分割子码H²段使码长成为H^r，也就是

其中矩阵T中每一行就代表一组超级互补码基本码，T_ij表示第i组码的第j个子码，i,j＝1,2,…,H²，所以子码个数为H²，子码码长为H^r，r＝0,1,2,…，最大支持用户数为H²；

第二步：将矩阵T每两列划作一区块，此2行可生成4组超级互补码；

由T的第1行，和第2行产生：

$\begin{array}{c}{S}_1={\left[\begin{array}{ccccccc}{T}_{11}& T_{21}& T_{12}& T_{22}& \mathrm{...}& T_{1H^2}& T_{2H^2}\end{array}\right]}_{1\×2H^{2+r}}\\ S_2={\left[\begin{array}{ccccccc}{T}_{11}& -T_{21}& T_{12}& -T_{22}& \mathrm{...}& T_{1H^2}& -T_{2H^2}\end{array}\right]}_{1\×2H^{2+r}}\\ S_3={\left[\begin{array}{ccccccc}{T}_{21}& T_{11}& T_{22}& T_{12}& \mathrm{...}& T_{2H^2}& T_{1H^2}\end{array}\right]}_{1\×2H^{2+r}}\\ S_4={\left[\begin{array}{ccccccc}{T}_{21}& -T_{11}& T_{22}& -T_{12}& \mathrm{...}& T_{2H^2}& -T_{1H^2}\end{array}\right]}_{1\×2H^{2+r}}\end{array}---\left(14\right)$

写成通式表示为由T之第j-1行和第j行产生，

$\begin{array}{c}{S}_{2j-3}={\left[\begin{array}{ccccccc}{T}_{(j-1)1}& T_{j1}& T_{(j-1)2}& T_{j2}& \mathrm{...}& T_{(j-1)H^2}& T_{{\mathrm{jH}}^2}\end{array}\right]}_{1\×2H^{2+r}}\\ S_{2j-3}={\left[\begin{array}{ccccccc}{T}_{(j-1)1}& -T_{j1}& T_{(j-1)2}& -T_{j2}& \mathrm{...}& T_{(j-1)H^2}& -T_{{\mathrm{jH}}^2}\end{array}\right]}_{1\×2H^{2+r}}\\ S_{2j-1}={\left[\begin{array}{ccccccc}{T}_{j1}& T_{(j-1)1}& T_{j2}& T_{(j-1)2}& \mathrm{...}& T_{{\mathrm{jH}}^2}& T_{(j-1)H^2}\end{array}\right]}_{1\×2H^{2+r}}\\ S_{2j}={\left[\begin{array}{ccccccc}{T}_{j1}& -T_{(j-1)1}& T_{j2}& -T_{(j-1)2}& \mathrm{...}& T_{{\mathrm{jH}}^2}& -T_{(j-1)H^2}\end{array}\right]}_{1\×2H^{2+r}}\end{array}---\left(15\right)$

$\∀j=2,4,...,H^2$

再将S₁、S₂、…、改写成矩阵形式表达

其中矩阵S的每一行就代表一组超级互补码，S_ij表示第i组码的第j个子码，i,j＝1,2,…,2H²，所以此为子码个数为2H²，子码码长为H^r，r＝0,1,2,…，最大支持用户数为H²的扩展二次超级互补码；

第三步：将矩阵S重复第二步的步骤，子码个数就会成长至4H²；若以此类推，当实现扩展s次超级互补码时，其子码个数和支持用户数就会达到2^s-1H²，其子码长度依旧维持在H^r，与超级互补码基本码相同；

步骤Ⅳ、二维正交可变展频系数码(2D-OVSF)的产生过程为：

二维正交可变展频系数码由两个参数，a及t，a＝0,1,…，t＝1,2,…，决定子码个数和子码码长，生成后的子码个数是2^t，子码码长2^t+a；

设矩阵P与矩阵Q的维度均为mq×nl，若P与Q作Kronecker product，记作则表示

其中

，

i＝0,1,…,mq-1，j＝0,1,…,nl-1

第一步：产生2D-OVSF码的根矩阵

将上述的维度H×H正交矩阵A、B，均以H＝2且矩阵代表矩阵A，矩阵代表矩阵B；

考虑a＝0情况下，就是2D-OVSF码的根矩阵；考虑a≥1情况，则要使用以下的式子来产生根矩阵：

$A_{2\×2^{1+i}}^{\left(1\right)}=\left[\begin{array}{cc}{A}_{2\×2^i}^{\left(1\right)}& A_{2\×2^i}^{\left(2\right)}\end{array}\right],i=1,2,...,a---\left(19\right)$

和

$A_{2\×2^{1+i}}^{\left(2\right)}=\left[\begin{array}{cc}{A}_{2\×2^i}^{\left(1\right)}& -A_{2\×2^i}^{\left(2\right)}\end{array}\right],i=1,2,...,a---\left(20\right)$

第二步：利用根矩阵作扩展动作：

假设是根矩阵，将根矩阵作增加子码个数，也是增加支持最大用户数的扩展，考虑如下式子，

$A_{2^j\×2^{j+a}}^{(2i-1)}=A_{2\×2}^{\left(1\right)}\⊗A_{2^{j-1}\×2^{j-1+a}}^{\left(i\right)},i=1,2,...,2^{j-1},j=2,...,t---\left(21\right)$

和

$A_{2^j\×2^{j+a}}^{\left(2i\right)}=A_{2\×2}^{\left(2\right)}\⊗A_{2^{j-1}\×2^{j-1+a}}^{\left(i\right)},i=1,2,...,2^{j-1},j=2,...,t---\left(22\right)$

式(21)和式(22)表达的是一个递归的概念，矩阵维度大的必先由矩阵维度小生成；

首先j＝2，i＝1,2的情况下，根矩阵可以扩展成 再来是j＝3，i＝1,2,…,8的情况，表示可扩展成这样持续到j＝t，i＝1,2,…,2^t-1时就可以产生所需要的码组，即得到最后的结果i＝1,2,…,2^t-1；

i＝1,2,…,2^t-1，一个矩阵即是代表一个码组，一个矩阵中的一个行向量代表的是该码组的子码，产生出来的二维正交可变展频系数码是具有子码个数2^t，子码码长2^t+a，最大支持用户数2^t的性质。