CN103679787A - 基于约束变形和微分坐标模拟植物果实形变的方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种基于约束变形和微分坐标模拟植物果实形变的方法，包括以下步骤：定义果实的形变区域，设置影响形变的参数和影响范围，通过计算影响函数得到初步变形的结果；以及通过基于微分坐标的方法将上述变形结果作为控制点，并增加保持果实特征的约束条件，进行第二次基于微分坐标的变形，对形变边界进行光滑处理。本发明的方法将基于约束变形和基于微分坐标结合来模拟果实形变，首先定义变形区域，设置影响形变的参数和影响范围，计算影响函数得到初步变形的结果，然后通过基于微分坐标的方法将初步变形结果作为控制点，并增加保持果实特征的约束条件，进行第二次变形，有效地保持果实形变的特征，提高整体的光滑性。

Description

基于约束变形和微分坐标模拟植物果实形变的方法

技术领域

本发明涉及计算机图形技术领域，具体而言涉及一种基于约束变形和微分坐标模拟植物果实形变的方法。 

背景技术

网格形变的方法主要有基于空间的变形方法和基于微分坐标的变形方法。最早的自由变形方法是Sederberg和Parry^[1]提出的FFD(Free Form Deformation)方法，将模型嵌入空间，空间变化，模型随之变换。由于FFD方法采用介质实现物体变形，用户操作时难以准确控制物体的形状以及控制物体某些点的位置，因此人们希望能通过改变网格模型上的点或者其它约束条件来对物体进行变形编辑和区域控制。Borrell^[2]在1994年提出了简单约束形变方法(Simple constrained object deformations，简称Scodef)。基于约束的变形方法是有缺陷的，变形范围通过影响半径或者控制参数等定义，这种确定的方法对于局部变形是有局限的，不能实现任意区域的变形。同时这种方法没有涉及网格的表面信息。 

网格模型是有拓扑关系的，然而基于空间的方法没有考虑模型表面特征，基于表面的变形方法弥补了这个不足。基于微分坐标的网格变形^[3]技术专注于尽量使网格的表面信息在变形前后不变。三角网格模型通常由一个二元组决定(V,E)，在欧氏空间中，V由一组全局坐标向量{x₁,x₂,...,x_n}表示，而E则表达了V的拓扑关系。定义在网格上的Laplacian坐标(微分坐标)为：。其中l为Laplacian算子；N(i)={j|{i,j}∈E}是顶点v_i的邻接顶点集；d_ij代表了顶点v_i和v_j之间的关系，余切权值

A_i是第i个Voronoi格的面积大小，α_ij和β_ij表示边(i,j)所对的两个角度。Laplacian坐标向量方向趋向于局部法向量，大小趋向于该点的平均曲率，也就是说微分坐标表达了局部细节。为了网格变形后避免局部细节的丢失，该方法使变形前后的微分坐标基本不变，那么可得到方程L(V')=δ。L为n×n的Laplacian矩阵， $V^{\&prime;}=\{v_1^{\&prime;},v_2^{\&prime;},...,v_n^{\&prime;}\}$ 是变形后的顶点δ={δ₁,δ₂,...,δ_n}。L为奇异矩阵，即矩阵的秩小于n(顶点个数)，为了使线性方程组有解，则需要约束方程。已知约束点变形后的坐标为c_i，约束方程：v'_i=c_i,i∈{m,...,n},m<n。由于 当约束点有线性变换时，Laplacian算子并没有随之变换^[4]，因此微分坐标方法不适用于旋转和缩放变换，同时当网格有大角度的旋转变换时，这个方法也不能保持模型的几何细节。 

发明内容

本发明目的在于提供一种基于约束变形和微分坐标模拟植物果实形变的方法，可模拟不同参数控制下的果实形变，且能较好地保持果实局部细节，形变结果光滑。 

为达成上述目的，本发明所采用的技术方案如下： 

一种基于约束变形和微分坐标模拟植物果实形变的方法，包括以下步骤： 

步骤1：定义果实的形变区域，设置影响形变的参数和影响范围，通过计算影响函数得到初步变形的结果；以及 

步骤2：通过基于微分坐标的方法将步骤1获得的变形结果作为控制点，并增加保持果实特征的约束条件，进行第二次基于微分坐标的变形，对形变边界进行光滑处理。 

进一步，所述步骤1包括如下过程： 

1.1定义果实的形变区域，确定影响半径R 

果实上的任意一点与果实的中轴线构成一个平面，首先确定果实形变区域起始点P，起始点和中轴线构成的平面作为起始平面，再确定形变区域的终止点Q，终止点和中轴线构成的平面作为终止平面，这两个平面构成的二面角用θ表示； 

令中轴线的两个点为v₀和v₁，与中轴线分别形成的两个平面的法向量计算为n₁和n₂，其中一个法向量指向平面，另一个法向量背向平面，所述二面角的计算公式为cosθ=n₁*n₂； 

起始平面和终止平面中间夹起来的区域就是形变区域，其中形变区域需满足下述条件：待确定点与中轴线所构成平面与起始平面形成的二面角小于θ，并且与终止平面形成的二面角也小于θ；以及 

采用Dijkstra算法，根据所有变形点到约束点的最大距离来确定影响半径R； 

1.2设置影响形变的参数 

利用势函数f(r_i)反映约束点对周围点的影响作用，f(r_i)表达为： 

$f\left(r_i\right)=2{\left(\frac{r_i}{R}\right)}^3-3{\left(\frac{r_i}{R}\right)}^2+1,$

其中，C_i表示约束点的位置，r_i表示空间任意点Q（x,y,z）到约束点C_i的距离，r_i在0-R范围内势函数f(r_i)是单调递减的，r_i大于R时势函数为0； 

在外界环境的作用下，考虑光照、养分对形变的影响，在上述表达中加入光照参数Light 和养分参数Nutrient的影响，f(r_i)可进一步表达为： 

$f(r_i,\mathrm{Light},\mathrm{Nutrient})=2{\left(\frac{r_i}{R*\mathrm{Light}*\mathrm{Nutrient}}\right)}^3-3{\left(\frac{r_i}{R*\mathrm{Light}*\mathrm{Nutrient}}\right)}^2+1,$

当光照参数Light或养分参数Nutrient大于1时，f(r_i)关于光照参数Light或养分参数Nutrient单调递增； 

在果实生长过程中，采用向点的法向量方向移动来描述生长： 

令约束点向法向量方向移动的距离为D，则其他点受约束点影响向法向量移动的距离为： 

x=x+n_x*D*f(r_i,Light,Nutrient) 

y=y+n_y*D*f(r_i,Light,Nutrient)； 

z=z+n_z*D*f(r_i,Light,Nutrient) 

考虑生长剂对果实在横向生长和纵向生长的影响，令设点O(O_x,O_y,O_z)为果实中心，对于横向生长，OP为P(x,y,z)点横截面的半径，令PP'为半径方向的增量，横向生长的参数 

控制果实的横向生长；对于纵向生长，所述OP可表示y坐标到果实中心的长度，PP'为Y轴延长距离，纵向生长的参数

则点P(x,y,z)生长之后的坐标变为： 

x=x+RadiusHormones*x 

y=y+HeightHormones*(y-O_y)，其中O_y指果实中心的纵坐标， 

z=z+RadiusHormones*z 

将上述光照参数Light、养分参数Nutrient和生长剂对果实的影响结合起来，可得到果实变形的坐标表达如下： 

x=x+n_x*D*f(r_i,Light,Nutrient)+RadiusHormones*x 

y=y+n_y*D*f(r_i,Light,Nutrient)+HeightHormones*(y-O_y)； 

z=z+n_z*D*f(r_i,Light,Nutrient)+RadiusHormones*z 

基于该坐标表达，计算出果实初步形变的结果； 

1.3设置参数影响范围 

二面角θ的取值范围满足：

光照参数Light满足Light=ε+cosθ*Light，养分参数Nutrient满足Nutrient=ε+cosθ*Nutrient，其中ε=1以保证光照参数Light和养分参数Nutrient均大于1； 

横向生长的参数和纵向生长的参数满足下列条件： 

RadiusHormones=cosθ*RadiusHormones；HeightHormones=cosθ*HeightHormones。 

进一步，所述参数RadiusHormones和HeightHormones均大于0.075，所述参数RadiusHormones和HeightHormones的上限均为0.3。 

进一步，所述步骤2包括以下过程： 

2.1微分坐标方法使变形前后的微分坐标基本不变：网格上的微分坐标为： 

，其中l为Laplacian算子；N(i)={j|{i,j}∈E}是顶点v_i的邻接顶点集；d_ij代表了顶点v_i和v_j之间的关系，余切权值A_i是第i个Voronoi格的面积大小，α_ij和β_ij表示边(i,j)所对的两个角度；保持变形前后的微分坐标不变，得到方程组L(V')=δ，其中L为n×n的Laplacian矩阵， $V^{\&prime;}=\{v_1^{\&prime;},v_2^{\&prime;},...,v_n^{\&prime;}\}$ 是变形后的点坐标，即方程组的未知数，δ={δ₁,δ₂,...,δ_n}是变形前微分坐标； 

2.2设定控制点的位置约束，包括两部分：一部分是所述步骤1中约束形变得到的所有形变点的点坐标，也即受影响点变形后的点坐标；另一部分是固定点的位置，该部分区域不会发生形变。这两部分控制点结合得到的集合为C，则约束条件v'_j=c_j，其中j∈C，记C={1,2,...,m}，即存在m个控制点； 

2.3保持果实上下端特征约束，也即果实的底端和顶端凹陷部分形状基本不变的特征，将凹陷部分所在区域的点集记为F={1,2,...,k}，为了使得凹陷部分的形状基本不变，需要满足的条件如下表达所示： 

v'_i-v'_j=v_i-v_j,(i,j∈F) 

其中，s为平衡因子； 

将2.1、2.2和2.3的方程组结合，得到如下所示线性方程组： 

$\left(\begin{array}{c}L\\ L_{m\&times;n}|0\\ I_{k\&times;n}|-I_{k\&times;n}\end{array}\right)V^{\&prime;}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{\&delta;}\\ C_{1:m}\\ s(v_{i:k}-v_{j:k})\end{array}\right)$

其中，I_k×n|-I_k×n表示有k行，每行的v'_i对应的列为1，v'_j对应的列为-1，其他点对应的列为0；I_m×n|0表示有m行，每行控制点v'_j对应的列为1，其他点对应的列为0。 

是方程组的未知数，最后由最小二乘原理解此线性方程组，得到满足方程组的解，即每个点变形后的坐标。 

由以上本发明的技术方案可知，本发明的有益效果在于将基于约束变形和基于微分坐标结合用来模拟果实形变，首先通过交互式方法定义变形区域，设置影响形变的参数和影响范围，计算影响函数得到初步变形的结果，然后通过基于微分坐标的方法将第一步变形结果作为控制点，并增加保持果实特征的约束条件，进行第二次基于微分坐标的方法变形，有效地保持了果实形变的特征，也即保持果实局部细节，而且提高了整体的光滑性。 

附图说明

图1为基于约束变形和微分坐标模拟植物果实形变的方法的流程图。 

图2为设置形变区域点云图，图中点放大的部分为形变区域。 

图3为设置参数后初步变形图，其中参数RadiusHormones=0.075，Light=1.0，

图4为第二步优化形变结果图，其中：当Light为0，Nutrient为0.5时，参数控制的区域在苹果底部，得到的形变结果如图4a所示；当RadiusHormones为1.5，HeightHormones为0时，得到的变形结果如图4b所示；当RadiusHormones为0.075，HeightHormones为0.075时，得到的变形结果如图4c所示。 

具体实施方式

为了更了解本发明的技术内容，特举具体实施例并配合所附图式说明如下。 

如图1所示，根据本发明的较优实施例，基于约束变形和微分坐标模拟植物果实形变的方法，包括以下步骤： 

步骤1：定义果实的形变区域，设置影响形变的参数和影响范围，通过计算影响函数得到初步变形的结果；以及 

步骤2：通过基于微分坐标的方法将步骤1获得的变形结果作为控制点，并增加保持果实特征的约束条件，进行第二次基于微分坐标的变形，对形变边界进行光滑处理。 

进一步，所述步骤1包括如下过程： 

1.1定义果实的形变区域，确定影响半径R 

果实上的任意一点与果实的中轴线构成一个平面，首先确定果实形变区域起始点P，起始点和中轴线构成的平面作为起始平面，再确定形变区域的终止点Q，终止点和中轴线构成 的平面作为终止平面，这两个平面构成的二面角用θ表示； 

令中轴线的两个点为v₀和v₁，与中轴线分别形成的两个平面的法向量计算为n₁和n₂，其中一个法向量指向平面，另一个法向量背向平面，所述二面角的计算公式为cosθ=n₁*n₂； 

起始平面和终止平面中间夹起来的区域就是形变区域，其中形变区域需满足下述条件：待确定点与中轴线所构成平面与起始平面形成的二面角小于θ，并且与终止平面形成的二面角也小于θ；以及 

采用Dijkstra算法，根据所有变形点到约束点的最大距离来确定影响半径R； 

1.2设置影响形变的参数 

利用势函数f(r_i)反映约束点对周围点的影响作用，f(r_i)表达为： 

$f\left(r_i\right)=2{\left(\frac{r_i}{R}\right)}^3-3{\left(\frac{r_i}{R}\right)}^2+1,$

其中，C_i表示约束点的位置，r_i表示空间任意点Q（x,y,z）到约束点C_i的距离，r_i在0-R范围内势函数f(r_i)是单调递减的，r_i大于R时势函数为0； 

在外界环境的作用下，考虑光照、养分对形变的影响，在上述表达中加入光照参数Light和养分参数Nutrient的影响，f(r_i)可进一步表达为： 

$f(r_i,\mathrm{Light},\mathrm{Nutrient})=2{\left(\frac{r_i}{R*\mathrm{Light}*\mathrm{Nutrient}}\right)}^3-3{\left(\frac{r_i}{R*\mathrm{Light}*\mathrm{nutrient}}\right)}^2+1,$

当光照参数Light或养分参数Nutrient大于1时，f(r_i)关于光照参数Light或养分参数Nutrient单调递增； 

在果实生长过程中，采用向点的法向量方向移动来描述生长： 

令约束点向法向量方向移动的距离为D，则其他点受约束点影响向法向量移动的距离为： 

x=x+n_x*D*f(r_i,Light,Nutrient) 

y=y+n_y*D*f(r_i,Light,Nutrient)； 

z=z+n_z*D*f(r_i,Light,Nutrient) 

考虑生长剂对果实在横向生长和纵向生长的影响，令设点O(O_x,O_y,O_z)为果实中心，对于横向生长，OP为P(x,y,z)点横截面的半径，令PP'为半径方向的增量，横向生长的参数 控制果实的横向生长；对于纵向生长，所述OP可表示y坐标到果实中 心的长度，PP'为Y轴延长距离，纵向生长的参数

则点P(x,y,z)生长之后的坐标变为： 

x=x+RadiusHormones*x 

y=y+HeightHormones*(y-O_y)，其中O_y指果实中心的纵坐标， 

z=z+RadiusHormones*z 

将上述光照参数Light、养分参数Nutrient和生长剂对果实的影响结合起来，可得到果实变形的坐标表达如下： 

x=x+n_x*D*f(r_i,Light,Nutrient)+RadiusHormones*x 

y=y+n_y*D*f(r_i,Light,Nutrient)+HeightHormones*(y-O_y)； 

z=z+n_z*D*f(r_i,Light,Nutrient)+RadiusHormones*z 

基于该坐标表达，计算出果实初步形变的结果； 

1.3设置参数影响范围 

二面角θ的取值范围满足：

光照参数Light满足Light=ε+cosθ*Light，养分参数Nutrient满足Nutrient=ε+cosθ*Nutrient，其中ε=1以保证光照参数Light和养分参数Nutrient均大于1； 

横向生长的参数和纵向生长的参数满足下列条件： 

RadiusHormones=cosθ*RadiusHormones；HeightHormones=cosθ*HeightHormones。 

进一步，所述参数RadiusHormones和HeightHormones均大于0.075，所述参数RadiusHormones和HeightHormones的上限均为0.3。 

进一步，所述步骤2包括以下过程： 

2.1微分坐标方法使变形前后的微分坐标基本不变：网格上的微分坐标为： 

，其中l为Laplacian算子；N(i)={j|{i,j}∈E}是顶点v_i的邻接顶点集；d_ij代表了顶点v_i和v_j之间的关系，余切权值A_i是第i个Voronoi格的面积大小，α_ij和β_ij表示边(i,j)所对的两个角度；保持变形前后的微分坐标不变，得到方程组L(V')=δ，其中L为n×n的Laplacian矩阵， $V^{\&prime;}=\{v_1^{\&prime;},v_2^{\&prime;},...,v_n^{\&prime;}\}$ 是变形后的点坐标，即方程组的未知数，δ={δ₁,δ₂,...,δ_n}是变形前微分坐标； 

2.2设定控制点的位置约束，包括两部分：一部分是所述步骤1中约束形变得到的所有形变点的点坐标，也即受影响点变形后的点坐标；另一部分是固定点的位置，该部分区域不会发生形变。这两部分控制点结合得到的集合为C，则约束条件v'_j=c_j，其中j∈C，记C={1,2,...,m}，即存在m个控制点； 

2.3保持果实上下端特征约束，也即果实的底端和顶端凹陷部分形状基本不变的特征，将凹陷部分所在区域的点集记为F={1,2,...,k}，为了使得凹陷部分的形状基本不变，需要满足的条件如下表达所示： 

v'_i-v'_j=v_i-v_j,(i,j∈F) 

其中，s为平衡因子； 

将2.1、2.2和2.3的方程组结合，得到如下所示线性方程组： 

$\left(\begin{array}{c}L\\ L_{m\&times;n}|0\\ I_{k\&times;n}|-I_{k\&times;n}\end{array}\right)V^{\&prime;}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{\&delta;}\\ C_{1:m}\\ s(v_{i:k}-v_{j:k})\end{array}\right)$

其中，I_k×n|-I_k×n表示有k行，每行的v'_i对应的列为1，v'_j对应的列为-1，其他点对应的列为0；I_m×n|0表示有m行，每行控制点v'_j对应的列为1，其他点对应的列为0。 

是方程组的未知数，最后由最小二乘原理解此线性方程组，得到满足方程组的解，即每个点变形后的坐标。 

如图2-图4所示为利用本发明的方法模拟苹果果实生长中形变的示意图，其中，图2为设置形变区域点云图，图中点放大的部分为形变区域。图3为设置参数后初步变形图，其中参数RadiusHormones=0.075，Light=1.0，图4为第二步优化形变结果图，其中：当Light为0，Nutrient为0.5时，参数控制的区域在苹果底部，得到的形变结果如图4a所示；当RadiusHormones为0.2，HeightHormones为0时，得到的变形结果如图4b所示；当RadiusHormones为0，HeightHormones为0.2时，得到的变形结果如图4c所示。 

通过上述图2-4，可以看出图3的结果不光滑，在形变区域和非形变区域的交界处裂开，图4通过第二次变形优化，结果更加光滑，解决了图3的缺陷。如图4a所示，苹果底部也有形变，模拟了设置参数，影响苹果形变。图4b显示了苹果横向生长，模拟了生长剂刺激横向生长。图4c显示了苹果纵向生长，模拟了生长剂刺激纵向生长。图2-4证明该方法不仅能模拟不同参数影响下果实形变，而且能保持果实局部细节。 

虽然本发明已以较佳实施例揭露如上，然其并非用以限定本发明。本发明所属技术领域中具有通常知识者，在不脱离本发明的精神和范围内，当可作各种的更动与润饰。因此，本发明的保护范围当视权利要求书所界定者为准。 

Claims (4)

1.一种基于约束变形和微分坐标模拟植物果实形变的方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：定义果实的形变区域，设置影响形变的参数和影响范围，通过计算影响函数得到初步变形的结果；以及

步骤2：通过基于微分坐标的方法将步骤1获得的变形结果作为控制点，并增加保持果实特征的约束条件，进行第二次基于微分坐标的变形，对形变边界进行光滑处理。

2.根据权利要求1所述的基于约束变形和微分坐标模拟植物果实形变的方法，其特征在于，所述步骤1包括如下过程：

1.1定义果实的形变区域，确定影响半径R

果实上的任意一点与果实的中轴线构成一个平面，首先确定果实形变区域起始点P，起始点和中轴线构成的平面作为起始平面，再确定形变区域的终止点Q，终止点和中轴线构成的平面作为终止平面，这两个平面构成的二面角用θ表示；

令中轴线的两个点为v₀和v₁，与中轴线分别形成的两个平面的法向量计算为n₁和n₂，其中一个法向量指向平面，另一个法向量背向平面，所述二面角的计算公式为cosθ=n₁*n₂；

起始平面和终止平面中间夹起来的区域就是形变区域，其中形变区域需满足下述条件：待确定点与中轴线所构成平面与起始平面形成的二面角小于θ，并且与终止平面形成的二面角也小于θ；以及

采用Dijkstra算法，根据所有变形点到约束点的最大距离来确定影响半径R；

1.2设置影响形变的参数

利用势函数f(r_i)反映约束点对周围点的影响作用，f(r_i)表达为：

$f\left(r_i\right)=2{\left(\frac{r_i}{R}\right)}^3-3{\left(\frac{r_i}{R}\right)}^2+1,$

其中，C_i表示约束点的位置，r_i表示空间任意点Q（x,y,z）到约束点C_i的距离，r_i在0-R范围内势函数f(r_i)是单调递减的，r_i大于R时势函数为0；

在外界环境的作用下，考虑光照、养分对形变的影响，在上述表达中加入光照参数Light和养分参数Nutrient的影响，f(r_i)可进一步表达为：

$f(r_i,\mathrm{Light},\mathrm{Nutrient})=2{\left(\frac{r_i}{R*\mathrm{Light}*\mathrm{Nutrient}}\right)}^3-3{\left(\frac{r_i}{R*\mathrm{Light}*\mathrm{nutrient}}\right)}^2+1,$

当光照参数Light或养分参数Nutrient大于1时，f(r_i)关于光照参数Light或养分参数Nutrient单调递增；

在果实生长过程中，采用向点的法向量方向移动来描述生长：

令约束点向法向量方向移动的距离为D，则其他点受约束点影响向法向量移动的距离为：

x=x+n_x*D*f(r_i,Light,Nutrient)

y=y+n_y*D*f(r_i,Light,Nutrient)；

z=z+n_z*D*f(r_i,Light,Nutrient)

考虑生长剂对果实在横向生长和纵向生长的影响，令设点O(O_x,O_y,O_z)为果实中心，对于横向生长，OP为P(x,y,z)点横截面的半径，令PP'为半径方向的增量，横向生长的参数

控制果实的横向生长；对于纵向生长，所述OP可表示y坐标到果实中心的长度，PP'为Y轴延长距离，纵向生长的参数

则点P(x,y,z)生长之后的坐标变为：

x=x+RadiusHormones*x

y=y+HeightHormones*(y-O_y)，其中O_y指果实中心的纵坐标，

z=z+RadiusHormones*z

将上述光照参数Light、养分参数Nutrient和生长剂对果实的影响结合起来，可得到果实变形的坐标表达如下：

x=x+n_x*D*f(r_i,Light,Nutrient)+RadiusHormones*x

y=y+n_y*D*f(r_i,Light,Nutrient)+HeightHormones*(y-O_y)；

z=z+n_z*D*f(r_i,Light,Nutrient)+RadiusHormones*z

基于该坐标表达，计算出果实初步形变的结果；

1.3设置参数影响范围

二面角θ的取值范围满足：

光照参数Light满足Light=ε+cosθ*Light，养分参数Nutrient满足Nutrient=ε+cosθ*Nutrient，其中ε=1以保证光照参数Light和养分参数Nutrient均大于1；

横向生长的参数和纵向生长的参数满足下列条件：

RadiusHormones=cosθ*RadiusHormones；HeightHormones=cosθ*HeightHormones。

3.根据权利要求2所述的基于约束变形和微分坐标模拟植物果实形变的方法，其特征在于，所述参数RadiusHormones和HeightHormones均大于0.075，所述参数RadiusHormones和HeightHormones的上限均为0.3。

4.根据权利要求1所述的基于约束变形和微分坐标模拟植物果实形变的方法，其特征在于，所述步骤2包括以下过程：

2.1微分坐标方法使变形前后的微分坐标基本不变：网格上的微分坐标为：

，其中l为Laplacian算子；N(i)={j|{i,j}∈E}是顶点v_i的邻接顶点集；d_ij代表了顶点v_i和v_j之间的关系，余切权值

A_i是第i个Voronoi格的面积大小，α_ij和β_ij表示边(i,j)所对的两个角度；保持变形前后的微分坐标不变，得到方程组L(V')=δ，其中L为n×n的Laplacian矩阵， $V^{\&prime;}=\{v_1^{\&prime;},v_2^{\&prime;},...,v_n^{\&prime;}\}$ 是变形后的点坐标，即方程组的未知数，δ={δ₁,δ₂,...,δ_n}是变形前微分坐标；

2.2设定控制点的位置约束，包括两部分：一部分是所述步骤1中约束形变得到的所有形变点的点坐标，也即受影响点变形后的点坐标；另一部分是固定点的位置，该部分区域不会发生形变。这两部分控制点结合得到的集合为C，则约束条件v'_j=c_j，其中j∈C，记C={1,2,...,m}，即存在m个控制点；

2.3保持果实上下端特征约束，也即果实的底端和顶端凹陷部分形状基本不变的特征，将凹陷部分所在区域的点集记为F={1,2,...,k}，为了使得凹陷部分的形状基本不变，需要满足的条件如下表达所示：

v'_i-v'_j=v_i-v_j,(i,j∈F)

其中，s为平衡因子；

将2.1、2.2和2.3的方程组结合，得到如下所示线性方程组：

$\left(\begin{array}{c}L\\ L_{m\&times;n}|0\\ I_{k\&times;n}|-I_{k\&times;n}\end{array}\right)V^{\&prime;}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{\&delta;}\\ C_{1:m}\\ s(v_{i:k}-v_{j:k})\end{array}\right)$

其中，I_k×n|-I_k×n表示有k行，每行的v'_i对应的列为1，v'_j对应的列为-1，其他点对应的列为0；I_m×n|0表示有m行，每行控制点v'_j对应的列为1，其他点对应的列为0，

是方程组的未知数，最后由最小二乘原理解此线性方程组，得到满足方程组的解，即每个点变形后的坐标。

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