CN103606163A - 基于四元数理论和canny算法的彩色图像边缘检测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于四元数理论和canny算法的彩色图像边缘检测方法，属于图像处理与计算机视觉领域。其步骤为：1）以四元数表示原始彩色图像；2）对彩色图像平滑滤波；3）构建彩色四元数边缘特征矩阵，用来分析彩色图像的边缘特性和结构特征；4）对步骤3）获得图像的梯度幅值进行非极大值抑制；5）双阈值方法检测和连接边缘。本发明利用四元数的代数运算和空间特性，以纯四元数表征彩色图像各个像素点，构建了彩色四元数边缘特征矩阵，用于分析彩色图像的边缘特性和结构特征，将边缘邻域亮度跳变和颜色跳变相融合，避免了传统算法色彩信息的缺失，减少了噪声的引入，提高了定位精度和抗噪性能。

Description

基于四元数理论和canny算法的彩色图像边缘检测方法

技术领域

本发明属于图像处理与计算机视觉领域，具体地说，涉及一种利用四元数这一代数工具，将其理论与传统灰度Canny算法相结合得到的一种抗噪性能好、定位精度高的彩色图像边缘检测的方法。

背景技术

图像的边缘定义为图像函数中不连续的点，包含了大量的图像特征信息，是区分物体与背景、感兴趣区域与周围信息的关键所在。传统的边缘检测算法主要是将要处理的图像灰度化后再处理，这样所需获得的图像边缘看作邻域内灰度值发生突变的像素点的集合。传统的经典算法有Roberts算子、Prewitt算子、Sobel算子、Canny算子等。这些算法对灰度图像处理有效，但由于缺乏色彩信息，处理彩色图像时，不能检测到物体亮度相同而颜色不同的区域，易出现边缘漏检现象。

随着人们生活对彩色图像的需求的日益增长，对彩色图像的处理也变得尤为重要，其中彩色图像的边缘检测处理则是最为基本却又很重要的。传统的灰度边缘检测算法，如Roberts算子、Prewitt算子、Sobel算子、Canny算子等，通过将图像灰度化再处理，图像中某物体边界上的像素点，其邻域将是一个灰度级变化带。衡量这种变化最有效的两个特征值就是灰度的变化率和变化方向，它们分别以梯度向量的幅值和方向来表示。对于连续图像f(x,y)，其方向导数在边缘（法线）方向上有局部最大值。因此，边缘检测就是求f(x,y)梯度的局部最大值和方向。通常以微分算子的形式表示各算法，然后采用快速卷积函数来实现，能够得到快速处理。然而这类方法，对噪声敏感，抗噪性能较差，带有不少噪声边缘，漏检色彩信息。相对而言性能较好的Canny算法也存在一些缺点，它在图像边缘检测中算法鲁棒性较差，而且有时候常含有较多的伪边缘；滤除噪声效果不佳；有时候我们不需要的边缘信息它也会都检测出来；最重要的一点是，灰度化之后再处理无可避免地会造成边缘的缺失，主要集中在颜色跳变边缘的缺失，定位精度不高。因此，近几年越来越多地开始研究各种彩色边缘检测算法，不再灰度化处理，直接对原彩色图像进行检测，尽量保留更多更准确的边缘特性。

现有对彩色图像边缘检测的灰度算法存在较多的缺陷，如文献1（李海洋,文永革.一种改进的彩色图像边缘检测方法[J].绵阳师范学院学报,2013,32(8)）中提到的roberts算法在边缘检测中对噪声很敏感，文献2（王璇.基于图像边缘提取的液位检测系统研究与实现[D].湖南大学,2010）和文献3（靳鹏飞.一种改进的Sobel图像边缘检测算法[J][J].应用光学,2008,29(4):625-628）提到的prewitt算法和sobel算法虽然能过滤掉部分噪声，但是抗噪性能依然很差，夹带较多噪声边缘，且边缘较粗，文献4（黄剑玲,郑雪梅.一种改进的基于Canny算子的图像边缘提取算法[J][J].计算机工程与应用,2008,44(25):170-172）中提到的canny算法过滤噪声效果较好，但是常常含有虚假边缘，对彩色图像边缘检测的鲁棒性也不好，此外，这些经典灰度算法存在共同的问题，即灰度化之后再处理无可避免地会造成边缘的缺失，主要集中在颜色跳变边缘的缺失，还有定位精度不高的问题。文献5（邢燕.四元数及其在图形图像处理中的应用研究[D].合肥工业大学,2009）中提到的四元数旋转彩色边缘检测方法虽然很好地保留了邻域边缘的色彩信息，但定位精度还可以提高，且抗噪性能也不是很理想。

发明内容

1.要解决的问题

现有对彩色图像边缘检测的灰度算法存在较多的问题，roberts算法在边缘检测中对噪声很敏感，prewitt算法和sobel算法抗噪性能依然很差，夹带较多噪声边缘，且边缘较粗，canny算法常常含有虚假边缘，对彩色图像边缘检测的鲁棒性也不好等问题，本发明提供一种基于四元数理论和canny算法的彩色图像边缘检测方法，利用四元数的代数运算和空间特性，以纯四元数表征彩色图像各个像素点，构建了彩色四元数边缘特征矩阵，用于分析彩色图像的边缘特性和结构特征，将边缘邻域亮度跳变和颜色跳变相融合，避免了传统算法色彩信息的缺失，减少了噪声的引入，提高了定位精度和抗噪性能。

2.技术方案

为了解决上述问题，本发明所采用的技术方案如下：

一种基于四元数理论和canny算法的彩色图像边缘检测方法，其步骤为：

1）以四元数表示原彩色图像，首先取一幅待处理的彩色图像，将该彩色图像的每一个像素都换算成由R、G、B三基色分量按照比例混合而来，即每一个像素可以由R、G、B三分量的组合形式来表示，此时将彩色图像的每一个像素都用一个实部为0的纯四元数q_r来表示：

q_r=Ri+Gj+Bk

其中i、j、k为相互垂直的三维空间单位向量，R、G、B分别表示图像某处红、绿、蓝三基色的灰度值；

2）对彩色图像平滑滤波

用高斯滤波器平滑图像，去除噪声，图像高斯滤波的实现通过用两个一维高斯核分别两次加权或者通过一个二维高斯核一次卷积实现；

选用一维高斯函数G（x）构造滤波器，分别按行和列对原始图像q(x,y)进行卷积操作，得到平滑图像I(x,y)：

其中： $G\left(x\right)=\frac{1}{2\mathrm{\π}{\mathrm{\σ}}^2}{e}^{-\frac{x^2}{{2\mathrm{\σ}}^2}}$

I(x,y)=[G(x)G(y)]*q(x,y)

σ是标准差，用于控制平滑程度；

3）构建彩色四元数边缘特征矩阵，用来分析彩色图像的边缘特性和结构特征，彩色四元数边缘特征矩阵表示为：

其中，q_rx是q_r在x方向的一阶微分，q_ry是q_r在y方向的一阶微分，q_rx□q_ry代表四元数的点积运算，是可交换积，上面的“—”则是代表利用高斯滤波器对四元数微分运算后的点积进行空间上的滤波处理；

对彩色四元数边缘特征矩阵进行特征值分析运算，获取新的梯度幅值和方向；

计算得，彩色四元数边缘特征矩阵表示为：

$P=\left(\begin{array}{cc}\stackrel{\‾}{{R_x}^2+{G_x}^2+{B_x}^2}& \stackrel{\‾}{R_x{R}_y+G_x{G}_y+B_x{B}_y}\\ \stackrel{\‾}{R_x{R}_y+G_x{G}_y+B_x{B}_y}& \stackrel{\‾}{{R_y}^2+{G_y}^2+{B_y}^2}\end{array}\right)$

对彩色四元数边缘特征矩阵进行特征值分析，设该矩阵特征值为λ，令|λE-P|=0，其中，E为单位矩阵，即有

通过计算得到彩色四元数边缘特征矩阵具有两个特征值λ₁和λ₂，其具体表达式如下：

${\mathrm{\λ}}_1=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}\stackrel{\‾}{{R_x}^2+{G_x}^2+{B_x}^2}+\stackrel{\‾}{{R_y}^2+{G_y}^2+{B_y}^2}+\\ \sqrt{{(\stackrel{\‾}{{R_x}^2+{G_x}^2+{B_x}^2}-\stackrel{\‾}{{R_y}^2+{G_y}^2+{B_y}^2})}^2+{\left(2\stackrel{\‾}{R_x{R}_y+G_x{G}_y+B_x{B}_y}\right)}^2}\end{array}\right)$

${\mathrm{\λ}}_2=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}\stackrel{\‾}{{R_x}^2+{G_x}^2+{B_x}^2}+\stackrel{\‾}{{R_y}^2+{G_y}^2+{B_y}^2}-\\ \sqrt{{(\stackrel{\‾}{{R_x}^2+{G_x}^2+{B_x}^2}-\stackrel{\‾}{{R_y}^2+{G_y}^2+{B_y}^2})}^2+{\left(2\stackrel{\‾}{R_x{R}_y+G_x{G}_y+B_x{B}_y}\right)}^2}\end{array}\right)$

其中，λ₁是第一特征值，λ₂是第二特征值

λ₁+λ₂表征了总的微分能量值；

λ₁是第一特征值，它表征了彩色图像局部色彩梯度变化最大处的微分能量，它所对应的特征向量表征了彩色图像局部色彩梯度变化最大的方向，通过计算可得其方向表达式如下：

$\mathrm{\θ}=\frac{1}{2}\arctan \left(\frac{2\stackrel{\‾}{R_x{R}_y+G_x{G}_y+B_x{B}_y}}{\stackrel{\‾}{{R_x}^2+{G_x}^2+{B_x}^2}-\stackrel{\‾}{{R_y}^2+{G_y}^2+{B_y}^2}}\right)$

λ₂是第二特征值，它表征了垂直于局部色彩突出变化方向的能量；

4）对步骤3）获得图像的梯度幅值进行非极大值抑制；

5）双阈值方法检测和连接边缘。

优选地，所述的步骤4）的梯度幅值为

3.有益效果

相比于现有技术，本发明的有益效果为：

（1）本发明构建了彩色四元数边缘特征矩阵，相较于传统canny算法，能够更准确地表征彩色图像的色彩信息和轮廓特征，更好地分析彩色图像的边缘特性和结构特征；

（2）本发明对构建的彩色四元数边缘特征矩阵进行特征值运算分析，通过对幅值和能量的关系分析，巧妙地获得了新的梯度幅值，即表征彩色图像局部色彩梯度变化最大处的微分量λ₁的平方根，相比于传统canny算法的梯度幅值计算方法，将边缘邻域亮度跳变和颜色跳变很好地融合，大大减少了色彩信息的缺失，提高了定位精度。

（3）本发明结构简单，设计合理，易于制造。

附图说明

图1为本发明算法流程图；

图2为本发明具体实施方式中所处理的一个彩色图像；

图3为采用灰度canny检测所处理的图2的结果；

图4为采用本发明所处理的图2的结果；

图5为本发明具体实施方式中所处理的一个人工合成色卡图；

图6为各类算法对图5人工合成色卡的检测结果，其中（a）为roberts算法检测图、(b)为prewitt算法检测图、(c)为sobel算法检测图、（d）为canny算法检测图、（e）为本发明检测图；

图7为各类算法图处理图5时对加入方差为0.05高斯噪声的图像的检测结果，其中（a）为roberts算法检测图、(b)为prewitt算法检测图、(c)为sobel算法检测图、（d）为canny算法检测图、（e）为本发明检测图；

图8为各类算法处理图5时对加入密度为0.02椒盐噪声的图像的检测结果，其中（a）为roberts算法检测图、(b)为prewitt算法检测图、(c)为sobel算法检测图、（d）为canny算法检测图、（e）为本发明检测图。

具体实施方式

本发明克服了传统灰度边缘检测算法抗噪性能差、带有伪边缘、漏检色彩信息等问题。通过构建彩色四元数边缘特征矩阵，获取新的梯度幅值和方向的计算方法，将亮度信息和色彩信息有效融合，实验表明，本算法抗噪性能强，边缘定位精度高。下面将结合实验结果对本发明加以详细说明。

考虑四元数的空间特性与RGB空间彩色图像像素的信息构成，以纯四元数表示RGB空间彩色图像；结合四元数代数运算和矩阵理论，构建表征彩色图像轮廓特征和色彩信息的彩色四元数边缘特征矩阵。

对于一幅连续图像，我们采用采样的方式实现图像的离散化，将其以二维矩阵的形式来表示，矩阵中的每一个元素都对应原图像中的一个像素点。在RGB颜色空间中，R、G、B这三个颜色分量刚好是相互正交的，因此对于彩色图像的处理，传统的研究方法是分别对这三个相互正交的分量单独处理，将一幅彩色图像分为三个灰度图像去处理，然后将处理后的结果再进行叠加。很显然，这种方法忽略了三个颜色通道之间的相互关联性，分开来单独处理会破环三通道的相关性。

给定一幅彩色图像，它的每一个像素都是由R、G、B三基色分量按照一定的比例混合而来，即每一个像素可以由R、G、B三分量的组合形式来表示。这样，彩色图像的每一个像素都可以用一个实部为0的纯四元数来表示：

q_r=Ri+Gj+Bk

其中i、j、k为相互垂直的三维空间单位向量，R、G、B分别表示图像某处红、绿、蓝三基色的灰度值。这样，一幅RGB空间的彩色图像就可以用四元数矩阵的形式来表示。那么处理彩色图像时，就不再需要将其分割开单独在某个通道上处理，而可以将其视为一个整体来处理，这样可以获得更加准确的图像信息和处理信息。

构建彩色四元数边缘特征矩阵，它可以用来分析彩色图像的边缘特性和结构特征。对于RGB三通道真彩图像，用四元数表示q_r，则彩色四元数边缘特征矩阵可以表示为：

其中，q_rx是q_r在x方向的一阶微分，q_ry是q_r在y方向的一阶微分，q_rx□q_ry代表四元数的点积运算，是可交换积，上面的“—”则是代表利用高斯滤波器对四元数微分运算后的点积进行空间上的滤波处理。

对彩色四元数边缘特征矩阵进行特征值分析运算，获取新的梯度幅值和方向，用于代替传统Canny算法中的梯度幅值和方向的计算方法。

对前面所构建的彩色四元数边缘特征矩阵进行特征值运算。

纯四元数的点积运算以q_rx□q_ry为例，

同理可得，

则彩色四元数边缘特征矩阵可以表示为：

$P=\left(\begin{array}{cc}\stackrel{\‾}{{R_x}^2+{G_x}^2+{B_x}^2}& \stackrel{\‾}{R_x{R}_y+G_x{G}_y+B_x{B}_y}\\ \stackrel{\‾}{R_x{R}_y+G_x{G}_y+B_x{B}_y}& \stackrel{\‾}{{R_y}^2+{G_y}^2+{B_y}^2}\end{array}\right)$

彩色四元数边缘特征矩阵描述了图像中某一点的一阶导数的结构特征。对彩色四元数边缘特征矩阵进行特征值分析，设该矩阵特征值为λ，令|λE-P|=0，其中，E为单位矩阵，即有

通过计算可以得到彩色四元数边缘特征矩阵具有两个特征值λ₁和λ₂，其具体表达式如下：

${\mathrm{\λ}}_1=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}\stackrel{\‾}{{R_x}^2+{G_x}^2+{B_x}^2}+\stackrel{\‾}{{R_y}^2+{G_y}^2+{B_y}^2}+\\ \sqrt{{(\stackrel{\‾}{{R_x}^2+{G_x}^2+{B_x}^2}-\stackrel{\‾}{{R_y}^2+{G_y}^2+{B_y}^2})}^2+{\left(2\stackrel{\‾}{R_x{R}_y+G_x{G}_y+B_x{B}_y}\right)}^2}\end{array}\right)$

${\mathrm{\λ}}_2=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}\stackrel{\‾}{{R_x}^2+{G_x}^2+{B_x}^2}+\stackrel{\‾}{{R_y}^2+{G_y}^2+{B_y}^2}-\\ \sqrt{{(\stackrel{\‾}{{R_x}^2+{G_x}^2+{B_x}^2}-\stackrel{\‾}{{R_y}^2+{G_y}^2+{B_y}^2})}^2+{\left(2\stackrel{\‾}{R_x{R}_y+G_x{G}_y+B_x{B}_y}\right)}^2}\end{array}\right)$

其中，λ₁是第一特征值，λ₂是第二特征值

λ₁+λ₂表征了总的微分能量值；

λ₁是第一特征值，它表征了彩色图像局部色彩梯度变化最大处的微分能量，它所对应的特征向量表征了彩色图像局部色彩梯度变化最大的方向，通过计算可得其方向表达式如下：

$\mathrm{\θ}=\frac{1}{2}\arctan \left(\frac{2\stackrel{\‾}{R_x{R}_y+G_x{G}_y+B_x{B}_y}}{\stackrel{\‾}{{R_x}^2+{G_x}^2+{B_x}^2}-\stackrel{\‾}{{R_y}^2+{G_y}^2+{B_y}^2}}\right)$

λ₂是第二特征值，它表征了垂直于局部色彩突出变化方向的能量。

通过特征值分析获取新的梯度幅值和方向；

通过对彩色四元数边缘特征矩阵的计算和分析，可以将表征彩色图像局部色彩梯度变化最大处的微分能量的主特征值λ₁结合传统Canny算法步骤中计算梯度幅值。当一幅彩色图像用纯四元数表示以后，以微分能量的概念去考虑局部色彩梯度的变化，而能量与幅值之间是有联系的，一般局部点的能量可以表示为该点幅值的平方，即有：

能量=幅值²，

于是以表征微分能量的主特征值λ₁的平方根

来表示梯度幅值。这样，就提出了本发明——基于四元数的彩色Canny边缘检测算法，用彩色四元数边缘特征矩阵计算所得到的主特征值取代传统Canny算法中的梯度幅值。主特征值λ₁表征彩色图像局部色彩梯度变化最大处的微分能量，于是以微分能量的平方根

代替传统Canny算法中的梯度幅值，梯度幅值的方向也已经推导出。

实施例1

以传统Canny算法为基础，逐步实现本发明的算法，如图1所示，具体过程如下：

1）以四元数表示原彩色图像，首先取一幅待处理的彩色图像，将该彩色图像的每一个像素都换算成由R、G、B三基色分量按照比例混合而来，即每一个像素可以由R、G、B三分量的组合形式来表示，此时将彩色图像的每一个像素都用一个实部为0的纯四元数q_r来表示：

q_r=Ri+Gj+Bk

其中i、j、k为相互垂直的三维空间单位向量，R、G、B分别表示图像某处红、绿、蓝三基色的灰度值；

2）对彩色图像平滑滤波

用高斯滤波器平滑图像，去除噪声，图像高斯滤波的实现通过用两个一维高斯核分别两次加权或者通过一个二维高斯核一次卷积实现；

本实施例选用一维高斯函数G（x）构造滤波器，分别按行和列对原始图像q(x,y)进行卷积操作，得到平滑图像I(x,y)：

其中： $G\left(x\right)=\frac{1}{2\mathrm{\π}{\mathrm{\σ}}^2}{e}^{-\frac{x^2}{{2\mathrm{\σ}}^2}}$

I(x,y)=[G(x)G(y)]*q(x,y)

σ是标准差，用于控制平滑程度；

3）构建彩色四元数边缘特征矩阵，用来分析彩色图像的边缘特性和结构特征，彩色四元数边缘特征矩阵表示为：

其中，q_rx是q_r在x方向的一阶微分，q_ry是q_r在y方向的一阶微分，q_rx□q_ry代表四元数的点积运算，是可交换积，上面的“—”则是代表利用高斯滤波器对四元数微分运算后的点积进行空间上的滤波处理；

对彩色四元数边缘特征矩阵进行特征值分析运算，获取新的梯度幅值和方向；

计算得，彩色四元数边缘特征矩阵表示为：

$P=\left(\begin{array}{cc}\stackrel{\‾}{{R_x}^2+{G_x}^2+{B_x}^2}& \stackrel{\‾}{R_x{R}_y+G_x{G}_y+B_x{B}_y}\\ \stackrel{\‾}{R_x{R}_y+G_x{G}_y+B_x{B}_y}& \stackrel{\‾}{{R_y}^2+{G_y}^2+{B_y}^2}\end{array}\right)$

对彩色四元数边缘特征矩阵进行特征值分析，设该矩阵特征值为λ，令|λE-P|=0，其中，E为单位矩阵，即有

通过计算得到彩色四元数边缘特征矩阵具有两个特征值λ₁和λ₂，其具体表达式如下：

${\mathrm{\λ}}_1=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}\stackrel{\‾}{{R_x}^2+{G_x}^2+{B_x}^2}+\stackrel{\‾}{{R_y}^2+{G_y}^2+{B_y}^2}+\\ \sqrt{{(\stackrel{\‾}{{R_x}^2+{G_x}^2+{B_x}^2}-\stackrel{\‾}{{R_y}^2+{G_y}^2+{B_y}^2})}^2+{\left(2\stackrel{\‾}{R_x{R}_y+G_x{G}_y+B_x{B}_y}\right)}^2}\end{array}\right)$

${\mathrm{\λ}}_2=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}\stackrel{\‾}{{R_x}^2+{G_x}^2+{B_x}^2}+\stackrel{\‾}{{R_y}^2+{G_y}^2+{B_y}^2}-\\ \sqrt{{(\stackrel{\‾}{{R_x}^2+{G_x}^2+{B_x}^2}-\stackrel{\‾}{{R_y}^2+{G_y}^2+{B_y}^2})}^2+{\left(2\stackrel{\‾}{R_x{R}_y+G_x{G}_y+B_x{B}_y}\right)}^2}\end{array}\right)$

其中，λ₁是第一特征值，λ₂是第二特征值

λ₁+λ₂表征了总的微分能量值；

λ₁是第一特征值，它表征了彩色图像局部色彩梯度变化最大处的微分能量，它所对应的特征向量表征了彩色图像局部色彩梯度变化最大的方向，通过计算可得其方向表达式如下：

$\mathrm{\θ}=\frac{1}{2}\arctan \left(\frac{2\stackrel{\‾}{R_x{R}_y+G_x{G}_y+B_x{B}_y}}{\stackrel{\‾}{{R_x}^2+{G_x}^2+{B_x}^2}-\stackrel{\‾}{{R_y}^2+{G_y}^2+{B_y}^2}}\right)$

λ₂是第二特征值，它表征了垂直于局部色彩突出变化方向的能量；

4）对步骤3）获得图像的梯度幅值进行非极大值抑制；

梯度幅值为

梯度方向为前面的方向表达式中所列出的公式所示。非极大值抑制，通俗意义上讲就是寻找像素点局部最大值，将非极大值点所对应的值置0；具体地，要进行非极大值抑制，首先要确定邻域的中心像素值在其8值邻域内是否为最大。这就需要将中心像素与沿着梯度方向上的两个像素进行比较，经过比较判断，如果发现中心像素值小于这两个像素中的一个，那么就可以判定，该中心像素不是局部极大值，就不能把它判定为边缘，像素值置0。反之，若中心像素值比这两个像素都大，则可认为是边缘像素。因此，在完成非极大值抑制后，得到的是一个二值图像，于是可以将非边缘点像素值全部设置为0，而可能为边缘像素的点的灰度值可以设置为128。

5）双阈值方法检测和连接边缘。

对上述进行非极大值抑制处理后的二值图像作用高低双阈值，一般高阈值和低阈值满足一定的比例，多数情况下是通过实验总结确定的阈值。

对图像作用高阈值Th1，即梯度值小于Th1的像素灰度值都设置为0，这样处理之后得到图像A，能够去除图像中的大部分噪声，得到较清晰的边缘，但是一些重要的细节边缘信息却丢失了；对图像作用低阈值Th2，即梯度值小于Th2的像素灰度值都设置为0，这样获得的图像B保留了很多的边缘信息，包含了很多细节信息，但是却含有不少的噪声。高阈值图像给出了边缘的清晰轮廓，但是会有一些间断点，这就需要低阈值图像进行补充，因此，为获得比较理想的边缘图像，采用边缘连接的方法，以高阈值图像为基础，低阈值图像为补充连接两幅图像的边缘，具体步骤如下：

a）对图像A进行扫描，如果遇到一个像素M，它的灰度非零，那么就跟踪以它为始端的轮廓线，直到该轮廓线的终点N；

b）在图像B中找到与图像A中N点对应的位置像素，考察该点的8邻域，如果分析得该点的8邻域中存在非零像素，那么就将其包括到图像A中，记为像素P，然后以P为始端，重复第a）步操作，直到无法再继续为止；

c）由此最终可以连接好包含M的轮廓线，然后将该轮廓线记为已经访问。重新回到第a）步，扫描获得新的类似M的像素点，以此寻找下一条的轮廓线；

d）重复以上步骤a）、b）、c），直到在图像A中再也找不到更多的轮廓线。

用峰值信噪比PSNR和Pratt品质因数两个指标来比较本发明与各类传统算法的性能。

PSNR可以用于比较对噪声的抑制能力，PSNR值越大，性能越好。

$\mathrm{PSNR}=10\lg \left(\frac{a_{\max }^2}{\mathrm{MSE}}\right)$

式中，MSE为均方误差，a(i,j)和

分别为原始图像和重建图像中对应的灰度值或色彩值，MN为M×N图像的总像素数，a_max=2ⁿ-1，n表示一个像素点所占用的2进制位数，常取n=8。

Pratt品质因数则用来确定定位精度，

$\mathrm{pratt}=\frac{1}{\max (I_A,I_I)}\underset{i=1}{\overset{I_A}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{1+\mathrm{\α}{d}_i^2}\×100\%$

其中，I_A，I_I，d分别是检测到的边缘、理想边缘、实际边缘点与理想边缘点连线的垂直距离，α（实验中取0.1）是用于惩罚错位边缘的常数，Pratt值越大，表明检测器性能越好，当完全精确检测时Pratt=100%。

采用本发明和采用灰度canny检测方法分别对图2进行处理，处理结果图3和4所示，再用各种算法对图5进行处理，处理结果如图6所示；然后再用各类算法在加入方差为0.05高斯噪声的情况下处理图5，处理结果如图7所示，其中（a）为roberts算法检测图、(b)为prewitt算法检测图、(c)为sobel算法检测图、（d）为canny算法检测图、（e）为本发明检测图；然后再用各类算法在加入方差为0.05高斯噪声的情况下处理图5，处理结果如图8所示，其中（a）为roberts算法检测图、(b)为prewitt算法检测图、(c)为sobel算法检测图、（d）为canny算法检测图、（e）为本发明检测图；

除了图6、图7和图8以外，还分别对含方差为0.1、0.15、0.2和0.5高斯噪声的图像和密度为0.05、0.1、0.15和0.2椒盐噪声的图像进行了检测，以下计算出了各类算法在不同噪声环境下对应的PSNR值和Pratt值，理想边缘为合成色卡图像的真实边缘。

表1高斯噪声下各算法的PSNR值

表2高斯噪声下各算法的Pratt值

由图7直观上可以看出，加噪声后，本发明的检测效果最好，比传统canny算法具有更清晰更全面的边缘信息。由表1看出，对于相同的噪声环境，本发明获得的PSNR值最高，且随着高斯白噪声方差的不断增大，传统算法的PSNR值减小的幅度更大。相对于传统canny算法，本发明和它的PSNR值之差越来越大，说明噪声越大，本发明越具有优势。

再看表2的Pratt值，加入方差0.05的高斯白噪声之后，几种一阶微分算法（roberts、prewitt、sobel）的Pratt品质因数稍有下降，仍然具有较高的定位精度，而传统canny算法的Pratt值则急剧下降，本发明也略有下降，但幅度不大。随着噪声方差的增大，一阶微分算法roberts算法的Pratt值骤减，canny算法也有所下降，而prewitt算法、sobel算法和本发明则具有较高的Pratt值，且Pratt值依然最大。当方差达到0.5时，本发明Pratt值就明显高于其他算法。

表3椒盐噪声下各算法的PSNR值

表4椒盐噪声下各算法的Pratt值

由表3和表4看出，类似于加入高斯白噪声的情况，加入椒盐噪声时可以得出同样的结论，相对于传统算法，本发明依然具有更高的PSNR值，具有更好的抗噪性能。而且，观察各种算法PSNR值的衰减程度可以发现，椒盐噪声对图像的影响程度确实比高斯白噪声要大。这一点从表4中也可以看出，因为当椒盐噪声的密度达到0.2时，各种算法的Pratt值都骤降，几乎都在0.1左右。与加入高斯白噪声时有所不同，一旦加入椒盐噪声，一阶微分算法roberts算法的Pratt值骤减，其他几种算法则依旧具有较高的Pratt值，而当密度达到0.1时，几种一阶微分算法（roberts、prewitt、sobel）的Pratt值都降到了0.2以下，而canny算法和本发明则仍然保持在0.9以上，当噪声密度达到0.15以上时，canny算法的Pratt值也明显减小很多，本发明比传统canny算法具有明显高的Pratt值。

本发明是一种基于四元数和矩阵理论的彩色Canny边缘检测方法，以四元数表示彩色图像，构建了表征彩色图像轮廓特征和色彩信息的彩色四元数边缘特征矩阵，找到新的梯度幅值和方向的计算方法，从而改进了传统Canny算法。通过实验仿真，利用峰值信噪比PSNR和Pratt品质因数两个性能评价指标对本发明和几种传统的算法进行客观比较和分析证明，本发明不仅是有效可行的，而且比传统算法具有更好的检测性能，尤其是处理含噪声图像时，具有更好的抗噪声性能和更高的边缘定位精度。

实施例2

同实施例1，所不同的是图像高斯滤波的实现通过一个二维高斯核一次卷积实现；本领域技术人员根据前面的描述，可以得以实现，此处不再赘述。

以上所述仅是本发明中的具体实施例，但本发明的范围不应由该描述来限定。本领域的技术人员应该理解，在不脱离本发明的范围的任何修改或局部替换，均属于本发明权利要求来限定的范围。

Claims (2)

1.一种基于四元数理论和canny算法的彩色图像边缘检测方法，其步骤为：

1）以四元数表示原彩色图像，首先取一幅待处理的彩色图像，将该彩色图像的每一个像素都换算成由R、G、B三基色分量按照比例混合而来，即每一个像素可以由R、G、B三分量的组合形式来表示，此时将彩色图像的每一个像素都用一个实部为0的纯四元数q_r来表示：

q_r=Ri+Gj+Bk

其中i、j、k为相互垂直的三维空间单位向量，R、G、B分别表示图像某处红、绿、蓝三基色的灰度值；

2）对彩色图像平滑滤波

用高斯滤波器平滑图像，去除噪声，图像高斯滤波的实现通过用两个一维高斯核分别两次加权或者通过一个二维高斯核一次卷积实现；

选用一维高斯函数G（x）构造滤波器，分别按行和列对原始图像q(x,y)进行卷积操作，得到平滑图像I(x,y)：

其中： $G\left(x\right)=\frac{1}{2\mathrm{\π}{\mathrm{\σ}}^2}{e}^{-\frac{x^2}{{2\mathrm{\σ}}^2}}$

I(x,y)=[G(x)G(y)]*q(x,y)

σ是标准差，用于控制平滑程度；

3）构建彩色四元数边缘特征矩阵，用来分析彩色图像的边缘特性和结构特征，彩色四元数边缘特征矩阵表示为：

其中，q_rx是q_r在x方向的一阶微分，q_ry是q_r在y方向的一阶微分，q_rx□q_ry代表四元数的点积运算，是可交换积，上面的“—”则是代表利用高斯滤波器对四元数微分运算后的点积进行空间上的滤波处理；

对彩色四元数边缘特征矩阵进行特征值分析运算，获取新的梯度幅值和方向；

计算得，彩色四元数边缘特征矩阵表示为：

$P=\left(\begin{array}{cc}\stackrel{\‾}{{R_x}^2+{G_x}^2+{B_x}^2}& \stackrel{\‾}{R_x{R}_y+G_x{G}_y+B_x{B}_y}\\ \stackrel{\‾}{R_x{R}_y+G_x{G}_y+B_x{B}_y}& \stackrel{\‾}{{R_y}^2+{G_y}^2+{B_y}^2}\end{array}\right)$

对彩色四元数边缘特征矩阵进行特征值分析，设该矩阵特征值为λ，令|λE-P|=0，其中，E为单位矩阵，即有

通过计算得到彩色四元数边缘特征矩阵具有两个特征值λ₁和λ₂，其具体表达式如下：

${\mathrm{\λ}}_1=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}\stackrel{\‾}{{R_x}^2+{G_x}^2+{B_x}^2}+\stackrel{\‾}{{R_y}^2+{G_y}^2+{B_y}^2}+\\ \sqrt{{(\stackrel{\‾}{{R_x}^2+{G_x}^2+{B_x}^2}-\stackrel{\‾}{{R_y}^2+{G_y}^2+{B_y}^2})}^2+{\left(2\stackrel{\‾}{R_x{R}_y+G_x{G}_y+B_x{B}_y}\right)}^2}\end{array}\right)$

${\mathrm{\λ}}_2=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}\stackrel{\‾}{{R_x}^2+{G_x}^2+{B_x}^2}+\stackrel{\‾}{{R_y}^2+{G_y}^2+{B_y}^2}-\\ \sqrt{{(\stackrel{\‾}{{R_x}^2+{G_x}^2+{B_x}^2}-\stackrel{\‾}{{R_y}^2+{G_y}^2+{B_y}^2})}^2+{\left(2\stackrel{\‾}{R_x{R}_y+G_x{G}_y+B_x{B}_y}\right)}^2}\end{array}\right)$

其中，λ₁是第一特征值，λ₂是第二特征值

λ₁+λ₂表征了总的微分能量值；

λ₁是第一特征值，它表征了彩色图像局部色彩梯度变化最大处的微分能量，它所对应的特征向量表征了彩色图像局部色彩梯度变化最大的方向，通过计算可得其方向表达式如下：

$\mathrm{\θ}=\frac{1}{2}\arctan \left(\frac{2\stackrel{\‾}{R_x{R}_y+G_x{G}_y+B_x{B}_y}}{\stackrel{\‾}{{R_x}^2+{G_x}^2+{B_x}^2}-\stackrel{\‾}{{R_y}^2+{G_y}^2+{B_y}^2}}\right)$

λ₂是第二特征值，它表征了垂直于局部色彩突出变化方向的能量；

4）对步骤3）获得图像的梯度幅值进行非极大值抑制；

5）双阈值方法检测和连接边缘。

2.根据权利要求1所述的基于四元数理论和canny算法的彩色图像边缘检测方法，其特征在于：所述的步骤4）的梯度幅值为

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