CN103530884A - 基于边缘保护多尺度形变配准的图像引导自适应算法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于边缘保护多尺度形变配准的图像引导自适应算法，包括：（1）基于非线性扩散的TV全变差模型，建立具有边缘保护性质多尺度空间，多尺度空间根据图像中轮廓结构的几何尺寸大小对图像进行多尺度分解；（2）多尺度空间与由粗到精的自由形变网格模型相结合，根据尺度图像细节的复杂度进行自适应调节形变网格密度；（3）通过对非线性扩散模型中平滑参数λ的自动估计，构建全自动多尺度配准方案。该算法能有效提高形变配准精度、速度及鲁棒性。

Description

基于边缘保护多尺度形变配准的图像引导自适应算法

技术领域

本发明涉及一种医学图像分析与处理技术领域的方法，尤其是一种基于边缘保护多尺度形变配准的图像引导自适应算法。

背景技术

目前IGRT系统（图像引导放射治疗系统，Image guided radiation therapy，IGRT)中针对计划CT（PCT）与日常放疗时的CBCT图像配准大多采用的是刚体配准算法。

文献1—J.Pouliot,A.Bani-Hashemi,J.Chen,M.Svatos,F.Ghelmansarai,and et al.,“Low-dose megavoltage cone-beam CT for radiation therapy,”International Journal of RadiationOncology Biology Physics,vol.61,no.2,pp.552-560,2005（J.Pouliot,A.Bani-Hashemi,J.Chen,M.Svatos,F.Ghelmansarai,et al.低剂量兆伏级锥形束CT的放射治疗.国际放射肿瘤学生物学物理学杂志.2005,61（2）：552-560）中用低剂量MV-CBCT获得无脉冲伪影的三维图像，采用刚体配准算法，分别用手工和基于互信息的方法配准图像，并融合KV级PCT图像进行位置校正，椎管和鼻咽融合可精确到1mm。刚体配准算法在一定程度上纠正了摆位误差，但远不能达到临床所需。因此必须研究有效的形变配准算法用于PCT与CBCT的配准，这是当前IGRT技术中的热点问题，国内外多位学者进行了有益的探索。

文献2—T.Li,E.Schreibmann,Y.Yang,and L.Xing,“Motion correction for improved targetlocalization with on-board cone-beam computed tomography,”Physics in Medicine and Biology,vol.51,no.2,pp.253-267,2006（T.Li,E.Schreibmann,Y.Yang,L.Xing.运动校正来提高基于板上锥形束CT的目标定位.物理学在医学与生物学中的应用.2006,51（2）：253-267）中首先利用贝叶斯最大后验概率理论来准确分割计划CT和CBCT中的不同组织，然后基于这些不同的组织利用光流体模型来实现形变配准。

文献3—J.Wu,M.J.Murphy,E.Weiss,W.C.Sleeman,and J.Williamson,“Developmentof a population-based model of surface segmentation uncertainties for uncertainty-weighteddeformable image registrations,”Medical Physics,vol.37,no.2,pp.607-614,2010（J.Wu,M.J.Murphy,E.Weiss,W.C.Sleeman,J.Williamson.发展一种基于人群的不确定性表面分割模型用于不确定性加权图像形变配准.医学物理学.2010,37(2):607-614）中则利用统计的方法，通过提取配准目标的表面，利用B样条模型实现了基于表面的形变配准，并用前列腺患者的PCT与CBCT图像验证了算法的有效性。上述配准研究中往往采用互信息作为配准方案的相似性测度，而互信息的计算需要估计概率密度函数，对于三维医学图像数据来说，计算量较大，难以满足临床的实时性要求。另外，互信息自身的计算缺少空间位置信息。且由于计划CT与CBCT配准时,全局形变和局部形变并存,而且不同病例的形变差别较大,尽管上述各种方法在恢复形变时各有特点,但用于自适应放疗恢复形变时,还是存在算法复杂、耗时巨大、有些还需要进行手工标记、不能实现全自动或者半自动配准等诸多问题，束缚了它们在临床图像引导放射系统中的应用。

发明内容

本发明的目的是为克服上述现有技术的不足，提供一种基于边缘保护多尺度形变配准的图像引导自适应算法，该算法能有效提高形变配准精度、速度及鲁棒性。

为实现上述目的，本发明采用下述技术方案：

一种基于边缘保护多尺度形变配准的图像引导自适应算法，包括

（1）基于非线性扩散的TV(Total Variation)全变差模型，建立具有边缘保护性质多尺度空间，多尺度空间根据图像中轮廓结构的几何尺寸大小对图像进行多尺度分解；

（2）多尺度空间与由粗到精的自由形变网格模型相结合，根据尺度图像细节的复杂度进行自适应调节形变网格密度；

（3）通过对非线性扩散模型中平滑参数λ的自动估计，构建全自动多尺度配准方案。

所述步骤（1）中的非线性扩散的TV(Total Variation)全变差模型，其具有较好的边缘保护性质，与L1范数的正则项相结合，从而适合医学图像的多尺度演化和分解。

所述步骤（1）具体实现如下：

a).预处理，输入参考图像与目标图像，使用TV-L1对图像平滑滤波，去除噪声和高频振荡成分，同时仅平滑图像内部区域，而在横跨边缘的方向，平滑被抑制，从而保持图像边缘；

b).然后根据图像中轮廓结构的几何尺寸大小对图像进行多尺度分解，本发明实施时采用三层分解，由高到低分别为尺度Ⅲ、尺度Ⅱ、尺度Ⅰ；在某一尺度上，通过改变能量函数中相应的参数，去除选定参数对应的几何结构图像细节，而非本参数所对应的几何结构的轮廓和边缘信息得以保留，这一特性与人体组织器官的解剖结构特征相对应；因此，图像中不同几何结构大小的轮廓将会在不同的尺度上保留下来；由此得到一组由粗及精的多尺度图像；由于非线性扩散模型具有较好的边缘保护性质，这些不同尺度上的轮廓和边缘信息均保持良好，能为基于互信息的分层配准提供丰富的空间位置信息；

c）利用塔式算法对分解后的图像分别进行等距离抽取，得到TV-L1金字塔。

所述步骤（2）中采用通过控制网格粗糙程度来设置不同复杂程度的B样条自由形变模型与边缘保护多尺度空间结合，来实现多尺度配准框架；基于B样条的自由形变模型优势在于，任何一个控制点仅与邻近的控制区域有关系，改变其中某一控制点，只改变局部的变形而不影响全局变形；在不同的尺度空间图像上，采用不同精细尺度的自由形变网格来控制恢复形变的性能和配准过程所使用的时间。

使用大小为16x16方阵的自由形变网格表达局部的形变细节特征，而16x16方阵的的自由形变网格经过采样后获得的大小为8x8和4x4方阵的自由形变网格表达全局的形变特征，这三个尺度下的自由形变网格分别描述多尺度图像三层分解中图像的形变特征；这一性质恰好对应提出的多尺度图像分解性质；使用4x4和8x8方阵的的自由形变网格来恢复尺度Ⅰ和尺度Ⅱ下图像上的形变，使用16x16方阵的的自由形变网格来恢复原尺度下即尺度Ⅲ图像上的形变，在高尺度上恢复形变时，是以低尺度上得到的形变域作为初始值来恢复形变。

所述步骤（3）中，利用非线性扩散模型进行多尺度配准时，需要对能量函数中的参数λ进行估计，λ与图像中不同组织的轮廓结构几何尺寸大小具有定量关系；实际应用时，需根据图像中轮廓的尺度大小选择相应的λ；定义下式来自动获取λ的最优参数：

$\begin{array}{c}\min {\left(\mathrm{Disp}\right)}_{\mathrm{\λ}({\mathrm{\λ}}_R^1,{\mathrm{\λ}}_R^2,\mathrm{\Λ},{\mathrm{\λ}}_R^m;{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\Γ}}^1,{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\Γ}}^2,\mathrm{\Λ}{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\Γ}}^m)}\\ =\min \left(\right|x^{\text{'}}-x|+|y^{\text{'}}-x|+|z^{\text{'}}-z|+\frac{180}{\mathrm{\π}}\left(\right|{\mathrm{\θ}}_1^{\text{'}}-{\mathrm{\θ}}_1|+|{\mathrm{\θ}}_2^{\text{'}}-{\mathrm{\θ}}_2|+|{\mathrm{\θ}}_3^{\text{'}}-{\mathrm{\θ}}_3\left|\right))\end{array}$

式中，

Λ,

为参考图像进行m阶多尺度分解所使用的平滑参数，

Λ,

为目标图像进行m阶多尺度分解所使用的平滑参数；x,y,z为表示参考图像像素点三个方向上的平移参数，θ₁,θ₂,θ₃为表示参考图像像素点三个方向上旋转参数，x'、y'、z'为目标图像像素点三个方向上的平移参数、θ₁'、θ₂'、θ₃'为目标图像像素点三个方向上的旋转参数，通过这些参数来计算三维参考图像和目标图像的空间变换。

本发明的有益效果是，与现有技术相比，本发明使用具有边缘保护性质的多尺度空间构造多尺度配准框架，边缘信息将通过一系列尺度空间图像得以展示，随着演化的深入，图像的关键边缘特征得以保留，而细节、纹理和噪声等特征逐渐消失。被保护的边缘和轮廓等空间位置信息可以为基于互信息的配准提供丰富的空间位置信息，从而有效提高配准精度与鲁棒性，而多尺度策略可保证配准的速度。经过多尺度分解后，粗糙的尺度上具有极少的细节，在这种情况下，本发明使用较少的自由形变网格来恢复形变，这对于保持较高的鲁棒性恢复全局形变具有优势。对于精细尺度，由于含有较多的细节形变特征，本发明使用较密集的自由形变网格来恢复细节形变，保持了较高的精度。在精细尺度上恢复形变时以粗糙尺度得到的形变域作为初始值来恢复形变，因此，在精细尺度上配准时仍具有较快的速度。

本发明可自动估计非线性扩散模型中的平滑参数，进而构建精度和速度均能满足临床应用的全自动多尺度配准方案。

附图说明

图1为本发明多尺度形变配准算法流程图；

图2为本发明TV-L1多尺度空间对CT图像进行分解图；

图3为本发明高斯尺度空间对CT图像进行分解图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明进一步说明。

如图1-3所示，基于边缘保护多尺度形变配准的图像引导自适应算法，具体实施步骤如下：

（1）基于非线性扩散模型，建立边缘保护性质多尺度空间，根据图像中轮廓结构的几何尺寸大小对图像多尺度分解；具体实现如下：

（a）预处理。输入参考图像与目标图像，使用TV-L1对图像平滑滤波，去除噪声和其他高频成分，预处理后图像分别为R(λ₀),F(λ₀)；

（b）R(λ₀)和F(λ₀)进行基于TV-L1边缘保护空间多尺度分解。假设原始图像I₀由尺度Ⅱ下的轮廓图像I和尺度Ⅰ下的细节图像V(V(x)=I₀-I(x))组成，细节图像中仅包含噪声和震荡成分，求解轮廓图像的非线性扩散模型TV-L1可表示为如下能量函数：

$E(I,\mathrm{\λ})=\underset{I}{\min }\underset{\mathrm{\Ω}}{\∫}|\▿I\left(x\right)|\mathrm{dx}+\mathrm{\λ}|I_0\left(x\right)-I\left(x\right)|\mathrm{dx}---\left(1\right)$

求解式（1）等价于求解如下水平集问题：

$\underset{I}{\min }{\∫}_{-\∞}^{+\∞}\mathrm{Per}\left(\right\{x:I\left(x\right)>I\left\}\right)+\mathrm{\λVol}\left(\right\{x:I\left(x\right)>I\}\⊕\{x:I_0\left(x\right)>I\})\mathrm{dI}---\left(2\right)$

特别说明，Per(.)表示周长统计，Vol(.)是体积统计，λ是平滑因子，它的选择决定图像中细节被平滑的程度，对于任意集合S1(Set1)和集合S2(Set2)，定义S1⊕S2=(S1∪S2)-(S1∩S2)，其中，“∪”表示并集，“∩”表示交集，而“-”表示排除或去除。

根据拉格朗日方程求解，由式(2)可得到如下具有几何意义的解：

1)若图像I₀(x)为单个圆盘图像，描述如下：以y为中心,r为半径的区域为B_r(y)，此区域的灰度值c₁;其他区域为0,图像可表示为

，则有如下解:

$I_{\mathrm{\λ}}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}0;(0\≤\mathrm{\λ}\≤2/r)\\ \{{S1}_{B_r\left(y\right)}\left(x\right):0\≤s\≤c_1\};(\mathrm{\λ}=2/r)\\ c_1{I}_{B_r\left(y\right)}\left(x\right);(\mathrm{\λ}>2/r)\end{array}\right.---\left(3\right)$

2)若图像I₀(x)为两个圆盘图像的叠加，描述为下式：

，其中0<r₂<r₁且c₁,c₂>0，则有如下解：

$I_{\mathrm{\&lambda;}}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}0;(0<\mathrm{\&lambda;}<2/r)\\ c_1{I}_{B_{r1}\left(y\right)}\left(x\right);(2/r_1<\mathrm{\&lambda;}<r_2)\\ c_1{I}_{B_{r_1}\left(y\right)}\left(x\right)+c_2{I}_{B_{r2}\left(y\right)}\left(x\right);(\mathrm{\&lambda;}>2/r)\end{array}\right.---\left(4\right)$

根据式（3）和式（4），利用TV-L1对输入的图像进行边缘保护多尺度空间分解，图像中不同几何结构大小的轮廓将会在不同的尺度上保留下来，用不同尺度下的轮廓图像构成所需要的多尺度框架，本发明也可用于三维的情况。通过极小化能量泛函E(I,λ)得到原始图像I₀在尺度λ上的图像分解，即I₀＝I(λ)+V(λ)。在此分解过程中，参数λ是决定平滑程度和分解程度的控制变量。λ₁＞λ₂时，则在尺度λ₁分解情况下得到的图像信息包含在尺度λ₂分解情况下得到的图像信息。本发明从最原始的尺度开始(λ＝λ₁)，建立如下的多尺度空间分解：

I₀＝I(λ₁)+V(λ₁);[I(λ₁),V(λ₁)]＝E(I₀,λ₁);λ₁＞0

I(λ₁)＝I(λ₂)+V(λ₂);[I(λ₂),V((λ₂)]＝E(I(λ₁),λ₂);λ₁＞λ₂

I(λ₂)＝I(λ₃)+V(λ₃);[I(λ₃),V(λ₃)]＝E(I(λ₂),λ₃);λ₂＞λ₃    （5）

I(λ_n-1)＝I(λ_n)+V(λ_n);[I(λ_n),V(λ_n)]＝E(I(λ_n-1),λ_n);λ_n-1＞λ_n

进而本发明得到具有良好的边缘保护的n层尺度上的图像，对于参考图像有R(λ₁),R(λ₂),Λ,R(λ_n)，对于目标图像有F(λ₁),F(λ₂),Λ,F(λ_n)。

（c）建立TV-L1图像金字塔。本发明将TV-L1尺度空间与金字塔思想结合，得到TV-L1塔式算法，作为具有边缘保护性质的多尺度配准框架，其优势在于数据量的减少，可进一步提高配准的速度。对由步骤（b）得到的多尺度图像分别进行等距离抽取，得到m层金字塔图像R(λ₁),R(λ₂),Λ,R(λ_m)，F(λ₁),F(λ₂),Λ,F(λ_m)。

（2）多尺度空间与由粗到精的自由形变网格模型相结合，其可根据特定尺度图像细节的复杂度进行自适应调节形变网格密度；实现如下：

（d）选取与边缘保护多尺度空间对应的自由形变模型。本发明采用基于B样条的自由形变模型作为变换模型。特别说明，此形变模型如下定义，利用Ω＝{(x,y)|0≤x≤X,0≤y≤Y}定义待配准数据对的参考图像和目标图像，定义α为n_x×n_y的均匀控制网格，并以δ为间隔。进而基于B样条的形变模型可以写为1维三次B样条函数的2维张量基形式，如下式所示：

$\mathrm{\&phi;}(x,y)=\underset{l=0}{\overset{3}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{m=0}{\overset{3}{\mathrm{\&Sigma;}}}{B}_l\left(u\right)B_m\left(v\right)a_{i+l,j+m}---\left(6\right)$

其中，i＝[x/n_x]-1，j＝[y/n_y]-1，B_l代表B样条函数的第l-th基函数，形式如下：

$\begin{array}{c}{B}_0\left(u\right)=\frac{1}{6}{(1-u)}^3\\ B_1\left(u\right)=\frac{1}{6}(3u^3-6u^2+4)\\ B_2\left(u\right)=\frac{1}{6}(-3u^3+3u^2+3u+1)\\ B_3\left(u\right)=\frac{1}{6}{u}^3\end{array}---\left(7\right)$

本发明利用此形变模型与（c）得到的多尺度图像结合，形变控制网格中的控制点a_i,j对该点附近的局部区域产生作用，控制点网格α为B样条模型中的形变控制参数，这一模型的形变描述能力取决于这一控制点网格α的精细程度。利用δ较大的α来恢复（c）中具有极少细节的粗糙尺度图像的形变，δ较小的α恢复（c）中具有较多细节形变特征的精细尺度图像的形变。进而（c）中由粗及精尺度上的图像恰好与通过控制网格粗糙程度来设置不同复杂程度的B样条形变模型一一结合。

（3）通过对非线性扩散模型中平滑参数λ的自动估计，构建全自动多尺度配准方案；具体实现如下：

（e）建立非线性扩散模型中平滑参数λ的自动估计模型。为实现全自动配准，本发明提出一种自动获取配准框架中TV-L1最优参数的方法。首先定义如下配准误差公式:

$\mathrm{Disp}=\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}{k}_n|{\mathrm{\&rho;}}_n^{\text{'}}-{\mathrm{\&rho;}}_n|---\left(8\right)$

其中ρ_n表示变换参数的金标准，ρ'_n是配准后获得的变换参数，k_n是对应系数，Disp的大小可以评价配准精度，偏移量Disp越小，精度越高。对于形变配准问题，变换自由度是不可数的。从式(3)和式(4)可以看出，λ与图像中不同尺度的组织的几何结构大小成反比。假设λ对于配准的每一个自由度都是等效的，即当λ最优时，可以保证对于任意的自由度都是最优的。因此我们认为当λ刚体配准时达到最优性能，对于形变配准也是最优的。从而本发明利用刚体配准算法来估计λ参数,则有下面配准误差公式:

Disp＝K₁|x′-x|+K₂|y′-y|+K₃|z′-z|

+K₄|θ′₁-θ₁|+K₅|θ′₂-θ₂|+K₆|θ′₃-θ₃|   (9)

特别说明，x,y,z是平移参数，θ₁,θ₂,θ₃是旋转参数，设各个方向的误差同等重要,并且平移方向每像素的误差和旋转方向每度的误差同等重要,本发明中旋转角度θ采用弧度制,则有:K₁=K₂=K₃=1及K₄=K₅=K₆=180/π。因此本发明通过下式自动获得最优参数λ（m层分解）

$\underset{\mathrm{\&lambda;}({\mathrm{\&lambda;}}_R^1,{\mathrm{\&lambda;}}_R^2,\mathrm{\&Lambda;},{\mathrm{\&lambda;}}_R^m;{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&Gamma;}}^1,{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&Gamma;}}^2,\mathrm{\&Lambda;}{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&Gamma;}}^m)}{\min \left(\mathrm{Disp}\right)}=\min \left[\begin{array}{c}|x^{\text{'}}-x|+|y^{\text{'}}-x|+|z^{\text{'}}-z|+\\ \frac{180}{\mathrm{\&pi;}}\left(\right|{\mathrm{\&theta;}}_1^{\text{'}}-{\mathrm{\&theta;}}_1|+|{\mathrm{\&theta;}}_2^{\text{'}}-{\mathrm{\&theta;}}_2|+|{\mathrm{\&theta;}}_3^{\text{'}}-{\mathrm{\&theta;}}_3|\end{array}\right]---\left(10\right)$

其中，

Λ,

为参考图像进行m阶多尺度分解所使用的参数，Λ,

为目标图像进行m阶多尺度分解所使用的参数。

（f）构建全自动多尺度配准方案。对参考图像和目标图像的塔式结构图像（m层）进行配准，根据塔式结构由粗到精的不同尺度图像特征，使用一组由粗到精的不同精细程度自由形变控制网格。本发明从最粗的尺度开始配准（m作为变量i的初始值），进入多尺度配准过程;当进行到第i层配准时，当前的形变网格精度为：FFD grid=[L+2x(m-i)]x[L+2x(m-i)]，同时以归一化互信息作为相似性测度，并且以上一层得到的形变域作为估计本层形变域的初始值；形变域层层传递，一直到原始图像的配准，最终得到所求的形变域。

由上述可知，该发明方法在配准精度、速度及鲁棒性上均能满足实时临床需求，通过非线性扩散模型建立边缘保护多尺度空间，并与由粗到精的多尺度自由形变网格模型相结合设计出全自动多尺度配准方案。

上述虽然结合附图对本发明的具体实施方式进行了描述，但并非对本发明保护范围的限制，所属领域技术人员应该明白，在本发明的技术方案的基础上，本领域技术人员不需要付出创造性劳动即可做出的各种修改或变形仍在本发明的保护范围以内。

Claims (5)

1.一种基于边缘保护多尺度形变配准的图像引导自适应算法，其特征是，包括：

（1）基于非线性扩散的TV全变差模型，建立具有边缘保护性质多尺度空间，多尺度空间根据图像中轮廓结构的几何尺寸大小对图像进行多尺度分解；

（2）多尺度空间与由粗到精的自由形变网格模型相结合，根据尺度图像细节的复杂度进行自适应调节形变网格密度；

（3）通过对非线性扩散模型中平滑参数λ的自动估计，构建全自动多尺度配准方案。

2.如权利要求1所述的算法，其特征是，所述步骤（1）中的非线性扩散的TV全变差模型，其具有较好的边缘保护性质，与L1范数的正则项相结合，从而适合医学图像的多尺度演化和分解。

3.如权利要求1所述的算法，其特征是，所述步骤（1）具体实现如下：

a).预处理，输入参考图像与目标图像，使用TV-L1对图像平滑滤波，去除噪声和高频振荡成分，同时仅平滑图像内部区域，而在横跨边缘的方向，平滑被抑制，从而保持图像边缘；

b).然后根据图像中轮廓结构的几何尺寸大小对图像多尺度分解，本发明实施时采用三层分解，由高到低分别为尺度Ⅲ、尺度Ⅱ、尺度Ⅰ；在某一尺度上，通过改变能量函数中相应的参数，去除选定参数对应的几何结构图像细节，而非本参数所对应的几何结构的轮廓和边缘信息得以保留；因此，图像中不同几何结构大小的轮廓将会在不同的尺度上保留下来；由此得到一组由粗及精的多尺度图像；由于非线性扩散模型具有较好的边缘保护性质，这些不同尺度上的轮廓和边缘信息均保持良好，能为基于互信息的分层配准提供丰富的空间位置信息；

c）利用塔式算法对分解后的图像分别进行等距离抽取，得到TV-L1金字塔。

4.如权利要求1所述的算法，其特征是，所述步骤（2）中用通过控制网格粗糙程度来设置不同复杂程度的B样条自由形变模型与边缘保护多尺度空间结合，来实现多尺度配准框架；在不同的尺度空间图像上，采用不同精细尺度的自由形变网格来控制恢复形变的性能和配准过程所使用的时间。

5.如权利要求1所述的算法，其特征是，所述步骤（3）中，利用非线性扩散模型进行多尺度配准时，需要对能量函数中的参数λ进行估计，λ与图像中不同组织的轮廓结构几何尺寸大小具有成反比；实际应用时，需根据图像中轮廓的尺度大小选择相应的λ；定义下式来自动获取λ的最优参数：

$\begin{array}{c}\min {\left(\mathrm{Disp}\right)}_{\mathrm{\&lambda;}({\mathrm{\&lambda;}}_R^1,{\mathrm{\&lambda;}}_R^2,\mathrm{\&Lambda;},{\mathrm{\&lambda;}}_R^m;{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&Gamma;}}^1,{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&Gamma;}}^2,\mathrm{\&Lambda;}{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&Gamma;}}^m)}\\ =\min \left(\right|x^{\text{'}}-x|+|y^{\text{'}}-x|+|z^{\text{'}}-z|+\frac{180}{\mathrm{\&pi;}}\left(\right|{\mathrm{\&theta;}}_1^{\text{'}}-{\mathrm{\&theta;}}_1|+|{\mathrm{\&theta;}}_2^{\text{'}}-{\mathrm{\&theta;}}_2|+|{\mathrm{\&theta;}}_3^{\text{'}}-{\mathrm{\&theta;}}_3\left|\right))\end{array}$

式中，

Λ,

为参考图像进行m阶多尺度分解所使用的参数，

Λ,

为目标图像进行m阶多尺度分解所使用的参数；x,y,z是平移参数，θ₁,θ₂,θ₃是旋转参数，x'、y'、z'为目标图像平移参数、θ₁'、θ₂'、θ₃'为目标图像旋转参数。

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