CN103528519B - 一种点投射光学测头空间位置矢量的测量标定方法 - Google Patents

Abstract

本发明是一种点投射光学测头空间位置矢量的测量标定方法，该方法在直角坐标系测量机上利用点投射光学测头测量标准球，获取标准球表面七个光点的测量机坐标信息，并获取对应光点的光学测头读数值，利用光束直线矢量与标准球表面的空间几何关系建立联系方程，求解点投射光学测头的光束位置矢量信息。该方法优点是简便易行，测量精度高。本发明给出了测量原理、方法、步骤和计算公式等。

Description

一种点投射光学测头空间位置矢量的测量标定方法

技术领域

本发明是一种点投射光学测头空间位置矢量的测量标定方法，属于测量技术领域。

背景技术

直角坐标系三坐标测量机（CMM）是具有三个直线运动轴（X轴、Y轴和Z轴）的测量机床，通过三个轴的运动产生坐标变动，利用测头与工件的触测实现零件表面的采样测量。传统三坐标测量机通常采用接触触发测头；接触触发测头是零位发讯测头，测量零件之前只需要标定触发测头在坐标测量机中的零位位置（测头发讯位置的测量机坐标值）即可。

在直角坐标系（笛卡尔坐标系）的三坐标测量机中，使用点投射光学测头时，在进行零件坐标测量之前，需要准确知道光学测头投射光束矢量与坐标测量机的关系，即需要知道光束直线方向与坐标测量运动系统轴线的夹角和光束零位在坐标测量机中的位置，才能实现光学测头的读数值与坐标测量机数据的叠加整合，从而完成零件的精确测量。

点投射光学测头投射光束到零件表面，在零件表面形成一个光点，光学测头可以给出该光点到测头之间的距离（光学测头的读数值）信息。点投射光学测头是一种线性位移传感器，所以不仅需要测量标定光学测头的零位，而且需要测量标定光学测头光束直线方向与坐标测量机坐标轴的角度。

当坐标测量机三个直线运动轴（X轴、Y轴和Z轴）运动过程中，光学测头光束的方向角度是不变的；光学测头安装完毕后，需要测量标定光束的初始位置矢量，即需要标定光学测头投射光束直线与坐标测量机X轴的夹角α、与Y轴的夹角β、与Z轴的夹角γ，和光学测头光束零位在测量机坐标系中的位置坐标。

近年国外采用点投射光学测头的坐标测量机已经开发应用，包括德国和以色列等国。国内采用点投射光学测头的坐标测量机尚在研究阶段，目前国内点投射光学测头光束矢量测量标定尚没有成熟完善的方法。

国内进行过另一种点投射光学测头光束方向测量标定方法研究，即采用平面角度块的测量标定方法；该方法采用两个互成一定夹角的平面作为测量基准；该方法原理是利用光束直线矢量与平面的空间几何关系，求解光束直线矢量信息；该方法采用的测量基准为平面；平面基准制造精度低，不易实现高精度的测量标定。本发明采用的测量基准为标准球面，标准球面制造精度高，并且本发明采用的七点球面坐标测量法，比前种方法使用简便，测量精度高。

发明内容

本发明正是针对上述现有技术中存在的不足而设计提供了一种点投射光学测头空间位置矢量的测量标定方法，其目的是为了解决直角坐标系测量机中，点投射光学测头光束空间矢量位置标定问题，实现测量标定点投射光学点投射光学测头光束与坐标测量机X轴的夹角α、与Y轴的夹角β、与Z轴的夹角γ，并确定点投射光学测头光束矢量零位在测量机通用坐标系中的位置。

本发明适用于直角坐标系测量机的光学点投射光学测头标定，也可用于具有直角坐标系的数控加工机床的光学点投射光学测头标定。

本发明的目的是通过以下技术方案来实现的：

该种点投射光学测头空间位置矢量的测量标定方法，其特征在于：测量标定方法的步骤如下：

⑴在一个具有直角坐标系的坐标测量机上设置一个点投射光学测头（3）和一个标准球（4），该测量机包括相互垂直的三个直线运动轴，X轴（5）、Y轴（1）和Z轴（2）；

⑵用点投射光学测头（3）在标准球（4）的表面投射光点，获得七个光点在坐标测量机上的坐标值和点投射光学测头（3）的读数值，对七个光点的位置要求如下：

点投射光学测头（3）的投射光束方向相同；

四个点—M₁、M₂、M₃、M₄—的点投射光学测头（3）的读数值相同，该读数值设为J₁，三个点—M₅、M₆、M₇—的点投射光学测头（3）的读数值相同，该读数值设为J₂；

M₁、M₂、M₃、M₄四个点不能分布在一个平面上，M₅、M₆、M₇三个点不能分布在一条直线上；

⑶用M₁、M₂、M₃、M₄四个点的坐标值M₁(x₁,y₁,z₁)、M₂(x₂,y₂,z₂)、M₃(x₃,y₃,z₃)、M₄（x₄,y₄,z₄）建立如下四个联立方程：

（x₁-x₀）²+（y₁-y₀）²+（z₁-z₀）²=R² （1）

（x₂-x₀）²+（y₂-y₀）²+（z₂-z₀）²=R² （2）

（x₃-x₀）²+（y₃-y₀）²+（z₃-z₀）²=R² （3）

（x₄-x₀）²+（y₄-y₀）²+（z₄-z₀）²=R² （4）

公式中：R标准球半径，M₀(x₀,y₀,z₀)为标准球球心在坐标测量机中的坐标值；

公式(1)与公式(2)展开相减得：

（x₁ ²-x₂ ²）-2x₀（x₁-x₂）+（y₁ ²-y₂ ²）-2y₀（y₁-y₂）+（z₁ ²-z₂ ²）-2z₀（z₁-z₂）=0 （5）

公式(1)与公式(3)展开相减得：

（x₁ ²-x₃ ²）-2x₀（x₁-x₃）+（y₁ ²-y₃ ²）-2y₀（y₁-y₃）+（z₁ ²-z₃ ²）-2z₀（z₁-z₃）=0 （6）

公式(1)与公式(4)展开相减得：

（x₁ ²-x₄ ²）-2x₀（x₁-x₄）+（y₁ ²-y₄ ²）-2y₀（y₁-y₄）+（z₁ ²-z₄ ²）-2z₀（z₁-z₄）=0 （7）

为简化计算表达，设参数表达式Ⅰ如下：

I₁=x₁-x₂；

I₂=y₁-y₂；

I₃=z₁-z₂；

I₄=x₁ ²-x₂ ²+y₁ ²-y₂ ²+z₁ ²-z₂ ²；

I₅=x₁-x₃；

I₆=y₁-y₃；

I₇=z₁-z₃；

I₈=x₁ ²-x₃ ²+y₁ ²-y₃ ²+z₁ ²-z₃ ²；

I₉=x₁-x₄；

I₁₀=y₁-y₄；

I₁₁=z₁-z₄；

I₁₂=x₁ ²-x₄ ²+y₁ ²-y₄ ²+z₁ ²-z₄ ²；

用上述参数表达式Ⅰ简化公式(5)、(6)、(7)得到以下三个方程组：

2I₁x₀+2I₂y₀+2I₃z₀=I₄ （8）

2I₅x₀+2I₆y₀+2I₇z₀=I₈ （9）

2I₉x₀+2I₁₀y₀+2I₁₁z₀=I₁₂ (10)

从公式(10)得到：

z₀=(I₁₂-2I₉x₀-2I₁₀y₀)/(2I₁₁) (11)

将公式(11)带入式(8)、(9)得到：

x₀(2I₁I₁₁-2I₃I₉)+y₀(2I₂I₁₁-2I₃I₁₀)=I₄I₁₁-I₃I₁₂ (12) x₀(2I₅I₁₁-2I₇I₉)+y₀(2I₆I₁₁-2I₇I₁₀)=I₈I₁₁-I₇I₁₂ (13)

为简化计算表达，设参数表达式Ⅱ如下：

k₁=2I₁I₁₁-2I₃I₉

k₂=2I₂I₁₁-2I₃I₁₀

k₃=I₄I₁₁-I₃I₁₂

k₄=2I₅I₁₁-2I₇I₉

k₅=2I₆I₁₁-2I₇I₁₀

k₆=I₈I₁₁-I₇I₁₂

将参数表达式Ⅱ代入公式(12)、(13)中得到公式：

k₁x₀+k₂y₀=k₃ (14)

k₄x₀+k₅y₀=k₆ (15)

解公式(14)、(15)得到：

y₀=（k₆-k₄x₀）/k₅ (16)

x₀=（k₃k₅–k₃k₄）/(k₁k₅-k₂k₄) (17)

从公式(11)、(16)、(17)可以求得标准球（4）球心的坐标值M₀(x₀,y₀,z₀)，然后，建立以标准球（4）球心为坐标原点的通用坐标系，并将点投射光学测头（3）的读数值为J₁时的位置设定为点投射光学测头（3）在通用坐标系下光束矢量的零位；

⑷用M₅、M₆、M₇三个点的坐标值M₅(x₅,y₅,z₅)、M₆(x₆,y₆,z₆)、M₇(x₇,y₇,z₇)计算点投射光学测头（3）的光束在坐标测量机的直角坐标系的矢量方向角α、β、γ，计算过程如下：

点投射光学测头（3）光束与标准球（4）表面的交点坐标M（x，y，z）满足关系式：

（x-x₀）²+（y-y₀）²+（z-z₀）²=R² (18)

点投射光学测头（3）光束的矢量方向角为α、β、γ，长度为J且通过空间点M_i（x_i,y_i,z_i）的直线方程表示为：

x=x_i+Jcosα (19)

y=y_i+Jcosβ (20)

z=z_i+Jcosγ (21)

公式中：J=J₂-J₁；

点投射光学测头（3）光束经过M₅、M₆、M₇，将公式(19)、(20)、(21)代入公式(18)中，可以得到方程组：

（x₅+Jcosα-x₀）²+（y₅+Jcosβ-y₀）²+（z₅+Jcosγ-z₀）²=R² (22)

（x₆+Jcosα-x₀）²+（y₆+Jcosβ-y₀）²+（z₆+Jcosγ-z₀）²=R² (23)

（x₇+Jcosα-x₀）²+（y₇+Jcosβ-y₀）²+（z₇+Jcosγ-z₀）²=R² (24)

为简化计算表达，设参数表达式Ⅲ如下：

L₁=x₅-x₀

L₂=y₅-y₀

L₃=z₅-z₀

L₄=x₆-x₀

L₅=y₆-y₀

L₆=z₆-z₀

L₇=x₇-x₀

L₈=y₇-y₀

L₉=z₇-z₀

空间直线方向角α、β、γ满足关系式：

cos²α+cos²β+cos²γ=1 (25)

从(22)、(23)、(24)展开并利用(25)式简化得到方程组：

L₁ ²+L₂ ²+L₃ ²+2J(L₁cosα+L₂cosβ+L₃cosγ)+J²=R² (26)

L₄ ²+L₅ ²+L₆ ²+2J(L₄cosα+L₅cosβ+L₆cosγ)+J²=R² (27)

L₇ ²+L₈ ²+L₉ ²+2J(L₇cosα+L₈cosβ+L₉cosγ)+J²=R² (28)

为简化计算表达，设参数表达式Ⅳ如下：

H₁=L₁ ²+L₂ ²+L₃ ²

H₂=L₄ ²+L₅ ²+L₆ ²

H₃=L₇ ²+L₈ ²+L₉ ²

M=R²-J²

N₁=(M-H₁)/(2J)

N₂=(M-H₂)/(2J)

N₃=(M-H₃)/(2J)

利用参数表达式Ⅳ简化公式(26)、(27)、(28)得到方程组：

L₁cosα+L₂cosβ+L₃cosγ=N₁ （29）

L₄cosα+L₅cosβ+L₆cosγ=N₂ （30）

L₇cosα+L₈cosβ+L₉cosγ=N₃ （31）

解上述方程组，为简化计算表达，设参数表达式Ⅴ如下：

S₁=L₁L₉-L₃L₇

S₂=L₂L₉-L₃L₈

S₃=N₁L₉-N₃L₃

S₄=L₄L₉-L₆L₇

S₅=L₅L₉-L₆L₈

S₆=N₂L₉-N₃L₆

利用参数表达式Ⅴ解方程组（29）、（30）、（31），得方向角α、β、γ表达式：

γ=arccos[(N₃-L₇cosα-L₈cosβ)/L₉] （32）

β=arccos[(S₆-S₄cosα)/S₅] （33）

α=arccos[(S₃S₅-S₂S₆)/(S₁S₅-S₂S₄)] （34）

用公式（32）、（33）、（34）可以求得α、β、γ，即点投射光学测头（3）光束与坐标测量机X轴（5）的夹角α、与Y轴（1）的夹角β和与Z轴（2）的夹角γ。

本发明的原理是在直角坐标测量机上利用点投射光学测头测量标准球，获取标准球表面七个光点的坐标信息和对应光点的点投射光学测头读数值，利用光束直线矢量与标准球表面的空间几何关系建立联立方程，求解点投射光学测头的光束位置矢量信息，本发明方法简便易行，测量精度高。

附图说明

图1为本发明技术方案中点投射光学测头坐标测量机工作原理示意图

图2为本发明技术方案中点投射光学测头光束位置矢量测量标定原理示意图

具体实施方式

以下将结合附图和实施例对本发明技术方案作进一步地说详述：

参见附图1～2所示，该种点投射光学测头空间位置矢量的测量标定方法，其特征在于：测量标定方法的步骤如下：

⑴在一个具有直角坐标系的坐标测量机上设置一个点投射光学测头3和一个标准球4，该测量机包括相互垂直的三个直线运动轴，X轴5、Y轴1和Z轴2；

⑵通过移动X轴5、Y轴1和Z轴2，用点投射光学测头3在标准球4的表面投射光点，获得七个光点在坐标测量机上的坐标值和点投射光学测头3的读数值，对七个光点的位置要求如下：

点投射光学测头3的投射光束方向相同；

四个点—M₁、M₂、M₃、M₄—的点投射光学测头3的读数值相同，该读数值设为J₁，三个点—M₅、M₆、M₇—的点投射光学测头3的读数值相同，该读数值设为J₂；

M₁、M₂、M₃、M₄四个点不能分布在一个平面上，M₅、M₆、M₇三个点不能分布在一条直线上；

⑶用M₁、M₂、M₃、M₄四个点的坐标值M₁(x₁,y₁,z₁)、M₂(x₂,y₂,z₂)、M₃(x₃,y₃,z₃)、M₄（x₄,y₄,z₄）建立如下四个联立方程：

（x₁-x₀）²+（y₁-y₀）²+（z₁-z₀）²=R² （1）

（x₂-x₀）²+（y₂-y₀）²+（z₂-z₀）²=R² （2）

（x₃-x₀）²+（y₃-y₀）²+（z₃-z₀）²=R² （3）

（x₄-x₀）²+（y₄-y₀）²+（z₄-z₀）²=R² （4）

公式中：R标准球半径，M₀(x₀,y₀,z₀)为标准球球心在坐标测量机中的坐标值；

公式(1)与公式(2)展开相减得：

（x₁ ²-x₂ ²）-2x₀（x₁-x₂）+（y₁ ²-y₂ ²）-2y₀（y_1-y₂）+（z₁ ²-z₂ ²）-2z₀（z₁-z₂）=0 （5）

公式(1)与公式(3)展开相减得：

（x₁ ²-x₃ ²）-2x₀（x₁-x₃）+（y₁ ²-y₃ ²）-2y₀（y₁-y₃）+（z₁ ²-z₃ ²）-2z₀（z₁-z₃）=0 （6）

公式(1)与公式(4)展开相减得：

（x₁ ²-x₄ ²）-2x₀（x₁-x₄）+（y₁ ²-y₄ ²）-2y₀（y₁-y₄）+（z₁ ²-z₄ ²）-2z₀（z₁-z₄）=0 （7）

为简化计算表达，设参数表达式Ⅰ如下：

I₁=x₁-x₂；

I₂=y₁-y₂；

I₃=z₁-z₂；

I₄=x₁ ²-x₂ ²+y₁ ²-y₂ ²+z₁ ²-z₂ ²；

I₅=x₁-x₃；

I₆=y₁-y₃；

I₇=z₁-z₃；

I₈=x₁ ²-x₃ ²+y₁ ²-y₃ ²+z₁ ²-z₃ ²；

I₉=x₁-x₄；

I₁₀=y₁-y₄；

I₁₁=z₁-z₄；

I₁₂=x₁ ²-x₄ ²+y₁ ²-y₄ ²+z₁ ²-z₄ ²；

用上述参数表达式Ⅰ简化公式(5)、(6)、(7)得到以下三个方程组：

2I₁x₀+2I₂y₀+2I₃z₀=I₄ （8）

2I₅x₀+2I₆y₀+2I₇z₀=I₈ (9）

2I₉x₀+2I₁₀y₀+2I₁₁z₀=I₁₂ (10)

从公式(10)得到：

z₀=(I₁₂-2I₉x₀-2I₁₀y₀)/(2I₁₁) (11)

将公式(11)带入式(8)、(9)得到：

x₀(2I₁I₁₁-2I₃I₉)+y₀(2I₂I₁₁-2I₃I₁₀)=I₄I₁₁-I₃I₁₂ (12)x₀(2I₅I₁₁-

2I₇I₉)+y₀(2I₆I₁₁-2I₇I₁₀)=I₈I₁₁-I₇I₁₂ (13)

为简化计算表达，设参数表达式Ⅱ如下：

k₁=2I₁I₁₁-2I₃I₉

k₂=2I₂I₁₁-2I₃I₁₀

k₃=I₄I₁₁-I₃I₁₂

k₄=2I₅I₁₁-2I₇I₉

k₅=2I₆I₁₁-2I₇I₁₀

k₆=I₈I₁₁-I₇I₁₂

将参数表达式Ⅱ代入公式(12)、(13)中得到公式：

k₁x₀+k₂y₀=k₃ (14)

k₄x₀+k₅y₀=k₆ (15)

解公式(14)、(15)得到：

y₀=（k₆-k₄x₀）/k₅ (16)

x₀=（k₃k₅–k₃k₄）/(k₁k₅-k₂k₄) (17)

从公式(11)、(16)、(17)可以求得标准球（4）球心的坐标值M₀(x₀,y₀,z₀)，然后，建立以标准球4球心为坐标原点的通用坐标系，并将点投射光学测头3的读数值为J₁时的位置设定为点投射光学测头3在通用坐标系下光束矢量的零位；

⑷用M₅、M₆、M₇三个点的坐标值M₅(x₅,y₅,z₅)、M₆(x₆,y₆,z₆)、M₇(x₇,y₇,z₇)计算点投射光学测头3的光束在坐标测量机的直角坐标系的矢量方向角α、β、γ，计算过程如下：

点投射光学测头3光束与标准球4表面的交点坐标M（x，y，z）满足关系式：

（x-x₀）²+（y-y₀）²+（z-z₀）²=R² (18)

点投射光学测头（3）光束的矢量方向角为α、β、γ，长度为J且通过空间点M_i（x_i,y_i,z_i）的直线方程表示为：

x=x_i+Jcosα (19)

y=y_i+Jcosβ (20)

z=z_i+Jcosγ (21)

公式中：J=J₂-J₁；

点投射光学测头3光束经过M₅、M₆、M₇，将公式(19)、(20)、(21)代入公式(18)中，可以得到方程组：

（x₅+Jcosα-x₀）²+（y₅+Jcosβ-y₀）²+（z₅+Jcosγ-z₀）²=R² (22)

（x₆+Jcosα-x₀）²+（y₆+Jcosβ-y₀）²+（z₆+Jcosγ-z₀）²=R² (23)

（x₇+Jcosα-x₀）²+（y₇+Jcosβ-y₀）²+（z₇+Jcosγ-z₀）²=R² (24)

为简化计算表达，设参数表达式Ⅲ如下：

L₁=x₅-x₀

L₂=y₅-y₀

L₃=z₅-z₀

L₄=x₆-x₀

L₅=y₆-y₀

L₆=z₆-z₀

L₇=x₇-x₀

L₈=y₇-y₀

L₉=z₇-z₀

空间直线方向角α、β、γ满足关系式：

cos²α+cos²β+cos²γ=1 (25)

从(22)、(23)、(24)展开并利用(25)式简化得到方程组：

L₁ ²+L₂ ²+L₃ ²+2J(L₁cosα+L₂cosβ+L₃cosγ)+J²=R² (26)L₄ ²+L₅ ²+L₆ ²+2J(L₄cosα+L₅cosβ+L₆cosγ)+J²=R² (27)L₇ ²+L₈ ²+L₉ ²+2J(L₇cosα+L₈cosβ+L₉cosγ)+J²=R² (28)为简化计算表达，设参数表达式Ⅳ如下：

H₁=L₁ ²+L₂ ²+L₃ ²

H₂=L₄ ²+L₅ ²+L₆ ²

H₃=L₇ ²+L₈ ²+L₉ ²

M=R²-J²

N₁=(M-H₁)/(2J)

N₂=(M-H₂)/(2J)

N₃=(M-H₃)/(2J)

利用参数表达式Ⅳ简化公式(26)、(27)、(28)得到方程组：

L₁cosα+L₂cosβ+L₃cosγ=N₁ （29）

L₄cosα+L₅cosβ+L₆cosγ=N₂ （30）

L₇cosα+L₈cosβ+L₉cosγ=N₃ （31）

解上述方程组，为简化计算表达，设参数表达式Ⅴ如下：

S₁=L₁L₉-L₃L₇

S₂=L₂L₉-L₃L₈

S₃=N₁L₉-N₃L₃

S₄=L₄L₉-L₆L₇

S₅=L₅L₉-L₆L₈

S₆=N₂L₉-N₃L₆

利用参数表达式Ⅴ解方程组（29）、（30）、（31），得方向角α、β、γ表达式：

γ=arccos[(N₃-L₇cosα-L₈cosβ)/L₉] （32）

β=arccos[(S₆-S₄cosα)/S₅] （33）

α=arccos[(S₃S₅-S₂S₆)/(S₁S₅-S₂S₄)] （34）

用公式（32）、（33）、（34）可以求得α、β、γ，即点投射光学测头3光束与坐标测量机X轴5的夹角α、与Y轴1的夹角β和与Z轴2的夹角γ。

点投射光学测头3光束矢量位置测量标定后，即可进行在该位置下的零件6坐标测量；测量中将点投射光学测头3读数值与坐标测量机坐标值合成，形成以标准球4球心为坐标原点的通用坐标系中的零件坐标数据，完成零件的坐标测量。

与现有技术相比，本发明技术方案的优点是：

本项发明采用的七点标准球测量标定法，使用的标定工具（标准球）简单，容易获得高的制造精度，成本低，测量精度高。本标定方法采用测量方法简便易行，计算公式表达清晰明确，易于操作实现。本发明适用于采用点投射光学点投射光学测头的具有直角坐标系的各种坐标测量机，也可用于具有直角坐标系的数控加工机床的光学点投射光学测头的测量标定。

Claims (1)

1.一种点投射光学测头空间位置矢量的测量标定方法，其特征在于：测量标定方法的步骤如下：

⑴在一个具有直角坐标系的坐标测量机上设置一个点投射光学测头（3）和一个标准球（4），该测量机包括相互垂直的三个直线运动轴，X轴（5）、Y轴（1）和Z轴（2）；

⑵用点投射光学测头（3）在标准球（4）的表面投射光点，获得七个光点在坐标测量机上的坐标值和点投射光学测头（3）的读数值，对七个光点的位置要求如下：

点投射光学测头（3）的投射光束方向相同；

四个点—M₁、M₂、M₃、M₄—的点投射光学测头（3）的读数值相同，该读数值设为J₁，三个点—M₅、M₆、M₇—的点投射光学测头（3）的读数值相同，该读数值设为J₂；

M₁、M₂、M₃、M₄四个点不能分布在一个平面上，M₅、M₆、M₇三个点不能分布在一条直线上；

⑶用M₁、M₂、M₃、M₄四个点的坐标值M₁(x₁,y₁,z₁)、M₂(x₂,y₂,z₂)、M₃(x₃,y₃,z₃)、M₄（x₄,y₄,z₄）建立如下四个联立方程：

（x₁-x₀）²+（y₁-y₀）²+（z₁-z₀）²=R² （1）

（x₂-x₀）²+（y₂-y₀）²+（z₂-z₀）²=R² （2）

（x₃-x₀）²+（y₃-y₀）²+（z₃-z₀）²=R² （3）

（x₄-x₀）²+（y₄-y₀）²+（z₄-z₀）²=R² （4）

公式中：R标准球半径，M₀(x₀,y₀,z₀)为标准球球心在坐标测量机中的坐标值；

公式(1)与公式(2)展开相减得：

（x₁ ²-x₂ ²）-2x₀（x₁-x₂）+（y₁ ²-y₂ ²）-2y₀（y₁-y₂）+（z₁ ²-z₂ ²）-2z₀（z₁-z₂）=0 （5）

公式(1)与公式(3)展开相减得：

（x₁ ²-x₃ ²）-2x₀（x₁-x₃）+（y₁ ²-y₃ ²）-2y₀（y₁-y₃）+（z₁ ²-z₃ ²）-2z₀（z₁-z₃）=0 （6）

公式(1)与公式(4)展开相减得：

（x₁ ²-x₄ ²）-2x₀（x₁-x₄）+（y₁ ²-y₄ ²）-2y₀（y₁-y₄）+（z₁ ²-z₄ ²）-2z₀（z₁-z₄）=0 （7）

为简化计算表达，设参数表达式Ⅰ如下：

I₁=x₁-x₂；

I₂=y₁-y₂；

I₃=z₁-z₂；

I₄=x₁ ²-x₂ ²+y₁ ²-y₂ ²+z₁ ²-z₂ ²；

I₅=x₁-x₃；

I₆=y₁-y₃；

I₇=z₁-z₃；

I₈=x₁ ²-x₃ ²+y₁ ²-y₃ ²+z₁ ²-z₃ ²；

I₉=x₁-x₄；

I₁₀=y₁-y₄；

I₁₁=z₁-z₄；

I₁₂=x₁ ²-x₄ ²+y₁ ²-y₄ ²+z₁ ²-z₄ ²；

用上述参数表达式Ⅰ简化公式(5)、(6)、(7)得到以下三个方程组：

2I₁x₀+2I₂y₀+2I₃z₀=I₄ （8）

2I₅x₀+2I₆y₀+2I₇z₀=I₈ （9）

2I₉x₀+2I₁₀y₀+2I₁₁z₀=I₁₂ (10)

从公式(10)得到：

z₀=(I₁₂-2I₉x₀-2I₁₀y₀)/(2I₁₁) (11)

将公式(11)带入式(8)、(9)得到：

x₀(2I₁I₁₁-2I₃I₉)+y₀(2I₂I₁₁-2I₃I₁₀)=I₄I₁₁-I₃I₁₂ (12) x₀(2I₅I₁₁-2I₇I₉)+y₀(2I₆I₁₁-2I₇I₁₀)=I₈I₁₁-I₇I₁₂ (13)

为简化计算表达，设参数表达式Ⅱ如下：

k₁=2I₁I₁₁-2I₃I₉

k₂=2I₂I₁₁-2I₃I₁₀

k₃=I₄I₁₁-I₃I₁₂

k₄=2I₅I₁₁-2I₇I₉

k₅=2I₆I₁₁-2I₇I₁₀

k₆=I₈I₁₁-I₇I₁₂

将参数表达式Ⅱ代入公式(12)、(13)中得到公式：

k₁x₀+k₂y₀=k₃ (14)

k₄x₀+k₅y₀=k₆ (15)

解公式(14)、(15)得到：

y₀=（k₆-k₄x₀）/k₅ (16)

x₀=（k₃k₅–k₃k₄）/(k₁k₅-k₂k₄) (17)

从公式(11)、(16)、(17)可以求得标准球（4）球心的坐标值M₀(x₀,y₀,z₀)，然后，建立以标准球（4）球心为坐标原点的通用坐标系，并将点投射光学测头（3）的读数值为J₁时的位置设定为点投射光学测头（3）在通用坐标系下光束矢量的零位；

⑷用M₅、M₆、M₇三个点的坐标值M₅(x₅,y₅,z₅)、M₆(x₆,y₆,z₆)、M₇(x₇,y₇,z₇)计算点投射光学测头（3）的光束在坐标测量机的直角坐标系的矢量方向角α、β、γ，计算过程如下：

点投射光学测头（3）光束与标准球（4）表面的交点坐标M（x，y，z）满足关系式：

（x-x₀）²+（y-y₀）²+（z-z₀）²=R² (18)

点投射光学测头（3）光束的矢量方向角为α、β、γ，长度为J且通过空间点M_i（x_i,y_i,z_i）的直线方程表示为：

x=x_i+Jcosα (19)

y=y_i+Jcosβ (20)

z=z_i+Jcosγ (21)

公式中：J=J₂-J₁；

点投射光学测头（3）光束经过M₅、M₆、M₇，将公式(19)、(20)、(21)代入公式(18)中，可以得到方程组：

（x₅+Jcosα-x₀）²+（y₅+Jcosβ-y₀）²+（z₅+Jcosγ-z₀）²=R² (22)

（x₆+Jcosα-x₀）²+（y₆+Jcosβ-y₀）²+（z₆+Jcosγ-z₀）²=R² (23)

（x₇+Jcosα-x₀）²+（y₇+Jcosβ-y₀）²+（z₇+Jcosγ-z₀）²=R² (24)

为简化计算表达，设参数表达式Ⅲ如下：

L₁=x₅-x₀

L₂=y₅-y₀

L₃=z₅-z₀

L₄=x₆-x₀

L₅=y₆-y₀

L₆=z₆-z₀

L₇=x₇-x₀

L₈=y₇-y₀

L₉=z₇-z₀

空间直线方向角α、β、γ满足关系式：

cos²α+cos²β+cos²γ=1 (25)

从(22)、(23)、(24)展开并利用(25)式简化得到方程组：

L₁ ²+L₂ ²+L₃ ²+2J(L₁cosα+L₂cosβ+L₃cosγ)+J²=R² (26)

L₄ ²+L₅ ²+L₆ ²+2J(L₄cosα+L₅cosβ+L₆cosγ)+J²=R² (27)

L₇ ²+L₈ ²+L₉ ²+2J(L₇cosα+L₈cosβ+L₉cosγ)+J²=R² (28)

为简化计算表达，设参数表达式Ⅳ如下：

H₁=L₁ ²+L₂ ²+L₃ ²

H₂=L₄ ²+L₅ ²+L₆ ²

H₃=L₇ ²+L₈ ²+L₉ ²

M=R²-J²

N₁=(M-H₁)/(2J)

N₂=(M-H₂)/(2J)

N₃=(M-H₃)/(2J)

利用参数表达式Ⅳ简化公式(26)、(27)、(28)得到方程组：

L₁cosα+L₂cosβ+L₃cosγ=N₁ （29）

L₄cosα+L₅cosβ+L₆cosγ=N₂ （30）

L₇cosα+L₈cosβ+L₉cosγ=N₃ （31）

解上述方程组，为简化计算表达，设参数表达式Ⅴ如下：

S₁=L₁L₉-L₃L₇

S₂=L₂L₉-L₃L₈

S₃=N₁L₉-N₃L₃

S₄=L₄L₉-L₆L₇

S₅=L₅L₉-L₆L₈

S₆=N₂L₉-N₃L₆

利用参数表达式Ⅴ解方程组（29）、（30）、（31），得方向角α、β、γ表达式：

γ=arccos[(N₃-L₇cosα-L₈cosβ)/L₉] （32）

β=arccos[(S₆-S₄cosα)/S₅] （33）

α=arccos[(S₃S₅-S₂S₆)/(S₁S₅-S₂S₄)] （34）

用公式（32）、（33）、（34）可以求得α、β、γ，即点投射光学测头（3）光束与坐标测量机X轴（5）的夹角α、与Y轴（1）的夹角β和与Z轴（2）的夹角γ。