CN103512574B - 一种基于小行星序列图像的深空探测器光学导航方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于小行星序列图像的深空探测器光学导航方法，给出一种深空探测器与小行星快速交会时，基于小行星交会图像序列的光学导航方法。针对深空探测器在无姿态调整、无轨道维持的自由飞行状态下与小行星的近距离交会模式，建立相对匀速直线平动下的多视几何约束关系；将约束关系与多视几何解算模型相结合，计算世界坐标系下探测器成像点与小行星特征点的坐标；根据坐标计算探测器与小行星的最近交会距离、交会角度，以及位置随时间变化关系等空间导航信息。本发明能够对交会距离、交会角度和运动轨迹进行严格计算，精度比基于地基测量的导航方法有很大的提高。

Description

一种基于小行星序列图像的深空探测器光学导航方法

技术领域

本发明属于航天器导航与控制领域，特别是涉及一种基于小行星序列图像的探测器深空光学导航方法。

背景技术

随着深空探测技术的发展，小行星探测已经成为21世纪深空探测的重要内容之一。小行星探测不仅有助于揭开太阳系和生命的起源、演化之谜，而且可促进地球防护、空间科学和空间技术应用的发展，能为更远的深空探测关键技术提供验证，这个过程中，深空探测器的精确导航是保证小行星探测任务顺利实施的基本条件。

早期的探测器深空导航主要采用天文光学导航，其特点是基于星空背景和轮廓图像中心提取导航信息。VoyagerI与VoyagerII是最先尝试天文光学导航的行星际轨道器，1979年VoyagerI与木星相遇的时候测试了天文光学导航技术，其后与土星、天王星、海王星及其卫星的相遇中均进行了应用。喷气推进实验室（JPL）从VoyagerII传回的海王星图像中提取星体轮廓，用椭圆模型进行拟合以确定惯性空间中航行器与目标天体的相对位置，并实现了地面近实时图像导航。DeepSpace1（DS1）是首个试图进行自主天文光学导航的轨道器，作为技术试验任务，DS1在探测小行星Braille以及彗星Borrelly的过程中对自主天文光学导航系统进行了成功验证。

随着现代光学成像和计算机处理能力的提高，特别是近期MRO、LRO、SELENA及中国的嫦娥卫星搭载的高分辨率相机实现了星体表面高精度成像，使得轨道器在目标天体系中的高精度定位成为可能。虽然公开文献中多数方法目前仍然处于试验验证或者数据后处理阶段，但是这种技术已经受到航天先进国家越来越多的青睐，如美国航空航天局（NASA）已经在火星侦察轨道器（MRO）上成功实现了深空轨道器光学自主导航飞行模式，并在新一轮深空探测计划中将其确立为核心技术。

发明内容

本发明要解决的技术问题是给出一种深空探测器与小行星快速交会时，基于小行星交会图像序列的光学导航方法。

本发明包括如下步骤：

1）针对深空探测器在无姿态调整、无轨道维持的自由飞行状态下与小行星的近距离交会模式，当相对运动关系能够用匀速直线平动描述时，则建立基于多视几何理论的三个约束关系：

（1）极点约束：所有小行星序列图像的极点坐标(u_e,v_e)相同，所有反对称矩阵[e_n,m]_×的形式统一表达为[e]_×，且有：

${\left[e_{n,m}\right]}_{\×}={\left[e\right]}_{\×}=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& v_e\\ 1& 0& -u_e\\ -v_e& u_e& 0\end{array}\right]$

对于小行星图像序列中的任意一对图像I_m和I_n所构成的基础矩阵F_m,n统一表达为F，且有：

F_m,n＝F＝[e]_×

（2）姿态约束：所有成像位置相机与小行星的相对姿态相同，若以首幅图像的相机姿态为单位阵I建立成像坐标系，则其余各图像的相机旋转矩阵R_n统一表达为R，且有：

R_n＝R＝I

（3）尺度约束：任意两次连续成像之间，相机相对运动距离相同，图像I_m和I_n间相机的相对位移矢量表达为：

t_m-t_n＝(n-m)·vδt

其中：t_m、t_n分别为图像I_m、I_n成像处相对于原点的位移矢量，v为探测器和小行星的相对运动速度矢量，δt为相机曝光的时间间隔；

2）按照以下步骤，将约束与多视几何关系相结合，进行世界坐标系下探测器成像点与小行星特征点的空间坐标解算：

（1）将探测器相机图像序列中的任意一对图像I_m和I_n进行同名点匹配，第i对匹配点m_i和n_i的像面齐次坐标分别为x_i,m＝(x_i,m,y_i,m,1)^T和x_i,n＝(x_i,n,y_i,n,1)^T；

（2）根据上述极点约束，通过以下关系式计算两图像I_m和I_n间的基础矩阵F_m,n，并计算其最优值F：

$x_{i,n}^T{F}_{m,n}{x}_{i,m}=0$

其中：F_m,n＝[e_m,n]_×

$F=\stackrel{\‾}{F_{m,n}}={\left[\stackrel{\‾}{e_{m,n}}\right]}_{\×}$

（3）根据本质矩阵与基础矩阵的关系，通过以下公式计算归一化的本质矩阵E：

$E={K^{\′}}^T\mathrm{FK}$

$K^{\′}=K=\left[\begin{array}{ccc}{F}_x& 0& C_x\\ 0& F_y& C_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

其中，F_x、F_y为相机成像面x方向y方向的等效焦距，C_xC_y为相机主点坐标，K、K′均为相机内参数矩阵；

（4）设世界坐标系的原点建立在图像I_m的成像处，世界坐标系坐标轴与该位置处的相机坐标系的三个坐标轴重合；将上述姿态约束代入本质矩阵的定义关系式，计算世界坐标系下，探测器在I_n成像处的归一化坐标T_norm；

根据上述姿态约束，计算反对称矩阵[T]_×：

[T]_×＝[T]_×R＝E

[T]_×为由矢量T＝[T_X,T_Y,T_Z]^T定义的反对称矩阵，表达为:

${\left[T\right]}_{\×}=\left[\begin{array}{ccc}0& -T_Z& T_Y\\ T_Z& 0& -T_X\\ -T_Y& T_X& 0\end{array}\right]$

对T进行归一化得到坐标T_norm：

$T_{\mathrm{norm}}=[T_X,T_Y,T_Z]/\sqrt{{T_X}^2+{T_Y}^2+{T_Z}^2}$

（5）在归一化尺度下，计算两图像I_m和I_n上的同名点在世界坐标系的三维坐标；根据共线方程，解出同名点在世界坐标系的三维坐标；

（6）根据上述尺度约束，将探测器与小行星的相对运动速率外测值作为尺度因子，对上述步骤（4）和（5）中所有归一化坐标乘以尺度因子；以探测器成像点坐标代表探测器质心位置坐标，得到与I_m、I_n成像时刻相对应的小行星和探测器空间相对位置关系；

3）基于上述相对位置坐标计算探测器与小行星的空间相对导航信息，包括：最近交会距离、交会角度，以及距离随时间的变化关系；具体方法如下：

（1）计算探测器与小行星的最近交会距离

（i）通过各同名点的世界坐标系坐标，并基于平均加权准则计算小行星形心的世界坐标系坐标X_AC，以此作为小行星质心坐标的近似值；

（ii）根据上述三个约束关系，在世界坐标系中计算通过图像I_m与I_n成像处坐标X_m与X_n的直线l_mn，得到探测器与小行星的相对运动轨迹：

$(l_{\mathrm{mn}}-X_m)\⊗(l_{\mathrm{mn}}-X_n)=0$

（iii）按照空间点到直线的距离计算公式，计算小行星质心与探测器相对运动轨迹的距离，得到最近交会距离；

（2）计算探测器与小行星的交会角度

（i）根据小行星各同名点的世界坐标系坐标，计算正摄投影面上欧式距离最远的两点，以此作为小行星在正摄投影面上的长度L_P；

（ii）根据已知小行星长度L_A，通过以下关系式计算交会角度θ：

$\cos \mathrm{\θ}=\frac{L_A}{L_P}$

（3）计算探测器与小行星空间位置随时间变化关系

（i）固定图像I_m，记为I₁，随成像时间改变图像I_n，分别记为I₂，I₃，…依次构成探测器成像对(I₁,I₂),(I₁,I₃),…；

（ii）按照前述步骤2）分别计算世界坐标系下小行星、I_m成像点、I_n成像点的空间三维位置坐标，将位置序列相连，形成探测器成像位置轨迹；

（iii）按照所需要的时刻对探测器交会轨迹上的成像位置进行插值，得到交会成像期间任意时刻探测器的位置。

本发明针对深空探测器在无姿态调整、无轨道维持的自由飞行状态下与小行星的近距离交会模式，将已知的探测器和被测小行星的轨道、姿态等物理特性与多视成象几何相结合，建立了一种深空探测器光学相对导航方法，能够对交会距离、交会角度和运动轨迹进行严格计算，精度比基于地基测量的导航方法有很大的提高。

附图说明

图1探测器与小行星光学导航计算流程

图2图塔蒂斯相对嫦娥二号卫星的多视几何构像关系

图3极点样本分布

图4图塔蒂斯特征点与卫星的位置关系

图5部分图像序列对应的卫星位置解算结果

图6光学导航测量与地基测量的比较

具体实施方式

图1为基于小行星序列图象的探测器与小行星光学导航整体计算流程，本发明的具体实施步骤如下：

1）针对深空探测器在无姿态调整、无轨道维持的自由飞行状态下与小行星的近距离交会模式，当相对运动关系能够用匀速直线平动描述时，则建立基于多视几何理论的三个约束关系：

（1）极点约束：所有小行星序列图像的极点坐标(u_e,v_e)相同，所有反对称矩阵[e_n,m]_×的形式统一表达为[e]_×，且有：

${\left[e_{n,m}\right]}_{\×}={\left[e\right]}_{\×}=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& v_e\\ 1& 0& -u_e\\ -v_e& u_e& 0\end{array}\right]$

对于小行星图像序列中的任意一对图像I_m和I_n所构成的基础矩阵F_m,n统一表达为F，且有：

F_m,n＝F＝[e]_×

（2）姿态约束：所有成像位置相机与小行星的相对姿态相同，若以首幅图像的相机姿态为单位阵I建立成像坐标系，则其余各图像的相机旋转矩阵R_n统一表达为R，且有：

R_n＝R＝I

（3）尺度约束：任意两次连续成像之间，相机相对运动距离相同，图像I_m和I_n间相机的相对位移矢量表达为：

t_m-t_n＝(n-m)·vδt

其中：t_m、t_n分别为图像I_m、I_n成像处相对于原点的位移矢量，v为探测器和小行星的相对运动速度矢量，δt为相机曝光的时间间隔；

2）按照以下步骤，将约束与多视几何关系相结合，进行世界坐标系下探测器成像点与小行星特征点的空间坐标解算：

（1）将探测器相机图像序列中的任意一对图像I_m和I_n进行同名点匹配，第i对匹配点m_i和n_i的像面齐次坐标分别为x_i,m＝(x_i,m,y_i,m,1)^T和x_i,n＝(x_i,n,y_i,n,1)^T；

（2）根据上述极点约束，通过以下关系式计算两图像I_m和I_n间的基础矩阵F_m,n，并计算其最优值F：

$x_{i,n}^T{F}_{m,n}{x}_{i,m}=0$

其中：F_m,n＝[e_m,n]_×

$F=\stackrel{\‾}{F_{m,n}}={\left[\stackrel{\‾}{e_{m,n}}\right]}_{\×}$

（3）根据本质矩阵与基础矩阵的关系，通过以下公式计算归一化的本质矩阵E：

$E={K^{\′}}^T\mathrm{FK}$

$K^{\′}=K=\left[\begin{array}{ccc}{F}_x& 0& C_x\\ 0& F_y& C_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

其中，F_x、F_y为相机成像面x方向y方向的等效焦距，C_xC_y为相机主点坐标，K、K′均为相机内参数矩阵；

（4）设世界坐标系的原点建立在图像I_m的成像处，世界坐标系坐标轴与该位置处的相机坐标系的三个坐标轴重合；将上述姿态约束代入本质矩阵的定义关系式，计算世界坐标系下，探测器在I_n成像处的归一化坐标T_norm；

根据上述姿态约束，计算反对称矩阵[T]_×：

[T]_×＝[T]_×R＝E

[T]_×为由矢量T＝[T_X,T_Y,T_Z]^T定义的反对称矩阵，表达为:

${\left[T\right]}_{\×}=\left[\begin{array}{ccc}0& -T_Z& T_Y\\ T_Z& 0& -T_X\\ -T_Y& T_X& 0\end{array}\right]$

对T进行归一化得到坐标T_norm：

$T_{\mathrm{norm}}=[T_X,T_Y,T_Z]/\sqrt{{T_X}^2+{T_Y}^2+{T_Z}^2}$

（5）在归一化尺度下，计算两图像I_m和I_n上的同名点在世界坐标系的三维坐标；根据共线方程，解出同名点在世界坐标系的三维坐标；

（6）根据上述尺度约束，将探测器与小行星的相对运动速率外测值作为尺度因子，对上述步骤（4）和（5）中所有归一化坐标乘以尺度因子；以探测器成像点坐标代表探测器质心位置坐标，得到与I_m、I_n成像时刻相对应的小行星和探测器空间相对位置关系；

3）基于上述相对位置坐标计算探测器与小行星的空间相对导航信息，包括：最近交会距离、交会角度，以及距离随时间的变化关系；具体方法如下：

（1）计算探测器与小行星的最近交会距离

（i）通过各同名点的世界坐标系坐标，并基于平均加权准则计算小行星形心的世界坐标系坐标X_AC，以此作为小行星质心坐标的近似值；

（ii）根据上述三个约束关系，在世界坐标系中计算通过图像I_m与I_n成像处坐标X_m与X_n的直线l_mn，得到探测器与小行星的相对运动轨迹：

$(l_{\mathrm{mn}}-X_m)\⊗(l_{\mathrm{mn}}-X_n)=0$

（iii）按照空间点到直线的距离计算公式，计算小行星质心与探测器相对运动轨迹的距离，得到最近交会距离；

（2）计算探测器与小行星的交会角度

（i）根据小行星各同名点的世界坐标系坐标，计算正摄投影面上欧式距离最远的两点，以此作为小行星在正摄投影面上的长度L_P；

（ii）根据已知小行星长度L_A，通过以下关系式计算交会角度θ：

$\cos \mathrm{\θ}=\frac{L_A}{L_P}$

（3）计算探测器与小行星空间位置随时间变化关系

（i）固定图像I_m，记为I₁，随成像时间改变图像I_n，分别记为I₂，I₃，…依次构成探测器成像对(I₁,I₂),(I₁,I₃),…；

（ii）按照前述步骤2）分别计算世界坐标系下小行星、I_m成像点、I_n成像点的空间三维位置坐标，将位置序列相连，形成探测器成像位置轨迹；

（iii）按照所需要的时刻对探测器交会轨迹上的成像位置进行插值，得到交会成像期间任意时刻探测器的位置。

以下以中国“嫦娥二号”对小行星图塔蒂斯的交会探测光学导航过程为例，进行详细说明。

2013年12月13日，在中国嫦娥二号卫星拓展实验中，卫星成功飞抵距地球约700万公里远的深空，以10.73公里/秒的相对速度，与国际编号4179的图塔蒂斯小行星由远及近擦身而过，首次实现中国对小行星的飞掠探测。这次探测的主要成果是利用“嫦娥二号”卫星星载太阳翼监视相机成功拍摄到了小行星4179的序列高清晰光学图像，是迄今人类获得的关于4179最近距离、最直接、最清晰的探测数据。将4179序列光学图像和地面测控数据相结合，可以建立一套符合卫星运动成像特点的光学导航方法，实现探测器相对于小行星的高精度导航定位。

1、匀速直线平动构像关系

以嫦娥二号探测小行星4179为例，在所涉及的交会探测模式下，建立相对匀速直线平动关系，如图2。交会前嫦娥二号卫星处于自由飞行状态，公转周期约16年，图塔蒂斯公转周期约4年，在交会成像的100秒中，对嫦娥二号和图塔蒂斯间相对速度影响最大的摄动源为太阳引力，其造成的相对摄动速度为3.96×10^-4m/s，小行星引力对卫星产生的速度变化影响为2.56×10^-5m/s，若交会前相对速度为10.7km/s，则交会成像过程中各种引力造成的相对速度变化小于4.7×10^-6，因此在交会成像期间，嫦娥二号卫星与图塔蒂斯作高度近似的相对匀速直线运动。嫦娥二号卫星对图塔蒂斯成像期间，卫星姿态维持恒定，图塔蒂斯在空间中存在绕长轴和主轴方向两种不同的旋转，旋转周期分别为5.41和7.33个地球日，在1分钟内，图塔蒂斯绕两个轴分别旋转0.0462度和0.0341度，这说明有效成像期间图塔蒂斯基本保持固定姿态。综合以上，在“嫦娥二号”卫星与小行星4179交会成像期间，二者为相对匀速直线平动关系，因此，多视几何构像满足本发明特征1所提出的三个约束关系。

2、极点估计

图3为根据小行星图塔蒂斯的不同光学图像对计算的极点坐标分布图。由于同名点匹配误差的存在，基于不同图像对估计出的极点坐标值会存在微小差异。由图看出，所有极点散布在中心点(609.4,527.8,1)^T周围，其中78%的样本聚集于最小圈之内，即距离中心点小于0.73pix，由此验证了估算极点的收敛性，继而约束关系的适用。

3、相对位置坐标解算结果

图4为按照本发明所提方法对任意某对图塔蒂斯图像进行同名点匹配和相对位置解算的结果，该图反映了所定义世界坐标系下两幅图像成像处探测器的位置坐标和相应时刻小行星表面特征点的空间坐标。图中小行星表面特征点分布均匀，特征点总体分布形状与嫦娥二号卫星拍得的光学图像反映出的小行星形状一致，距离最远的两特征点空间相距～4km，符合目前文献公开的小行星图塔蒂斯最大长度～4.5km的结论。卫星在两处成像位置关系符合交会探测时卫星关于小行星的相对远离运动特点。

4、探测器相对运动轨迹解算

图5为按照本发明提出的光学导航方法得到的嫦娥二号卫星与图塔蒂斯交会成像期间卫星成像点坐标序列，坐标系为前述世界坐标系。对9幅图像组成的图像序列进行位置解算，这9幅图像中，首幅图像与第二幅图像相隔4个成像周期，第二幅到第九幅连续成像。由图5看出，在相对世界坐标系中，所有图像解算得到的卫星成图位置基本呈一直线。图6为通过光学导航方法和地面无线电测量方法得到的嫦娥二号卫星与小行星距离随时间的变化关系，由图可以看出，光学导航方法和无线电测量方法得到距离均与时间呈线性变化关系，且两条直线基本平行。由于无线电测量方法可以保证卫星轨迹走向正确，但是由于系统误差源的存在，距离与客观值会存在一个系统偏差，光学导航方法由于依靠了近距离测量信息，能够有效地降低系统偏差，所以两条平行的距离直线存在一个偏差合理，同时验证了本发明所提方法的正确性和有效性。

5、最近交会距离计算

根据所提方法进行嫦娥二号与小行星交会距离的计算。首先固定首幅图像，依次改变第二幅图像，计算基于各图像对的交会距离；然后改变首幅图像，再按照以上模式重新计算各图像对的交会距离，共进行5组实验，结果如表1。由表1可以看出，基于不同序列图像的5组交会距离实验中，每组实验的10次解算均方差小于13m；整体而言，5组实验的均值非常接近，整体均值为1564.9m，整体均方差为10.7m，与基于拟合直线得到的1564m基本相等，说明实际的交会距离为1564m±～10m。特别说明，本发明构建的约束关系和解算关系在理论上是严格的，采用不同组合的图像序列得到的交会距离应当相同，但实际上由于特征点匹配、极点估计、相机标定，甚至卫星微小振动引起的姿态变化等多种误差因素的存在，会影响交会距离的计算结果。

表1基于不同序列图像的交会距离计算结果（单位：m）

Claims (1)

1.一种基于小行星序列图像的深空探测器光学导航方法，其特征在于包括如下步骤：

1)针对深空探测器在无姿态调整、无轨道维持的自由飞行状态下与小行星的近距离交会模式，当相对运动关系能够用匀速直线平动描述时，则建立基于多视几何理论的三个约束关系：

(1)极点约束：所有小行星序列图像的极点坐标(u_e,v_e)相同，所有反对称矩阵[e_n,m]_×的形式统一表达为[e]_×，且有：

${\[e_{n,m}\]}_{\×}={\[e\]}_{\×}=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& v_e\\ 1& 0& -u_e\\ -v_e& u_e& 0\end{array}\right]$

对于小行星图像序列中的任意一对图像I_m和I_n所构成的基础矩阵F_m,n统一表达为F，且有：

F_m,n＝F＝[e]_×

(2)姿态约束：所有成像位置相机与小行星的相对姿态相同，若以首幅图像的相机姿态为单位阵I建立成像坐标系，则其余各图像的相机旋转矩阵R_n统一表达为R，且有：

R_n＝R＝I

(3)尺度约束：任意两次连续成像之间，相机相对运动距离相同，图像I_m和I_n间相机的相对位移矢量表达为：

t_m-t_n＝(n-m)·vδt

其中：t_m、t_n分别为图像I_m、I_n成像处相对于原点的位移矢量，v为探测器和小行星的相对运动速度矢量，δt为相机曝光的时间间隔；

2)按照以下步骤，将约束与多视几何关系相结合，进行世界坐标系下探测器成像点与小行星特征点的空间坐标解算：

(1)将探测器相机图像序列中的任意一对图像I_m和I_n进行同名点匹配，第i对匹配点m_i和n_i的像面齐次坐标分别为x_i,m＝(x_i,m,y_i,m,1)^T和x_i,n＝(x_i,n,y_i,n,1)^T；

(2)根据上述极点约束，通过以下关系式计算两图像I_m和I_n间的基础矩阵F_m,n，并计算其最优值F：

$x_{i,n}^T{F}_{m,n}{x}_{i,m}=0$

其中：F_m,n＝[e_m,n]_×

$F=\stackrel{\‾}{F_{m,n}}={\[\stackrel{\‾}{e_{m,n}}\]}_{\×}$

(3)根据本质矩阵与基础矩阵的关系，通过以下公式计算归一化的本质矩阵E：

E＝K'^TFK

$K^{\′}=K=\left[\begin{array}{ccc}{F}_x& 0& C_x\\ 0& F_y& C_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

其中，F_x、F_y为相机成像面x方向y方向的等效焦距，C_x、C_y为相机主点坐标，K、K'均为相机内参数矩阵；

(4)设世界坐标系的原点建立在图像I_m的成像处，世界坐标系坐标轴与该位置处的相机坐标系的三个坐标轴重合；将上述姿态约束代入本质矩阵的定义关系式，计算世界坐标系下，探测器在I_n成像处的归一化坐标T_norm；

根据上述姿态约束，计算反对称矩阵[T]_×：

[T]_×＝[T]_×R＝E

[T]_×为由矢量T＝[T_X,T_Y,T_Z]^T定义的反对称矩阵，表达为:

${\[T\]}_{\×}=\left[\begin{array}{ccc}0& -T_Z& T_Y\\ T_Z& 0& -T_X\\ -T_Y& T_X& 0\end{array}\right]$

对T进行归一化得到坐标T_norm：

$T_{norm}=\[T_X,T_Y,T_Z\]/\sqrt{{T_X}^2+{T_Y}^2+{T_Z}^2}$

(5)在归一化尺度下，计算两图像I_m和I_n上的同名点在世界坐标系的三维坐标；根据共线方程，解出同名点在世界坐标系的三维坐标；

(6)根据上述尺度约束，将探测器与小行星的相对运动速率外测值作为尺度因子，对上述步骤(4)和(5)中所有归一化坐标乘以尺度因子；以探测器成像点坐标代表探测器质心位置坐标，得到与I_m、I_n成像时刻相对应的小行星和探测器空间相对位置坐标；

3)基于上述相对位置坐标计算探测器与小行星的空间相对导航信息，包括：最近交会距离、交会角度，以及距离随时间的变化关系；具体方法如下：

(1)计算探测器与小行星的最近交会距离

(i)通过各同名点的世界坐标系坐标，并基于平均加权准则计算小行星形心的世界坐标系坐标X_AC，以此作为小行星质心坐标的近似值；

(ii)根据上述三个约束关系，在世界坐标系中计算通过图像I_m与I_n成像处坐标X_m与X_n的直线l_mn，得到探测器与小行星的相对运动轨迹：

$(l_{mn}-X_m)\⊗(l_{mn}-X_n)=0$

(iii)按照空间点到直线的距离计算公式，计算小行星质心与探测器相对运动轨迹的距离，得到最近交会距离；

(2)计算探测器与小行星的交会角度

(i)根据小行星各同名点的世界坐标系坐标，计算正摄投影面上欧式距离最远的两点，以此作为小行星在正摄投影面上的长度L_P；

(ii)根据已知小行星长度L_A，通过以下关系式计算交会角度θ：

$cos\mathrm{\θ}=\frac{L_A}{L_P}$

(3)计算探测器与小行星空间位置随时间变化关系

(i)固定图像I_m，记为I₁，随成像时间改变图像I_n，分别记为I₂，I₃，…依次构成探测器成像对(I₁,I₂),(I₁,I₃),…；

(ii)按照前述步骤2)分别计算世界坐标系下小行星、I_m成像点、I_n成像点的空间三维位置坐标，将位置序列相连，形成探测器成像位置轨迹；

(iii)按照所需要的时刻对探测器交会轨迹上的成像位置进行插值，得到交会成像期间任意时刻探测器的位置。