CN103487936A - 基于数字信号处理的一维光子晶体滤波器设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于数字信号处理的一维光子晶体滤波器设计方法，该设计方法步骤如下：(1)、利用数字信号处理设计一维光子晶体滤波器的目标滤波反射谱，计算目标滤波反射谱在数字域中的最优表达式系数，得到目标滤波反射谱在数字域中的最优表达式；(2)、采用剥层算法，计算一维光子晶体滤波器各介质层界面的反射系数；(3)、根据步骤(2)计算得到的一维光子晶体滤波器的各介质层界面反射系数计算一维光子晶体滤波器各层介质的折射率。该设计方法是从滤波谱出发，根据所需滤波谱直接计算得到所需一维光子晶体滤波器的各层介质的折射率，具有计算简单、直接的特点、且能够方便得到目标滤波反射谱在数字域中的最优化表达式，因而设计得到的一维光子晶体滤波器的滤波性能优异。

Description

基于数字信号处理的一维光子晶体滤波器设计方法

技术领域

本发明涉及一种基于数字信号处理的一维光子晶体滤波器设计方法。

背景技术

1987年Yablonovitch和John首次提出了光子晶体的概念，之后光子晶体很快成为了光学前沿中一个十分活跃的研究课题，其在滤波、非线性等方面有重要的潜在应用。一维光子晶体在结构上类似于光学多层介质膜， 即由不同折射率材料和厚度的介质膜层依次排列构成。如图1为由N层介质构成的一维光子晶体结构示意图，其中各介质层折射率依次为n₁，n₂，n₃，n₄，??，n_N； 厚度依次为d₁，d₂，d₃，d₄??，d_N；介质层界面的反射系数从左至右依次为r_0,1，r_1,2，r_2,3，r_3,4，r_4,5，??，r_N-1,N, r_N,N+1。由于一维光子晶体具有结构简单、实现容易、易于集成、性能优异等特点，是现今研究最广泛和实际应用的光子晶体。具有波长选择功能的光子学滤波器件是光子学器件中的关键器件之一。通过选择不同折射率的介质材料和各介质层厚度可实现具有波长选择功能的一维光子晶体滤波器。当给定器件各结构参数来研究器件性能时，往往相对容易；而反过来，给定器件性能来进行各结构参数的设计时问题常常要比前者复杂的多。一维光子晶体滤波器的设计成为了一维光子晶体研究的重点之一。

例如，在先技术[1]（参见光电子·激光，刘海山等，2002，13(2):145-149）从光子晶体的光子频率禁带特性出发，利用传输矩阵法在数值模拟计算的基础上设计了信道间隔为8nm和0.8nm的8信道波分复用光子晶体滤波器；在先技术[2]（参见光电子·激光，王慧琴等，2006，17(1):20-23）利用传输矩阵法模拟计算了通过2组不同禁带的光子晶体级联构成的窄带滤波器的光学特性，设计了信道间隔为0.80nm和0.08nm的密集波分复用光子晶体滤波器；在先技术[3]（参见光学学报，张文富等，2007，27(9):1695-1699）利用传输矩阵法计算了正负折射率交替一维光子晶体的带隙特性并进行了理论分析，在此基础上设计了信道间隔为0.8nm的窄带梳状滤波器；在先技术[4]（参见激光技术，刘启能，2008，22(1):84-87）利用传输矩阵法通过对一维掺杂光子晶体的数值仿真和相关分析设计了一维光子晶体双通道可调谐偏振滤波器。上述在先技术具有共同的研究特点，即都是基于传统传输矩阵方法，通过大量的数值仿真及性能模拟方式开展一维光子晶体滤波器的设计的。换句话也就是说，现有在先技术都是采用间接方式设计一维光子晶体滤波器，而不是由所需的光谱透射率响应出发直接进行设计得到光子晶体滤波器的具体结构和各结构参数，因而现有在先技术设计复杂。

发明内容

本发明的目的在于克服上述在先技术的不足，提供一种基于数字信号处理的一维光子晶体滤波器设计方法，可以从所要设计的一维光子晶体滤波器的目标滤波反射谱出发直接设计得到各层介质的折射率，因而设计简单，且能够方便得到目标滤波反射谱在数字域中的最优化表达式，设计所得的一维光子晶体滤波器的滤波性能优异。

为达到上述目的，本发明的构思是：首先，利用数字信号处理设计目标滤波反射谱，计算目标滤波反射谱在数字域中的最优表达式系数；然后采用剥层算法计算光子晶体滤波器的各介质层界面的反射系数；最后根据求得的各介质层界面的反射系数可以得到各层介质的折射率。

根据上述的发明构思，本发明的具体技术解决方法如下：

一种基于数字信号处理的一维光子晶体滤波器设计方法，其特征在于，对所要设计的一维光子晶体滤波器的目标滤波反射谱从数字信号处理得到该曲线在数字域中的最优表达式，对该最优表达式，采用剥层算法得到各介质层界面的反射系数，最后根据求得的各介质层界面的反射系数可以得到各层介质的折射率，具体设计步骤如下：

(1)、利用数字信号处理设计一维光子晶体滤波器的目标滤波反射谱，计算目标滤波反射谱在数字域中的最优表达式系数，得到目标滤波反射谱在数字域中的最优表达式；

(2)、采用剥层算法，计算一维光子晶体滤波器各介质层界面的反射系数；

(3)、根据步骤(2)计算得到的一维光子晶体滤波器各介质层界面的反射系数，计算一维光子晶体滤波器各层介质的折射率。

上述步骤(1)所述的计算目标滤波反射谱在数字域中的最优表达式，具体通过以下几个步骤：

(1-1)、给定目标滤波反射谱在数字域中表达式的阶次p的初值；

(1-2)、按给定的目标滤波反射谱计算其在数字域中表达式的分母多项式系数；

(1-3)、利用最小二乘误差准则，计算归一化后的目标滤波反射谱在数字域中表达式的分子多项式系数；

(1-4)、按上述求得的分母及分子多项式系数，得到p阶目标滤波反射谱在数字域中的表达式；

(1-5)、设定步骤（1-4）得到的p阶目标滤波反射谱的幅频响应与目标滤波反射谱的幅频响应的均方误差的最小值， 该均方误差记为D，均方误差的最小值称为误差阈值，记为V；

(1-6)、计算均方误差D的值，并判断D是否小于V，若均方误差D是小于误差阈值V，则上面步骤(1-2) 和(1-3)分别得到的分母多项式系数和分子多项式系数为目标滤波反射谱在数字域中的最优化的表达式系数；若均方误差D不是小于误差阈值V，则初始阶数p阶增加为p+1阶，再重复步骤(1-2)至步骤(1-4)，直至均方误差D小于阈值V，从而得到目标滤波反射谱在数字域中最优化的表达式。

本发明的基于数字信号处理的一维光子晶体滤波器设计方法与现有技术方法相比较，具有如下显而易见的突出实质性特点和显著优点：

本发明的设计方法是从滤波反射谱出发，根据所需滤波反射谱直接计算得到所需光子晶体滤波器的各层介质的折射率，具有计算简单、直接的特点、且能够方便得到目标滤波反射谱在数字域中的最优化表达式，设计所得的一维光子晶体滤波器的滤波性能优异。

附图说明

图1是N层介质的一维光子晶体滤波器的结构示意图，图中，各介质层折射率依次为n₁，n₂，n₃，n₄，??，n_N； 厚度依次为d₁，d₂，d₃，d₄??，d_N；介质层界面的反射系数从左至右依次为r_0,1，r_1,2，r_2,3，r_3,4，r_4,5，??，r_N-1,N, r_N,N+1 ；

图2为本发明方法的基于数字信号处理的一维光子晶体滤波器设计方法的流程图；

图3为图2中步骤(1)设计计算目标滤波反射谱在数字域中最优化表达式的流程图；

图4为本发明实施例中(HL)⁵H结构的透射谱图，图中，横坐标为波长，单位为微米，纵坐标为强度透射率，单位为任意，(HL)⁵H结构中的H表示高折射率介质，L表示低折射率介质。

具体实施方式

下面结合附图详细说明本发明的优选实施例。

本发明的一种基于数字信号处理的一维光子晶体滤波器设计方法，如图2、图3所示，具体设计步骤如下：

1、计算目标滤波反射谱在数字域中的最优化表达式系数，得到目标滤波反射谱在数字域中的最优表达式。

计算目标反射谱在数字域的最优化表达式，若给定的一维光子晶体滤波器的目标谱为透射谱，根据透射率与反射率之和为1的关系，得到目标滤波反射谱。

表示一维光子晶体滤波器的反射谱的函数称为一维光子晶体滤波器的反射传输函数，该反射传输函数在数字域中为有理函数形式， 反射传输函数分子、分母多项式的阶次相同，其表达式为：

                                                  

，    (a₀=1)            (1)

其中，

为一维光子晶体滤波器在数字域中的反射传输函数，

为一维光子晶体滤波器在数字域中的反射传输函数的分子多项式，

为一维光子晶体滤波器在数字域中的反射传输函数的分母多项式，p为阶次；b₀， b₁， ??， b_p为分子多项式B(z)的系数，a₀， a₁， ??， a_p为分母多项式A(z)的系数，且a₀=1; 

， D为介质层的光学厚度，f为入射光的频率，c为光在真空中的速度， w=2pf为入射光的角频率。

对一给定的目标滤波反射谱如何计算得到其在数字域中的最优化表达式，按以下步骤依次进行：

 (1-1)、任意给定目标滤波反射谱在数字域中表达式的阶次p的初值；

 (1-2)、按给定的目标滤波反射谱计算其在数字域中表达式的分母多项式系数， 即a₁  ， ????，a_p 。系数a₀=1，系数a₁， ??， a_p的计算式为：

       (2)

其中，p为目标滤波反射谱在数字域中表达式的初始阶次，

(1)、

(2)，????，

(2p)为目标滤波反射谱的脉冲响应的自相关函数值，其计算表达式如下：

    ，                       (3)

其中，

为目标滤波反射谱，f ^-1为求逆傅里叶变换，

为

的共轭，t 为整数，将(2)式求得的p阶目标滤波反射谱在数字域中表达式的分母多项式系数表示为：

，    (n=0，1……，p)                       (4)

其中，；

(1-3)、利用最小二乘误差准则，计算归一化后的目标滤波反射谱在数字域中表达式的分子多项式系数

设分母多项式A(z)的幅频响应，记为 A(e^jw)，其计算表达式为：

    

，                         (5)

其中， w=2pf， f为入射光的频率，a₀， a₁， ??， a_p为上步计算得到的分母多项式A(z)的系数。设分子多项式B(z)的幅频响应，记为B(e^jw)，其计算表达式为：

  

    0??w??2p                   (6)

其中， A(e^jw)为(5)式得到的分母多项式的幅频响应，R(e^jw)为目标滤波反射谱的幅频响应，“| |”代表取模。

设构造幅频响应与B(e^jw)相等的有理函数，记为C(z)，其表达式为：

       ，  (c₀=1)        (7)

其中c _0， c ₁， ??， c _q为C(z)的分母多项式系数，q为C(z)的阶数，且

，

C(z)的分母多项式系数c ₁， ??， c _q ，其计算表达式为：

      (8)

其中，q为C(z)的阶数，

、，????，

为分子多项式B(z)脉冲响应的自相关函数值，其计算表达式为：

            ，                            (9)

其中，为分子多项式B(z)的幅频响应的模，f  ^-1为求逆傅里叶变换，m为整数，对C(z)的分母多项式系数进行归一化处理，得到归一化后的C(z)分母多项式系数，记为

，其表达式为：

        

，   (n=0，1……，q)                   (10)

其中，c ₀=1， q为C(z)的阶数，Q为C(z)的归一化系数，计算表达式为：

        

，                            (11)

其中， 

为

的最大值，  c _n(n=1，?? ，q)为C(z)的分母多项式系数，w=2pf， w为入射光的角频率，f为入射光的频率，

目标滤波反射谱在数字域中表达式中的分子多项式的首系数值为1，记为：b ₀=1，利用最小二乘误差准则，计算目标滤波反射谱在数字域中表达式中的其余分子多项式系数b ₁， ??， b _p，其计算表达式为：

             (12)

其中，

、，????，

为 C(z)的分母系数， 即c(0)，c(1)， ??， c(q)的自相关函数值。

归一化后的p阶目标滤波反射谱在数字域中表达式的分子多项式系数表示为：

    

，(n=0，1……， p)                           (13)

其中，

为B(z)的归一化系数，计算式为：

   

                              (14)

其中，

为

的最大值，b _n (n=1，??，p)为其余分子多项式系数，w=2pf，w为入射光的角频率，f为入射光的频率；

(1-4)、按上述求得的分母及分子多项式系数，得到p阶目标滤波反射谱在数字域中的表达式

将上述步骤(1-2)求得的分母多项式系数和步骤(1-3)求得的分子多项式系数代入(1)式得到p阶目标滤波反射谱在数字域中的表达式，记为H _r (z)，其表达式为：

                     （15）

其中，b(0)，…..，b(p)为(13)式的分母多项式系数; a(0)，…..，a(p)为(4)式的分子多项式系数；

 (1-5)、设定步骤（1-4）得到的p阶目标滤波反射谱的幅频响应与目标滤波反射谱的幅频响应的均方误差的最小值， 该均方误差记为D，均方误差的最小值称为误差阈值，记为V；

 (1-6)、计算均方误差D的值，并判断D是否小于V，得到目标滤波反射谱在数字域中最优化的表达式，具体如下：将p阶目标滤波反射谱的幅频响应，记为H_r(e^jw)，其计算表达式为：

.            （16）

判断H_r(e^jw)与目标滤波反射谱的幅频响应的均方误差D是否小于误差阈值V，若均方误差D小于误差阈值V，则分子多项式系数a(n) (n=0，1……， p)和分母多项式系数b(n) (n=0，1……， p)为目标滤波反射谱在数字域中的最优化的表达式系数；若均方误差D不是小于误差阈值V，则初始阶数p增加为p+1阶，转步骤(1-2)至步骤(1-4)，直至均方误差D小于阈值V，从而得到目标滤波反射谱在数字域中最优化的表达式，最终阶次为N，其表达式为：

，                    (17)

其中， b(0)， b(1)， ….， b(N)为最优化的分子多项式系数，a(0)， a(1)， ….， a(N) 为最优化的分母多项式系数；

2. 采用剥层算法，计算一维光子晶体滤波器各介质层界面的反射系数

将(17)式的分母和分子表达式分别以B_N(z)和A_N(z)表示；系数b(0)， b(1)， ….， b(N)分别以

， 

， …， 

表示；系数a(0)， a (1)， ….， a (N)分别以

， 

， …， 

表示，(17)式转变成：

                       (18)

其最后一个介质层界面的反射系数为：

                                      (19)

前N-1层介质在数字域中反射传输函数的分子多项式B_N-1(z)、分母多项式A_N-1(z)分别为：

 

，                         (20)

 

，                        (21)

其中，

、

计算如下： 

 

，  （）                      (22)

则第N-1个介质层界面的反射系数为：

  

                                        (23)

其中

为A_N-1(z)的第N个系数，

为B_N-1(z)的第1个系数；

3、根据步骤(2)计算得到的一维光子晶体滤波器各介质层界面的反射系数，计算一维光子晶体滤波器各层介质的折射率

光正入射N层介质时，第i个介质层界面的反射系数与相邻两介质的折射率满足如下关系，其表达式为：       

  

.     (i=1，2 ??， N+1)                   (24)

其中，

为第i个介质层界面的反射系数，n _i为第i层介质的折射率，n ₀为入射环境的折射率，n _N+1为出射环境的折射率。

实施例：

图4为(HL)⁵H结构的透射谱图，图中，横坐标为波长，单位为微米，纵坐标为强度透射率，(HL)⁵H结构中的H表示高折射率介质，高折射率介质的折射率为2.35；L表示低折射率介质，低折射率介质的折射率为1.38，每层介质的光学厚度为中心波长1550nm的四分之一，以该透射谱为例，验证本发明的设计方法的效果，具体如下：

首先，按反射率与透射率之和为1的关系，得到目标滤波反射谱，计算滤波反射谱的数字域的表达式，

第一步：设定目标滤波反射谱在数字域中表达式的阶次初值为9；

第二步：按给定的目标滤波反射谱计算其在数字域中表达式的分母多项式系数，其值分别为： 

a(0)=1;  a(1)= -3.8205;  a(2)= 8.5796; a(3)= -16.5355; a(4)= 25.7408; a(5)= -28.1143; a(6)= -15.2820;  a(7)= 236.4111;  a(8)= 315.5424;  a(9)= 112.1376

第三步：利用最小二乘误差准则，计算归一化后的目标滤波反射谱在数字域中表达式的分子多项式系数，其值分别为：

b(0)= 110.2200; b(1)= -7.2735; b(2)= 26.5827; b(3)= -58.0316;b(4)= 22.2287; 

b(5)= -49.7028;b(6)= 10.3782; b(7)= -36.0664;  b (8)= -3.1503;  b (9)= -15.3856

第四步：按上述求得的分母及分子多项式系数，得到9阶目标滤波反射谱在数字域中的表达式为：

，

其中，

  

第五步： 设定上述9阶目标滤波反射谱的幅频响应与目标滤波反射谱的幅频响应的均方误差D的阈值为V=0.1；

第六步、计算均方差D的值，均方误差

，由于均方差D远远大于V，所以增加阶数，当阶数增加到11时，此时，

，该值远小于阈值V 的值0.1，则此时的分母多项式系数及分子多项式系数为最优，最优的分母多项式系数从a(0)到a(11)的值依次为1.0000，-0.8177，1.0028，-1.1311，1.1863，-1.1610，1.0608，-0.9010，0.7050，-0.4991，0.3084，-0.1624 ；最优的分子多项式系数从b(0)到b(11)的值依次为0.4039，-0.5485，0.7636，-0.9582，1.1054，-1.1847，1.1840，-1.1041，0.9559，-0.7614，0.5461，-0.4021，从而得到目标滤波反射谱在数字域中的最优化表达式为：

然后，采用剥层算法，即(18)式至(23)式计算各介质层界面的反射系数， 具体值分别为：

r_0,1=-0.4036；r_1,2=0.2605；r_2,3=-0.2604；r_3,4=0.2604；r_4,5=-0.2601；r_5,6=-0.2601；

r_6,7=-0.2598；r_7,8=0.2599；r_8,9=-0.2594；r_9,10=0.2596；r_10,11=-0.2595；r_11,12=0.4021；

最后，利用各介质层界面的反射系数，由(24)式得到各介质的折射率，第1层，第2层，??，第11层介质的折射率依次为2.3534， 1.3808， 2.3529， 1.3808， 2.3514， 1.3805， 2.3494， 1.3802， 2.3472， 1.3797， 2.3466。

介质层的光学厚度等于中心波长1550nm的四分之一，则高折射率介质的厚度等于165nm，低折射率介质的厚度等于281nm。

由上述各层介质的折射率值可知，图4所示的帯隙谱所需光学结构为交替蒸镀十一层高低折射率的材料介质，即附图1中N为11时的情况，其中低折射率材料介质的折射率为1.38左右，高折射率材料介质的折射率为2.35左右。可见本发明的设计方法设计的光学结构与原目标滤波反射谱对应的光学结构一致，验证了该设计方法的正确性。 

Claims (3)

1.一种基于数字信号处理的一维光子晶体滤波器设计方法，其特征在于：首先，利用数字信号处理设计目标滤波反射谱，计算目标滤波反射谱在数字域中的最优表达式系数；然后采用剥层算法计算光子晶体滤波器的各介质层界面的反射系数；最后根据求得的各介质层界面的反射系数可以得到各层介质的折射率，具体设计步骤如下：

(1)、利用数字信号处理设计一维光子晶体滤波器的目标滤波反射谱，计算目标滤波反射谱在数字域中的最优表达式系数，得到目标滤波反射谱在数字域中的最优表达式；

(2)、采用剥层算法，计算一维光子晶体滤波器各介质层界面的反射系数；

(3)、根据步骤(2)计算得到的一维光子晶体滤波器各介质层界面的反射系数，计算一维光子晶体滤波器各层介质的折射率。

2.根据权利要求1所述的一种基于数字信号处理的一维光子晶体滤波器设计方法，其特征在于：上述步骤(1)所述的计算目标滤波反射谱在数字域中的最优表达式，具体通过以下几个步骤：

(1-1)、给定目标滤波反射谱在数字域中表达式的阶次p的初值；

(1-2)、按给定的目标滤波反射谱计算其在数字域中表达式的分母多项式系数；

(1-3)、利用最小二乘误差准则，计算归一化后的目标滤波反射谱在数字域中表达式的分子多项式系数；

(1-4)、按上述求得的分母及分子多项式系数，得到p阶目标滤波反射谱在数字域中的表达式；

(1-5)、设定步骤（1-4）得到的p阶目标滤波反射谱的幅频响应与目标滤波反射谱的幅频响应的均方误差的最小值， 该均方误差记为D，均方误差的最小值称为误差阈值，记为V；

 (1-6)、计算均方误差D的值，并判断D是否小于V ，若均方误差D是小于误差阈值V，则上面步骤(1-2) 和(1-3)分别得到的分母多项式系数和分子多项式系数为目标滤波反射谱在数字域中的最优化的表达式系数；若均方误差D不是小于误差阈值V，则初始阶数p阶增加为p+1阶，再重复步骤(1-2)至步骤(1-4)，直至均方误差D小于阈值V，从而得到目标滤波反射谱在数字域中最优化的表达式。

3. 根据权利要求2所述的一种基于数字信号处理的一维光子晶体滤波器设计方法，其特征在于：上述步骤(1-6)所述的计算均方误差D的值，并判断D是否小于V，得到目标滤波反射谱在数字域中最优化的表达式，具体如下：

将p阶目标滤波反射谱的幅频响应，记为H_r(e^jw)，其计算表达式为：

.             （16）

判断H_r(e^jw)与目标滤波反射谱的幅频响应的均方误差D是否小于误差阈值V，若均方误差D是小于误差阈值V，则分子多项式式系数a(n) (n=0,1……, p)和分母多项式系数b(n) (n=0,1……, p)为目标滤波反射谱在数字域中的最优化的表达式系数； 若均方误差D不是小于误差阈值，则初始阶数p增加为p+1阶， 转步骤(1-2)至步骤(1-4)，直至均方误差D小于阈值V，从而得到目标滤波反射谱在数字域中最优化的表达式，最终阶次为N，其表达式为：

       

，                    (17)

其中， b(0), b(1), ……, b(N)为最优化的分子多项式式系数，a(0), a(1), ……, a(N) 为最优化的分母多项式系数。

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