CN103442421A - 基于一元三次方程求根和匈牙利算法的高能效资源优化法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于一元三次方程求根和匈牙利算法的高能效资源优化法，包括建立在蜂窝网络下引入D2D时，带来的这部分速率增益所对应的能效函数的数学模型，速率增益考虑了引入D2D后对蜂窝用户的干扰（D2D用户的速率减去引入D2D用户所造成的蜂窝用户的速率损失）；通过分式规划，原问题被分解成两层优化问题，在第一层优化问题中将求解函数的最小值问题最终归结为求解一个一元三次方程的根的问题，并在三种不同情况下求得了相应的解；第二层优化问题中用匈牙利算法解决了资源分配时存在的冲突问题并完成了资源分配。本发明能够提高蜂窝网络下引入D2D带来的速率增益对应的能效，满足绿色通信和延长移动终端电池使用时间的要求。

Description

基于一元三次方程求根和匈牙利算法的高能效资源优化法

技术领域

本发明涉及移动通信资源分配和功率控制技术，尤其涉及一种基于一元三次方程求根和匈牙利算法的蜂窝系统终端直通技术能效优化方法。

背景技术

目前，为解决频谱资源紧张和提高通信速率，人们普通采用速率高、功耗低的D2D（device-to-device）技术，即蜂窝终端直通技术，但是D2D技术增强了蜂窝用户对D2D用户的干扰和D2D用户对蜂窝链路干扰，从而降低通信间的数据传输率。

随着绿色通信日益受到人们的关注，如何通过资源分配和功率控制以提高D2D系统的能效，是当前D2D技术亟待解决的。

发明内容

发明目的：为了克服现有技术中存在的不足，本发明提供一种基于一元三次方程求根和匈牙利算法的蜂窝系统终端直通技术能效优化方法，以提高引入D2D所带来的速率增益所对应的这部分能效。

技术方案：为实现上述目的，本发明采用的技术方案为：

基于一元三次方程求根和匈牙利算法的高能效资源优化法，建立在蜂窝网络下引入D2D时，带来的这部分速率增益所对应的能效函数的数学模型，的速率增益考虑了引入D2D后对蜂窝用户的干扰（D2D用户的速率减去引入D2D用户所造成的蜂窝用户的速率损失）；通过分式规划，原问题被分解成两层优化问题，在第一层优化问题中将求解函数的最小值问题最终归结为求解一个一元三次方程的根的问题，并在三种不同情况下求得了相应的解；第二层优化问题中用匈牙利算法解决了资源分配时存在的冲突问题并完成了资源分配。具体包括如下步骤：

（1）建立能效的目标函数，如式（1）所示：

$\max U_{\mathrm{EE}}=\frac{\underset{i=1}{\overset{N_d}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{x}_{i,j}\·\hat{R}\left(p_{i,j}\right)}{\underset{i=1}{\overset{N_d}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{x}_{i,j}\·p_{i,j}+P_C}---\left(1\right)$

该目标函数包括如下约束条件：

①每组D2D对的最低传输速率要求，即最低传输速率不能小于γ_i，不同组的D2D对的最低传输速率可以不同，以满足业务要求：

$R\left(p_{i,j}\right)\≥{\mathrm{\γ}}_i,\∀i,\∀j$

②与一组D2D对共享相同资源块的蜂窝用户对该组D2D对中的两个D2D用户的干扰功率必须小于一定值τ，由于接收用户承受的干扰较大，一般可认为是对接收用户的干扰功率必须小于一定值τ：

$p_{I,k,i}\·h_{k,i}\≤\mathrm{\τ},\∀x_{i,j}=1$

③x_i,j取1表示第i组D2D对选择第j个资源块进行复用，x_i,j取0表示第i组D2D对不选择第j个资源块进行复用：

$x_{i,j}\∈\left\{\mathrm{0,1}\right\},\∀i,\∀j$

④每组D2D对能且只能复用一个蜂窝用户的资源块：

$\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{x}_{i,j}=1,\∀i$

⑤每个蜂窝用户的资源块最多只能被一组D2D对复用：

$\underset{i=1}{\overset{N_d}{\mathrm{\Σ}}}{x}_{i,j}\≤1,\∀j$

⑥D2D用户的最大传输功率限定：

$0\≤p_{i,j}\≤p_{\max },\∀i,\∀j$

每组D2D对中包含两个D2D用户，其中一个为接收用户，另一个为发送用户；

其中：N_d表示D2D对的组数，M表示可分配资源块的个数，i表示第i组D2D对，j表示第j个资源块，k表示与第i组D2D对复用相同资源块的蜂窝用户的序号；U_EE表示引入D2D对带来的速率增益所对应的能效，表示引入D2D对带来的速率增益的和，

表示达到速率增益所消耗的功率之和，p_i,j表示第i组D2D对在第j个资源块上的传输功率，P_C表示移动终端上电路所消耗的功率（不受D2D对传输功率的影响），

表示第i组D2D对复用第j个资源块时所获得的速率增益，且：

$\hat{R}\left(p_{i,j}\right)=w\·{\log }_2(1+\frac{p_{i,j}\·h_{D,i}}{p_{I,k,i}\·h_{k,i}+{\mathrm{\σ}}^2})-w\·[{\log }_2(1+\frac{P_{\mathrm{CB}}}{{\mathrm{\σ}}^2})-{\log }_2(1+\frac{P_{\mathrm{CB}}}{p_{i,j}\·h_{i,B}+{\mathrm{\σ}}^2})]$

w表示资源块的带宽，h_D,i表示同一组D2D对中发射用户和接收用户之间的信道增益，p_I,k,i表示与一组D2D对共享资源块的蜂窝用户的发射功率，h_k,i表示共享同一资源块的蜂窝用户与D2D对中的接收用户间的信道增益，σ²表示高斯白噪声的方差；P_CB为蜂窝用户到达基站的速率（我们调节蜂窝用户的发射功率，将基站接收到的所有蜂窝用户功率控制在相同水平，即P_CB）；h_i,B表示第i组D2D对和基站间的干扰信道增益；

（2）由分式规划思想和罚函数方法，将目标函数分解成两层优化问题进行求解，该两层优化问题分别为第一层优化问题和第二层优化问题；

（3）第一层优化问题为功率控制问题，即求解式（2）的最小值问题：

其中，R(p_i,j)表示第i组D2D对的传输速率，q表示能效，P_{C_ave}=P_C/N_d，

和

表示很大的正数；所述很大的正数比如可以为大于10¹⁰或大于10²⁰的正数；对f_i(q)的函数求一阶导数可得：

其中： $p_{i,\mathrm{low}}=(2^{\frac{{\mathrm{\γ}}_i}{w}}-1)\·\frac{p_{I,k,j}\·h_{k,j}+{\mathrm{\σ}}^2}{h_{D,i}},$ $Z_1=\underset{i=1}{\overset{N_d}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\max \{{0.2}^{\frac{{\mathrm{\γ}}_i}{w}}-1-\frac{p_{i,j}\·h_{D,i}}{p_{I,k,j}\·h_{k,j}+{\mathrm{\σ}}^2})\},$ $Z_2=\underset{i=1}{\overset{N_d}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\max \{0,p_{\max }-p_{i,j}\};$

令f_i(q)的一阶导数为零，求得f_i(q)的极值点，从而求得最优功率

和f_i(q)最小值；具体为将f_i'(q)等于零的每一种情况的求解分别整理为一个等效的一元三次方程的求根过程，分别求得在三种不同情况下的相应解；f_i(q)的最小值一定在极值点或端点处，使得f_i(q)取值最小的点记为最优功率点

即：

$p_{i,j}^{*}=\arg \min \{f_i\left(q\right){|}_{p_{i,j}=\mathrm{\α}},f_i\left(q\right){|}_{p_{i,j}=\mathrm{\β}},f_i\left(q\right){|}_{p_{i,j}=\mathrm{\γ}},...,f_i\left(q\right){|}_{p_{i,j}=p_{\max }}\},f_i\left(q\right){|}_{p_{i,j}=p_{i,j}^{*}};$

（4）第二层优化问题为资源分配问题，采用匈牙利算法解决资源冲突问题。

有益效果：本发明提供的基于一元三次方程求根和匈牙利算法的蜂窝系统终端直通技术能效优化方法，建立了引入D2D对所带来的速率增益对应的能效函数的数学模型，并将原耦合的复杂优化问题分解成了两层优化问题，为求解带来极大的方便；第一层优化问题最终归结为求解一个一元三次方程组问题，第二层优化问题结合匈牙利算法很大程度的提高了引入D2D对带来的速率增益所对应的能效。

附图说明

图1为本发明的原理流程图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作更进一步的说明。

如图1所示为一种基于一元三次方程求根和匈牙利算法的蜂窝系统终端直通技术能效优化方法，建立在蜂窝网络下引入D2D时，带来的这部分速率增益所对应的能效函数的数学模型，的速率增益考虑了引入D2D后对蜂窝用户的干扰（D2D用户的速率减去引入D2D用户所造成的蜂窝用户的速率损失）；通过分式规划，原问题被分解成两层优化问题，在第一层优化问题中将求解函数的最小值问题最终归结为求解一个一元三次方程的根的问题，并在三种不同情况下求得了相应的解；第二层优化问题中用匈牙利算法解决了资源分配时存在的冲突问题并完成了资源分配。简单来说，包括如下步骤：

1）每组D2D对分别感知来自不同资源上蜂窝用户对它的干扰，并选出干扰功率小于给定门限值的资源，作为可行资源集；

2）每组D2D对分别计算其在可行资源集上的最优功率点和对应的最小函数值f_i(q)；

3）每组D2D对求解其在各个可行资源集上一元三次方程的根，从而找到最优功率点和对应的函数值f_i(q)传给基站；

4）基站采用匈牙利算法最终确定每组D2D对所复用的资源。

该方法具体实现过程如下：

（1）建立能效的目标函数，如式（1）所示：

$\max U_{\mathrm{EE}}=\frac{\underset{i=1}{\overset{N_d}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{x}_{i,j}\·\hat{R}\left(p_{i,j}\right)}{\underset{i=1}{\overset{N_d}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{x}_{i,j}\·p_{i,j}+P_C}---\left(1\right)$

该目标函数包括如下约束条件：

①每组D2D对的最低传输速率要求，即最低传输速率不能小于γ_i，不同组的D2D对的最低传输速率可以不同，以满足业务要求：

$R\left(p_{i,j}\right)\≥{\mathrm{\γ}}_i,\∀i,\∀j$

②与一组D2D对共享相同资源块的蜂窝用户对该组D2D对中的两个D2D用户的干扰功率必须小于一定值τ，由于接收用户承受的干扰较大，一般可认为是对接收用户的干扰功率必须小于一定值τ：

$p_{I,k,i}\·h_{k,i}\≤\mathrm{\τ},\∀x_{i,j}=1$

③x_i,j取1表示第i组D2D对选择第j个资源块进行复用，x_i,j取0表示第i组D2D对不选择第j个资源块进行复用：

$x_{i,j}\∈\left\{\mathrm{0,1}\right\},\∀i,\∀j$

④每组D2D对能且只能复用一个蜂窝用户的资源块：

$\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{x}_{i,j}=1,\∀i$

⑤每个蜂窝用户的资源块最多只能被一组D2D对复用：

$\underset{i=1}{\overset{N_d}{\mathrm{\Σ}}}{x}_{i,j}\≤1,\∀j$

⑥D2D用户的最大传输功率限定：

$0\≤p_{i,j}\≤p_{\max },\∀i,\∀j$

每组D2D对中包含两个D2D用户，其中一个为接收用户，另一个为发送用户；

其中：N_d表示D2D对的组数，M表示可分配资源块的个数，i表示第i组D2D对，j表示第j个资源块，k表示与第i组D2D对复用相同资源块的蜂窝用户的序号；U_EE表示引入D2D对带来的速率增益所对应的能效，表示引入D2D对带来的速率增益的和，

表示达到速率增益所消耗的功率之和，p_i,j表示第i组D2D对在第j个资源块上的传输功率，P_C表示移动终端上电路所消耗的功率（不受D2D对传输功率的影响），

表示第i组D2D对复用第j个资源块时所获得的速率增益，且：

$\hat{R}\left(p_{i,j}\right)=w\·{\log }_2(1+\frac{p_{i,j}\·h_{D,i}}{p_{I,k,i}\·h_{k,i}+{\mathrm{\σ}}^2})-w\·[{\log }_2(1+\frac{P_{\mathrm{CB}}}{{\mathrm{\σ}}^2})-{\log }_2(1+\frac{P_{\mathrm{CB}}}{p_{i,j}\·h_{i,B}+{\mathrm{\σ}}^2})]$

w表示资源块的带宽，h_D,i表示同一组D2D对中发射用户和接收用户之间的信道增益，p_I,k,i表示与一组D2D对共享资源块的蜂窝用户的发射功率，h_k,i表示共享同一资源块的蜂窝用户与D2D对中的接收用户间的信道增益，σ²表示高斯白噪声的方差；P_CB为蜂窝用户到达基站的速率（我们调节蜂窝用户的发射功率，将基站接收到的所有蜂窝用户功率控制在相同水平，即P_CB）；h_i,B表示第i组D2D对和基站间的干扰信道增益；

（2）由分式规划思想和罚函数方法，将目标函数分解成两层优化问题进行求解，该两层优化问题分别为第一层优化问题和第二层优化问题；

（3）第一层优化问题为功率控制问题，即求解式（2）的最小值问题：

其中，R(p_i,j)表示第i组D2D对的传输速率，q表示能效，P_{C_ave}=P_C/N_d，

和

表示很大的正数；对f_i(q)的函数求一阶导数可得：

其中： $p_{i,\mathrm{low}}=(2^{\frac{{\mathrm{\γ}}_i}{w}}-1)\·\frac{p_{I,k,j}\·h_{k,j}+{\mathrm{\σ}}^2}{h_{D,i}},$ $Z_1=\underset{i=1}{\overset{N_d}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\max \{{0.2}^{\frac{{\mathrm{\γ}}_i}{w}}-1-\frac{p_{i,j}\·h_{D,i}}{p_{I,k,j}\·h_{k,j}+{\mathrm{\σ}}^2})\},$ $Z_2=\underset{i=1}{\overset{N_d}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\max \{0,p_{\max }-p_{i,j}\};$

令f_i(q)的一阶导数为零，求得f_i(q)的极值点，从而求得最优功率和f_i(q)最小值；

f_i'(q)的三种情况的求解是类似的，这里以p_i,low≤p_i,j≤p_max的情况为例，对f_i'(q)进行求解；令： $\frac{{\mathrm{wh}}_{i,i}}{\ln 2(p_{i,j}{h}_{i,i}+p_{C,k,i}{h}_{k,i}+{\mathrm{\σ}}^2)}-\frac{{\mathrm{wP}}_{\mathrm{CB}}{h}_{i,B}}{\ln 2(p_{i,j}{h}_{i,B}+P_{\mathrm{CB}}+{\mathrm{\σ}}^2)(p_{i,j}{h}_{i,B}+{\mathrm{\σ}}^2)}-q=0,$ 通过整理它等效于求解一个如下一元三次方程的根：

${\mathrm{ap}}_{i,j}^3+{\mathrm{bp}}_{i,j}^2+{\mathrm{cp}}_{i,j}+d=0---\left(4\right)$

其中： $a={\mathrm{qh}}_{i,i}{h}_{i,B}^2\ln 2,$

$b=q\ln 2(2h_{i,i}{h}_{i,B}{\mathrm{\σ}}^2+h_{i,i}{h}_{i,B}{P}_{\mathrm{CB}})+q\ln 2h_{i,B}^2({\mathrm{\σ}}^2+p_{C,k,i}{h}_{k,i})-h_{i,B}^2{h}_{i,i},$

$\begin{array}{c}c=q{\mathrm{\σ}}^2\ln 2(h_{i,i}({\mathrm{\σ}}^2+P_{\mathrm{CB}})+h_{i,B}({\mathrm{\σ}}^2+p_{C,k,i}{h}_{k,i}))+q\ln 2({\mathrm{\σ}}^2+p_{C,k,i}{h}_{k,i})({\mathrm{\σ}}^2+P_{\mathrm{CB}})\\ -h_{i,i}{h}_{i,B}(2{\mathrm{\σ}}^2+P_{\mathrm{CB}})+h_{i,i}{h}_{i,B}{P}_{\mathrm{CB}}\end{array}$

$\begin{array}{c}d=q{\mathrm{\σ}}^2\ln 2(p_{C,k,i}{h}_{k,i}+{\mathrm{\σ}}^2)(P_{\mathrm{CB}}+{\mathrm{\σ}}^2)+h_{i,B}{P}_{\mathrm{CB}}(p_{C,k,i}{h}_{k,i}+{\mathrm{\σ}}^2)\\ -h_{i,i}{\mathrm{\σ}}^2(P_{\mathrm{CB}}+{\mathrm{\σ}}^2)\end{array}$

令

δ=(b²-3ac)/9a²，λ²=3δ²，h=-2aδ³，

则式（4）的解有三种情况，分别如下：

如果y_N-h²＞0，则只有一个实根：

$\mathrm{\α}=p_{i,j}^N+{\left(\frac{{-y}_N+\sqrt{y_N^2-h^2}}{2a}\right)}^{1/3}+{\left(\frac{{-y}_N-\sqrt{y_N^2-h^2}}{2a}\right)}^{1/3}$

如果y_N-h²=0，则有两个实根：

α=x_N+δ,β=x_N-2δ

如果y_N-h²＜0，则有三个实根：

α=x_N+2δcosθ, $\mathrm{\β}=x_N+2\mathrm{\δ}\cos (\frac{2\mathrm{\π}}{3}-\mathrm{\θ}),$ $\mathrm{\γ}=x_N+2\mathrm{\δ}\cos (\frac{2\mathrm{\π}}{3}+\mathrm{\θ})$

其中：θ=arccos(-y_N/h)/3；

最后求得包括p_i,j<p_i,low和p_i,j>p_max情况下的所有极值点后，就能够得到f_i(q)在这些点上的值，从而得到最优功率和f_i(q)的最小值，分别如下：

$p_{i,j}^{*}=\arg \min \{f_i\left(q\right){|}_{p_{i,j}=\mathrm{\&alpha;}},f_i\left(q\right){|}_{p_{i,j}=\mathrm{\&beta;}},f_i\left(q\right){|}_{p_{i,j}=\mathrm{\&gamma;}},...,f_i\left(q\right){|}_{p_{i,j}=p_{\max }}\},f_i\left(q\right){|}_{p_{i,j}=p_{i,j}^{*}};$

（4）第二层优化问题为资源分配问题，采用匈牙利算法解决资源冲突问题；所示匈牙利算法的基本思想是修改效益矩阵的行货列，使得每个行货列中至少有一个为零的元素，经过修正后，直至不同行不同列至少有一个零元素，从而得到一个与这些零元素相对应的完全分配方案。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出：对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (1)

1.基于一元三次方程求根和匈牙利算法的高能效资源优化法，其特征在于：包括如下步骤：

（1）建立能效的目标函数，如式（1）所示：

$\max U_{\mathrm{EE}}=\frac{\underset{i=1}{\overset{N_d}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_{i,j}\&CenterDot;\hat{R}\left(p_{i,j}\right)}{\underset{i=1}{\overset{N_d}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_{i,j}\&CenterDot;p_{i,j}+P_C}---\left(1\right)$

该目标函数包括如下约束条件：

①每组D2D对的最低传输速率要求，即最低传输速率不能小于γ_i，不同组的D2D对的最低传输速率可以不同：

$R\left(p_{i,j}\right)\&GreaterEqual;{\mathrm{\&gamma;}}_i,\&ForAll;i,\&ForAll;j$

②与一组D2D对共享相同资源块的蜂窝用户对该组D2D对中的两个D2D用户的干扰功率必须小于一定值τ：

③x_i,j取1表示第i组D2D对选择第j个资源块进行复用，x_i,j取0表示第i组D2D对不选择第j个资源块进行复用：

$x_{i,j}\&Element;\left\{\mathrm{0,1}\right\},\&ForAll;i,\&ForAll;j$

④每组D2D对能且只能复用一个蜂窝用户的资源块：

$\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_{i,j}=1,\&ForAll;i$

⑤每个蜂窝用户的资源块最多只能被一组D2D对复用：

$\underset{i=1}{\overset{N_d}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_{i,j}\&le;1,\&ForAll;j$

⑥D2D用户的最大传输功率限定：

$0\&le;p_{i,j}\&le;p_{\max },\&ForAll;i,\&ForAll;j$

每组D2D对中包含两个D2D用户，其中一个为接收用户，另一个为发送用户；

其中：N_d表示D2D对的组数，M表示可分配资源块的个数，i表示第i组D2D对，j表示第j个资源块，k表示与第i组D2D对复用相同资源块的蜂窝用户的序号；U_EE表示引入D2D对带来的速率增益所对应的能效，

表示引入D2D对带来的速率增益的和，表示达到速率增益所消耗的功率之和，p_i,j表示第i组D2D对在第j个资源块上的传输功率，P_C表示移动终端上电路所消耗的功率，

表示第i组D2D对复用第j个资源块时所获得的速率增益，且：

$\hat{R}\left(p_{i,j}\right)=w\&CenterDot;{\log }_2(1+\frac{p_{i,j}\&CenterDot;h_{D,i}}{p_{I,k,i}\&CenterDot;h_{k,i}+{\mathrm{\&sigma;}}^2})-w\&CenterDot;[{\log }_2(1+\frac{P_{\mathrm{CB}}}{{\mathrm{\&sigma;}}^2})-{\log }_2(1+\frac{P_{\mathrm{CB}}}{p_{i,j}\&CenterDot;h_{i,B}+{\mathrm{\&sigma;}}^2})]$

w表示资源块的带宽，h_D,i表示同一组D2D对中发射用户和接收用户之间的信道增益，p_I,k,i表示与一组D2D对共享资源块的蜂窝用户的发射功率，h_k,i表示共享同一资源块的蜂窝用户与D2D对中的接收用户间的信道增益，σ²表示高斯白噪声的方差；P_CB为蜂窝用户到达基站的功率；h_i,B表示第i组D2D对和基站间的干扰信道增益；

（2）由分式规划思想和罚函数方法，将目标函数分解成两层优化问题进行求解，该两层优化问题分别为第一层优化问题和第二层优化问题；

（3）第一层优化问题为功率控制问题，即求解式（2）的最小值问题：

其中，R(p_i,j)表示第i组D2D对的传输速率，q表示能效，P_{C_ave}=P_C/N_d，和

表示很大的正数；对f_i(q)的函数求一阶导数可得：

其中： $p_{i,\mathrm{low}}=(2^{\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_i}{w}}-1)\&CenterDot;\frac{p_{I,k,j}\&CenterDot;h_{k,j}+{\mathrm{\&sigma;}}^2}{h_{D,i}},$ $Z_1=\underset{i=1}{\overset{N_d}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}\max \{{0.2}^{\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_i}{w}}-1-\frac{p_{i,j}\&CenterDot;h_{D,i}}{p_{I,k,j}\&CenterDot;h_{k,j}+{\mathrm{\&sigma;}}^2})\},$ $Z_2=\underset{i=1}{\overset{N_d}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}\max \{0,p_{\max }-p_{i,j}\};$

令f_i(q)的一阶导数为零，求得f_i(q)的极值点，从而求得最优功率

和f_i(q)最小值；具体为将f_i'(q)等于零的每一种情况的求解分别整理为一个等效的一元三次方程的求根过程，分别求得在三种不同情况下的相应解；f_i(q)的最小值一定在极值点或端点处，使得f_i(q)取值最小的点记为最优功率点

即：

$p_{i,j}^{*}=\arg \min \{f_i\left(q\right){|}_{p_{i,j}=\mathrm{\&alpha;}},f_i\left(q\right){|}_{p_{i,j}=\mathrm{\&beta;}},f_i\left(q\right){|}_{p_{i,j}=\mathrm{\&gamma;}},...,f_i\left(q\right){|}_{p_{i,j}=p_{\max }}\},f_i\left(q\right){|}_{p_{i,j}=p_{i,j}^{*}};$

（4）第二层优化问题为资源分配问题，采用匈牙利算法解决资源冲突问题。

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