CN103399466B - 一种工件台宏动部分三自由度解耦建模方法 - Google Patents

Abstract

一种工件台宏动部分三自由度解耦建模方法，主要涉及的是一种光刻机工件台宏动部分三自由度解耦建模方法。本发明是要解决光刻机工件台宏动部分水平方向二组Y方向直线电机和一组X方向直线电机的解耦建模问题。一、根据工件台宏动部分三自由度解耦建模结构示意图计算质量块1和质量块2相对于起始点O的位置；二、根据步骤一所得的位置关系导出质量块1和质量块2的速度；三、根据步骤二所得结果导出系统总动能；四、根据步骤三的结果得出系统的惯性矩阵；五、根据步骤四的结果导出克里奥利斯和离心力矩阵；六、根据步骤四和步骤五的结果导出由电机控制力到坐标x,y的关系式。本发明属于超精密制造领域。

Description

一种工件台宏动部分三自由度解耦建模方法

技术领域

本发明属于超精密制造领域，主要涉及的是一种光刻机工件台宏动部分三自由度解耦建模方法。

背景技术

光刻机是制造大规模集成电路的关键设备，主要用于集成电路、半导体元器件、光电子器件、光学器件的研制和生产。工件台系统是光刻机的关键组成部分，主要实现光刻机的多自由度运动功能。其运动的精度和速度直接影响到光刻机的分辨率和生产效率。工件台纳米级超高精度动态跟踪和定位是光刻机研发的关键技术。由于长行程直线电机无法保证纳米级的运动精度，则需要音圈电机作为执行器，但音圈电机行程非常有限（通常是毫米量级）。于是在纳米制造领域，传统的单一种类执行器控制方法无法解决高精度与大行程之间的矛盾。鉴于以上考虑，在光刻机系统中通常采用宏微结构。宏动部分主要完成高速大行程运动，微动部分主要任务是实现纳米级的动态跟踪和定位。光刻机工件台宏动部分为多变量、三自由度的高精密运动装置，其运动由三组直接驱动直线电动机来共同实现。如图2所示，其中两组直线电动机沿Y方向平行安装在工件台宏动部分两侧，一组直线电机沿X方向跨接在两组Y方向直线电机的动子上。根据设计要求光刻机工件台宏动部分需要为光刻机工件台提供高速、高精度的X方向和Y方向运动。由于Y方向驱动采用了双组直线电机驱动结构，所以两组Y方向直线电机的运动需要保证严格的协调和同步，从而保证工件台宏动部分进行高速的无横向偏转的运动。传统的光刻机工件台宏动部分的控制方式是采用两组参数相同的Y方向直线电机并给定相同的控制量，人为假定两组直线电机的实际工作环境是完全相同的，所以二者的行程按假设也应该是一致的。即两组Y方向直线电机的行程一致且X方向直线电机严格垂直于Y方向，也就是工件台宏动部分X方向运动与Y方向运动是相互独立、彼此没有耦合作用的。但在工程实际中，不可能找到参数完全一致的两组Y方向直线电机，并且两组Y方向直线电机的工作环境也不可能完全相同（包括不同的导轨所引起的不同摩擦力，电机参数的微小差别产生的不同的电磁扰动力等）。综合上述因素使得在传统光刻机工件台宏动部分控制实现中，由于两组Y方向直线电机不严格同步导致X方向直线电机运动方向与Y方向的垂直角度含有偏差（传统方式并未将此偏差考虑在内），从而在很大程度上影响了光刻机工件台宏动部分的定位精度。所以传统的光刻机工件台宏动部分控制方式已不能满足当今超精密工件台运动控制的需要。

发明内容

本发明是要解决光刻机工件台宏动部分两组Y方向直线电机运动不严格同步引起的工件台宏动部分X方向运动模型与Y方向运动模型耦合的问题，而提出的一种工件台宏动部分三自由度解耦建模方法。

光刻机工件台宏动部分三自由度解耦建模方法按以下步骤实现：

一、根据工件台宏动部分三自由度解耦建模结构示意图计算质量块1和质量块2相对于起始点O的位置；

二、根据步骤一所得的位置关系导出质量块1和质量块2的速度：

$\left\{\begin{array}{c}{v}_1=\left[\begin{array}{c}0\\ \stackrel{\·}{y}\end{array}\right]\\ v_2=\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}\·\cos \mathrm{\α}-x\·\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\·\sin \mathrm{\α}+d\·\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\cos \mathrm{\α}\\ \stackrel{\·}{y}-d\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\·\sin \mathrm{\α}-\stackrel{\·}{x}\·\sin \mathrm{\α}-x\·\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\·\cos \mathrm{\α}\end{array}\right]\end{array}\right.$

其中v₁为质量块1的速度；v₂为质量块2的速度；

三、根据步骤二所得质量块1和质量块2的速度导出系统总动能；

四、根据步骤三的系统总动能得出系统的惯性矩阵；

五、根据步骤四的系统的惯性矩阵导出克里奥利斯和离心力矩阵：

$V_{\mathrm{ij}}=\underset{k=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}[\frac{1}{2}\·(\frac{{\∂D}_{\mathrm{ij}}}{{\∂Q}_k}+\frac{{\∂D}_{\mathrm{ik}}}{{\∂Q}_j}+\frac{{\∂D}_{\mathrm{jk}}}{{\∂Q}_i})\·{\stackrel{\·}{Q}}_k]$

$V=[\left.\begin{array}{ccc}0& 2\·x\·\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\·-\stackrel{\·}{y}\·\mathrm{c\α}\mathrm{s\α}& -\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\·\cos \mathrm{\α}\\ 2\·x\·\stackrel{\·}{a}-\stackrel{\·}{y}\·\cos \mathrm{\α}& 2\·x\·\stackrel{\·}{x}+(x\·\sin \mathrm{\α}-d\·\cos \mathrm{\α})\·\stackrel{\·}{y}& -\stackrel{\·}{x}\·\cos \mathrm{\α}-d\·\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\·\cos \mathrm{\α}+x\·\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\·\sin \mathrm{\α}]\\ -\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\·\cos \mathrm{\α}& -\stackrel{\·}{x}\·\cos \mathrm{\α}-d\·\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\·\cos \mathrm{\α}+x\·\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\·\sin \mathrm{\α}& 0\end{array}\right]$

其中 $Q=\left[\begin{array}{c}x\\ \mathrm{\α}\\ y\end{array}\right],$ V为克里奥利斯和离心力矩阵，V_ij为其第i行j列的元素，i,j的取值范围为1,2,3；D_ij,D_ik,D_jk表示惯性矩阵D的第i行j列、i行k列、j行k列的元素，i,j,k的取值范围为1,2,3；Q_i,Q_j,Q_k表示矩阵Q的第i,j,k行元素，i,j,k的取值范围为1,2,3；

六、根据步骤四和步骤五的结果导出由电机控制力到坐标x,y的关系式：

$D\·\stackrel{\·\·}{Q}+V\·\stackrel{\·}{Q}=H\·(\mathrm{\τ}+d+F)$

其中 $d=\left[\begin{array}{c}{d}_1\\ d_2\\ d_3\end{array}\right],$ 为三个直线电机的扰动力； $F=\left[\begin{array}{c}{F}_1\\ F_2\\ F_3\end{array}\right],$ 为三个直线电机摩擦力； $\mathrm{\τ}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\τ}}_1\\ {\mathrm{\τ}}_2\\ {\mathrm{\τ}}_3\end{array}\right]$ 为三个直线电机输出的控制力； $H=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}\·L\·\cos \mathrm{\α}& -\frac{1}{2}\·L\·\cos \mathrm{\α}\\ 0& 1& 1\end{array}\right].$

发明效果：

由于传统的光刻机工件台宏动部分的控制方式是假定两组Y方向直线电机参数、实际工作环境完全相同并且假定两组Y方向直线电机的行程一致且X方向直线电机严格垂直于Y方向，即工件台宏动部分X方向运动与Y方向运动是互相独立、彼此没有耦合作用的。但在工程中由于实际环境比较复杂，使得由于两组Y方向直线电机不严格同步导致X方向直线电机运动方向与Y方向垂直角度有偏差，从而在很大程度上影响了光刻机工件台宏动部分的定位精度。本发明所提出的工件台宏动部分三自由度解耦建模方法可以很好的解决上述问题。利用本发明提供的方法所建立的三自由度解耦模型针对两组Y方向直线电机可以分别单独施加不同的控制量，并引入了反映X方向直线电机偏转角度的指标参数α。通过对指标参数α的精确控制可以保证两组Y方向直线电机的严格同步性。从而保证了光刻机工件台宏动部分在X方向和Y方向的运动精度，可以大幅度的提高硅片的曝光质量。

附图说明

图1为本发明流程图；

图2是光刻机工件台宏动部分三自由度解耦建模结构示意图；其中，A为第一组Y方向直线电机，B为第二组Y方向直线电机，C为X方向直线电机。

具体实施方式

具体实施方式一：本实施方式的光刻机工件台宏动部分三自由度解耦建模方法按以下步骤实现：

一、根据工件台宏动部分三自由度解耦建模结构示意图计算质量块1和质量块2相对于起始点O的位置；

二、根据步骤一所得的位置关系导出质量块1和质量块2的速度：

$\left\{\begin{array}{c}{v}_1=\left[\begin{array}{c}0\\ \stackrel{\·}{y}\end{array}\right]\\ v_2=\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}\·\cos \mathrm{\α}-x\·\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\·\sin \mathrm{\α}+d\·\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\cos \mathrm{\α}\\ \stackrel{\·}{y}-d\·\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\·\sin \mathrm{\α}-\stackrel{\·}{x\·}\sin \mathrm{\α}-x\·\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\·\cos \mathrm{\α}\end{array}\right]\end{array}\right.$

其中v₁为质量块1的速度；v₂为质量块2的速度；

三、根据步骤二所得质量块1和质量块2的速度导出系统总动能；

四、根据步骤三的系统总动能得出系统的惯性矩阵；

五、根据步骤四的系统的惯性矩阵导出克里奥利斯和离心力矩阵：

$V_{\mathrm{ij}}=\underset{k=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}[\frac{1}{2}\·(\frac{{\∂D}_{\mathrm{ij}}}{{\∂Q}_k}+\frac{{\∂D}_{\mathrm{ik}}}{{\∂Q}_j}+\frac{{\∂D}_{\mathrm{jk}}}{{\∂Q}_i})\·{\stackrel{\·}{Q}}_k]$

$V=[\left.\begin{array}{ccc}0& 2\·x\·\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}-\stackrel{\·}{y}\·\mathrm{c\α}\mathrm{s\α}& -\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\·\cos \mathrm{\α}\\ 2\·x\·\stackrel{\·}{a}-\stackrel{\·}{y}\·\cos \mathrm{\α}& 2\·x\·\stackrel{\·}{x}+(x\·\sin \mathrm{\α}-d\·\cos \mathrm{\α})\·\stackrel{\·}{y}& -\stackrel{\·}{x}\·\cos \mathrm{\α}-d\·\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\·\cos \mathrm{\α}+x\·\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\·\sin \mathrm{\α}]\\ -\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\·\cos \mathrm{\α}& -\stackrel{\·}{x\·}\cos \mathrm{\α}-d\·\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\·\cos \mathrm{\α}+x\·\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\·\sin \mathrm{\α}& 0\end{array}\right]$

其中 $Q=\left[\begin{array}{c}x\\ \mathrm{\α}\\ y\end{array}\right],$ V为克里奥利斯和离心力矩阵，V_ij为其第i行j列的元素，i,j的取值范围为1,2,3；D_ij,D_ik,D_jk表示惯性矩阵D的第i行j列、i行k列、j行k列的元素，i,j,k的取值范围为1,2,3；Q_i,Q_j,Q_k表示矩阵Q的第i,j,k行元素，i,j,k的取值范围为1,2,3；

六、根据步骤四和步骤五的结果导出由电机控制力到坐标x,y的关系式：

$D\·\stackrel{\·\·}{Q}+V\·\stackrel{\·}{Q}=H\·(\mathrm{\τ}+d+F)$

其中 $d=\left[\begin{array}{c}{d}_1\\ d_2\\ d_3\end{array}\right],$ 为三个直线电机的扰动力； $F=\left[\begin{array}{c}{F}_1\\ F_2\\ F_3\end{array}\right],$ 为三个直线电机摩擦力； $\mathrm{\τ}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\τ}}_1\\ {\mathrm{\τ}}_2\\ {\mathrm{\τ}}_3\end{array}\right]$ 为三个直线电机输出的控制力； $H=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}\·L\·\cos \mathrm{\α}& -\frac{1}{2}\·L\·\cos \mathrm{\α}\\ 0& 1& 1\end{array}\right].$

具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同的是：步骤一中所述质量块1包含Y方向直线电机的动子、导套和X方向直线电机的定子，所述质量块2包含X方向直线电机的动子及导套。其它步骤及参数与具体实施方式一相同。

具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式一或二不同的是：步骤一中所述质量块1和质量块2相对于起始点O位置具体为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=0\\ y_1=y\\ x_2=x\·\cos \mathrm{\α}+d\·\sin \mathrm{\α}\\ y_2=y+d\·\cos \mathrm{\α}-x\·\sin \mathrm{\α}\end{array}\right.$

其中x₁,y₁为质量块1相对于O沿X,Y方向的坐标；x₂,y₂为质量块2相对于O沿X,Y方向的坐标；y为质量块1平面几何中心点O₁沿Y方向的坐标；x为质量块2的质心Cog沿X方向的坐标；α为X方向直线电机实际与X轴方向的偏离角度；d为质量块2的质心Cog到X方向直线电机运动方向上的距离。其它步骤及参数与具体实施方式一或二相同。

具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式一至三之一不同的是：步骤三中系统总动能具体为：

$K=\frac{1}{2}\·M\·v_1^2+\frac{1}{2}\·m\·v_2^2+\frac{1}{2}\·I_1\·{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}^2+\frac{1}{2}\·I_2\·{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}^2$

$=\frac{1}{2}\·m\·{\stackrel{\·}{x}}^2+\frac{1}{2}\·[m\·(x^2+d^2)+I_1+I_2]\·{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}^2+\frac{1}{2}\·(M+m)\·{\stackrel{\·}{y}}^2+$

$\stackrel{\·}{x}\·\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\·m\·d-\stackrel{\·}{y}\·\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\·m\·(x\·\cos \mathrm{\α}+d\·\sin \mathrm{\α})-\stackrel{\·}{x}\·\stackrel{\·}{y}\·m\·\sin \mathrm{\α}$

$I_1=\frac{1}{12}\·M\·L^2$

I₂=m·x²

其中K为系统的总动能；I₁,I₂为质量块1和质量块2的转动惯量；L为两组Y方向直线电机之间的距离。其它步骤及参数与具体实施方式一至三之一相同。

具体实施方式五：本实施方式与具体实施方式一至四之一不同的是：步骤四中系统的惯性矩阵具体为：令由步骤三的系统总动能得

$D=\left[\begin{array}{ccc}m& m\·d& -m\·\sin \mathrm{\α}\\ m\·d& m\·(x^2+d^2)+I_1+I_2& -m\·(x\·\cos \mathrm{\α}+d\·\sin \mathrm{\α})\\ -m\·\sin \mathrm{\α}& -m\·(x\·\cos \mathrm{\α}+d\·\sin \mathrm{\α})& M+m\end{array}\right]$

其中 $\stackrel{\·}{Q}=\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\\ \stackrel{\·}{y}\end{array}\right],$ D为系统的惯性矩阵。其它步骤及参数与具体实施方式一至四之一相同。

Claims (4)

1.一种工件台宏动部分三自由度解耦建模方法，其特征在于光刻机工件台宏动部分三自由度解耦建模方法按以下步骤实现：

一、根据工件台宏动部分三自由度解耦建模结构示意图计算质量块1和质量块2相对于起始点O的位置；其中，所述质量块1包含Y方向直线电机的动子、导套和X方向直线电机的定子，所述质量块2包含X方向直线电机的动子及导套；

二、根据步骤一所得的位置关系导出质量块1和质量块2的速度：

$\left\{\begin{array}{c}{v}_1=\left[\begin{array}{c}0\\ \stackrel{\·}{y}\end{array}\right]\\ v_2=\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}\·\cos \mathrm{\α}-x\·\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\·\sin \mathrm{\α}+d\·\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\cos \mathrm{\α}\\ \stackrel{\·}{y}-d\·\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\·\sin \mathrm{\α}-\stackrel{\·}{x}\·\sin \mathrm{\α}-x\·\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\·\cos \mathrm{\α}\end{array}\right]\end{array}\right.$

其中v₁为质量块1的速度；v₂为质量块2的速度；

三、根据步骤二所得质量块1和质量块2的速度导出系统总动能；

四、根据步骤三的系统总动能得出系统的惯性矩阵；

五、根据步骤四的系统的惯性矩阵导出克里奥利斯和离心力矩阵：

$V_{\mathrm{ij}}=\underset{k=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}[\frac{1}{2}\·(\frac{{\∂D}_{\mathrm{ij}}}{{\∂Q}_k}+\frac{{\∂D}_{\mathrm{ik}}}{{\∂Q}_j}+\frac{{\∂D}_{\mathrm{jk}}}{{\∂Q}_i})\·{\stackrel{\·}{Q}}_k]$

$V=\left[\begin{array}{ccc}0& 2\·x\·\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}-\stackrel{\·}{y}\·\cos \mathrm{\α}& -\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\·\cos \mathrm{\α}\\ 2\·x\·\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}-\stackrel{\·}{y}\·\cos \mathrm{\α}& 2\·x\·\stackrel{\·}{x}+(x\·\sin \mathrm{\α}-d\·\cos \mathrm{\α})\·\stackrel{\·}{y}& -\stackrel{\·}{x}\·\cos \mathrm{\α}-d\·\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\·\cos \mathrm{\α}+x\·\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\·\sin \mathrm{\α}\\ -\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\·\cos \mathrm{\α}& -\stackrel{\·}{x}\·\cos \mathrm{\α}-d\·\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\·\cos \mathrm{\α}+x\·\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\·\sin \mathrm{\α}& 0\end{array}\right]$

其中 $Q=\left[\begin{array}{c}x\\ \mathrm{\α}\\ y\end{array}\right],$ V为克里奥利斯和离心力矩阵，V_ij为其第i行j列的元素，i,j的取值范围为1,2,3；D_ij,D_ik,D_jk表示惯性矩阵D的第i行j列、i行k列、j行k列的元素，i,j,k的取值范围为1,2,3；Q_i,Q_j,Q_k表示矩阵Q的第i,j,k行元素，i,j,k的取值范围为1,2,3；

六、根据步骤四和步骤五的结果导出由电机控制力到坐标x,y的关系式：

$D\·\stackrel{\·\·}{Q}+V\·\stackrel{\·}{Q}=H\·(\mathrm{\τ}+d+F)$

其中 $d=\left[\begin{array}{c}{d}_1\\ d_2\\ d_3\end{array}\right],$ 为三个直线电机的扰动力； $F=\left[\begin{array}{c}{F}_1\\ F_2\\ F_3\end{array}\right],$ 为三个直线电机摩擦力； $\mathrm{\τ}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\τ}}_1\\ {\mathrm{\τ}}_2\\ {\mathrm{\τ}}_3\end{array}\right]$ 为三个直线电机输出的控制力； $H=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}\·L\·\cos \mathrm{\α}& -\frac{1}{2}\·L\·\cos \mathrm{\α}\\ 0& 1& 1\end{array}\right].$

2.根据权利要求1所述的一种工件台宏动部分三自由度解耦建模方法，其特征在于步骤一中所述质量块1和质量块2相对于起始点O的位置具体为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=0\\ y_1=y\\ x_2=x\·\cos \mathrm{\α}+d\·\sin \mathrm{\α}\\ y_2=y+d\·\cos \mathrm{\α}-x\·\sin \mathrm{\α}\end{array}\right.$

其中x₁,y₁为质量块1相对于O沿X,Y方向的坐标；x₂,y₂为质量块2相对于O沿X,Y方向的坐标；y为质量块1平面几何中心点O₁沿Y方向的坐标；x为质量块2的质心Cog沿X方向的坐标；α为X向直线电机实际与X轴方向的偏离角度；d为质量块2的质心Cog到X向直线电机运动方向上的距离。

3.根据权利要求1所述的一种工件台宏动部分三自由度解耦建模方法，其特征在于步骤三中系统总动能具体为：

$\begin{array}{c}K=\frac{1}{2}\·M\·v_1^2+\frac{1}{2}\·m\·v_2^2+\frac{1}{2}\·I_1\·{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}^2+\frac{1}{2}\·I_2\·{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}^2\\ =\frac{1}{2}\·m\·{\stackrel{\·}{x}}^2+\frac{1}{2}\·[m\·(x^2+d^2)+I_1+I_2]\·{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}^2+\frac{1}{2}\·(M+m)\·{\stackrel{\·}{y}}^2+\\ \stackrel{\·}{x}\·\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\·m\·d-\stackrel{\·}{y}\·\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\·m\·(x\·\cos \mathrm{\α}+d\·\sin \mathrm{\α})-\stackrel{\·}{x}\·\stackrel{\·}{y}\·m\·\sin \mathrm{\α}\end{array}$

$I_1=\frac{1}{12}\·M\·L^2$

I₂＝m·x²

其中K为系统的总动能；I₁,I₂为质量块1和质量块2的转动惯量；L为两组Y方向直线电机之间的距离。

4.根据权利要求1所述的一种工件台宏动部分三自由度解耦建模方法，其特征在于步骤四中系统的惯性矩阵具体为：令由步骤三的系统总动能得

$D=\left[\begin{array}{ccc}m& m\·d& -m\·\sin \mathrm{\α}\\ m\·d& m\·(x^2+d^2)+I_1+I_2& -m\·(x\·\cos \mathrm{\α}+d\·\sin \mathrm{\α})\\ -m\·\sin \mathrm{\α}& -m\·(x\·\cos \mathrm{\α}+d\·\sin \mathrm{\α})& M+m\end{array}\right]$

其中 $\stackrel{\·}{Q}=\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\\ \stackrel{\·}{y}\end{array}\right],$ D为系统的惯性矩阵。