CN103366084B - 一种考虑温度影响计算锁紧盘过盈量的方法 - Google Patents

Abstract

一种考虑温度影响计算锁紧盘过盈量的方法，属于锁紧盘设计技术领域，其计算步骤按照锁紧盘接触面分为三个部分：(1)计算出主轴与轴套接触面的接触压力；(2)先计算考虑温度作用的主轴与轴套接触面间隙，然后计算消除此间隙轴套所需的接触压力，最后得出轴套与内环接触面的接触压力；(3)先计算考虑温度作用的轴套与内环接触面间隙，然后计算消除此间隙内环所需的接触压力，得出内环与外环接触面的接触压力，最后计算考虑温度作用的内环与外环接触面过盈量。本算法充分考虑了锁紧盘在工况温度下的接触压力与过盈量计算，使设计更加结合实际，具有较高的精确性和可靠性。

Description

一种考虑温度影响计算锁紧盘过盈量的方法

技术领域：

本发明属于锁紧盘设计领域，具体涉及一种考虑温度影响计算锁紧盘过盈量的方法。

技术背景：

锁紧盘为机械领域内重要的锁紧装置，其结构如图1所示包括有主轴(1)、轴套(2)、内环(3)、外环(4)及螺钉(5)。在工作时，通过在内环(3)上施加轴向力使各个接触面相互压紧产生接触压力，从而达到传递扭矩的作用。过盈量是设计锁紧盘时的关键参数，对其精度要求较高。锁紧盘在实际工作中处于非均匀温度场，各零件内外表面温度相差较大，这种温差对各接触面压力以及承载性能具有较大影响。传统设计方法在计算过盈量时，通常忽略温度的影响，会导致锁紧盘在实际中不能满足工作要求。

发明内容：

本发明目的是提供一种考虑温度影响计算锁紧盘过盈量的方法，能够精确地计算出锁紧盘连接所需的过盈量。

本发明是这样实现的，其特征是计算步骤如下，如图1所示：

(1)计算主轴(1)与轴套(2)接触面接触压力

主轴(1)与轴套(2)接触面传递扭矩所需接触压力为：

$P_1=\frac{2M}{{\mathrm{\μ\πd}}_1^{2}l}---\left(1\right)$

其中，设主轴(1)与轴套(2)接触面长度为l：l＝l₁

式中：M——主轴(1)与轴套(2)接触面所需传递扭矩

μ——主轴(1)与轴套(2)接触面的摩擦系数

d₁——主轴(1)与轴套(2)接触面直径

l₁——内环(3)的轴向长度

(2)计算轴套(2)与内环(3)接触面接触压力

轴套(2)与内环(3)接触面接触压力为：

P₂＝P₁+P₁′(2)

其中,P₁′为消除主轴(1)与轴套(2)接触面间隙轴套(2)所需接触压力，其计算公式为：

$P_1^{\′}=\frac{h_1{E}_2(d_2^2-d_1^2)}{2d_1{d}_2^2}---\left(3\right)$

式中，d₂为轴套(2)与内环(3)接触面直径，E₂为轴套材料的弹性模量，h₁为主轴(1)与轴套(2)接触面间隙，其计算公式为：

h₁＝R₁-u_t1(4)

其中,R₁为主轴(1)与轴套(2)接触面装配间隙，u_t1为温度引起的主轴(1)与轴套(2)接触面变形量，其计算公式为：

u_t1＝u_a+u_b(5)

式中,u_a为温度引起的主轴(1)外表面变形量，u_b为温度引起的轴套(2)内表面变形量，u_a计算公式为：

$u_a=\frac{{\mathrm{\α}}_1}{4}\frac{1+v_1}{1-v_1}\left\{\frac{t_0{d_1}^2-t_0{d_0}^2}{d_1}+\frac{t_1{d_1}^2-t_0{d_0}^2}{{d_1}^2-{d_0}^2}\[\left(1-2v_1\right)d_1+\frac{{d_0}^2}{d_1}\]+\frac{t_1-t_0}{\ln \left(d_1/d_0\right)}{d}_1\left(\ln \frac{d_1}{d_0}+v_1-1\right)\right\}---\left(6\right)$

式中：α₁——主轴(1)材料的热膨胀系数

v₁——主轴(1)材料的泊松比

t₀——主轴(1)内表面温度

t₁——主轴(1)与轴套(2)接触面温度

d₀——主轴(1)内径

u_b的计算公式为：

$u_b=\frac{{\mathrm{\α}}_2}{4}\frac{1+v_2}{1-v_2}\left\{\frac{t_1{d_2}^2-t_1{d_1}^2}{d_1}+\frac{t_2{d_2}^2-t_1{d_1}^2}{{d_2}^2-{d_1}^2}{d}_1\[\left(1-2v_2\right)+1\]+\frac{t_2-t_1}{\ln \left(d_2/d_1\right)}{d}_1\left(\ln \frac{d_2}{d_1}+v_2-1\right)\right\}---\left(7\right)$

式中：α₂——轴套(2)材料的热膨胀系数

v₂——轴套(2)材料的泊松比

t₂——轴套(2)与内环(3)接触面温度

(3)计算内环(3)与外环(4)接触面接触压力与过盈量

①计算接触压力

内环(3)与外环(4)接触面接触压力计算公式为：

P_3l＝P₂+P₂′(8)

其中，P₂′为消除轴套(2)与内环(3)接触面间隙内环(3)所需压强，其计算公式为：

$P_2^{\′}=\frac{h_2{E}_3(d_{3l}^2-d_2^2)}{2d_2{d}_{3l}^2}---\left(9\right)$

式中，E₃为内环材料的弹性模量，d_3l为内环(3)与外环(4)接触面平均直径，h₂为轴套(2)与内环(3)接触面间隙，d_3l的计算公式为：

$d_{3l}=\frac{dA+dB}{2}---\left(10\right)$

式中：dA——内环(3)上长圆锥面直径最大处的直径

dB——内环(3)长圆锥面的直径最小处的直径

h₂的计算公式为：

h₂＝R₂-u_t2(11)

其中，R₂为轴套(2)与内环(3)接触面装配间隙，u_t2为温度引起的轴套(2)与内环(3)接触面变形量，其计算公式为：

u_t2＝u_c+u_d(12)

式中，u_c为温度引起的轴套(2)外表面的变形量，u_d为温度引起的内环(3)内

表面的变形量，u_c的计算公式为：

$u_c=\frac{{\mathrm{\α}}_2}{4}\frac{1+v_2}{1-v_2}\left\{\frac{t_1{d_2}^2-t_1{d_1}^2}{d_2}+\frac{t_2{d_2}^2-t_1{d_1}^2}{{d_2}^2-{d_1}^2}\[\left(1-2v_2\right)d_2+\frac{{d_1}^2}{d_2}\]+\frac{t_2-t_1}{ln\left(d_2/d_1\right)}{d}_2\left(ln\frac{d_2}{d_1}+v_2-1\right)\right\}---\left(13\right)$

u_d的计算公式为：

$u_d=\frac{{\mathrm{\α}}_2}{4}\frac{1+v_3}{1-v_3}\left\{\frac{t_2{d_{3l}}^2-t_2{d_2}^2}{d_2}+\frac{t_3{d_{3l}}^2-t_2{d_2}^2}{{d_{3l}}^2-{d_2}^2}{d}_2\[\left(1-2v_3\right)+1\]+\frac{t_3-t_2}{ln\left(d_{3l}/d_2\right)}{d}_2\left(ln\frac{d_{3l}}{d_2}+v_3-1\right)\right\}---\left(14\right)$

式中:α₃——内环(3)材料的热膨胀系数

v₃——内环(3)材料的泊松比

t₃——内环(3)与外环(4)接触面温度

②计算过盈量

内环(3)与外环(4)接触面所需过盈量为：

δ＝u₄-u₃(15)

其中，温度、压力作用下内环(3)外表面变形量u₃为：

$u_3=\frac{1-v_3}{E_3}\·\frac{{d_2}^2{P}_2-{d_{3l}}^2{P}_{3l}}{{d_{3l}}^2-{d_2}^2}\·d_{3l}+\frac{1+v_3}{E_3}\·\frac{{d_2}^2{d_{3l}}^2(P_2-P_{3l})}{{d_{3l}}^2-{d_2}^2}\·\frac{1}{d_{3l}}+u_e---\left(16\right)$

式中，E₃为内环(3)材料的弹性模量，u_e为温度引起的内环(3)外表面的变形量，其计算公式为：

$u_e=\frac{{\mathrm{\α}}_3}{4}\frac{1+v_3}{1-v_3}\left\{\frac{t_3{d_{3l}}^2-t_2{d_2}^2}{d_{3l}}+\frac{t_3{d_{3l}}^2-t_2{d_2}^2}{{d_{3l}}^2-{d_2}^2}{d}_{3l}\[\left(1-2v_3\right)d_{3l}+\frac{{d_2}^2}{d_{3l}}\]+\frac{t_3-t_2}{ln\left(d_{3l}/d_2\right)}{d}_{3l}\left(ln\frac{d_{3l}}{d_2}+v_3-1\right)\right\}$ $\left(17\right)$

温度、压力作用下外环(4)内表面变形量u₄为：

$u_4=\frac{1-v_4}{E_4}\·\frac{{d_{3l}}^2{P}_{3l}}{{d_4}^2-{d_{3l}}^2}\·d_{3l}+\frac{1+v_4}{E_4}\·\frac{{d_{3l}}^2{d_4}^2{P}_{3l}}{{d_4}^2-{d_{3l}}^2}\·\frac{1}{d_{3l}}+u_f---\left(18\right)$

式中，v₄为外环(4)材料的泊松比，E₄为外环(4)材料的弹性模量，u_f为温度引起的外环(4)内表面的变形量，其计算公式为：

$u_f=\frac{{\mathrm{\α}}_4}{4}\frac{1+v_4}{1-v_4}\left\{\frac{t_3{d_4}^2-t_3{d_{3l}}^2}{d_{3l}}+\frac{t_4{d_4}^2-t_3{d_{3l}}^2}{{d_4}^2-{d_{3l}}^2}{d}_{3l}\[\left(1-2v_4\right)+1\]+\frac{t_4-t_3}{ln\left(d_4/d_{3l}\right)}{d}_{3l}\left(ln\frac{d_4}{d_{3l}}+v_4-1\right)\right\}---\left(19\right)$

式中:α₄——外环(4)材料的热膨胀系数

t₄——外环(4)外表面的温度

d₄——外环(4)外表面的直径

本发明优点及积极效果是从机械设计和热力学分析角度，考虑了温度因素对锁紧盘的影响，提高了接触面的压力和过盈量的计算精度。

附图说明：

图1为锁紧盘结构示意图

图2为内环(3)局部放大图

图中：1—主轴2—轴套

3—内环4—外环

5—螺栓

A—长圆锥面直径最大处

B—长圆锥面直径最小处

具体实施方式

如图1所示，锁紧盘的各组件参数为：主轴(1)内径d₀＝60mm，主轴(1)与轴套(2)接触面直径d₁＝520mm，轴套(2)与内环(3)接触面直径d₂＝640mm，外环(4)外径d₄＝1020mm；主轴(1)内表面温度t₀＝10℃，主轴(1)与轴套(2)接触面温度t₁＝12℃，轴套(2)与内环(3)接触面温度t₂＝13℃，内环(3)与外环(4)接触面温度t₃＝13.5℃，外环(4)外表面温度t₄＝15℃；主轴(1)与轴套(2)接触面装配间隙R₁＝0.136mm，轴套(2)与内环(3)接触面装配间隙R₂＝0.24mm；主轴(1)与轴套(2)接触面摩擦系数μ＝0.15，所需传递扭矩为M＝2800kNm；各零件泊松比v＝0.3，热膨胀系数α＝11×10^-6/℃；轴套(2)的弹性模量E₁＝180GPa，主轴(1)、内环(3)与外环(4)的弹性模量E＝210GPa；主轴(1)与轴套(2)接触面有效长度为l＝l₁。

锁紧盘连接计算步骤如下：

(1)计算主轴(1)与轴套(2)接触面接触压力

按照式(1)可得： $P_1=\frac{2M}{{\mathrm{\μ\πd}}_1^2{l}_1}=156.68MPa$

(2)计算轴套(2)与内环(3)接触面接触压力

按照(6)式可得：

$\begin{array}{c}{u}_a=\frac{\mathrm{\α}}{4}\frac{1+v_1}{1-v_1}\left\{\frac{t_0{d_1}^2-t_0{d_0}^2}{d_1}+\frac{t_1{d_1}^2-t_0{d_0}^2}{{d_1}^2-{d_0}^2}\[\left(1-2v_1\right)d_1+\frac{{d_0}^2}{d_1}\]+\frac{t_1-t_0}{\ln \left(d_1/d_0\right)}{d}_1\left(\ln \frac{d_1}{d_0}+v_1-1\right)\right\}\\ =0.043mm\end{array}$

按照(7)式可得：

$\begin{array}{c}{u}_b=\frac{\mathrm{\α}}{4}\frac{1+v_2}{1-v_2}\left\{\frac{t_1{d_2}^2-t_1{d_1}^2}{d_1}+\frac{t_2{d_2}^2-t_1{d_1}^2}{{d_2}^2-{d_1}^2}{d}_1\[\left(1-2v_2\right)+1\]+\frac{t_2-t_1}{\ln \left(d_2/d_1\right)}{d}_1\left(v_2-1\right)\right\}\\ =0.055mm\end{array}$

按照式(5)可得：u_t1＝u_a+u_b＝0.098mm

按照式(4)可得：h₁＝R₁-u_t1＝0.038mm

按照式(3)可得： $P_1^{\′}=\frac{h_1{E}_2(d_2^2-d_1^2)}{2d_1{d}_2^2}=2.24MPa$

按照式(2)可得：P₂＝P₁+P₁′＝158.92MPa

(3)计算内环(3)与外环(4)接触面接触压力与过盈量

①计算接触压力

按照式(13)可得：

$\begin{array}{c}{u}_c=\frac{\mathrm{\α}}{4}\frac{1+v_2}{1-v_2}\left\{\frac{t_1{d_2}^2-t_1{d_1}^2}{d_2}+\frac{t_2{d_2}^2-t_1{d_1}^2}{{d_2}^2-{d_1}^2}\[\left(1-2v_2\right)d_2+\frac{{d_1}^2}{d_2}\]+\frac{t_2-t_1}{ln\left(d_2/d_1\right)}{d}_2\left(ln\frac{d_2}{d_1}+v_2-1\right)\right\}\\ =0.049mm\end{array}$

按照式(10)可得： $d_{3l}=\frac{dA+dB}{2}=663mm$

按照式(14)可得：

$\begin{array}{c}{u}_d=\frac{\mathrm{\α}}{4}\frac{1+v_3}{1-v_3}\left\{\frac{t_2{d_{3l}}^2-t_2{d_2}^2}{d_2}+\frac{t_3{d_{3l}}^2-t_2{d_2}^2}{{d_{3l}}^2-{d_2}^2}{d}_2\[\left(1-2v_3\right)+1\]+\frac{t_3-t_2}{ln\left(d_{3l}/d_2\right)}{d}_2\left(v_3-1\right)\right\}\\ =0.064mm\end{array}$

按照式(12)可得：u_t2＝u_c+u_d＝0.113mm

按照式(11)可得：h₂＝R₂-u_t2＝0.127mm

按照式(9)可得： $P_2^{\′}=\frac{h_2{E}_3(d_{3l}^2-d_2^2)}{2d_2{d}_{3l}^2}=1.46MPa$

按照式(8)可得：P_3l＝P₂+P₂′＝160.38MPa

②计算过盈量

按照式(17)可得：

$\begin{array}{c}{u}_e=\frac{\mathrm{\α}}{4}\frac{1+v_3}{1-v_3}\left\{\frac{t_3{d_{3l}}^2-t_2{d_2}^2}{d_{3l}}+\frac{t_3{d_{3l}}^2-t_2{d_2}^2}{{d_{3l}}^2-{d_2}^2}\[\left(1-2v_3\right)d_{3l}+\frac{{d_2}^2}{d_{3l}}\]+\frac{t_3-t_2}{ln\left(d_{3l}/d_2\right)}{d}_{3l}\left(ln\frac{d_{3l}}{d_2}+v_3-1\right)\right\}\\ =0.06mm\end{array}$

按照式(19)可得：

$\begin{array}{c}{u}_f=\frac{\mathrm{\α}}{4}\frac{1+v_4}{1-v_4}\{\frac{t_3{d_4}^2-t_3{d_{3l}}^2}{d_{3l}}+\frac{t_4{d_4}^2-t_3{d_{3l}}^2}{{d_4}^2-{d_{3l}}^2}{d}_{31}\[(1-2v_4)+1\]+\frac{t_4-t_3}{ln(d_4/d_{3l})}{d}_{3l}(v_4-1)\}\\ =0.13mm\end{array}$

按照式(16)可得：

$u_3=\frac{1-v_3}{E_3}\·\frac{{d_2}^2{P}_2-{d_{3l}}^2{P}_{3l}}{{d_{3l}}^2-{d_2}^2}\·d_{3l}+\frac{1+v_3}{E_3}\·\frac{{d_2}^2{d_{3l}}^2(P_2-P_{3l})}{{d_{3l}}^2-{d_2}^2}\·\frac{1}{d_{3l}}+u_e=-0.713mm$

按照式(18)可得：

$u_4=\frac{1-v_4}{E_4}\·\frac{{d_{3l}}^2{P}_{3l}}{{d_4}^2-{d_{3l}}^2}\·d_{3l}+\frac{1+v_4}{E_4}\·\frac{{d_{3l}}^2{d_4}^2{P}_{3l}}{{d_4}^2-{d_{3l}}^2}\·\frac{1}{d_{3l}}+u_f=1.727mm$

按照式(15)可得：δ＝u₄-u₃＝2.44mm

Claims (1)

1.一种考虑温度影响计算锁紧盘过盈量的方法，其特征在于计算步骤如下：

(1)计算主轴(1)与轴套(2)接触面接触压力

主轴(1)与轴套(2)接触面传递扭矩所需接触压力为：

$P_1=\frac{2M}{{\mathrm{\μ\πd}}_1^{2}l}---\left(1\right)$

其中，设主轴(1)与轴套(2)接触面长度为l：l＝l₁

式中：M——主轴(1)与轴套(2)接触面所需传递扭矩

μ——主轴(1)与轴套(2)接触面的摩擦系数

d₁——主轴(1)与轴套(2)接触面直径

l₁——内环(3)的轴向长度

(2)计算轴套(2)与内环(3)接触面接触压力

轴套(2)与内环(3)接触面接触压力为：

P₂＝P₁+P₁′(2)

其中,P₁′为消除主轴(1)与轴套(2)接触面间隙轴套(2)所需接触压力，其计算公式为：

$P_1^{\′}=\frac{h_1{E}_2(d_2^2-d_1^2)}{2d_1{d}_2^2}---\left(3\right)$

式中，d₂为轴套(2)与内环(3)接触面直径，E₂为轴套材料的弹性模量，h₁为主轴(1)与轴套(2)接触面间隙，其计算公式为：

h₁＝R₁-u_t1(4)

其中,R₁为主轴(1)与轴套(2)接触面装配间隙，u_t1为温度引起的主轴(1)与轴套(2)接触面变形量，其计算公式为：

u_t1＝u_a+u_b(5)

式中,u_a为温度引起的主轴(1)外表面变形量，u_b为温度引起的轴套(2)内表面变形量，u_a计算公式为：

$u_a=\frac{{\mathrm{\α}}_1}{4}\frac{1+v_1}{1-v_1}\{\frac{t_0{d_1}^2-t_0{d_0}^2}{d_1}+\frac{t_1{d_1}^2-t_0{d_0}^2}{{d_1}^2-{d_0}^2}\[(1-2v_1)d_1+\frac{{d_0}^2}{d_1}\]+\frac{t_1-t_0}{\ln (d_1/d_0)}{d}_1(\frac{d_1}{d_0}+v_1-1)\}$ $\left(6\right)$

式中：α₁——主轴(1)材料的热膨胀系数

v₁——主轴(1)材料的泊松比

t₀——主轴(1)内表面温度

t₁——主轴(1)与轴套(2)接触面温度

d₀——主轴(1)内径

u_b的计算公式为：

$u_b=\frac{{\mathrm{\α}}_3}{4}\frac{1+v_2}{1-v_2}\{\frac{t_1{d_2}^2-t_1{d_1}^2}{d_1}+\frac{t_2{d_2}^2-t_1{d_1}^2}{{d_2}^2-{d_1}^2}{d}_1\[(1-2v_1)+1\]+\frac{t_2-t_1}{\ln (d_2/d_1)}{d}_1(\ln \frac{d_2}{d_1}+v_2-1)\}---\left(7\right)$

式中：α₂——轴套(2)材料的热膨胀系数

v₂——轴套(2)材料的泊松比

t₂——轴套(2)与内环(3)接触面温度

(3)计算内环(3)与外环(4)接触面接触压力与过盈量

①计算接触压力

内环(3)与外环(4)接触面接触压力计算公式为：

P_3l＝P₂+P₂′(8)

其中，P₂′为消除轴套(2)与内环(3)接触面间隙内环(3)所需压强，其计算公式为：

$P_2^{\′}=\frac{h_2{E}_3(d_{3l}^2-d_2^2)}{2d_2{d}_{3l}^2}---\left(9\right)$

式中，E₃为内环材料的弹性模量，d_3l为内环(3)与外环(4)接触面平均直径，h₂为轴套(2)与内环(3)接触面间隙，d_3l的计算公式为：

$d_{3l}=\frac{dA+dB}{2}---\left(10\right)$

式中：dA——内环(3)上长圆锥面直径最大处的直径

dB——内环(3)长圆锥面的直径最小处的直径

h₂的计算公式为：

h₂＝R₂-u_t2(11)

其中，R₂为轴套(2)与内环(3)接触面装配间隙，u_t2为温度引起的轴套(2)与内环(3)接触面变形量，其计算公式为：

u_t2＝u_c+u_d(12)

式中，u_c为温度引起的轴套(2)外表面的变形量，u_d为温度引起的内环(3)内表面的变形量，u_c的计算公式为：

$u_c=\frac{{\mathrm{\α}}_2}{4}\frac{1+v_2}{1-v_2}\{\frac{t_1{d_2}^2-t_1{d_1}^2}{d_2}+\frac{t_2{d_2}^2-t_1{d_1}^2}{{d_2}^2-{d_1}^2}\[(1-2v_2)d_2+\frac{{d_1}^2}{d_2}\]+\frac{t_2-t_1}{\ln (d_2/d_1)}{d}_2(\ln \frac{d_2}{d_1}+v_2-1)\}---\left(13\right)$

u_d的计算公式为：

$u_d=\frac{{\mathrm{\α}}_3}{4}\frac{1+v_3}{1-v_3}\{\frac{t_2{d_{3l}}^2-t_2{d_2}^2}{d_2}+\frac{t_3{d_{3l}}^2-t_2{d_2}^2}{{d_{3l}}^2-{d_2}^2}{d}_2\[(1-2v_3)+1\]+\frac{t_3-t_2}{\ln (d_{3l}/d_2)}{d}_2(\ln \frac{d_{3l}}{d_2}+v_3-1)\}---\left(14\right)$

式中:α₃——内环(3)材料的热膨胀系数

v₃——内环(3)材料的泊松比

t₃——内环(3)与外环(4)接触面温度

②计算过盈量

内环(3)与外环(4)接触面所需过盈量为：

δ＝u₄-u₃(15)

其中，温度、压力作用下内环(3)外表面变形量u₃为：

$u_3=\frac{1-v_3}{E_3}\·\frac{{d_2}^2{P}_2-{d_{3l}}^2{P}_{3l}}{{d_{3l}}^2-{d_2}^2}\·d_{3l}+\frac{1+v_3}{E_3}\·\frac{{d_2}^2{d_{3l}}^2(P_2-P_{3l})}{{d_{3l}}^2-{d_2}^2}\·\frac{1}{d_{3l}}+u_e---\left(16\right)$

式中，E₃为内环(3)材料的弹性模量，u_e为温度引起的内环(3)外表面的变形量，其计算公式为：

$u_e=\frac{{\mathrm{\α}}_3}{4}\frac{1+v_3}{1-v_3}\{\frac{t_3{d_{3l}}^2-t_2{d_2}^2}{d_{3l}}+\frac{t_3{d_{3l}}^2-t_2{d_2}^2}{{d_{3l}}^2-{d_2}^2}{d}_{3l}\[(1-2v_3)d_{3l}+\frac{{d_2}^2}{d_{3l}}\]+\frac{t_3-t_2}{\ln (d_{3l}/d_2)}{d}_{3l}(\ln \frac{d_{3l}}{d_2}+v_3-1)\}---\left(17\right)$

温度、压力作用下外环(4)内表面变形量u₄为：

$u_4=\frac{1-v_4}{E_4}\·\frac{{d_{3l}}^2{P}_{3l}}{{d_4}^2-{d_{3l}}^2}\·d_{3l}+\frac{1+v_4}{E_4}\·\frac{{d_{3l}}^2{d_4}^2{P}_{3l}}{{d_4}^2-{d_{3l}}^2}\·\frac{1}{d_{3l}}+u_f---\left(18\right)$

式中，v₄为外环(4)材料的泊松比，E₄为外环(4)材料的弹性模量，u_f为温度引起的外环(4)内表面的变形量，其计算公式为：

$u_f=\frac{{\mathrm{\α}}_4}{4}\frac{1+v_4}{1-v_4}\{\frac{t_3{d_4}^2-t_3{d_{3l}}^2}{d_{3l}}+\frac{t_4{d_4}^2-t_3{d_{3l}}^2}{{d_4}^2-{d_{3l}}^2}{d}_{3l}\[(1-2v_4)+1\]+\frac{t_4-t_3}{\ln (d_4/d_{3l})}{d}_{3l}(\ln \frac{d_4}{d_{3l}}+v_4-1)\}---\left(19\right)$

式中:α₄——外环(4)材料的热膨胀系数

t₄——外环(4)外表面的温度

d₄——外环(4)外表面的直径。