CN103335841A - 一种采用脉冲小波能量谱分析的滚动轴承故障诊断方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种采用脉冲小波能量谱分析的滚动轴承故障诊断方法，基本步骤如下：1）采集原始信号；2）对步骤1）采集的信号进行脉冲小波变换处理；3）计算由步骤2）分离出的各个频率段信号的能量；4）根据步骤3）计算出的小波能量谱，与Daubechies小波计算结果对比，以判断轴承所处的运行状态。本发明利用脉冲小波对滚动轴承的外环故障、内环故障和滚动体故障信号进行小波分解和能量谱分析，从而实现对各故障信号特征的提取，并与常用的Daubechies小波能量谱分析进行比较，来论证脉冲小波能量谱分析在机械故障诊断方面的有效性。通过实验结果验证脉冲小波在滚动轴承故障诊断方面的效果。诊断过程快捷，方便；结果准确，有效。

Description

一种采用脉冲小波能量谱分析的滚动轴承故障诊断方法

技术领域

本发明涉及一种用于识别滚动轴承运行状态的方法。

背景技术

自50年代末60年代初以来，人们对故障诊断的自动化问题进行了一系列的探索。目前，机械故障诊断已经取得了比较满意的结果，出现了大量有效的诊断及测试生成方法。然而轴承故障诊断的研究成果并不理想。据相关报道，旋转机械的故障中轴承的损坏故障约占30%。轴承的故障诊断与状态监测是机械设备故障诊断技术的重要内容。滚动轴承故障可以分为三类：外环故障、内环故障、滚动体故障。其中外环和内环故障由于影响因素较少，其特征相对容易提取，而滚动体发生故障时，影响因数较多，加大了其故障特征提取的难度，这也是轴承故障诊断的难点之一。尽管如此，为了在这方面有所突破，这些年来已经建立了基于故障字典，模糊理论，专家系统，神经网络，支持向量机，信息融合，小波分析，粒子群等各种技术的不同故障诊断方法，并在轴承的实际检验中取得了良好的效果。但是以上技术实现对滚动轴承故障的识别还有待进一步改进及完善。

发明内容

针对滚动轴承带“病”运行情况，本发明采用脉冲小波分析方法对其运行过程的振动信号进行特征提取，并结合能量谱分析法对提取的特征进行故障分类：外环故障、内环故障和滚动体故障。根据分析出的故障情况，对轴承部件做适当处理，以此最小化由滚动轴承故障引起的不良后果。

本发明是通过下属技术方案实现的：一种采用脉冲小波能量谱分析的滚动轴承故障诊断方法，基本步骤如下：

1）采集原始信号：通过数据采集系统采集由安装在轴承器件上的传感器收集的振动信号；

2）对步骤1）采集的信号进行脉冲小波变换处理；

3）计算由步骤2）分离出的各个频率段信号的小波能量；

4）根据步骤3）计算出的小波能量，与Daubechies小波计算结果对比，以判断轴承所处运行状态。

步骤2）中脉冲小波变换处理过程如下：

设采集的信号为s(t)，求得信号s(t)与经过平移和伸缩后的小波函数ψ(t)的积分：

$C(a,b)={\∫}_{R}s\left(t\right)\frac{1}{\sqrt{a}}\mathrm{\ψ}\left(\frac{t-b}{a}\right)\mathrm{dt},a\∈R^{+},b\∈R---\left(1\right)$

式（1）中a是尺度参数，b是时间定位参数；

在脉冲小波变换中,a=2^j,b=k2^j,式中j和k都是整数；

小波函数为ψ(t)=(e^iπt-e^-iπt)/iπ；其中ψ_j,k(t)=2^-j/2ψ(2^-jt-k)，式中j和k都是整数；

设具有脉冲的小波滤波器g作为小波函数ψ，它是基于常规网格ΔZ定义的，其中Δ为采样周期，脉冲小波分析可以由下式描述：

$C(a,b)=c(j,k)=\underset{n\∈Z}{\mathrm{\Σ}}s\left(n\right)g_{j,k}\left(n\right)---\left(2\right)$

式中a=2^j，b=k2^j，j和k都是正整数，脉冲小波重构由下式定义：

$s\left(t\right)=\underset{j\∈Z}{\mathrm{\Σ}}\underset{k\∈Z}{\mathrm{\Σ}}c(j,k){\mathrm{\ψ}}_{j,k}\left(t\right)---\left(3\right)$

第j层的细节可以由下式描述：

$D_j\left(t\right)=\underset{k\∈Z}{\mathrm{\Σ}}c(j,k){\mathrm{\ψ}}_{j,k}\left(t\right)---\left(4\right)$

第J层可以近似表达为：

$A_{J-1}=\underset{j>J}{\mathrm{\Σ}}{D}_j---\left(5\right)$

下面两个表达式成立：

A_j-1=A_j+D_j       (6)

$s=A_j+\underset{j\≤J}{\mathrm{\Σ}}{D}_j---\left(7\right)$

在迭代分解过程中，可以使信号s(t)分解成许多个具有连续相似性的低分辨率组件。

步骤3）计算各个频率段信号的能量过程如下：

采用能量谱分析方法，假设信号s(t)具有有限能量且满足：

$s\left(t\right)\&Element;L^2\left(R\right)\&DoubleLeftRightArrow;{\&Integral;}_R{\left|s\left(t\right)\right|}^2\mathrm{dt}<+\&infin;---\left(8\right)$

式中L²(R)表示具有有限能量的信号空间；

信号s(t)的小波变换为：

$C(a,b)={\&Integral;}_{R}s\left(t\right)\frac{1}{\sqrt{a}}\mathrm{\&psi;}\left(\frac{t-b}{a}\right)\mathrm{dt},a\&Element;R^{+},b\&Element;R---\left(9\right)$

其中小波函数ψ(t)需要满足容许性条件：

$C_{\mathrm{\&psi;}}={\&Integral;}_{-\&infin;}^{+\&infin;}{\left|\mathrm{\&omega;}\right|}^{-1}{\left|\mathrm{\&psi;}\left(\mathrm{\&omega;}\right)\right|}^2\mathrm{d\&omega;}<\&infin;---\left(10\right)$

式中ψ(ω)为小波函数ψ(t)的傅里叶变换。

信号s(t)的小波变换能量守恒且满足：

${\&Integral;}_{-\&infin;}^{+\&infin;}{\left|s\left(t\right)\right|}^2\mathrm{dt}=\frac{1}{C_{\mathrm{\&psi;}}}{\&Integral;}_{-\&infin;}^{+\&infin;}{\&Integral;}_{-\&infin;}^{+\&infin;}{\left|C(a,b)\right|}^2\frac{\mathrm{dadb}}{a^2}---\left(11\right)$

上式也可以写成：

${\&Integral;}_{-\&infin;}^{+\&infin;}{\left|s\left(t\right)\right|}^2\mathrm{dt}={\&Integral;}_{-\&infin;}^{+\&infin;}E\left(b\right)\mathrm{db}---\left(12\right)$

其中

$E\left(b\right)=\frac{1}{C_{\mathrm{\&psi;}}}{\&Integral;}_{-\&infin;}^{+\&infin;}\frac{{\left|C(a,b)\right|}^2}{a^2}\mathrm{da}---\left(13\right)$

式(13)给出了信号在时间轴上的所有能量分布，E(b)表示信号的小波能量。

本发明采用上述方案，利用脉冲小波对滚动轴承的外环故障、内环故障和滚动体故障信号进行小波分解和能量谱分析，从而实现对各故障信号特征的提取，并与常用的Daubechies小波能量谱分析结果进行比较，来论证脉冲小波能量谱分析在机械故障诊断方面的有效性。通过实验结果验证脉冲小波在滚动轴承故障诊断方面的效果。结果表明，脉冲小波不但可以准确识别滚动轴承处于外圈和内圈故障状态的情况，并对常用Daubechies小波难以识别的轴承滚动体故障情况作出较准确的判断。脉冲小波能量谱分析可以快捷、方便、准确、有效地识别出滚动轴承运行状态。

附图说明

图1是一种矩形脉冲。

图2是本发明提出的脉冲小波。

图3是本发明提出的脉冲小波处于不同程度的频谱。

图4是四种状态下轴承时域信号图。

图5a是正常状态下轴承信号效果图。

图5b是正常状态下轴承信号傅里叶频谱效果图。

图5c是正常状态下轴承信号Daubechies小波能量谱图。

图5d是正常状态下轴承信号脉冲小波能量谱图。

图6a是轴承外环故障时轴承信号效果图。

图6b是轴承外环故障时轴承信号傅里叶频谱效果图。

图6c是轴承外环故障时轴承信号Daubechies小波能量谱图。

图6d是轴承外环故障时轴承信号脉冲小波能量谱图。

图7a是轴承内环故障时轴承信号效果图。

图7b是轴承内环故障时轴承信号傅里叶频谱效果图。

图7c是轴承内环故障时轴承信号Daubechies小波能量谱图。

图7d是轴承内环故障时轴承信号脉冲小波能量谱图。

图8a是轴承滚动体故障时轴承信号效果图。

图8b是轴承滚动体故障时轴承信号傅里叶频谱效果图。

图8c是轴承滚动体故障时轴承信号Daubechies小波能量谱图。

图8d是轴承滚动体故障时轴承信号脉冲小波能量谱图。

具体实施方式

一、本发明方案的理论依据：

1、脉冲小波的提出

小波是一种满足允许条件的函数，理想的小波是一种具有“盒形”的频谱。考虑一种矩形脉冲信号，如图1所示：

由X(ω)的傅里叶逆变换得：

x(t)=(e^iπt-e^-iπt)/iπ      (b)我们称式（b）定义的函数为脉冲小波，它在频域内平滑且紧支撑，而且具有理想的“盒形”频谱，其波形图在图2中给出。

2、脉冲小波正交性的证明

脉冲小波构成一个正交系，下面我们给出证明：

设x(t)经伸缩、平移得到函数族y(t),即y(t)=x(2^jt-k)，则y(t)的傅里叶变换为：

$Y\left(\mathrm{\&omega;}\right)={\&Integral;}_{-\&infin;}^{+\&infin;}y\left(t\right)e^{-\mathrm{i\&omega;t}}\mathrm{dt}={\&Integral;}_{-\&infin;}^{+\&infin;}x(2^{j}t-k)e^{\mathrm{i\&omega;t}}\mathrm{dt}---\left(c\right)$

令q=2^jt-k，则t=(q+k)/2^j，dt=2^-jdq,因此Y(ω)=2^-je^-iωkX(2^-jω),说明随着脉冲小波层数的增加，小波的频谱宽度倍增而幅值倍减。

我们通过两步证明脉冲小波构成一个正交系：

1）证明不同层的脉冲小波正交性：

计算脉冲小波x(t)与其伸缩族x(2^jt-k)，(j,k∈Z)的内积：

$<x\left(t\right),x(2^{j}t-k)>={\&Integral;}_{-\mathrm{\&pi;}}^{\mathrm{\&pi;}}x\left(t\right)x(2^{j}t-k)\mathrm{dt}---\left(d\right)$

由于傅里叶变换保范性得

$<x\left(t\right),x(2^{j}t-k)>=<X\left(\mathrm{\&omega;}\right),Y\left(\mathrm{\&omega;}\right)>$

$={\&Integral;}_{-\mathrm{\&pi;}}^{\mathrm{\&pi;}}X\left(\mathrm{\&omega;}\right)Y\left(\mathrm{\&omega;}\right)\mathrm{d\&omega;}$

$={\&Integral;}_{-\mathrm{\&pi;}}^{\mathrm{\&pi;}}{2}^{-j}X\left(\mathrm{\&omega;}\right)X\left(2^{-j}\mathrm{\&omega;}\right)e^{-\mathrm{i\&omega;k}}\mathrm{d\&omega;}$

$={\&Integral;}_{-\mathrm{\&pi;}}^{\mathrm{\&pi;}}{2}^{-j}(1/2\mathrm{\&pi;})(1/2^{1-j}\mathrm{\&pi;})e^{-\mathrm{i\&omega;t}}\mathrm{d\&omega;}$

因为e^-iωt是周期为2π的周期函数，所以<x(t),x(2^jt-k)>=0，说明处在不同层的脉冲小波总是正交的。

2）证明同一层的脉冲小波正交性：

计算处于同一层的脉冲小波x(t)与x(t-k),(k≠0,kZ)的内积：

$<x\left(t\right),x(t-k)>={\&Integral;}_{-\mathrm{\&pi;}}^{\mathrm{\&pi;}}X\left(\mathrm{\&omega;}\right)X\left(\mathrm{\&omega;}\right)e^{-\mathrm{i\&omega;t}}\mathrm{d\&omega;}$

$={\&Integral;}_{-\mathrm{\&pi;}}^{\mathrm{\&pi;}}1/{4\mathrm{\&pi;}}^2{e}^{-\mathrm{i\&omega;t}}\mathrm{d\&omega;}$

$=0$

则处在第零层的脉冲小波也是正交的，通过以上结论可以证明其他层的脉冲小波也是正交的。

二、本发明技术方案的实现过程：

1、信号采集。对运行状态的轴承进行信号监听，并对其进行数模转换，转换成计算机可以处理的数字信号，轴承相关参数由表1描述。如图4所示，使用来自凯斯西储大学轴承中心的滚动轴承数据来进行实验分析。数据包含负载为0时，正常状态的驱动端振动信号；以及负载为0时，外环、内环、滚动体故障的驱动端振动信号。采样频率为12kHz，实验转速为1797r/min。

表1轴承和试验参数

2、信号处理。对采集来的轴承信号进行脉冲小波分解，提取各局部信号的时频信息；

具体步骤如下：小波变换可以定义为信号s(t)与经过平移和伸缩的小波函数ψ(t)的积分，小波函数具有实数值，它的傅里叶变换满足容许性标准，其数学表达式如下：

$C(a,b)={\&Integral;}_{R}s\left(t\right)\frac{1}{\sqrt{a}}\mathrm{\&psi;}\left(\frac{t-b}{a}\right)\mathrm{dt},a\&Element;R^{+},b\&Element;R---\left(1\right)$

式中a是尺度参数，b是时间定位参数，且它们既可以是连续的也可以离散的变量。

与适当平移和伸缩的小波求积分后得到的系数构成了原始信号的小波变换。在脉冲小波变换中,a=2^j,b=k2^j,式中j和k都是整数，小波函数为ψ(t)=(e^iπt-e^-iπt)/iπ。我们定义ψ_j,k(t)=2^-j/2ψ(2^-jt-k)，式中j和k都是整数。具有脉冲的小波滤波器g作为小波函数ψ，它是基于常规网格ΔZ定义的，其中Δ为采样周期(不失一般性地将其设值为1)。脉冲小波分析可以由下式描述：

$C(a,b)=c(j,k)=\underset{n\&Element;Z}{\mathrm{\&Sigma;}}s\left(n\right)g_{j,k}\left(n\right)---\left(2\right)$

式中a=2^j，b=k2^j，j和k都是正整数。脉冲小波重构可以由下式定义：

$s\left(t\right)=\underset{j\&Element;Z}{\mathrm{\&Sigma;}}\underset{k\&Element;Z}{\mathrm{\&Sigma;}}c(j,k){\mathrm{\&psi;}}_{j,k}\left(t\right)---\left(3\right)$

第j层的细节可以由下式描述：

$D_j\left(t\right)=\underset{k\&Element;Z}{\mathrm{\&Sigma;}}c(j,k){\mathrm{\&psi;}}_{j,k}\left(t\right)---\left(4\right)$

第J层可以近似表达为：

$A_{J-1}=\underset{j>J}{\mathrm{\&Sigma;}}{D}_j---\left(5\right)$

很显然，下面两个表达式成立：

A_j-1=A_j+D_j        (6)

$s=A_j+\underset{j\&le;J}{\mathrm{\&Sigma;}}{D}_j---\left(7\right)$

在应用中分解过程可以迭代的进行，进而信号可以分解成具有连续相似性的许多个低分辨率组件。

3、计算由步骤2分离出的各个频率段信号的小波能量：具体步骤如下：信号s(t)具有有限能量且满足：

$s\left(t\right)\&Element;L^2\left(R\right)\&DoubleLeftRightArrow;{\&Integral;}_R{\left|s\left(t\right)\right|}^2\mathrm{dt}<+\&infin;---\left(8\right)$

式中L²(R)表示具有有限能量的信号空间。

信号s(t)的小波变换为：

$C(a,b)={\&Integral;}_{R}s\left(t\right)\frac{1}{\sqrt{a}}\mathrm{\&psi;}\left(\frac{t-b}{a}\right)\mathrm{dt},a\&Element;R^{+},b\&Element;R---\left(9\right)$

其中小波函数ψ(t)需要满足容许性条件：

$C_{\mathrm{\&psi;}}={\&Integral;}_{-\&infin;}^{+\&infin;}{\left|\mathrm{\&omega;}\right|}^{-1}{\left|\mathrm{\&psi;}\left(\mathrm{\&omega;}\right)\right|}^2\mathrm{d\&omega;}<\&infin;---\left(10\right)$

式中ψ(ω)为小波函数ψ(t)的傅里叶变换。

信号s(t)的小波变换能量守恒且满足：

${\&Integral;}_{-\&infin;}^{+\&infin;}{\left|s\left(t\right)\right|}^2\mathrm{dt}=\frac{1}{C_{\mathrm{\&psi;}}}{\&Integral;}_{-\&infin;}^{+\&infin;}{\&Integral;}_{-\&infin;}^{+\&infin;}{\left|C(a,b)\right|}^2\frac{\mathrm{dadb}}{a^2}---\left(11\right)$

上式也可以写成

${\&Integral;}_{-\&infin;}^{+\&infin;}{\left|s\left(t\right)\right|}^2\mathrm{dt}={\&Integral;}_{-\&infin;}^{+\&infin;}E\left(b\right)\mathrm{db}---\left(12\right)$

其中

$E\left(b\right)=\frac{1}{C_{\mathrm{\&psi;}}}{\&Integral;}_{-\&infin;}^{+\&infin;}\frac{{\left|C(a,b)\right|}^2}{a^2}\mathrm{da}---\left(13\right)$

式(13)给出了信号在时间轴上的所有能量分布。我们称E(b)为小波能量谱。

4、根据步骤3计算出的小波能量，与Daubechies小波计算结果对比，以判断轴承所处运行状态。

1)轴承外圈、内圈及滚动体发生故障时，会产生不同激励，生成不同频率的信号。表2描述了本例所采用的轴承三种故障对应的固定特征频率，同时也给出了相应情况下两种小波识别出的特征频率。

表2轴承三种故障对应的固定特征频率

2)故障状态识别

A.正常状态识别。作为参考，我们分析了图5a中所示的正常信号。与Daubechies小波相比，脉冲小波能量谱同样能够识别出轴承的正常状态。我们可以在图5c和图5d中找到频率为30Hz的点，它与旋转电机频率29.95Hz(1797rpm)相符。

B.外环剥落状态识别。对外环剥落信号分别进行Daubechies小波和脉冲小波能量谱分析，诊断信息如图6a所示。我们可以在图6c和图6d中的找到频率为108Hz和215Hz的点，它们分别对应于外圈故障频率107.36Hz及它的双倍频率，与外环剥落状态相符。

C.内环剥落状态识别。对内环剥落信号分别进行Daubechies小波和脉冲小波能量谱分析，诊断信息如图7a所示。在图7c和图7d中，我们能找到频率为162Hz和323Hz的点，它们分别对应于内圈故障频率162.19Hz和它的双倍频率，这说明轴承正处于内圈故障状态。

D.滚动体故障状态识别。对滚动体压扁信号分别进行Daubechies小波和脉冲小波能量谱分析，诊断信息如图8a所示。在图8c中找到频率为126Hz和298Hz的点，但是没有找到两种频率之间的联系，同时也没有故障频率与它们相对应。在这个过程中，Daubechies小波能量谱分析也丢失了提取故障信息的能力。在图8d中，我们可以找到频率为60Hz、120Hz和238Hz的点，在他们之间存在着一定联系，这表明滚动轴承正处于某种故障状态。滚动体发生故障时，会对轴承外圈和内圈同时造成激励，会产生偏离原有的轴承滚动体故障频率的信号，不同情况下，偏差值的大小不同。60Hz与滚动球故障频率70.58Hz相近，而120Hz和239Hz则分别与其二倍和四倍频率相近，这样在一定偏差允许范围内，可以判定轴承处于滚动体故障状态。

3)通过图5中脉冲小波能量谱分析，判定此时轴承处于正常运行状态；通过图6中脉冲小波能量谱分析，判定此时轴承处于外环剥落状态；通过图7中脉冲小波能量谱分析，判定此时轴承处于内环剥落状态；通过图8中脉冲小波能量谱分析，判定此时轴承处于滚动体故障状态。

4）故障处理。针对上述方法判定出的轴承运行状态，按照专家对应策略对滚动轴承做相应处理，以减小由滚动轴承故障可能对大型机械造成的损失。

Claims (3)

1.一种采用脉冲小波能量谱分析的滚动轴承故障诊断方法，基本步骤如下：

1）采集原始信号：通过数据采集系统采集由安装在轴承器件上的传感器收集的振动信号；

2）对步骤1）采集的信号进行脉冲小波变换处理；

3）计算由步骤2）分离出的各个频率段信号的小波能量；

4）根据步骤3）计算出的小波能量谱，与Daubechies小波计算结果对比，以判断轴承所处运行状态。

2.根据权利要求1所述的一种采用脉冲小波能量谱分析的滚动轴承故障诊断方法，其特征在于：步骤2）中脉冲小波变换处理过程如下：

设采集的信号为s(t)，求得信号s(t)与经过平移和伸缩后的脉冲小波函数ψ(t)的积分：

$C(a,b)={\&Integral;}_{R}s\left(t\right)\frac{1}{\sqrt{a}}\mathrm{\&psi;}\left(\frac{t-b}{a}\right)\mathrm{dt},a\&Element;R^{+},b\&Element;R---\left(1\right)$

式（1）中a是尺度参数，b是时间定位参数；

在脉冲小波变换中,a=2^j,b=k2^j,式中j和k都是整数；

小波函数为ψ(t)=(e^iπt-e^-iπt)/iπ；其中ψ_j,k(t)=2^-j/2ψ(2^-jt-k)，式中j和k都是整数；

设具有单脉冲的小波滤波器g作为小波函数ψ，它是基于常规网格ΔZ定义的，其中Δ为采样周期，脉冲小波分析可以由下式描述：

$C(a,b)=c(j,k)=\underset{n\&Element;Z}{\mathrm{\&Sigma;}}s\left(n\right)g_{j,k}\left(n\right)---\left(2\right)$

式中a=2^j，b=k2^j，j和k都是正整数，脉冲小波重构由下式定义：

$s\left(t\right)=\underset{j\&Element;Z}{\mathrm{\&Sigma;}}\underset{k\&Element;Z}{\mathrm{\&Sigma;}}c(j,k){\mathrm{\&psi;}}_{j,k}\left(t\right)---\left(3\right)$

第j层的细节可以由下式描述：

$D_j\left(t\right)=\underset{k\&Element;Z}{\mathrm{\&Sigma;}}c(j,k){\mathrm{\&psi;}}_{j,k}\left(t\right)---\left(4\right)$

第J层可以近似表达为：

$A_{J-1}=\underset{j>J}{\mathrm{\&Sigma;}}{D}_j---\left(5\right)$

下面两个表达式成立：

A_j-1=A_j+D_j   (6)

$s=A_j+\underset{j\&le;J}{\mathrm{\&Sigma;}}{D}_j---\left(7\right)$

在迭代分解过程中，可以使信号s(t)分解成许多个具有连续相似性的低分辨率组件。

3.根据权利要求1所述的一种采用脉冲小波能量谱分析的滚动轴承故障诊断方法，其特征在于：步骤3）计算出各个频率段信号的能量过程如下：

采用能量谱分析方法，假设信号s(t)具有有限能量且满足：

$s\left(t\right)\&Element;L^2\left(R\right)\&DoubleLeftRightArrow;{\&Integral;}_R{\left|s\left(t\right)\right|}^2\mathrm{dt}<+\&infin;---\left(8\right)$

式中L²(R)表示具有有限能量的信号空间；

信号s(t)的小波变换为：

$C(a,b)={\&Integral;}_{R}s\left(t\right)\frac{1}{\sqrt{a}}\mathrm{\&psi;}\left(\frac{t-b}{a}\right)\mathrm{dt},a\&Element;R^{+},b\&Element;R---\left(9\right)$

其中小波函数ψ(t)需要满足容许性条件：

$C_{\mathrm{\&psi;}}={\&Integral;}_{-\&infin;}^{+\&infin;}{\left|\mathrm{\&omega;}\right|}^{-1}{\left|\mathrm{\&psi;}\left(\mathrm{\&omega;}\right)\right|}^2\mathrm{d\&omega;}<\&infin;---\left(10\right)$

式中ψ(ω)为小波函数ψ(t)的傅里叶变换。

信号s(t)的小波变换能量守恒且满足：

${\&Integral;}_{-\&infin;}^{+\&infin;}{\left|s\left(t\right)\right|}^2\mathrm{dt}=\frac{1}{C_{\mathrm{\&psi;}}}{\&Integral;}_{-\&infin;}^{+\&infin;}{\&Integral;}_{-\&infin;}^{+\&infin;}{\left|C(a,b)\right|}^2\frac{\mathrm{dadb}}{a^2}---\left(11\right)$

上式也可以写成：

${\&Integral;}_{-\&infin;}^{+\&infin;}{\left|s\left(t\right)\right|}^2\mathrm{dt}={\&Integral;}_{-\&infin;}^{+\&infin;}E\left(b\right)\mathrm{db}---\left(12\right)$

其中

$E\left(b\right)=\frac{1}{C_{\mathrm{\&psi;}}}{\&Integral;}_{-\&infin;}^{+\&infin;}\frac{{\left|C(a,b)\right|}^2}{a^2}\mathrm{da}---\left(13\right)$

式(13)给出了信号在时间轴上的所有能量分布，E(b)表示信号的小波能量。

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