CN103279792A - 一种基于四链编码方案的量子优化算法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种基于四链编码方案的量子进化算法，提供了一种拓展基因链的编码方案，通过研究增加基因链对量子进化算法性能的影响以及四链拓展编码方案中变异概率与旋转角的关系和仿真实验，解决了使用不同的基因链编码方案解决优化函数极值问题，发现随着基因链数的增加，优化效果不断得到的提高，说明根据四链拓展方案拓展基因链可以提高量子进化算法的效能，该方案是有效的。同时，仿真实验通过研究变异概率与旋转角的关系，确定了变异概率的选择范围，为正确使用变异概率避免算法早熟提供了依据。

Description

一种基于四链编码方案的量子优化算法

技术领域

本发明涉及一种量子优化算法，尤其涉及一种基于四链编码方案的量子优化算法。 

背景技术

自D.Deutsch于1985年首次提出Deutsch–Jozsa算法以来，量子计算已渐渐成为信息科学和量子力学相结合的新兴交叉学科。量子进化算法(QGA)是一种基于量子计算原理的概率优化算法，它以量子计算的一些概念和理论为基础，用量子位编码来表示染色体，用量子门更新染色体来完成进化搜索，具有种群规模小、收敛速度快、全局搜索能力强的优点。目前，量子计算与进化算法的融合已呈现出众多模式。李士勇等人提出了双链量子进化算法，是将量子染色体中两条概率幅链看成描述最优解的基因链，形成了双基因链，李盼池等人提出了基于量子染色体三链编码方案的量子进化算法，是将量子位的三个Bloch球面坐标都视为基因位，使每条染色体具有三条基因链。通过仿真实验都证明了基因链的增加显著地提高了算法的搜索空间，加快了量子进化算的进化速度在解决连续空间优化问题时性能较好。那么，能否进一步通过基因链提高算法性能是下一步研究的问题。 

发明内容

本发明的目的是提供一种基于四链编码方案的量子优化算法根据量子位的性质，结合双链编码方案及三链编码方案特点，提出了性能优于三链编码方案，二链编码方案以及普通量子进化算法的四链拓展编码方案。 

为了提高量子进化算法的性能，本发明的技术解决方案是： 

一种基于四链编码方案的量子优化算法，包括以下步骤： 

步骤一，初始化种群，令当前代数t=0，随机地生成m个初始个体组成一个种群设定量子旋转门的转角大小分别为|△β|=β₀，

|Δθ|=θ₀，设定变异概率p_m，最大进化代数Max_gen； 

步骤二，解空间变换，将每条染色体的4个近似解由单位空间Iⁿ=[-1,1]ⁿ映射到优化问题的解空间Ω，得到解集X(t)； 

步骤三，计算适应度，通过X(t)计算4m近似解的适应度，根据最优适应度得到当代最优解BestX和当代最优染色体BestC，并将BestX作为全局最优解GX，将BestC作为全局最优染色体GC； 

步骤四，种群更新，进行迭代循环，t=t+1，通过更新和变异Q(t-1)得到新种群Q(t)； 

步骤五，再次进行解空间变换，同步骤二将Q(t)进行解空间变换，得到优化问题的解X(t)； 

步骤六，再次计算适应度，同步骤三，获取当代最优解BestX和当代最优染色体BestC，将当代最优染色体BestC得到的适应度和全局最优染色体GC得到的适应度进行比较，如果fit(BestX)<fit(GX),更新当代最优解BestX=GX,同时更新当代最优的染色体BestC=GC，以防止种群退化；否则，GX=BestX，GC=BestC；通过以上约束确保算法向最优值收敛； 

步骤七，如果t<Max_gen且算法未收敛，返回步骤四，否则保存全局最优解GX，算法结束。 

进一步改进在于：所述步骤一的初始化种群中按照 

p_i4=(cosθ_i1,…,cosθ_in)   式（11） 

随机地生成m个初始个体组成一个种群

进一步改进在于：所述步骤二的解空间变换中，设优化问题的第j个解变量X_j∈[a_j,b_j]，记第i条染色体p_i上第j个量子位数值为则相应的解空 间变换式为: 

$X_{i1}^j=1/2\&lsqb;b_j(1+x_{\mathrm{ij}})+a_j(1-x_{\mathrm{ij}})\&rsqb;$

$X_{i2}^j=1/2\&lsqb;b_j(1+x_{\mathrm{ij}})+a_j(1-x_{\mathrm{ij}})\&rsqb;$

$X_{i3}^j=1/2\&lsqb;b_j(1+x_{\mathrm{ij}})+a_j(1-x_{\mathrm{ij}})\&rsqb;$

$X_{i4}^j=1/2\&lsqb;b_j(1+x_{\mathrm{ij}})+a_j(1-x_{\mathrm{ij}})\&rsqb;$

其中i=1,2,3…,m,j=1,2…,n   式(12)。 

进一步改进在于：所述步骤四种群更新的更新Q(t-1)中，令染色体p_i(i=1,2,…,m)上n个量子位为(q_i1,q_i2,…,q_in)，具体实现p_i更新过程为： 

其中，U为量子旋转门，△β、和△θ查询转角△β、

和△θ的方向查询图可得。 

进一步改进在于：所述量子旋转门U为： 

$U=\left[\begin{array}{cccc}{u}_{11}& u_{12}& u_{13}& u_{14}\\ u_{21}& u_{22}& u_{23}& u_{24}\\ u_{31}& u_{32}& u_{33}& u_{34}\\ u_{41}& u_{42}& u_{43}& u_{44}\end{array}\right]$    式(13) 

u₄₁=u₄₂=0 

进一步改进在于：所述更新Q(t-1)中，设定最大的进化代数为G，则第t代的第n个量子旋转门转角大小为：△θ_n=△θ*(1.01-t/G)，其中△θ为最大旋转角。 

进一步改进在于：所述步骤四种群更新的变异Q(t-1)中，令染色体p_i上第j个量子位为q_ij，其中i=1,2,3…m，j=1,2…n，变异概率为p_m，则p_i的变异过程为：如果p_i不是当代最优染色体且rnd<p_m，则

其中，rnd为[0,1]间的随机数值，V为变异算子。 

进一步改进在于：所述变异算子V为： 

进一步改进在于：所述基于四链编码方案的量子进化算法的参数如下： 

0.005π<|△β|<0.05π，

|Δθ|=0.015π，0.01<P_m<0.5。 

本发明的有益效果是：本发明一种基于四链编码方案的量子优化算法，根据量子位的性质，结合双链编码方案及三链编码方案特点，提出了四链拓展编码方案，按照一定规律将每个量子位描述成四个并列基因从而形成四条基因链，通过典型极值优化仿真结果表明，使用不同的基因链编码方案解决优化函数极值问题，发现随着基因链数的增加，优化效果不断得到的提高，说明根据四链拓展方案拓展基因链可以提高量子进化算法的效能，该方案是有效的。四链编码方案的量子进化算法的性能优于三链编码方案，二链编码方案以及普通量子进化算法。 

附图说明

图1是量子比特概率幅示意图； 

图2是量子比特概率幅分解示意图； 

图3是量子染色体结构图； 

图4是转角△β、

和△θ的方向查询图； 

图5是Goldstein–Price函数图象； 

图6是shubert函数图象； 

图7是△β、和△θ对Goldstein–Price函数的优化影响仿真图； 

图8是

和△θ对shubert函数的优化影响仿真图； 

图9是比例因子K、L对Goldstein–Price函数的优化影响仿真图； 

图10是比例因子K、L对shubert函数的优化影响仿真图； 

图11是变异概率对Goldstein–Price函数的优化影响仿真图； 

图12是变异概率对shubert函数的优化影响仿真图； 

图13是Goldstein–Price函数和shubert函数的极值问题优化结果对比图； 

图14是Goldstein–Price函数的优化结果对比仿真图； 

图15是shubert函数的优化结果对比仿真图； 

其中：CQGA为Common Quantum Inspired Algorithm，即普通量子进化算法； 

DCQGA为Double Chain Quantum Inspired Algorithm，即基于双链编码方案的量子进化算法； 

TCQGA为Three Chains Quantum Inspired Algorithm，即基于三链编码方案的量子进化算法； 

FCQGA为Four Chains Quantum Inspired Algorithm，基于四链编码方案的量子进化算法。 

具体实施方式

下面结合附图详细说明本发明的优选实施例。 

为了提高量子进化算法的性能，提出了一种基于四链编码方案的量子化算法。将每个量子位分解为四个并列的基因，有效地拓展了搜索空间，提出了使用量子旋转门的量子更新策略，并引入了动态调整旋转角机制对个体进行更新，使用量子非门变异策略实现量子变异。仿真实验中，分析了使用不同变异概率时对算法性能的影响，对比了分别使用普通量子进化算法，双链编码方案，三链编码方案以及四链编码方案的量子进化算法在优化函数极值问题时算法的性能，实验结果证明了基于四链编码方案的量子进化算法性能优于其他三种方案，四链编 码方案可以提高量子进化算法的性能，是有效的。 

本实施例提供一种基于四链编码方案的量子优化算法，包括以下步骤： 

步骤一，初始化种群，令当前代数t=0，按照 

p_i4=(cosθ_i1,…,cosθ_in)   式（11） 

随机地生成m个初始个体组成一个种群

设定量子旋转门的转角大小分别为|Δβ|=β₀，|Δθ|=θ₀，设定变异概率p_m，最大进化代数Max_gen； 

步骤二，解空间变换，将每条染色体的4个近似解由单位空间Iⁿ=[-1,1]ⁿ映射到优化问题的解空间Ω，得到解集X(t)，设优化问题的第j个解变量X_j∈[a_j,b_j]，记第i条染色体p_i上第j个量子位数值为

则相应的解空间变换式为: 

$X_{i1}^j=1/2\&lsqb;b_j(1+x_{\mathrm{ij}})+a_j(1-x_{\mathrm{ij}})\&rsqb;$

$X_{i2}^j=1/2\&lsqb;b_j(1+x_{\mathrm{ij}})+a_j(1-x_{\mathrm{ij}})\&rsqb;$

$X_{i3}^j=1/2\&lsqb;b_j(1+x_{\mathrm{ij}})+a_j(1-x_{\mathrm{ij}})\&rsqb;$

$X_{i4}^j=1/2\&lsqb;b_j(1+x_{\mathrm{ij}})+a_j(1-x_{\mathrm{ij}})\&rsqb;$

其中i=1,2,3…,m,j=1,2…,n   式(12)。 

步骤三，计算适应度，通过X(t)计算4m近似解的适应度，根据最优适应度得到当代最优解BestX和当代最优染色体BestC，并将BestX作为全局最优解GX，将BestC作为全局最优染色体GC； 

步骤四，种群更新，进行迭代循环，t=t+1，通过更新和变异Q(t-1)得到新种群Q(t)； 

步骤五，再次进行解空间变换，同步骤二将Q(t)进行解空间变换，得到优化问题的解X(t)； 

步骤六，再次计算适应度，同步骤三，获取当代最优解BestX和当代最优染色体BestC，将当代最优染色体BestC得到的适应度和全局最优染色体GC得到的适应度进行比较，如果fit(BestX)<fit(GX),更新当代最优解BestX=GX,同时更新当代最优的染色体BestC=GC，以防止种群退化；否则，GX=BestX，GC=BestC；通过以上约束确保算法向最优值收敛； 

步骤七，如果t<Max_gen且算法未收敛，返回步骤四，否则保存全局最优解GX，算法结束。 

所述步骤四种群更新的更新Q(t-1)中，令染色体p_i(i=1,2,…,m)上n个量子位为(q_i1,q_i2,…,q_in)，具体实现p_i更新过程为：

其中，U为量子旋转门，△β、

和△θ查询转角△β、

和△θ的方向查询图可得。所述量子旋转门U为： 

$U=\left[\begin{array}{cccc}{u}_{11}& u_{12}& u_{13}& u_{14}\\ u_{21}& u_{22}& u_{23}& u_{24}\\ u_{31}& u_{32}& u_{33}& u_{34}\\ u_{41}& u_{42}& u_{43}& u_{44}\end{array}\right]$    式(13) 

u₄₁=u₄₂=0 

所述更新Q(t-1)中，设定最大的进化代数为G，则第t代的第n个量子旋转门转角大小为：△θ_n=△θ*(1.01-t/G)，其中△θ为最大旋转角。 

所述步骤四种群更新的变异Q(t-1)中，令染色体p_i上第j个量子位为q_ij，其中i=1,2,3…m，j=1,2…n，变异概率为p_m，则p_i的变异过程为：如果p_i不是当代最优染色体且rnd<p_m，则

其中，rnd为[0,1]间的随机数值，V为变异算子。所述变异算子V为： 

所述基于四链编码方案的量子进化算法的参数如下：0.005π<|△β|<0.05π， 

|Δθ|=0.015π，0.01<P_m<0.5。 

基于四链编码方案的量子优化算法的原理 

在量子计算中，最小的信息单位用量子比特表示，它的状态可表示为： 

   式(1)； 

其中α和β满足下列归一化条件: 

|α|²+|β|²=1   式(2)； 

把满足式(1)、式(2)的一对复数α和β称为一个量子比特的概率幅，量子比特也可以用概率幅表示为[α,β]^T。根据概率幅性质，一个量子比特

可以用图1中的方式来表示。显而易见的是α=cosθ,β=sinθ,因此，量子比特可以表 示为： 

[cosθ,sinθ]^T   式(3)； 

参考“一种改进的双链量子进化算法及其应用”，以式（3）为编码方案可得： 

$p_i=\left|\begin{array}{c}\cos {\mathrm{\&theta;}}_{i1}\\ \sin {\mathrm{\&theta;}}_{i1}\end{array}\right|\left.\begin{array}{c}\cos {\mathrm{\&theta;}}_{i2}\\ \sin {\mathrm{\&theta;}}_{i2}\end{array}\right|\left.\begin{array}{c}\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\\ \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\end{array}\right|\left.\begin{array}{c}\cos {\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{ij}}\\ \sin {\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{ij}}\end{array}\right|$    式(4) 

其中，θ_ij=2π×rand,rand∈[0,1]为(0,1)的随机数，i=1,2,3…m,j=1,2…n，m是种群规模，n是量子位数。 

将图1和太极图联系起来，可以得到图2。由图2可知，以AC为直径做一个半圆，则会与相交于点B，由圆的性质可得∠ABC为直角，所以∠ACB的大小为θ，那么BC的长度就为cosθ。BD为直角三角形ABC的由B到AC边作的垂线，因此，在直角三角形CDB中可得： 

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{BD}=\cos \mathrm{\&theta;}\&times;\sin \mathrm{\&theta;}\\ \mathrm{CD}=\cos \mathrm{\&theta;}\&times;\cos \mathrm{\&theta;}\end{array}\right.$    式(5)； 

可以看出，直角三角形的斜边BC(BC=cosθ)可以用BD和CD方向的两个分量(4)来表示。 

同理，可得： 

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{AD}=\sin \mathrm{\&theta;}\&times;\sin \mathrm{\&theta;}\\ \mathrm{BD}=\sin \mathrm{\&theta;}\&times;\cos \mathrm{\&theta;}\end{array}\right.$    式(6)； 

因此，结合式（3）和式（6），量子比特也可以表示成如下形式： 

[cosθ×sinθ,sinθ×sinθ,cosθ]^T   式(7)； 

相当于：α=[cosθ×sinθ,sinθ×sinθ]^T，β=[cosθ]^T，由上式可知式（7）满足式（2）的条件。 

式(7)可以看做是把式(3)中的sinθ分解为两个变量，所以也满足式(2)的条件，但这是从二维空间的角度描述其特性，只有一个角度变量θ不利于更加客观、全面、生动地描述其量子的动态行为，根据式（4）、式（5）的特点可以把斜边的描述分量用一个“配角”

代替，将式(7)变换成： 

   式(8)； 

式（8）也满足式（2）的条件，所以成立。 

相当于把式(1)中的sinθ赋予了“配角变量”形成式(8)的量子比特表示形式，即二维空间转换到三维空间，就形成了两个角变量的三维空间的三链基因编码方案： 

   式(9)； 

同理，可以再次增加“配角”β来拓展形成四维空间的四链基因编码方案： 

   式(10)； 

以此形成的四个优化解分别是： 

p_i4=(cosθ_i1,…,cosθ_in)   式(11)； 

分别将p_i1p_i2p_i3p_i4定义为解X1，X2，X3，X4.编码后的染色体结构如图3的量子染色体结构图。通过图3可知一个X染色体可以分解成4条基因链，每条基因链可以得到无穷多组量子比特位，这可以使全局最优解的数量得到极大的扩充，从而可以明显地提高获取全局最优解的概率。 

解空间变换 

四链编码的量子进化过程中限定在单位空间Iⁿ=[-1,1]ⁿ内，因此，需要进行单位空间与优化问题解空间之间的变换，设优化问题的第j个解变量X_j∈[a_j,b_j]，记第i条染色体p_i上第j个量子位数值为

则相应的解空间变换式为: 

$X_{i1}^j=1/2\&lsqb;b_j(1+x_{\mathrm{ij}})+a_j(1-x_{\mathrm{ij}})\&rsqb;$

$X_{i2}^j=1/2\&lsqb;b_j(1+x_{\mathrm{ij}})+a_j(1-x_{\mathrm{ij}})\&rsqb;$

$X_{i3}^j=1/2\&lsqb;b_j(1+x_{\mathrm{ij}})+a_j(1-x_{\mathrm{ij}})\&rsqb;$

$X_{i4}^j=1/2\&lsqb;b_j(1+x_{\mathrm{ij}})+a_j(1-x_{\mathrm{ij}})\&rsqb;$

其中i=1,2,3…,m,j=1,2…,n   式(12)。 

量子染色体的更新 

设种群中有m条量子染色体，将每条染色体染色体携带3条基因链并经过解空间变换，得到优化问题的3m个近似解，找到适应度最大时的近似解称为当代最优解，这个最优解所对应的染色体称为最优染色体。通过计算适应度通过更新量子旋转门U，使当前种群中的每个染色体逼近当代最优染色体，在这个过程中有可能更优染色体，从而使种群不断得到进化，且进化过程中会保存好最优值防止退化的产生，确保算法能够逐步向最优解逼近。为此，提出了新的量子旋转门 

$U=\left[\begin{array}{cccc}{u}_{11}& u_{12}& u_{13}& u_{14}\\ u_{21}& u_{22}& u_{23}& u_{24}\\ u_{31}& u_{32}& u_{33}& u_{34}\\ u_{41}& u_{42}& u_{43}& u_{44}\end{array}\right]$    式(13) 

u₄₁=u₄₂=0 

由

   式（14） 

可知，U的作用使量子的相位旋转了△β，

和△θ。 

转角△β、

和△θ的方向和大小非常重要，方向决定了算法的收敛方向，而大小决定了算法的收敛速度。一般的做法是构造一个查询表，列出各种可能的情况，作为辅助决策工具，但是这种方法常常要进行多路的条件判断，影响到算法的效率。为了确定中关于转角方向规则，采用如下定理： 

定理一：令

是当代最优染色体的第j个量子位数值， 

为当代种群第i条染色体中第j个量子位数值，其中i=1,2,3…,m,j=1,2…,n。记： 

$A=\left|\begin{array}{cc}{x}_{0j}^4& x_{\mathrm{ij}}^4\\ x_{0j}^3& x_{\mathrm{ij}}^3\end{array}\right|$    式(15) 

$B=\left|\begin{array}{cc}{x}_{0j}^2& x_{\mathrm{ij}}^2\end{array}\right|$    式(16) 

$C=\left|\begin{array}{cc}{x}_{0j}^1& x_{\mathrm{ij}}^1\end{array}\right|$    式(17) 

其中，确定转角△β的规则：当A≠0，方向为sgn(△β)=-sgn(A)；A=0时，方向取正负均可； 

其中，确定转角

的规则：当B≠0，方向为

B=0时，方向取正负均可； 

其中，确定转角△θ的规则：当C≠0，方向为sgn(△θ)=-sgn(C)；C=0时，方向取正负均可。 

定理一的证明如下： 

将q_0j，q_ij表示为三角函数的形式，即 

为了确定转角△β的方向，将式(15)中A表示成三角函数的形式，即 

由于

θ₀∈[0,π]，θ∈[0,π]，所以，当A≠0时，则

当A=0时，则

或sin(β-β₀)=0。若

说明至少有一个点位于|0>或|1>，此时β或者β₀可取任意值，故sgn(△β)取正负均可；若sin(β-β₀)=0，则β=β₀或|β-β₀|=π，故sgn(△β)取正负均可。 

为了确定转角的方向， 

当B≠0时，有

当B=0时，有或

故

取正负皆可。 

为了确定转角△θ的方向， 

当C≠0时，有

当C=0时，有θ₀=θ或|θ-θ₀|=π，sgn(△θ)取正负皆可。 

转角△β，

和△θ的大小要结合实际的问题来确定，如果取值过小，会使优化过程缓慢，优化效率下降，反之，过大会使算法局部收敛，本发明中转角大小优选在区间(0.005π,0.05π)。基于以上分析，能够得出如图4所示的查询表来确定转角△β，

和△θ的方向。 

根据以上所述，令染色体p_i(i=1,2,…,m)上n个量子位为(q_i1,q_i2,…,q_in)，具体实现p_i更新过程程序如下： 

染色体p_i更新程序 

程序开始 

令J=0 

开始循环，进行逻辑判断While(J<N)，只要J<N就执行量子位更新，N为量子染色体的量子位数 

从染色体第一个量子位开始更新，每次循环J=J+1，依次对染色体的从开始到结尾的量子位旋转角进行更新 

根据公式

对指定的量子位旋转角进行更新，并将更新后的染色体量子位状态保存到

结束循环 

将更新后的染色体状态赋给原来染色体

结束程序 

设定最大的进化代数为G，第t代的第n个量子旋转门转角大小为： 

△θ_n=△θ*(1.01-t/G)，其中△θ为最大旋转角，确保随着代数的增加转角逐渐减小以更精确的角度向最优解附近旋转。 

量子染色体的变异 

通过量子非门V实现量子比特相位的旋转，设某一量子位幅角为θ_n通过量子非门作用后，幅角变为π/2-θ_n。 

由

可以计算出变异算子V的具体形式为： 

   式(18) 

通过量子非门作用使量子相位大幅旋转，可以增加种群的多样性，防止出现 局部收敛，避免进化过程中的早熟现象。 

令染色体p_i上第j个量子位为q_ij，其中i=1,2,3…m,j=1,2…n，变异概率为p_m。p_i的变异过程程序描述如下： 

染色体p_i变异程序 

程序开始 

令J=0 

开始循环，进行逻辑判断While(J<N)，只要J<N就执行量子位更新（N为量子染色体的量子位数就进入循环）。 

每次循环J=J+1，每次循环产生一个0到1的随机数，进行逻辑判断如果这个随机数小于变异概率p_m，使用公式对量子位的旋转角进行更新并将更新后的染色体量子位状态保存到

结束循环 

将更新后的染色体状态赋给原来染色体

结束程序 

四链量子进化算法的实现步骤如下： 

步骤一，初始化种群，令当前代数t=0，随机地生成m个初始个体组成一个种群设定量子旋转门的转角大小分别为|Δβ|=β₀，

|Δθ|=θ₀，设定变异概率p_m，最大进化代数Max_gen； 

步骤二，解空间变换，将每条染色体的4个近似解由单位空间Iⁿ=[-1,1]ⁿ映射到优化问题的解空间Ω，得到解集X(t)； 

步骤三，计算适应度，通过X(t)计算4m近似解的适应度，根据最优适应度得到当代最优解BestX和当代最优染色体BestC，并将BestX作为全局最优解GX，将BestC作为全局最优染色体GC； 

步骤四，种群更新，进行迭代循环，t=t+1，通过更新和变异Q(t-1)得到新种群Q(t)； 

步骤五，再次进行解空间变换，同步骤二将Q(t)进行解空间变换，得到优化问题的解X(t)； 

步骤六，再次计算适应度，同步骤三，获取当代最优解BestX和当代最优染色体BestC，将当代最优染色体BestC得到的适应度和全局最优染色体GC得到的适应度进行比较，如果fit(BestX)<fit(GX),更新当代最优解BestX=GX,同时更新当代最优的染色体BestC=GC，以防止种群退化；否则，GX=BestX，GC=BestC；通过以上约束确保算法向最优值收敛； 

步骤七，如果t<Max_gen且算法未收敛，返回步骤四，否则保存全局最优解GX，算法结束。 

仿真实验与机理分析 

为了检验四链编码量子进化算法的优化性能，通过解决优化典型函数Goldstein–Price函数和Shubert函数的极值问题进行仿真。 

Goldstein–Price函数： 

f(x,y)=[1+(x+y+1)²(19-14+3x²-14y+6xy+3y²)]× 

[30+(2x-3y)²(18-32x+12x²+48y-36xy+27y²)]   式(19) 

其中，|x|≤2,|y|≤2。式(19)中函数f(x,y)有4个极小值点分别为：(1.2,0.8),(1.2,0.2),(-0.6,-0.4),(0,-1)，全局极小值为(0,-1)，全局极小值为3。当优化结果小于3.005时，可认为算法收敛。函数图象如图5所示。 

Shubert函数： 

f(x,y)=10cos(2πx)+10sin(2πy)-x²-y²-10   式（20） 

式（20）中x,y∈(-5.12,5.12)，它是一个典型的多峰函数，有很多的局部极值点，其中最大的极值点为(0,0)对应的全局极大值为10，当函数达到9.995时认为算法收敛。函数图象如图6所示。 

下面应用以上两个函数研究，|Δβ|、

|Δθ|的取值范围对算法的影响。这里采取染色体数取10，最大优化步数取100，变异概率取0。 

当

其优化结果分别如图7、图8所示。通过图7、图8可以看到， 

此时不仅优化效果好，而且波动的范围相对较小。 

其次，考察|△β|、

和|△θ|之间关系对算法的影响。取10条染色体，最大优化步数取100，变异概率取0。 

令|△β|={0.005π,0.01π,0.02π,0.03π,0.04π,0.05π} 

当K=L={0.1,0.2,0.3,…,1.8,1.9,2.0}时，优化结果如图9、图10所示。根据图9、图10可知，优化效果最佳时，|△β|和K、L的关系的六种取值情况如下： 

|△β|=0.005π，K=L≈1.8 

|△β|=0.01π，K=L≈1.22 

|△β|=0.02π，K=L≈0.86 

|△β|=0.03π，K=L≈0.71 

|△β|=0.04π，K=L≈0.61 

|△β|=0.05π，K=L≈0.55 

通过分析上述六种情况可以得出：KL=0.015π/|Δβ|，

时，优化效果最佳。此时有|Δθ|=KL|Δβ|≈0.015π，

旋转角|△β|、

和|△θ|与变异概率之间的关系对算法效率的影响。使用基于四链编码方案的量子进化算法时，选取20条染色体，最大优化代数为100，K=L=1,即

转角△θ与变异概率Pm分别取值如下： 

△θ={0.005π,0.01π,0.015π,0.02π,0.025π,0.03π,0.035π,.004π,0.045π,0.05π}， 

Pm={0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1}。 

为了正确地找到变异概率与函数优化性能之间的关系，避免随机因素的影响，采取每个概率在不同的旋转角度之下分别进行10次计算，最终求取的平均值作为此变异概率下的优化结果，得出优化结果，如图11、图12、图13所示。由图11、图12可以看出对于Goldstein-Price函数与shubert函而言当0.05<P_m<0.70时，变异操作能够加速优化进程，且当P_m=0.05时，优化性能最佳，通常变异概率可取范围，0.01<P_m<0.5。 

综上所述，可以总结出基于四链编码方案的量子进化算法的参数选择原则如下：0.005π<|△β|<0.05π，

|Δθ|=0.015π，0.01<P_m<0.5。 

分别使用普通量子进化算法，Common Quantum Inspired Algorithm,CQGA，基于双链编码方案的的量子进化算法，Double Chain Quantum Inspired Algorithm，DCQGA，基于三链编码方案的量子进化算法，Three Chains Quantum Inspired Algorithm，TCQGA，基于四链编码方案的量子进化算法，Four Chains Quantum Inspired Algorithm，FCQGA，优化Goldstein–Price函数和Shubert函数的极值，最大旋转角为△θ=0.04π，变异概率为0.4，染色体为20条，进行10次仿真实验，其优化结果的对比如图13、图14、图15所示。 

通过对运行时间和优化结果的对比，可以看出双链编码量子进化算法的效率要高于普通量子进化算法，是因为每条染色体较普通量子进化算法多了一条基因链，使搜索空间增加了一倍。由于普通量子进化算法采用二进制编码方式，需要进行频繁的二进制解码编码，增加了计算时间。同理，通过增加基因链，基于三链编码的量子进化算法较双链编码量子进化算法优化的平均结果优，而四链编码优于三链编码，四链编码的平均结果达到算法的最优值，但是计算时间要少量的增加。通过结果分析可以看出，通过增加基因链可以有效改进算法效能，使算法逐渐逼近最优值，有效改进量子进化算法的性能。 

本实施例一种基于四链拓展编码方案的量子进化算法，提供了一种拓展基因链的编码方案，通过研究增加基因链对量子进化算法性能的影响以及四链拓展编码方案中变异概率与旋转角的关系和仿真实验，解决了使用不同的基因链编码方案解决优化函数极值问题，发现随着基因链数的增加，优化效果不断得到的提高， 说明根据四链拓展方案拓展基因链可以提高量子进化算法的效能，该方案是有效的。同时，仿真实验通过研究变异概率与旋转角的关系，确定了变异概率的选择范围，为正确使用变异概率避免算法早熟提供了依据。 

Claims (9)

1.一种基于四链编码方案的量子优化算法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一，初始化种群，令当前代数t=0，随机地生成m个初始个体组成一个种群

设定量子旋转门的转角大小分别为|Δβ|=β₀，

|Δθ|=θ₀，设定变异概率p_m，最大进化代数Max_gen；

步骤二，解空间变换，将每条染色体的4个近似解由单位空间Iⁿ=[-1,1]ⁿ映射到优化问题的解空间Ω，得到解集X(t)；

步骤三，计算适应度，通过X(t)计算4m近似解的适应度，根据最优适应度得到当代最优解BestX和当代最优染色体BestC，并将BestX作为全局最优解GX，将BestC作为全局最优染色体GC；

步骤四，种群更新，进行迭代循环，t=t+1，通过更新和变异Q(t-1)得到新种群Q(t)；

步骤五，再次进行解空间变换，同步骤二将Q(t)进行解空间变换，得到优化问题的解X(t)；

步骤六，再次计算适应度，同步骤三，获取当代最优解BestX和当代最优染色体BestC，将当代最优染色体BestC得到的适应度和全局最优染色体GC得到的适应度进行比较，如果fit(BestX)<fit(GX),更新当代最优解BestX=GX,同时更新当代最优的染色体BestC=GC，以防止种群退化；否则，GX=BestX，GC=BestC；通过以上约束确保算法向最优值收敛；

步骤七，如果t<Max_gen且算法未收敛，返回步骤四，否则保存全局最优解GX，算法结束。

2.如权利要求1所述的基于四链编码方案的量子优化算法，其特征在于，所述步骤一的初始化种群中按照

p_i4=(cosθ_i1,…,cosθ_in)   式（11）

随机地生成m个初始个体组成一个种群

3.如权利要求1所述的基于四链编码方案的量子优化算法，其特征在于，所述步骤二的解空间变换中，设优化问题的第j个解变量X_j∈[a_j,b_j]，记第i条染色体p_i上第j个量子位数值为

则相应的解空间变换式为:

$X_{i1}^j=1/2\&lsqb;b_j(1+x_{\mathrm{ij}})+a_j(1-x_{\mathrm{ij}})\&rsqb;$

$X_{i2}^j=1/2\&lsqb;b_j(1+x_{\mathrm{ij}})+a_j(1-x_{\mathrm{ij}})\&rsqb;$

$X_{i3}^j=1/2\&lsqb;b_j(1+x_{\mathrm{ij}})+a_j(1-x_{\mathrm{ij}})\&rsqb;$

$X_{i4}^j=1/2\&lsqb;b_j(1+x_{\mathrm{ij}})+a_j(1-x_{\mathrm{ij}})\&rsqb;$

其中i=1,2,3…,m,j=1,2…,n   式(12)。

4.如权利要求1所述的基于四链编码方案的量子优化算法，其特征在于，所述步骤四种群更新的更新Q(t-1)中，令染色体p_i(i=1,2,…,m)上n个量子位为(q_i1,q_i2,…,q_in)，具体实现p_i更新过程为：

其中，U为量子旋转门，^△β、

和△θ查询转角^△β、

和△θ的方向查询图可得。

5.如权利要求4所述的基于四链编码方案的量子优化算法，其特征在于，所述量子旋转门U为：

$U=\left[\begin{array}{cccc}{u}_{11}& u_{12}& u_{13}& u_{14}\\ u_{21}& u_{22}& u_{23}& u_{24}\\ u_{31}& u_{32}& u_{33}& u_{34}\\ u_{41}& u_{42}& u_{43}& u_{44}\end{array}\right]$    式(13)

u₃₂=0,

u₄₁=u₄₂=0

6.如权利要求4所述的基于四链编码方案的量子优化算法，其特征在于，所述更新Q(t-1)中，设定最大的进化代数为G，则第t代的第n个量子旋转门转角大小为：△θ_n=△θ*(1.01-t/G)，其中△θ为最大旋转角。

7.如权利要求1所述的基于四链编码方案的量子优化算法，其特征在于，所述步骤四种群更新的变异Q(t-1)中，令染色体p_i上第j个量子位为q_ij，其中i=1,2,3…m，j=1,2…n，变异概率为p_m，则p_i的变异过程为：如果p_i不是当代最优染色体且rnd<p_m，则 其中，rnd为[0,1]间的随机数值，V为变异算子。

8.如权利要求7所述的基于四链编码方案的量子优化算法，其特征在于，所述变异算子V为：

   式(18)。

9.如权利要求1-8任一项所述的基于四链编码方案的量子优化算法，其特征在于，所述基于四链编码方案的量子进化算法的参数如下：0.005π<|△β|<0.05π，

|Δθ|=0.015π，0.01<P_m<0.5。

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