CN103259643A - 一种矩阵全同态加密方法 - Google Patents

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CN103259643A CN2012102879762A CN201210287976A CN103259643A CN 103259643 A CN103259643 A CN 103259643A CN 2012102879762 A CN2012102879762 A CN 2012102879762A CN 201210287976 A CN201210287976 A CN 201210287976A CN 103259643 A CN103259643 A CN 103259643A
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Abstract

本发明在于公开了一种矩阵全同态加密算法，包括初始化模块、加密模块、解密模块和矩阵全同态模块，1）初始化模块：根据待加密矩阵的维数、加密类型和矩阵元素值的范围，来生成加密、解密所需的密钥；2）加密模块：根据给定的明文矩阵，使用加密算法和密钥对明文矩阵进行加密，输出密文矩阵；3）解密模块：根据给定的密文矩阵，使用密钥和解密算法对密文矩阵进行解密，输出明文矩阵；4）矩阵全同态模块：矩阵的加法和乘法运算都满足矩阵同态的性质，矩阵加法和乘法产生的输出仍然满足同态的性质，即满足矩阵全同态的性质。本发明的优点一是能够满足安全性需求；二是满足矩阵全同态的要求；三是明显提高了密文矩阵的运算速度。

Description

一种矩阵全同态加密方法
技术领域
本发明涉及一种同态加密算法，具体涉及一种矩阵全同态加密算法。
背景技术
互联网的开放性，其优点是方便了我们的生活，最大的缺点是网络中的私有信息的安全遭受严重的威胁，所以近年来网络安全越来越受到人们的关注。保护私有信息的安全方法有很多种，对信息加密便是其中的一种方式，目前常用的方法是对称密钥加密算法和公钥加密算法，例如对称密钥加密算法有DES、AES等，公钥加密算法有RSA、ECC、IBE等。设计这类算法的目的仅是保护信息的安全性，即仅是对明文信息进行加密，但密文通常不能够用于计算。
同态加密算法产生的密文可以用于计算。这样既能够保护明文信息，同时也能够在密文上进行函数运算。同态加密具备这两个特征，使其可以被用到“云计算”环境中，即委托计算模式——用户将要计算的输入通过同态加密算法加密后得到密文，并将要计算的函数和密文发送给“云”，“云”对密文进行函数运算后，再返回计算结果，用户验证并解密得到的最终的结果。
Rivest等人在1978年首次提出同态加密的概念，经过漫长的发展，直到2009年，Gentry才开创性的提出并构造了第一个全同态加密方案。后来在对Gentry的方案、其改进方案以及在LWE假设基础上构造的全同态加密方案等的实现过程中发现，已有的全同态加密方案并不实用，就以已实现的整数全同态加密方案为例，在一台性能较好的PC上，对两个32比特的整数加密后的密文相加，需要的大约600秒的时间。
针对矩阵的计算，有时并不需要对矩阵的每个元素都进行同态加密，来达到矩阵运算的同态。2011年，payman在文献《Efficient and Secure Delegation of Linear Algebra》中就是使用部分同态加密算法对矩阵元素进行加密达到矩阵同态的，这种方法存在的缺点一是不实用，即速度慢。二是仅能达到部分同态，即最多一次乘法同态。三是私钥的长度和维数有关，当维数很大时，私钥也随之变长。本发明就是设计一种方法，在矩阵这一层对矩阵进行加密，同时满足矩阵整体的安全性要求和全同态性质。
 
发明内容
针对目前所设计的矩阵同态加密方案的问题和不足，本发明提供了一种矩阵全同态加密算法，一保证明文矩阵的安全性，即经过加密的明文矩阵，攻击者得到其对应的明文矩阵是困难的；二是降低密文矩阵的运算复杂度，即提高在对密文矩阵的运算速度,使得在密文上进行运算的速度接近在明文上运算的速度；三是使得矩阵运算能够在矩阵这一层达到全同态。
为实现上述技术目的，达到上述技术效果，本发明通过以下技术方案实现：
一种矩阵全同态加密算法，根据功能和流程分为四个模块，包括初始化模块、加密模块、解密模块和矩阵全同态模块，其功能和流程如下：
1）初始化模块：根据待加密矩阵的维数、加密类型和矩阵元素值的范围，来生成加密、解密所需的密钥；
2）加密模块：根据给定的明文矩阵，使用加密算法和密钥对明文矩阵进行加密，输出密文矩阵；
3）解密模块：根据给定的密文矩阵，使用密钥和解密算法对密文矩阵进行解密，输出明文矩阵；
4）矩阵全同态模块：矩阵的加法和乘法运算都满足矩阵同态的性质，矩阵加法和乘法产生的输出仍然满足同态的性质，即满足矩阵全同态的性质。
通过初始化产生的密钥，对明文矩阵进行加密，从而可以保证明文矩阵的安全性。由于该加密算法满足矩阵全同态的性质，故可以对密文矩阵进行计算，通过解密算法便能够得到密文矩阵对应的明文矩阵。
本发明的原理是：
矩阵全同态加密方法包括主要四个模块，初始化模块、加密模块、解密模块和矩阵全同态模块，首先是初始化一系列参数，生成密钥用于加密模块和解密模块，加密模块产生的密文矩阵和矩阵全同态模块产生的密文矩阵主要用于矩阵全同态模块的矩阵运算，解密模块是用来解密加密模块和矩阵全同态模块产生的输出。
 下面说明公式                                                
Figure 151905DEST_PATH_IMAGE002
所具备的特征。根据
Figure 467087DEST_PATH_IMAGE004
选择的不同，来划分密钥的空间，依据不同的密钥空间来说明相同加密方法所产生的不同加密效果，其中
Figure 531995DEST_PATH_IMAGE006
，
Figure 117697DEST_PATH_IMAGE008
分别表示矩阵的加法和乘法。
Figure 344279DEST_PATH_IMAGE002
在矩阵这一层具备全同态的性质：设
Figure 149686DEST_PATH_IMAGE010
，
Figure 752706DEST_PATH_IMAGE012
，下面通过公式推导来说明矩阵满足全同态的性质。
a）矩阵加法同态：因
Figure 192914DEST_PATH_IMAGE014
，
故满足矩阵加法同态。
b）矩阵乘法同态：因
Figure 855977DEST_PATH_IMAGE016
，
故满足矩阵乘法同态。
c）矩阵全同态：即经过任意次矩阵加法或乘法混合运算后，产生的输出仍满足矩阵的加法同态和乘法同态的性质。
下面将根据选择的
Figure DEST_PATH_IMAGE017
不同，来说明经过
Figure 936629DEST_PATH_IMAGE018
这种形式加密方法产生的密文所具备的性质，并划分密钥空间。
设
Figure 343339DEST_PATH_IMAGE020
是单位矩阵经过随机的行列变换后得到的矩阵集合。对于任意的矩阵
Figure 973483DEST_PATH_IMAGE024
，先假设
Figure 986438DEST_PATH_IMAGE026
是矩阵
Figure 931261DEST_PATH_IMAGE028
中第
Figure 346061DEST_PATH_IMAGE030
行，第列的元素，现在对进行如下处理得到矩阵
Figure DEST_PATH_IMAGE035
，
                                        （1）
由矩阵的乘法可知，对
Figure 160543DEST_PATH_IMAGE028
左乘以矩阵
Figure 931315DEST_PATH_IMAGE004
，即是对矩阵
Figure 107082DEST_PATH_IMAGE033
作随机行变换，记
Figure DEST_PATH_IMAGE037
，
Figure DEST_PATH_IMAGE039
就是对
Figure 723658DEST_PATH_IMAGE040
随机行变换后的结果。再在
Figure 10283DEST_PATH_IMAGE039
的右边乘以
Figure 337359DEST_PATH_IMAGE042
，即是对
Figure 418447DEST_PATH_IMAGE039
再进行随机列变换，最终得到矩阵
Figure DEST_PATH_IMAGE043
，
Figure 457073DEST_PATH_IMAGE043
即是
Figure 547388DEST_PATH_IMAGE040
经过随机行列变换后的结果。通过这种方法对
Figure 791288DEST_PATH_IMAGE028
进行处理得到
Figure 308857DEST_PATH_IMAGE035
，具备以下特点：
1）元素值不变化：对于
Figure 503953DEST_PATH_IMAGE044
中任意的元素
Figure 132380DEST_PATH_IMAGE046
，
Figure 496365DEST_PATH_IMAGE033
中都有一个元素与其相等，
Figure 306375DEST_PATH_IMAGE050
，即
Figure 239959DEST_PATH_IMAGE043
仅是
Figure 458450DEST_PATH_IMAGE040
进行元素位置变换后的结果。
2）密文矩阵运算速度最快：密文矩阵的加法和乘法运算等于明文矩阵的运算速度，故是最快的一种。
3）安全性：对于加密后的明文矩阵，从理论上通过变换元素的位置得到明文的概率是
Figure 317822DEST_PATH_IMAGE052
。
令集合
Figure 988975DEST_PATH_IMAGE054
为
Figure 475318DEST_PATH_IMAGE056
中可逆矩阵构成的集合，记集合。对于任意的矩阵
Figure 578589DEST_PATH_IMAGE060
，再对进行公式（1）那样处理得到矩阵
Figure 737038DEST_PATH_IMAGE035
。设
Figure DEST_PATH_IMAGE063
，
Figure DEST_PATH_IMAGE065
，
Figure DEST_PATH_IMAGE067
，，则
Figure DEST_PATH_IMAGE071
，其中向量为
Figure 884860DEST_PATH_IMAGE004
的第
Figure 812365DEST_PATH_IMAGE030
行，向量
Figure DEST_PATH_IMAGE075
为矩阵
Figure 577321DEST_PATH_IMAGE040
的第列，向量为
Figure 852094DEST_PATH_IMAGE080
的第
Figure 429706DEST_PATH_IMAGE032
列，其中
Figure 149400DEST_PATH_IMAGE082
。由此可知，
Figure 521476DEST_PATH_IMAGE035
中的任意元素是由
Figure DEST_PATH_IMAGE085
中的向量与矩阵
Figure 280616DEST_PATH_IMAGE040
构成的向量的内积，其密钥空间大小为，
Figure DEST_PATH_IMAGE089
为元素值的长度，可知当
Figure DEST_PATH_IMAGE091
较大时，是安全的。
由上述分析得知，当密钥来自集合
Figure 19508DEST_PATH_IMAGE092
时，矩阵全同态加密方法产生的密文仅是矩阵元素位置的变换，故矩阵的运算速度和其对应明文矩阵的计算是一样的，也就是最快的一种。当密钥来自集合
Figure 921605DEST_PATH_IMAGE094
，矩阵全同态加密方案产生的密文对矩阵的元素值进行了加密，在此密文上进行函数运算的速度和上面的接近。综上所述，矩阵全同态加密方法的密钥空间为集合，
Figure 84919DEST_PATH_IMAGE098
，矩阵全同态加密方法的密文运算速度和明文运算的速度相近。
本发明的有益效果是:
本发明的矩阵全同态加密方法具备如下功能：
1、生成随机矩阵：给定参数，可以生成所需条件的矩阵。
2、信息加密：对矩阵或者其他任意信息进行加密。加密是矩阵全同态加密方法最基本的功能，可以对矩阵，例如图像，进行加密。或者对其他信息编码成矩阵后，再使用此方法进行加密。
3、解密：对密文矩阵进行解密。
4、对密文矩阵集合进行函数运算：对于任意的函数
Figure 240219DEST_PATH_IMAGE100
，再给定密文输入的情况下，可以计算
Figure 996823DEST_PATH_IMAGE102
，这就相当于先对明文矩阵集合进行运算，得到结果
Figure 976280DEST_PATH_IMAGE104
，再对计算结果加密，这样便保护了计算的输出。
本发明的优点一是能够满足安全性需求；二是满足矩阵全同态的要求；三是明显提高了密文矩阵的运算速度。
附图说明
图1是本发明的矩阵全同态加密流程示意图;
图2是本发明的密钥空间为
Figure DEST_PATH_IMAGE105
的矩阵全同态加密实例图;
图3是本发明的密钥空间为
Figure 435643DEST_PATH_IMAGE108
的矩阵全同态加密
Figure 830853DEST_PATH_IMAGE110
实例图。
具体实施方式
下面将结合实施例1和实施例2，来详细说明本发明。实施例1说明的是密钥选自密钥空间
Figure 707542DEST_PATH_IMAGE112
，实施例2说明的是密钥选自密钥空间。
参见图1所示，矩阵全同态加密算法，包括主要四个模块，初始化模块、加密模块、解密模块和矩阵全同态模块。
实施例1
1、初始化模块：即用户给定所需生成密钥的维数
Figure 423136DEST_PATH_IMAGE091
、选择密钥空间和矩阵元素值范围，通过密钥生成器生成所需的密钥。
其具体步骤如下：
（1）用户输入维数、选择密钥空间
Figure 415549DEST_PATH_IMAGE116
和矩阵中元素值的范围
Figure 471230DEST_PATH_IMAGE118
。参见图2所示，图中21中输入的参数为
Figure 786411DEST_PATH_IMAGE120
，其中G表示密钥空间为
Figure DEST_PATH_IMAGE121
。
（2）密钥生成器
Figure DEST_PATH_IMAGE123
产生密钥
Figure DEST_PATH_IMAGE125
：包括随机整数可逆矩阵生成器
Figure DEST_PATH_IMAGE129
和矩阵求逆器
Figure DEST_PATH_IMAGE131
。产生密钥详细如下：
a）生成可逆矩阵
Figure 984491DEST_PATH_IMAGE017
：给定矩阵的维数，密钥空间
Figure 284989DEST_PATH_IMAGE116
和可逆矩阵
Figure 622430DEST_PATH_IMAGE004
中元素值的范围，使用随机整数可逆矩阵生成器产生整数可逆矩阵
Figure 289483DEST_PATH_IMAGE017
，
Figure DEST_PATH_IMAGE133
。参见图2所示，图中22为生成的可逆矩阵。
b）求可逆矩阵的整数逆矩阵
Figure 782705DEST_PATH_IMAGE134
：使用矩阵求逆器，求得矩阵
Figure 405316DEST_PATH_IMAGE136
的一整数逆矩阵
Figure DEST_PATH_IMAGE137
，
Figure DEST_PATH_IMAGE139
，参见图2所示，图中22是求得的逆矩阵。
c）输出密钥：密钥
Figure 816017DEST_PATH_IMAGE142
，参见图2所示，实施例1的密钥为22。
2、加密模块：用户在给定密钥
Figure 760839DEST_PATH_IMAGE125
和明文矩阵的
Figure 175640DEST_PATH_IMAGE144
情况下，使用加密算法
Figure 509118DEST_PATH_IMAGE146
对
Figure 9370DEST_PATH_IMAGE144
进行加密，产生密文矩阵
Figure 492304DEST_PATH_IMAGE148
，
Figure 27190DEST_PATH_IMAGE150
。详细步骤如下：
（1）用户输入密钥
Figure 704421DEST_PATH_IMAGE140
和待加密的明文矩阵
Figure 629652DEST_PATH_IMAGE144
：用户根据待加密的明文矩阵
Figure 916277DEST_PATH_IMAGE144
的维数来选择密钥
Figure DEST_PATH_IMAGE151
，其中，参见图2所示，实施例1的明文矩阵是23。
（2）用户使用矩阵全同态加密算法
Figure 663260DEST_PATH_IMAGE154
加密文矩阵
Figure 9927DEST_PATH_IMAGE144
：用户运行矩阵全同态加密算法，输出密文矩阵
Figure 484771DEST_PATH_IMAGE148
，
Figure 575087DEST_PATH_IMAGE156
。在此记合法的密文空间为，参见图2所示，实施例1的加密算法是24，产生密文25。
3、解密模块：用户在给定私钥
Figure 572441DEST_PATH_IMAGE125
和密文矩阵的
Figure 472264DEST_PATH_IMAGE148
情况下，使用解密算法
Figure 100691DEST_PATH_IMAGE160
对
Figure 464677DEST_PATH_IMAGE148
进行加密，输出明文矩阵，
Figure 841398DEST_PATH_IMAGE162
。详细步骤如下：
（1）用户输入密钥
Figure 273516DEST_PATH_IMAGE140
和合法的密文矩阵
Figure 226429DEST_PATH_IMAGE148
：用户输入合法的密文矩阵
Figure 587265DEST_PATH_IMAGE148
和密钥
Figure 258418DEST_PATH_IMAGE151
，其中
Figure 431911DEST_PATH_IMAGE164
。
（2）用户使用矩阵全同态解密算法
Figure 504909DEST_PATH_IMAGE160
解密密文矩阵
Figure 535182DEST_PATH_IMAGE148
：用户运行矩阵全同态解密算法
Figure 192166DEST_PATH_IMAGE160
，输出明文矩阵
Figure 966087DEST_PATH_IMAGE144
，
参见图2所示，实施例1中解密部分有29、210、211。
4、矩阵全同态模块：矩阵全同态仅是加密算法的一个特征，在此把它单独列为一个模块，是为了突出矩阵全同态的性质和矩阵全同态与矩阵函数运算的关系。将从以下几个步骤来说明矩阵全同态：
（1）矩阵加法同态：输入为
Figure 94766DEST_PATH_IMAGE168
，由矩阵加密算法产生的密文或者是矩阵函数运算产生的输出密文。现假设
Figure DEST_PATH_IMAGE171
，
Figure DEST_PATH_IMAGE173
是直接产生明文矩阵或是明文矩阵经过矩阵函数运算产生的明文矩阵。因下式推导可知
Figure DEST_PATH_IMAGE175
是矩阵加法同态的。参见图2所示，实施例1的加法同态是29。
（2）矩阵乘法同态：输入为
Figure 428926DEST_PATH_IMAGE169
，
Figure 233634DEST_PATH_IMAGE169
由矩阵加密算法产生的密文或者是矩阵函数运算产生的输出密文。现假设
Figure 281225DEST_PATH_IMAGE171
，
Figure 653300DEST_PATH_IMAGE173
是直接产生明文矩阵或是明文矩阵经过矩阵函数运算产生的明文矩阵。因下式推导可知
Figure DEST_PATH_IMAGE177
是矩阵乘法同态的。参见图2所示，实施例1的乘法同态是210。
矩阵全同态：设由矩阵加法或乘法构成的复合函数集合记为，例如，求矩阵的
Figure 412440DEST_PATH_IMAGE091
次方就是一个复合函数。对于任意的函数
Figure DEST_PATH_IMAGE180
，其输入为集合，其输出为
Figure DEST_PATH_IMAGE184
，由函数集合在给定的输入情况下，产生的输出构成的集合记为
Figure DEST_PATH_IMAGE186
，对输入明文矩阵加密产生的密文矩阵集合记为
Figure DEST_PATH_IMAGE188
，密文合集记为
Figure DEST_PATH_IMAGE190
，矩阵全同态是指：对于任意的函数，输入为
Figure DEST_PATH_IMAGE192
，函数产生的输出仍满足矩阵加法和乘法同态。很容易得到
Figure DEST_PATH_IMAGE195
，
Figure DEST_PATH_IMAGE197
是
Figure 495507DEST_PATH_IMAGE182
对应的明文矩阵集合，即满足矩阵全同态性质。参见图2所示，实施例1的矩阵全同态是211。
 
实施例2
1、初始化模块：即用户给定所需生成密钥的维数
Figure 38484DEST_PATH_IMAGE091
、选择密钥空间和矩阵元素值范围，通过密钥生成器生成所需的密钥。
其具体步骤如下：
（1）用户输入维数、选择密钥空间
Figure 312656DEST_PATH_IMAGE116
和矩阵中元素值的范围
Figure 570725DEST_PATH_IMAGE118
。参见图3所示，图中31中输入的参数为，其中I表示密钥空间和
Figure 284603DEST_PATH_IMAGE114
。
（2）密钥生成器
Figure 392236DEST_PATH_IMAGE123
产生密钥：
Figure DEST_PATH_IMAGE200
包括随机整数可逆矩阵生成器
Figure 410614DEST_PATH_IMAGE129
和矩阵求逆器
Figure 21724DEST_PATH_IMAGE131
。
Figure 172083DEST_PATH_IMAGE123
产生密钥详细如下：
a）生成可逆矩阵：给定矩阵的维数，密钥空间
Figure 729731DEST_PATH_IMAGE116
和可逆矩阵中元素值的范围
Figure 867637DEST_PATH_IMAGE118
，使用随机整数可逆矩阵生成器产生整数可逆矩阵，
Figure DEST_PATH_IMAGE201
。参见图3所示，图中32为生成的可逆矩阵。
b）求可逆矩阵
Figure 831098DEST_PATH_IMAGE017
的整数逆矩阵
Figure 323260DEST_PATH_IMAGE134
：使用矩阵求逆器
Figure 863088DEST_PATH_IMAGE135
，求得矩阵
Figure 403790DEST_PATH_IMAGE136
的一整数逆矩阵，，参见图3所示，图中32是求得的逆矩阵。
c）输出密钥
Figure 569378DEST_PATH_IMAGE140
：密钥
Figure DEST_PATH_IMAGE203
，参见图3所示，实施例2的密钥为32。
2、加密模块：用户在给定密钥
Figure 921469DEST_PATH_IMAGE125
和明文矩阵的
Figure 62600DEST_PATH_IMAGE144
情况下，使用加密算法
Figure 622895DEST_PATH_IMAGE146
对
Figure 692744DEST_PATH_IMAGE144
进行加密，产生密文矩阵
Figure 908962DEST_PATH_IMAGE148
，。详细步骤如下：
（1）用户输入密钥和待加密的明文矩阵：用户根据待加密的明文矩阵的维数来选择密钥
Figure 761030DEST_PATH_IMAGE151
，其中，参见图3所示，实施例2的明文矩阵是33。
（2）用户使用矩阵全同态加密算法
Figure DEST_PATH_IMAGE204
加密文矩阵
Figure 769885DEST_PATH_IMAGE144
：用户运行矩阵全同态加密算法，输出密文矩阵
Figure 757433DEST_PATH_IMAGE148
，
Figure DEST_PATH_IMAGE205
。在此记合法的密文空间为
Figure 44058DEST_PATH_IMAGE158
，参见图3所示，实施例2的加密算法是34，产生密文是35。
3、解密模块：用户在给定私钥
Figure 433451DEST_PATH_IMAGE125
和密文矩阵的
Figure 278654DEST_PATH_IMAGE148
情况下，使用解密算法
Figure DEST_PATH_IMAGE206
对
Figure 815814DEST_PATH_IMAGE148
进行加密，输出明文矩阵
Figure 640551DEST_PATH_IMAGE144
，。详细步骤如下：
（1）用户输入密钥
Figure 448232DEST_PATH_IMAGE140
和合法的密文矩阵
Figure 965801DEST_PATH_IMAGE148
：用户输入合法的密文矩阵
Figure 927941DEST_PATH_IMAGE148
和密钥
Figure 494051DEST_PATH_IMAGE151
，其中
Figure 85133DEST_PATH_IMAGE164
。
（2）用户使用矩阵全同态解密算法
Figure 773604DEST_PATH_IMAGE206
解密密文矩阵
Figure 223039DEST_PATH_IMAGE148
：用户运行矩阵全同态解密算法
Figure 389579DEST_PATH_IMAGE160
，输出明文矩阵
Figure 109535DEST_PATH_IMAGE144
，
Figure 968907DEST_PATH_IMAGE166
。
参见图3所示，实施例2中解密部分有310、312、313。
4、矩阵全同态模块：此模块的说明与实施例1中的同理。
（1）矩阵加法同态：输入为
Figure 640060DEST_PATH_IMAGE169
，
Figure 875869DEST_PATH_IMAGE169
由矩阵加密算法产生的密文或者是矩阵函数运算产生的输出密文。现假设
Figure 447402DEST_PATH_IMAGE171
，
Figure 415358DEST_PATH_IMAGE173
是直接产生明文矩阵或是明文矩阵经过矩阵函数运算产生的明文矩阵。因下式推导可知
，是矩阵加法同态的。参见图3所示，实施例2的加法同态是39。
（2）矩阵乘法同态：输入为
Figure 636124DEST_PATH_IMAGE169
，由矩阵加密算法产生的密文或者是矩阵函数运算产生的输出密文。现假设
Figure 839014DEST_PATH_IMAGE171
，
Figure 40189DEST_PATH_IMAGE173
是直接产生明文矩阵或是明文矩阵经过矩阵函数运算产生的明文矩阵。因下式推导可知
Figure DEST_PATH_IMAGE209
是矩阵乘法同态的。参见图3所示，实施例2的乘法同态是311。
矩阵全同态：设由矩阵加法或乘法构成的复合函数集合记为
Figure 748251DEST_PATH_IMAGE179
，例如，求矩阵的
Figure 564678DEST_PATH_IMAGE091
次方就是一个复合函数。对于任意的函数
Figure 612268DEST_PATH_IMAGE180
，其输入为集合
Figure 984344DEST_PATH_IMAGE182
，其输出为
Figure 117385DEST_PATH_IMAGE184
，由函数集合在给定的输入情况下，产生的输出构成的集合记为
Figure 734573DEST_PATH_IMAGE186
，对输入明文矩阵加密产生的密文矩阵集合记为
Figure 636670DEST_PATH_IMAGE188
，密文合集记为
Figure 179647DEST_PATH_IMAGE190
，矩阵全同态是指：对于任意的函数，输入为
Figure 391502DEST_PATH_IMAGE192
，函数
Figure 646641DEST_PATH_IMAGE194
产生的输出仍满足矩阵加法和乘法同态。很容易得到
Figure 360519DEST_PATH_IMAGE195
，
Figure 468152DEST_PATH_IMAGE197
是
Figure 925678DEST_PATH_IMAGE182
对应的明文矩阵集合，即满足矩阵全同态性质。参见图3所示，实施例2的矩阵全同态是313。
以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (2)

1.一种矩阵全同态加密算法，根据功能和流程分为四个模块，其特征在于，包括初始化模块、加密模块、解密模块和矩阵全同态模块，其功能和流程如下：
1）初始化模块，根据用户给定所需生成密钥的维数                                                
Figure 192468DEST_PATH_IMAGE001
、选择密钥空间和矩阵元素值范围，通过密钥生成器生成所需的密钥，其具体步骤如下：
（1）用户输入维数
Figure 66009DEST_PATH_IMAGE001
、选择密钥空间
Figure 199050DEST_PATH_IMAGE002
和矩阵中元素值的范围
Figure 314773DEST_PATH_IMAGE003
；
（2）密钥生成器产生密钥
Figure 697530DEST_PATH_IMAGE005
：包括随机整数可逆矩阵生成器
Figure 487816DEST_PATH_IMAGE007
和矩阵求逆器
Figure 306736DEST_PATH_IMAGE008
；
2）加密模块，根据用户在给定密钥
Figure 522079DEST_PATH_IMAGE005
和明文矩阵，使用加密算法
Figure 87239DEST_PATH_IMAGE010
和密钥
Figure 636032DEST_PATH_IMAGE011
对明文矩阵进行加密，产生密文矩阵
Figure 614276DEST_PATH_IMAGE012
，
Figure 609913DEST_PATH_IMAGE013
，其具体步骤如下：
（1）输入待加密的明文矩阵
Figure 341109DEST_PATH_IMAGE009
和选择有效的密钥：用户根据待加密的明文矩阵
Figure 600052DEST_PATH_IMAGE009
的维数来选择密钥
Figure 151119DEST_PATH_IMAGE011
，其中
Figure 717492DEST_PATH_IMAGE014
；
（2）用户使用矩阵全同态加密算法
Figure 303194DEST_PATH_IMAGE015
加密文矩阵
Figure 529776DEST_PATH_IMAGE009
：用户运行矩阵全同态加密算法，输出密文矩阵
Figure 771401DEST_PATH_IMAGE012
，
Figure 374421DEST_PATH_IMAGE016
，在此记合法的密文空间为
Figure 319024DEST_PATH_IMAGE017
；
3）解密模块，根据用户给定私钥
Figure 982087DEST_PATH_IMAGE018
和密文矩阵
Figure 507746DEST_PATH_IMAGE012
，使用解密算法
Figure 914457DEST_PATH_IMAGE019
和密钥
Figure 976216DEST_PATH_IMAGE011
对
Figure 544600DEST_PATH_IMAGE012
进行解密，输出明文矩阵，
Figure 705640DEST_PATH_IMAGE020
，其具体步骤如下：
（1）用户输入密钥
Figure 120441DEST_PATH_IMAGE018
和合法的密文矩阵
Figure 358262DEST_PATH_IMAGE012
：用户输入合法的密文矩阵
Figure 858514DEST_PATH_IMAGE012
和有效的密钥
Figure 607027DEST_PATH_IMAGE011
，其中
Figure 876334DEST_PATH_IMAGE021
；
（2）用户使用矩阵全同态解密算法
Figure 553565DEST_PATH_IMAGE019
解密密文矩阵：用户运行矩阵全同态解密算法
Figure 765421DEST_PATH_IMAGE022
，输出明文矩阵
Figure 154814DEST_PATH_IMAGE009
，
Figure 501482DEST_PATH_IMAGE023
；
4）矩阵全同态模块，其包括矩阵的加法运算、矩阵的乘法运算以及矩阵的加法乘法混合运算，经计算推导，矩阵的加法和乘法运算都满足矩阵同态的性质，矩阵加法和乘法产生的输出亦满足同态的性质，即满足矩阵加法同态、矩阵乘法同态和矩阵全同态，其推导过程如下：
（1）矩阵加法同态：输入为
Figure 203422DEST_PATH_IMAGE024
，由矩阵加密算法产生的密文或者是由矩阵的加法和乘法构成的复合函数运算产生的输出密文；若
Figure 475320DEST_PATH_IMAGE026
，是直接产生明文矩阵或是明文矩阵经过矩阵的加法和乘法构成的复合函数运算产生的明文矩阵；因
Figure 518811DEST_PATH_IMAGE028
，可知此加密算法满足矩阵加法同态性质；
（2）矩阵乘法同态：输入为，
Figure 183327DEST_PATH_IMAGE025
由矩阵加密算法产生的密文或者是矩阵函数运算产生的输出密文；若
Figure 871798DEST_PATH_IMAGE026
，
Figure 55654DEST_PATH_IMAGE027
是直接产生明文矩阵或是明文矩阵经过矩阵函数运算产生的明文矩阵；因
Figure 986308DEST_PATH_IMAGE029
，可知此算法是满足矩阵乘法同态性质；
（3）矩阵全同态：设由矩阵加法或乘法构成的复合函数集合记为
Figure 142483DEST_PATH_IMAGE030
；对于任意的函数
Figure 1854DEST_PATH_IMAGE031
，其输入为集合
Figure 673007DEST_PATH_IMAGE032
，其输出为，由函数集合在给定的输入情况下，产生的输出构成的集合记为，对输入明文矩阵加密产生的密文矩阵集合记为
Figure 247973DEST_PATH_IMAGE035
，密文集合记为
Figure 344105DEST_PATH_IMAGE036
，矩阵全同态是指：对于任意的函数
Figure 118026DEST_PATH_IMAGE037
，输入为
Figure 311110DEST_PATH_IMAGE038
，函数
Figure 16679DEST_PATH_IMAGE039
产生的输出仍满足矩阵加法和乘法同态；很容易得到
Figure 396844DEST_PATH_IMAGE040
，
Figure 912139DEST_PATH_IMAGE041
是
Figure 959730DEST_PATH_IMAGE032
对应的明文矩阵集合，即满足矩阵全同态性质。
2.根据权利要求1所述的矩阵全同态加密算法，其特征在于，
Figure 331805DEST_PATH_IMAGE042
产生密钥详细如下：
a）生成随机的整数可逆矩阵
Figure 700732DEST_PATH_IMAGE043
：给定矩阵的维数
Figure 816456DEST_PATH_IMAGE044
，密钥空间
Figure 718553DEST_PATH_IMAGE002
和可逆矩阵
Figure 199212DEST_PATH_IMAGE045
中元素值的范围
Figure 819550DEST_PATH_IMAGE003
，使用随机整数可逆矩阵生成器产生整数可逆矩阵
Figure 971920DEST_PATH_IMAGE046
，；
b）求可逆矩阵
Figure 707981DEST_PATH_IMAGE043
的整数逆矩阵
Figure 487718DEST_PATH_IMAGE048
：使用矩阵求逆器
Figure 945244DEST_PATH_IMAGE049
，求得矩阵
Figure 323398DEST_PATH_IMAGE045
的一整数逆矩阵
Figure 208177DEST_PATH_IMAGE050
，；
c）输出密钥：密钥
Figure 46054DEST_PATH_IMAGE053
。
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