CN103684742A

CN103684742A - 一种基于循环矩阵变换的支持密文计算的加密方法

Info

Publication number: CN103684742A
Application number: CN201310638878.3A
Authority: CN
Inventors: 桂小林; 林建财; 余思; 杨攀; 杨建伟; 李子彦
Original assignee: Xian Jiaotong University
Current assignee: Xian Jiaotong University
Priority date: 2013-11-29
Filing date: 2013-11-29
Publication date: 2014-03-26

Abstract

本发明公开一种基于循环矩阵变换的支持密文计算的加密方法，包括：步骤一、原始数据的加密：将原始数据转换为向量，再将向量转化为循环矩阵，并通过密钥矩阵进行加密，得到一个加密的外包矩阵；步骤二、计算参数的加密：将计算参数转换为向量，再将向量转化为循环矩阵，并通过密钥矩阵进行加密，得到一个加密的计算参数矩阵；步骤三、加密矩阵的算术运算得到加密的运算结果；步骤四、通过密钥矩阵对加密的运算结果进行解密得到循环矩阵，再任取循环矩阵的一行/列相加得到运算结果的明文。本发明特别适合于云计算环境下的机密数据的外包存储和计算，可用于个人或企业机密数据的保护；支持加密数值数据的无限次加、减、乘、除四则混合运算。

Description

一种基于循环矩阵变换的支持密文计算的加密方法

【技术领域】

本发明涉及数据加密技术领域，特别涉及一种基于循环矩阵变换的支持密文计算的加密方法。

【背景技术】

云计算作为一种新兴的技术，通过将大量的计算资源集合起来，以服务的形式向用户提供按需的、可扩展的计算请求和存储服务，主要包括虚拟化技术和分布式存储技术。用户只需要通过网络就能随时随地地使用这些服务。但是，用户不愿意将个人数据存储到云计算服务中，其主要原因是用户担心失去对数据和计算的控制力，将数据外包存储到云计算服务中，可能导致敏感数据被泄露、滥用、丢失；将应用程序运行在云计算服务中，程序可能被盗用或篡改，运行的中间和最终结果被泄露。安全和隐私问题已经成为阻碍云计算普及和推广的主要因素之一。因此，为了持续和深入地发展，云计算必须解决隐私安全问题。

保护用户隐私数据的最直接的方法是对数据进行加密，用户在本地对隐私数据进行加密，将密文存储在云计算服务中，但是传统的加密方法不能对密文进行计算，用户处理加密数据时需要频繁的与服务器交互，这降低了用户使用云计算服务的积极性。支持计算的加密技术是这样的一种加密方法，它通过加密保证数据安全，同时能够支持对加密后的数据进行某些计算，如加减乘除四则运算。

国内外学者对支持密文计算的加密方法进行深入的研究，其研究的核心内容是支持算术运算的同态加密算法。目前已有一些同态加密算法，例如unpadded RSA、Paillier等，但它们只支持加法同态和乘法同态运算中的一种。2009年Gentry首次设计出了一种基于理想格的全同态加密方案，之后，Dijk、Smart等人对Gentry的方案进行了改进，使其更符合实际，但是这些全同态方案都太复杂且计算量太大，还不适合应用到云计算中。

根据以上分析，我们发现：(i)目前还没有一种加密方案能够完全支持数值数据（包括整数和浮点数）的算术运算（四则混合运算）；(ii)目前已有的一些方案复杂度高、计算量大，不适合云计算环境；(iii)加密数值数据的算术运算对于密码学领域一直是一个挑战。

【发明内容】

本发明的目的在于，提供一种基于循环矩阵变换的支持密文计算的加密方法，以解决上述技术问题。

为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

一种基于循环矩阵变换的支持密文计算的加密方法，包括以下步骤：

步骤一、原始数据的加密：将原始数据转换为向量，再将向量转化为循环矩阵，并通过密钥矩阵进行加密，得到一个加密的外包矩阵；

步骤二、计算参数的加密：将计算参数转换为向量，再将向量转化为循环矩阵，并通过密钥矩阵进行加密，得到一个加密的计算参数矩阵；

步骤三、加密矩阵的算术运算：对加密的外包矩阵和计算参数矩阵进行算术运算，得到加密的运算结果；

步骤四、加密的运算结果的解密：通过密钥矩阵对加密的运算结果进行解密得到循环矩阵，再任取循环矩阵的一行/列相加得到运算结果的明文。

本发明进一步的改进在于：所述原始数据和计算参数均为有理数。

本发明进一步的改进在于：步骤一中原始数据为有理数P₁，步骤一具体包括以下步骤：

（1）将P₁随机分解成向量r₁=(a₁,a₂,…,a_n)^T，其中n表示向量的维数，a_i为随机有理数，i=1,2,3…n，

Σ_{i = 1}^{n} a_{i} = P_{1};

（2）将r₁转化为循环矩阵为R₁，

（3）通过密钥矩阵M和M^-1对R₁进行加密，得到加密外包矩阵C₁，C₁=M*R₁*M^-1；其中M为n*n维的随机的可逆矩阵，其元素为有理数，M^-1为M的逆矩阵，M和M^-1作为用户的密钥矩阵。

本发明进一步的改进在于：步骤二中计算参数为有理数P₂，步骤二具体包括以下步骤：

（1）将P₂随机分解成向量r₂=(b₁,b₂,…,b_n)^T，其中n表示向量的维数，b_i为随机有理数，i=1,2,3…n，

Σ_{i = 1}^{n} a_{i} = P_{2};

（2）将r₂转化为循环矩阵为R₂，

（3）通过密钥矩阵M和M^-1对R₂进行加密，得到加密矩阵C₂，C₂=M*R₂*M^-1。

本发明进一步的改进在于：步骤三中所述算术运算为加、减、乘、除中一种或多种混合运算。

本发明进一步的改进在于：步骤四中通过密钥矩阵M和M^-1对加密的运算结果C进行解密，得到循环矩阵R，R=M^-1*C*M。

本发明进一步的改进在于：步骤一、二、四中采用的秘钥矩阵阵M和M^-1相同。

本发明方法将原始数据（有理数）转化为一个随机元素（有理数）组成的向量，将该向量转化为循环矩阵，通过与密钥矩阵运算得到加密矩阵，从而将原始数据转化为一个密文矩阵，由于在将原始数据转化成向量时以及在生成密钥矩阵时都引入随机数，使得密文矩阵具有不可区分性和多项式时间内无法破解性；在对加密矩阵进行算术运算的过程中，根据循环矩阵的特性，能够在解密的时候得到正确的明文，支持无限次四则混合运算，并且计算的结果始终是加密的，攻击者在没有密钥矩阵的情况下是无法解密的，且由于加密方案是非确定性的，计算的过程也没有破坏这种非确定性，使得计算结果也具有不确定性。

相对于现有技术，本发明具有以下有益效果：

发明人将本发明方法部署在自行研发的“青云”实验平台上，该平台是一个基于web的面向校园的云计算环境，以KVM和Hadoop的HDFS为底层支撑技术，并部署在由10台服务器构成的集群上。通过安全分析和性能对比来反映CESCM的性能。安全分析主要从加密方案、计算过程两方面来分析；性能对比通过实验将CESCM与已有的支持乘法同态的unpaddedRSA、支持加法同态的Paillier方案，分别从加解密负载、计算负载以及存储和通信负载进行评估。通过安全分析和性能评估证明CESCM无论在数据加密或加密数据的运算中始终是一种具有IND-CPA安全性的加密方案，起到了保护用户隐私的作用；同时，CESCM支持无限次四则混合运算，并且计算量、存储和通信负载相对适中，具有很好的通用性，具有很好的应用前景。本发明特别适合于云计算环境下的机密数据的外包存储和计算，可用于个人或企业机密数据的保护；本发明能够支持加密数值数据的无限次加、减、乘、除四则混合运算。

【具体实施方式】

本发明一种基于循环矩阵变换的支持密文计算的加密方法（英文全称：ComputableEncryption Scheme based on Cycle Matrix；简称：CESCM），主要包括原始数据的加密、计算参数的加密、加密矩阵的算术运算、加密的运算结果的解密四个步骤，下面具体描述CESCM的实现步骤：

步骤一、原始数据的加密：将原始数据转换为向量，再将向量转化为循环矩阵，并通过密钥矩阵进行加密，从而得到一个加密的外包矩阵；

步骤一具体包括以下步骤：

设原始数据P₁为有理数。

(1)将P₁随机分解成向量r₁=(a₁,a₂,…,a_n)^T，其中n表示向量的维数，a_i(i=1,2,3…n)为随机

有理数，满足分解过程为：随机选择{a₁,a₂,…,a_n-1}，并计算

(2)将r₁转化为循环矩阵为R₁，

(3)通过密钥矩阵M和M^-1对R₁进行加密，得到加密外包矩阵C₁，C₁=M*R₁*M^-1。其中M为n*n维的随机的可逆矩阵，其元素为有理数，M^-1为M的逆矩阵，M和M^-1作为用户的密钥矩阵。

经过上述变换后，把P₁加密成n*n维的矩阵C₁，并且P₁每次加密结果都是不同的，即原始数据与加密矩阵是一对多的关系。

步骤二、计算参数的加密：将计算参数转换为向量，再将向量转化为循环矩阵，并通过密钥矩阵进行加密，从而得到一个加密的计算参数矩阵；

在本发明中对计算参数的加密过程和对原始数据的加密过程是一样的。

设计算参数P₂为有理数。

(1)将P₂随机分解成向量r₂=(b₁,b₂,…,b_n)^T，其中n表示向量的维数，b_i(i=1,2,3…n)为随机

有理数，满足

分解过程为：随机选择{b₁,b₂,…,b_n-1}，并计算

(2)将r₂转化为循环矩阵为R₂，

(3)通过密钥矩阵M和M^-1对R₂进行加密，得到加密外包矩阵C₂，C₂=M*R₂*M^-1。其中M为n*n维的随机的可逆矩阵，其元素为有理数，M^-1为M的逆矩阵，M和M^-1作为用户的密钥矩阵。

经过上述变换后，把P₂加密成n*n维的矩阵C₂，并且P₂每次加密结果都是不同的，即计算参数与加密矩阵是一对多的关系。

步骤三、加密矩阵的算术运算：对加密的外包矩阵和计算参数矩阵进行算术运算，从而得到加密的运算结果；算术运算为加、减、乘、除中一种或多种混合运算，可以对加密的外包矩阵和计算参数矩阵进行多次四则混合运算。

　本发明实现加密矩阵的算术运算主要基于循环矩阵的三个性质：

性质1：循环矩阵的逆仍然是循环矩阵。

性质2：循环矩阵相加减仍是循环矩阵。

性质3：循环矩阵相乘仍是循环矩阵。

下面以两个加密矩阵C₁和C₂为例来描述加密矩阵的加、减、乘、除的运算过程：

假设两个有理数（原始数据或者计算参数）P₁和P₂，它们对应的循环矩阵为R₁和R₂，对应的加密矩阵为C₁和C₂，C₁=M*R₁*M^-1，C₂=M*R₂*M^-1，其中，

(1)加密矩阵的加减法

加密矩阵的加减法C₁±C₂对应一般矩阵的加减法，即矩阵相同位置的元素的加减：

这样得到加密矩阵的加减法运算结果，结果仍然是密文。

(2)加密矩阵的乘法

加密矩阵的乘法C₁C₂对应一般矩阵的乘法，即C₁的一行与C₂的一列运算后得到一个值，该值作为新矩阵的一个元素：

这样得到加密矩阵的乘法运算结果，结果仍然是密文。

(3)加密矩阵的除法

加密矩阵的除法C₁/C₂需要进行矩阵的求逆运算，首先对矩阵C₂进行求逆，得到C₂ ^-1，

由于循环矩阵的逆是一个循环矩阵，设循环矩阵R₂的逆矩阵为R₂ ^-1，

可以得到C₂ ^-1=M*R₂ ^-1*M^-1，C₁和C₂的除法运算转化为C₁和C₂ ^-1的乘法运算，

这样得到加密矩阵的除法运算结果，结果仍然是密文。

步骤四、加密的运算结果的解密：通过密钥矩阵对加密的运算结果进行解密得到循环矩阵，任取循环矩阵的一行（列）相加得到运算结果的明文。

(1)通过密钥矩阵解密得到循环矩阵

设加密的运算结果为C，通过密钥矩阵M和M^-1对C进行解密，得到循环矩阵R，

R=M^-1*C*M。加密矩阵经过不同的运算过程后，解密得到的R具有不同的性质：

1)加减法

加密矩阵经过加减法后C=C₁±C₂，解密得到循环矩阵R=M^-1*C*M=M^-1*(C₁±C₂)*M=M^-1*M(R₁±R₂)*M^-1*M=R₁±R₂，

2)乘法

加密矩阵经过乘法后C=C₁*C₂，解密得到循环矩阵R=M^-1*C*M=M^-1*(C₁*C₂)*M=M-¹*M(R₁*R₂)*M^-1*M=R₁*R₂，

3)除法

加密矩阵经过除法后C=C₁/C₂=C₁*C₂ ^-1,解密得到循环矩阵R=M^-1*C*M=M^-1*(C₁*C₂ ^-1)*M=M^-1*M(R₁*R₂ ^-1)*M^-1*M=R₁*R₂ ^-1

(2)通过循环矩阵得到运算结果的明文

通过密钥矩阵解密得到循环矩阵R后，只需要任取R的一行（列）相加，就得到运

算结果的明文。

1）加减法

循环矩阵R=R₁±R₂

任取一行（列）相加满足

即加密矩阵经过加减法后解密的结果等于

明文的加减法。

2）乘法

循环矩阵R=R₁*R₂，

任取一行（列）相加满足：

(a₁b₁+a₂b_n+...+a_nb₂)+(a₁b₂+a₂b₁+...+a_nb₃)+…+(a₁b_n+a₂b_n-1+...+a_nb₁)

=a₁(b₁+b₂+…+b_n)+a₂(b_n+b₁+…+b_n-1)+…+a_n(b₂+b₃+…+b₁)

=a₁p₂+a₂p₂+…+a_np₂

=(a₁+a₂+…+a_n)p₂

=p₁p₂

即加密矩阵经过乘法后解密的结果等于明文的乘法。

3）除法

循环矩阵R=R₁* R₂ ^-1，

任取一行（列）相加满足：

(a₁c₁+a₂c_n+...+a_nc₂)+(a₁c₂+a₂c₁+...+a_nc₃)+…+(a₁c_n+a₂c_n-1+...+a_nc₁)

=a₁(c₁+c₂+…+c_n)+a₂(c_n+c₁+…+c_n-1)+…+a_n(c₂+c₃+…+c₁)

=(a₁+a₂+…+a_n)(c₁+c₂+…+c_n)

=p₁(c₁+c₂+…+c_n)

由R₂R₂ ^-1=I可得：

即矩阵的一行（列）对应如下：

\{\begin{matrix} b_{1} c_{1} + b_{2} c_{n} + . . . b_{n} c_{2} = 1 \\ b_{1} c_{2} + b_{2} c_{1} + . . . + b_{n} c_{3} = 0 \\ . \\ . \\ . \\ b_{1} c_{n} + b_{2} c_{n - 1} + . . . + b_{n} c_{1} = 0 \end{matrix}\},

相加可得：

(b₁c₁+b₂c_n+…+b_nc₂)+(b₁c₂+b₂c₁+…+b_nc₃)+…+(b₁c_n+b₂c_n-1+…+b_nc₁)=1

b₁(c₁+c₂+…+c_n)+b₂(c_n+c₁+…+c_n-1)+…+b_n(c₂+c₃+…+c₁)=1

(b₁+b₂+…+b_n)(c₁+c₂+…+c_n)=1

(c_{1} + c_{2} + \cdot \cdot \cdot + c_{n}) = \frac{1}{(b_{1} + b_{2} + \cdot \cdot \cdot + b_{n})}

因此

\begin{matrix} (a_{1} c_{1} + a_{2} c_{n} + . . . + a_{n} c_{2}) + (a_{1} c_{2} + a_{2} c_{1} + . . . + a_{n} c_{3}) + \cdot \cdot \cdot + (a_{1} c_{n} + a_{2} c_{n - 1} + . . . + a_{n} c_{1}) \\ = a_{1} (c_{1} + c_{2} + \cdot \cdot \cdot + c_{n}) + a_{2} (c_{n} + c_{1} + \cdot \cdot \cdot + c_{n - 1}) + \cdot \cdot \cdot {+ a}_{n} (c_{2} + c_{3} + \cdot \cdot \cdot + c_{1}) \\ = (a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n}) (c_{1} + c_{2} + \cdot \cdot \cdot + c_{n}) \\ = p_{1} (c_{1} + c_{2} + \cdot \cdot \cdot + c_{n}) \\ = \frac{p_{1}}{(b_{1} + b_{2} + \cdot \cdot \cdot + b_{n})} \\ = \frac{p_{1}}{p_{2}} \end{matrix}

即加密矩阵经过除法后解密的结果等于明文的除法。

综上，加密矩阵进行四则混合运算的时候，由于循环矩阵的三个性质，解密得到的循环矩阵具

有任取一行（列）相加等于明文的性质，因此本加密支持无限次四则混合运算。

Claims

1.一种基于循环矩阵变换的支持密文计算的加密方法，其特征在于，包括以下步骤：

2.根据权利要求1所述的一种基于循环矩阵变换的支持密文计算的加密方法，其特征在于，所述原始数据和计算参数均为有理数。

3.根据权利要求1所述的一种基于循环矩阵变换的支持密文计算的加密方法，其特征在于，步骤一中原始数据为有理数P₁，步骤一具体包括以下步骤：

Σ_{i = 1}^{n} a_{i} = P_{1};

（2）将r₁转化为循环矩阵为R₁，

4.根据权利要求3所述的一种基于循环矩阵变换的支持密文计算的加密方法，其特征在于，步骤二中计算参数为有理数P₂，步骤二具体包括以下步骤：

Σ_{i = 1}^{n} a_{i} = P_{2};

（2）将r₂转化为循环矩阵为R₂，

5.根据权利要求1所述的一种基于循环矩阵变换的支持密文计算的加密方法，其特征在于，步骤三中所述算术运算为加、减、乘、除中一种或多种混合运算。

6.根据权利要求1所述的一种基于循环矩阵变换的支持密文计算的加密方法，其特征在于，步骤四中通过密钥矩阵M和M^-1对加密的运算结果C进行解密，得到循环矩阵R，R=M^-1*C*M。