CN103207940B - 循环对称圆柱网格结构拓扑优化设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种循环对称圆柱网格结构拓扑优化设计方法，用于解决现有循环对称圆柱网格结构的拓扑优化设计方法完备性差的技术问题。技术方案是在单胞轴向方向上引入约束方程，通过约束方程的引入，使得单胞轴向交界处的位移连续，同样由于约束方程的引入，导致单胞与压力载荷接触的区域材料可以去除。对于具体实施方式中的圆柱网格结构轴拉压力载荷下的拓扑优化设计，与背景技术的方法相比，本发明方法单胞轴向交界处的位移连续，同样由于约束方程的引入，去除了导致单胞与压力载荷接触的区域材料。而背景技术方法在单胞轴向交界处的位移不连续，而且由于轴向压力载荷为设计相关载荷，导致其单胞与压力载荷接触的区域材料不可去除。

Description

循环对称圆柱网格结构拓扑优化设计方法

技术领域

本发明涉及一种网格结构拓扑优化设计方法，特别涉及一种循环对称圆柱网格结构拓扑优化设计方法。

背景技术

在航空航天、汽车制造等领域，由于圆柱网格结构具有很高的承载效率和很好的整体稳定性，可用于要求结构强度高和重量轻的部位，如卫星的承力衬套、飞机机身等。

参照图1-2。文献1“孙士平，材料和结构的拓扑优化关键理论和方法研究[M]，西北工业大学博士学位论文，西北工业大学，2006”公开了一种循环对称圆柱网格结构的拓扑优化设计方法，该文献将圆柱网格结构划分成单胞3，圆柱网格结构所包含单胞数m＝m_p×m_h，其中m_p＝360/φ为圆周方向单胞个数，m_h为高度方向单胞个数。该文献通过对单个单胞的优化，实现了对整个圆柱结构的优化，并考察了不同m值、体分比以及边界条件对优化构型的影响。

参照图3-5。文献1公开的方法虽然可以实现循环对称圆柱网格结构拓扑优化设计，但是其方法和优化模型具有不完备性。文献1中公开的方法允许圆柱结构在柱面法向上自由变形，这种方法的缺点是：高度方向(轴向)单胞个数大于1时，则在优化模型中上下两层单胞在高度方向(轴向)受压之后位移不连续5；当圆环受轴向均布压力载荷4时，单胞与载荷接触的位置6的材料在优化迭代过程中不能被去除，导致设计结果性能降低。

发明内容

为了克服现有循环对称圆柱网格结构的拓扑优化设计方法完备性差的不足，本发明提供一种循环对称圆柱网格结构拓扑优化设计方法。该方法在单胞轴向方向上引入约束方程，通过约束方程的引入，使得单胞轴向交界处的位移连续，同样由于约束方程的引入，导致单胞与压力载荷接触的区域材料可以去除，可以提高优化模型的完备性。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：一种循环对称圆柱网格结构拓扑优化设计方法，其特点是包括以下步骤：

(a)根据圆柱网格结构周向和轴向单胞数量，计算圆柱网格结构的单胞大小，通过圆柱单胞结构的CAD模型建立有限元模型。

(b)定义边界条件。

对于单胞的M+平面和M-平面上相对应的点建立约束方程：

$\left.\begin{array}{c}{u}_{i,r}^{M+}=u_{i,r}^{M-}\\ u_{i,\mathrm{\θ}}^{M+}=u_{i,\mathrm{\θ}}^{M-}\\ u_{i,z}^{M+}=u_{i,z}^{M-}\end{array}\right\}i=\mathrm{1,2},...,m---\left(1\right)$

其中，r，θ，z分别为结构所处圆柱坐标系的径向、周向和轴向；i为M+平面和M-平面上第i对节点，m为M+平面和M-平面节点总对数；为M+平面上第i对节点的径向/周向/轴向位移；为M-平面上第i对节点的径向/周向/轴向位移。

对于单胞的N+平面和N-平面上相对应的点建立约束方程：

$\left.\begin{array}{c}{u}_{j,r}^{N+}=u_{j,r}^{N-}\\ u_{j,\mathrm{\θ}}^{N+}=u_{j,\mathrm{\θ}}^{N-}\\ u_{j,z}^{N+}-u_{j,z}^{N-}=\mathrm{\ΔZ}\end{array}\right\}j=\mathrm{1,2},...,n---\left(2\right)$

约束 $u_{1,z}^{N-}=0,$ 则 $u_{1,z}^{N+}=\mathrm{\ΔZ},$ 于是：

$u_{j,z}^{N+}-u_{j,z}^{N-}=u_{1,z}^{N+}(j=\mathrm{2,3},...,n)---\left(3\right)$

所以式(2)变为：

$\begin{array}{c}\left.\begin{array}{c}{u}_{j,r}^{N+}=u_{j,r}^{N-}\\ u_{j,\mathrm{\θ}}^{N+}=u_{j,\mathrm{\θ}}^{N-}\end{array}\right\}j=\mathrm{1,2},...,n\\ u_{j,z}^{N+}-u_{j,z}^{N-}=u_{1,z}^{N+}(j=\mathrm{2,3},...,n)\\ u_{1,z}^{N-}=0\end{array}---\left(4\right)$

(c)施加载荷。 

径向压力：如果圆柱网格结构受径向压力载荷，则直接将径向压力加载到单胞上。

轴向拉/压力：如果圆柱网格结构受轴向拉/压力，则在N+平面第1对节点施加力：

$f_{z,1}=\frac{\mathrm{\Δ\θ}}{2\mathrm{\π}}{F}_z---\left(5\right)$

其中，Δθ为平面M+和平面M-的夹角，F_z为整个圆柱网格结构所受轴向载荷大小。

(d)建立拓扑优化模型为：

$\begin{array}{cc}\mathrm{find}& X=(x_1,x_2,...,x_n)\\ \min & \mathrm{\Φ}\left(X\right)\\ s.t.& \mathrm{KU}=F\\ & G_j\left(X\right)-{\stackrel{\‾}{G}}_j\≤0,j=1,...,J\end{array}---\left(6\right)$

其中，X为设计域上的单元伪密度向量；n为设计变量个数；Φ(X)为拓扑优化的目标函数；K为有限元模型总体刚度矩阵；F为节点等效载荷向量；U为节点整体位移向量；G_j(X)为第j个约束函数；为第j个约束函数的上限；J为约束的数量。

(e)将模型进行一次有限元分析；通过优化灵敏度分析，求得目标函数和约束条件的灵敏度，选取优化算法进行优化设计，得到优化结果。

本发明的有益效果是：由于该方法在单胞轴向方向上引入约束方程，通过约束方程的引入，使得单胞轴向交界处的位移连续，同样由于约束方程的引入，导致单胞与压力载荷接触的区域材料可以去除。对于具体实施方式中的圆柱网格结构轴拉压力载荷下的拓扑优化设计，与背景技术的方法相比，本发明方法单胞轴向交界处的位移连续，同样由于约束方程的引入，去除了导致单胞与压力载荷接触的区域材料。而背景技术方法在单胞轴向交界处的位移不连续，而且由于轴向压力载荷为设计相关载荷，导致其单胞与压力载荷接触的区域材料不可去除。

附图说明

图1是背景技术中循环对称圆柱网格的结构示意图。

图2是循环对称圆柱高度方向(轴向)单胞数量为3时的结构示意图。

图3是背景技术参考文献所采用的方法示意图。

图4是背景技术参考文献所采用的方法导致高度方向(轴向)受压之后位移不连续的示意图。

图5是背景技术参考文献的优化模型单胞与载荷接触的位置材料不能被去除的示意图。

图6是本发明所采用的方法定义边界条件的示意图。

图7是具体实施例中的圆柱网格结构示意图。

图中，1-N+平面和N-平面上的一对节点；2-M+平面和M-平面上的一对节点；3- 单胞；4-轴向均布压力载荷；5-高度方向(轴向)受压之后位移不连续；6-单胞与载荷接触的位置。

具体实施方式

参照图6～7。以圆柱网格结构为例说明本发明。圆柱长400mm，内半径48mm，外半径50mm，其杨氏模量为2.1×10⁵Mpa，泊松比为0.3。结构所受载荷为轴向受拉力为50N。结构单胞轴向为100mm，圆周方向单胞个数为8个。设计单胞结构，使得其刚度最大，材料用量体积分数最大为30％。方法步骤如下：

(a)根据圆柱网格结构周向和轴向单胞数量，计算圆柱网格结构的单胞大小，通过圆柱单胞结构的CAD模型建立有限元模型。

(b)定义边界条件。

对于单胞的M+平面和M-平面上相对应的点，每一对对应的节点轴向Z轴坐标和径向r轴的坐标相等，如M+平面和M-平面上的一对节点2；对于单胞的M+平面和M-平面上所有相对应的点建立约束方程：

$\left.\begin{array}{c}{u}_{i,r}^{M+}=u_{i,r}^{M-}\\ u_{i,\mathrm{\θ}}^{M+}=u_{i,\mathrm{\θ}}^{M-}\\ u_{i,z}^{M+}=u_{i,z}^{M-}\end{array}\right\}i=\mathrm{1,2},...,m---\left(1\right)$

其中，r，θ，z分别为结构所处圆柱坐标系的径向、周向和轴向；i为M+平面和M-平面上第i对节点，m为M+平面和M-平面节点总对数；为M+平面上第i对节点的径向/周向/轴向位移；为M-平面上第i对节点的径向/周向/轴向位移。

对于单胞的N+平面和N-平面上相对应的节点，每一对对应的节点周向θ轴坐标和径向r轴的坐标相等，如N+平面和N-平面上的一对节点1；对于单胞的N+平面和N-平面上所有相对应的节点建立约束方程：

$\left.\begin{array}{c}{u}_{j,r}^{N+}=u_{j,r}^{N-}\\ u_{j,\mathrm{\θ}}^{N+}=u_{j,\mathrm{\θ}}^{N-}\\ u_{j,z}^{N+}-u_{j,z}^{N-}=\mathrm{\ΔZ}\end{array}\right\}j=\mathrm{1,2},...,n---\left(2\right)$

约束 $u_{1,z}^{N-}=0,$ 则 $u_{1,z}^{N+}=\mathrm{\ΔZ},$ 于是：

$u_{j,z}^{N+}-u_{j,z}^{N-}=u_{1,z}^{N+}(j=\mathrm{2,3},...,n)---\left(3\right)$

所以式(8)变为：

$\begin{array}{c}\left.\begin{array}{c}{u}_{j,r}^{N+}=u_{j,r}^{N-}\\ u_{j,\mathrm{\θ}}^{N+}=u_{j,\mathrm{\θ}}^{N-}\end{array}\right\}j=\mathrm{1,2},...,n\\ u_{j,z}^{N+}-u_{j,z}^{N-}=u_{1,z}^{N+}(j=\mathrm{2,3},...,n)\\ u_{1,z}^{N-}=0\end{array}---\left(4\right)$

(c)施加载荷。 

轴向拉/压力：在N+平面第1对节点施加圆柱网格结构受轴向拉力：

$f_{z,1}=\frac{\mathrm{\Δ\θ}}{2\mathrm{\π}}{F}_z---\left(5\right)$

其中，Δθ为平面M+和平面M-的夹角，F_z为整个圆柱网格结构所受轴向载荷大小，在本实施例中，F_z＝50N，则：

f_z，1＝6.25N

(a)建立拓扑优化模型为

$\begin{array}{cc}\mathrm{find}& X=(x_1,x_2,...,x_n)\\ \min & \mathrm{\Φ}\left(X\right)\\ s.t.& \mathrm{KU}=F\\ & G\left(X\right)-0.3\≤0\end{array}---\left(6\right)$

其中，X为设计变量——设计域上的单元伪密度向量；n为设计变量个数；Φ(X)为目标函数，在本实施例中为支撑结构的刚度；K为有限元模型总体刚度矩阵；F为节点等效载荷向量；U为节点整体位移向量；G(X)为有限元模型的体积分数。

(b)有限元分析与优化求解。

用有限元软件Ansys将模型进行一次有限元分析；再通过结构优化平台Boss-Quattro进行优化灵敏度分析，求得目标函数和约束条件的灵敏度，选取梯度优化算法GCMMA(Globally Convergent Method of Moving Asymptotes)优化算法进行优化设计，得到优化结果。

由本实施例的流程可以看出，通过本发明方法进行圆柱网格结构轴拉压力载荷下的拓扑优化设计，与背景技术方法相比，本发明方法单胞轴向交界处的位移连续，同样由于约束方程的引入，导致单胞与压力载荷接触的区域材料可以去除。而背景技术方法在单胞轴向交界处的位移不连续，而且由于轴向压力载荷为设计相关载荷，导致其单胞与压力载荷接触的区域材料不可去除。

Claims (1)

1.一种循环对称圆柱网格结构拓扑优化设计方法，其特征在于包括以下步骤：

(a)根据圆柱网格结构周向和轴向单胞数量，计算圆柱网格结构的单胞大小，通过圆柱单胞结构的CAD模型建立有限元模型；

(b)定义边界条件；

对于单胞的M+平面和M-平面上相对应的点建立约束方程：

式中，r，θ，z分别为结构所处圆柱坐标系的径向、周向和轴向；i为M+平面和M-平面上第i对节点，m为M+平面和M-平面节点总对数；为M+平面上第i对节点的径向/周向/轴向位移；为M-平面上第i对节点的径向/周向/轴向位移；

对于单胞的N+平面和N-平面上相对应的点建立约束方程：

约束则于是：

所以式(2)变为：

；

(c)施加载荷；

径向压力：如果圆柱网格结构受径向压力载荷，则直接将径向压力加载到单胞上；

轴向拉/压力：如果圆柱网格结构受轴向拉/压力，则在N+平面第1对节点施加力：

式中，Δθ为平面M+和平面M-的夹角，F_z为整个圆柱网格结构所受轴向载荷大小；

(d)建立拓扑优化模型为：

式中，X为设计域上的单元伪密度向量；n为设计变量个数；Φ(X)为拓扑优化的目标函数；K为有限元模型总体刚度矩阵；F为节点等效载荷向量；U为节点整体位移向量；G_j(X)为第j个约束函数；为第j个约束函数的上限；J为约束的数量；

(e)将模型进行一次有限元分析；通过优化灵敏度分析，求得目标函数和约束条件的灵敏度，选取优化算法进行优化设计，得到优化结果。