CN103150577B - 基于粒子群优化的高光谱遥感影像自适应波段选择方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于粒子群优化的高光谱遥感影像自适应波段选择方法，主要包括两个嵌套在一起的PSO算法，其中外部PSO负责自适应地优化波段数目，而内部PSO则负责优化指定数目的具体波段；本发明方法同时还改进了原始PSO算法中的目标函数。本发明能够解决高光谱遥感传统波段选择算法效果不好，以及不能事先确定波段数目的问题。本发明方法具有智能选择波段、适应性广等特点。

Description

基于粒子群优化的高光谱遥感影像自适应波段选择方法

技术领域

本发明属于高光谱遥感图像处理技术领域，具体涉及一种基于粒子群优化的高光谱遥感影像自适应波段选择方法。

背景技术

高光谱遥感也叫成像光谱学(Imaging Spectroscopy)，是指利用很多窄的电磁波波段获取物体有关数据的技术，是20世纪最后20年人类在对地观测方面取得的重大技术突破之一，也是当前及今后几十年内的遥感前沿技术。它利用成像光谱仪纳米级的光谱分辨率，获取许多非常窄且光谱连续的图像数据，实现地物空间、辐射、光谱信息的同步获取；从而为每个像元提供数十至数百个窄波段(波段宽度小于10nm)的光谱信息，生成一条完整而连续的光谱曲线。进入21世纪以来，高光谱遥感技术取得了重大进展，伴随着一系列基本问题的解决，高光谱遥感已由实验研究阶段逐步转向实际应用阶段。而作为高光谱遥感应用这一热点中的重点就是高光谱影像数据处理效率的提高和与之紧密相连的应用领域的扩展。

波段选择是遥感图像识别与分类的重要环节之一。在样本数不是很多的情况下，用很多特征进行分类，无论从计算的复杂度还是性能上来说都是不适宜的。因此研究如何把高维特征空间压缩到低维特征空间以便进行有效处理成为一个重要的问题。在高光谱数据中，每一个光谱波段都可以看成一个特征，因此选择某些对后续目标如影像分类起主要作用的波段子集的过程叫做波段选择。通过波段选择，可以从海量的高光谱影像中去除冗余或噪声波段，从而降低算法的复杂度并提高分类的准确度。

一般来说，选择最佳波段的原则有三点：一是所选择的波段的信息量应最大；二是所选择的波段数据间的相关性要小；三是研究区内欲识别地物的光谱响应特点能使某些类别地物之间最容易区分。因此，那些信息含量多、相关性小、地物光谱差异大、可分性好的波段就是应该选择的最佳波段。目前国内外在这方面进行了系列的研究，在早期的多光谱应用中，人们已经意识到不同的光谱波段对不同的地物具有诊断性，并将信息散度（Divergence）、变换散度（TransformedDivergence）、JM（Jeffreys-Matusita）距离和马氏（Bahattacharyya）距离等用于多光谱的波段选择中；另外，互信息（Mutual Information）算法也被应用于TM最优波段的选择。近年来，随着高光谱遥感的发展，不仅以上算法扩展到了高光谱领域，而且一些新的算法也陆续提出，如基于统计量的算法：熵与联合熵、最佳指数因子（OIF）、波段指数（Band Index），光谱导数等，但是这些算法基本上采用一次统计量来度量波段相对于后续分类的重要性，不能消除附加在数据中的噪声信息。因此一些更为复杂的算法受到了重视，如基于PCA和噪音估计的MVPCA和MSNRPCA算法、基于最小能量约束的线性约束最小协方差（LCMV-BCC/BCM）等算法。

以上算法的提出大大提高了高光谱遥感影像的降维效果，解决了波段选择中判据函数的问题；但是高光谱遥感波段选择的另一个重要问题依然没有得到很好的解决，即面对不同的高光谱遥感数据和不同的遥感应用，如何确定需要选择的波段数目。虽然文献1提出用虚拟维度(Virtual Dimensionality,VD)作为衡量波段数目的指标,并在高光谱数据分析方面得到了广泛应用[C.-I Chang and Q.Du,"Estimation of number ofspectrally distinct signal sources in hyperspectralimagery,"IEEE Transactionson Geoscience and Remote Sensing,vol.42,no.3,pp.608-619,Mar.2004.]；但是由于该算法比较复杂，且面向不同的遥感应用时，存在适用性问题。因此，如何有效地解决波段数目的问题依然是高光谱遥感影像应用中亟需解决的问题。

发明内容

发明目的：针对上述现有技术存在的问题和不足，本发明的目的是提供一种基于粒子群优化的高光谱遥感影像自适应波段选择方法，解决高光谱遥感波段选择中效果不好，不能事先确定波段数目的问题。

技术方案：为实现上述发明目的，本发明采用的技术方案为一种基于粒子群优化的高光谱遥感影像自适应波段选择方法，包括以下步骤：

步骤1，选择需进行降维的高光谱影像S；

步骤2，随机初始化M个粒子；

步骤3，对于外部PSO，其波段数目依据进行迭代优化，x为待优化的波段数目，k为外部PSO的粒子序号，id为当前波段的数目；

步骤4，令k=k+1，随机初始化波段数目随机初始化内部嵌套PSO的波段l为内部嵌套PSO的粒子序号，x为内部嵌套PSO所对应的波段；

步骤5，对于内部嵌套PSO的每次迭代，执行以下步骤：

（a)对于每一个内部嵌套PSO的粒子，评估其目标函数；

（b)确定所有步骤（a）所述粒子的全局最优解

（c)对于每一个步骤（a）所述粒子，确定其历史局部最优解

（d)利用粒子速度更新公式和粒子位置更新公式更新所有内部嵌套PSO的粒子；

（e)重复执行步骤a)–d)，直到内部嵌套PSO收敛，将的值作为波段的最优值。

步骤6，如果k<M，转向步骤4；如果k=M,则检查外部PSO是否收敛，如果收敛则结束，此时外部PSO所有粒子的全局最优解为最优化的波段数目，其对应的波段为最优化的波段；如果不收敛则执行以下步骤：

a)对于每一个外部PSO的粒子，检索基于内部嵌套PSO得到的波段所对应的目标函数；

b)确定所有步骤a）所述粒子的全局最优解

c)对于每一个外部PSO的粒子，确定其历史局部最优解

d)利用粒子速度更新公式和粒子位置更新公式更新所有外部PSO的粒子；

e)令k=1，转向步骤4。

进一步的，所述步骤5中的目标函数采用最小丰度方差估计（minimum estimatedabundance covariance，MEAC）作为测度函数，具体实现采用以下公式：

$\underset{{\mathrm{\&Phi;}}^S}{\arg \min }\left\{\mathrm{trace}\right[{\left(S^T{\mathrm{\&Sigma;}}^{-1}S\right)}^{-1}\left]\right\}$

式中，Φ^S所选择的波段集合；trace[·]为矩阵的迹；Σ为噪声方差矩阵；S为波段集合中的类别光谱信息矩阵。计算该测度函数时仅需要典型地物的光谱信息，而不需要大量的地面真实值样本数据。

所述步骤5中的目标函数采用Jeffries-Matusita距离作为测度函数：

$J_{i,j}=2(1-e^{-B_{i,j}})$

其中

$B_{i,j}=\frac{1}{8}{({\mathrm{\&mu;}}_i-{\mathrm{\&mu;}}_j)}^T{\left(\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_i+{\mathrm{\&Sigma;}}_j}{2}\right)}^{-1}({\mathrm{\&mu;}}_i-{\mathrm{\&mu;}}_j)+\frac{1}{2}\ln \left(\frac{|({\mathrm{\&Sigma;}}_i+{\mathrm{\&Sigma;}}_j)/2|}{{\left|{\mathrm{\&Sigma;}}_i\right|}^{\frac{1}{2}}{\left|{\mathrm{\&Sigma;}}_j\right|}^{\frac{1}{2}}}\right)$

式中，i,j为类别顺序标签，J_i,j为类别ω_i和ω_j之间的马氏距离；μ_i和μ_j分别为第i类和第j类的均值；Σ_i和Σ_j分别为第i类和第j类的方差矩阵。该测度函数中计算类别均值和类别方差时需要用到大量的地面真实值样本数据。

进一步的，所述步骤（d）中的粒子速度更新公式和粒子位置更新公式分别由以下两个公式实现：

$v_{\mathrm{id}}^{\mathrm{inner}}=\mathrm{\&omega;}\&times;v_{\mathrm{id}}^{\mathrm{inner}}+c_1\&times;r_1\&times;(p_{\mathrm{id}}^{\mathrm{inner}}-x_{\mathrm{id}})+c_2\&times;r_2\&times;(p_{\mathrm{gd}}^{\mathrm{inner}}-x_{\mathrm{id}}^{\mathrm{inner}})$

$x_{\mathrm{id}}^{\mathrm{inner}}=x_{\mathrm{id}}^{\mathrm{inner}}+v_{\mathrm{id}}^{\mathrm{inner}}$

式中，为当前波段数为id时内部嵌套PSO的粒子速度；c₁和c₂分别为认知学习因子和社会学习因子；r₁和r₂均为独立随机变量，其取值范围为[0,1]；ω为惯性权重，决定粒子速度的更新比例；为内部嵌套PSO的所有粒子上一步迭代的局部最优解，为内部嵌套PSO的所有粒子上一步迭代的全局最优解，为当前波段数为id时内部嵌套PSO的粒子所处的位置；

所述步骤d）中的粒子速度更新公式和粒子位置更新公式分别由以下两个公式实现：

$v_{\mathrm{id}}^{\mathrm{outer}}=\mathrm{\&omega;}\&times;v_{\mathrm{id}}^{\mathrm{outer}}+c_1\&times;r_1\&times;(p_{\mathrm{id}}^{\mathrm{outer}}-x_{\mathrm{id}})+c_2\&times;r_2\&times;(p_{\mathrm{gd}}^{\mathrm{outer}}-x_{\mathrm{id}}^{\mathrm{outer}})$

$x_{\mathrm{id}}^{\mathrm{outer}}=x_{\mathrm{id}}^{\mathrm{outer}}+v_{\mathrm{id}}^{\mathrm{outer}}$

式中，为当前波段数为id时外部PSO的粒子速度；为外部PSO的所有粒子上一步迭代的局部最优解，为外部PSO的所有粒子上一步迭代的全局最优解，为当前波段数为id时外部PSO的粒子所处的位置。

有益效果：本发明根据外部PSO算法自适应地得到需要选择的波段数目，弥补了传统情况下波段选择需事先指定波段数目的缺陷，大大降低了高光谱遥感波段选择中的盲目性，提高了遥感应用的针对性；同时针对高光谱遥感数据的特点，改进了嵌套的内外两个PSO算法的目标函数，即采用最小丰度方差估计（MEAC）和JM距离算法作为目标函数的相似性测度。本发明降维效果高，得到的降维特征数据含有最大的信息量，其后续分类精度大大高于同类降维方法。本发明的方法具有智能选择波段、适应性广等特点。

附图说明

图1为本发明的基于粒子群优化的高光谱遥感影像自适应波段选择方法的流程图；

图2（a）和图2（b）分别为PSO波段选择分别采用MEAC和JM为目标函数的学习曲线；

图3（a）、图3（b）、图3（c）和图3（d）分别为1PSO-MEAC、2PSO-MEAC、1PSO-JM和2PSO-JM波段选择方法分别运行10次的波段分布图；

图4为2PSO-MEAC、1PSO-MEAC、2PSO-JM和1PSO-JM四种波段选择方法的分类精度的箱线图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例，进一步阐明本发明，应理解这些实施例仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围，在阅读了本发明之后，本领域技术人员对本发明的各种等价形式的修改均落于本申请所附权利要求所限定的范围。

本发明的思路是：将智能学习和优化分析引入高光谱影像降维中，针对高光谱遥感波段选择中需事先确定波段数目等问题，提出相应的改进方法，同时将具有代表性的地物类别的光谱数据引入相似性距离计算。嵌套在一起的两个PSO（Particle SwarmOptimization，粒子群优化算法）各司其职，外部PSO负责确定需要选择的波段数目，内部嵌套PSO（简称“内部PSO”）负责选择出具体波段。本发明的特点在于，引入具有代表性的地物类别的光谱数据，改变了以往相似性距离计算利用大量训练样本的缺点；将嵌套在外部的PSO用于动态确定需要选择的波段数目，改变了以往需事先确定波段数目的缺点。本发明所实现的方法不仅扩展了优化算法的应用范围，而且对于推进高光谱影像降维方面的研究具有重要理论和现实意义。

实施例：实验数据是由HYDICE（Hyperspectral Digital Imagery CollectionExperiment）传感器获取的华盛顿特区的高光谱影像。该数据覆盖了从0.4到2.5um光谱区间的210个波段，其空间分辨率约为2.8m；剔除了水吸收波段和噪声波段后，保留了191个波段用于数据分析。实验数据为从DC Mall原始影像上切取的一个子图像。其中数据大小为266×304，包括道路（Road）、草地（Grass）、水体（Water）、小路（Trail）、树木（Tree）、阴影（Shadow）和建筑（Roof）等7个类别。

如图1所示，具体实现步骤为：

（1）对原始高光谱遥感影像数据进行数据预处理，去除噪声波段，然后确定典型光谱数据和训练样本数据。随机初始化M个粒子，令M=25；对于外部PSO，其波段数目依据进行迭代优化，x为待优化的波段数目，k为外部PSO的粒子序号，id为当前波段的数目，令k=1。

（2）令k=k+1，随机初始化波段数目

（3）随机初始化内部嵌套PSO的波段l为内部嵌套PSO的粒子序号，x为内部嵌套PSO所对应的波段；

（4）对于内部嵌套PSO的每次迭代，评估内部嵌套PSO粒子的目标函数；确定内部嵌套PSO的所有粒子的全局最优解和历史局部最优解利用粒子速度更新公式和粒子位置更新公式更新所有内部嵌套PSO的粒子；重复执行步骤（4），直到内部PSO收敛，内部PSO算法终止（即图1中的停止标准1），将的值作为波段的最优值。

（5）如果k<M，转向步骤（2）；如果k=M,则检查外部PSO是否收敛，如果收敛则算法终止（即图1中的停止标准2），此时外部PSO的为最优化的波段数目，其对应的具体波段为最优化的波段。

（6）如果不收敛，则对于每一个外部PSO粒子，检索基于内部PSO得到的波段所对应的目标函数；确定外部PSO的所有粒子的全局最优解和历史局部最优解利用粒子速度更新公式和粒子位置更新公式更新所有外部PSO的粒子；令k=1，转向步骤（2）。

（7）得到所选择的波段，对得到的降维数据进行分类，采用分类总体精度对降维算法的性能进行评估。

其中，步骤4和步骤6中的目标函数可采用最小丰度方差估计（minimum estimatedabundance covariance，MEAC）作为测度函数，具体实现采用以下公式：

$\underset{{\mathrm{\&Phi;}}^S}{\arg \min }\left\{\mathrm{trace}\right[{\left(S^T{\mathrm{\&Sigma;}}^{-1}S\right)}^{-1}\left]\right\}$

式中，Φ^S所选择的波段集合；trace[·]为矩阵的迹；Σ为噪声方差矩阵；S为波段集合中的类别光谱信息矩阵。计算该测度函数时仅需要典型地物的光谱信息，而不需要大量的地面真实值样本数据。

其中，步骤4、6中的目标函数可采用Jeffries-Matusita(JM)距离作为测度函数，具体实现采用以下公式：

$J_{i,j}=2(1-e^{-B_{i,j}})$

其中

$B_{i,j}=\frac{1}{8}{({\mathrm{\&mu;}}_i-{\mathrm{\&mu;}}_j)}^T{\left(\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_i+{\mathrm{\&Sigma;}}_j}{2}\right)}^{-1}({\mathrm{\&mu;}}_i-{\mathrm{\&mu;}}_j)+\frac{1}{2}\ln \left(\frac{|({\mathrm{\&Sigma;}}_i+{\mathrm{\&Sigma;}}_j)/2|}{{\left|{\mathrm{\&Sigma;}}_i\right|}^{\frac{1}{2}}{\left|{\mathrm{\&Sigma;}}_j\right|}^{\frac{1}{2}}}\right)$

i,j为类别顺序标签，J_i,j为类别ω_i和ω_j之间的马氏（Bhattacharyya）距离；μ_i和μ_j分别为第i类和第j类的均值；Σ_i和Σ_j分别为第i类和第j类的方差矩阵。

该测度中计算类别均值和类别方差时需要用到大量的地面真实值样本数据。

其中，步骤4中粒子速度更新公式和粒子位置更新公式分别由以下两个公式实现：

$v_{\mathrm{id}}^{\mathrm{inner}}=\mathrm{\&omega;}\&times;v_{\mathrm{id}}^{\mathrm{inner}}+c_1\&times;r_1\&times;(p_{\mathrm{id}}^{\mathrm{inner}}-x_{\mathrm{id}})+c_2\&times;r_2\&times;(p_{\mathrm{gd}}^{\mathrm{inner}}-x_{\mathrm{id}}^{\mathrm{inner}})$

$x_{\mathrm{id}}^{\mathrm{inner}}=x_{\mathrm{id}}^{\mathrm{inner}}+v_{\mathrm{id}}^{\mathrm{inner}}$

式中，为当前波段数为id时内部嵌套PSO的粒子速度；c₁和c₂分别为认知学习因子和社会学习因子；r₁和r₂均为独立随机变量，其取值范围为[0,1]；ω为惯性权重，决定粒子速度的更新比例；为内部嵌套PSO的所有粒子上一步迭代的局部最优解，为内部嵌套PSO的所有粒子上一步迭代的全局最优解，为当前波段数为id时内部嵌套PSO的粒子所处的位置。

其中，步骤6中粒子速度更新公式和粒子位置更新公式分别由以下两个公式实现：

$v_{\mathrm{id}}^{\mathrm{outer}}=\mathrm{\&omega;}\&times;v_{\mathrm{id}}^{\mathrm{outer}}+c_1\&times;r_1\&times;(p_{\mathrm{id}}^{\mathrm{outer}}-x_{\mathrm{id}})+c_2\&times;r_2\&times;(p_{\mathrm{gd}}^{\mathrm{outer}}-x_{\mathrm{id}}^{\mathrm{outer}})$

$x_{\mathrm{id}}^{\mathrm{outer}}=x_{\mathrm{id}}^{\mathrm{outer}}+v_{\mathrm{id}}^{\mathrm{outer}}$

式中，为当前波段数为id时外部PSO的粒子速度；为外部PSO的所有粒子上一步迭代的局部最优解，为外部PSO的所有粒子上一步迭代的全局最优解。为当前波段数为id时外部PSO的粒子所处的位置。

采用本发明的波段选择方法对高光谱遥感影像数据进行了实验分析，并与类似波段选择方法进行了比较，对比方法主要有原始数据（所有波段）、PCA、以及1PSO-JM、2PSO-JM、1PSO-MEAC、2PSO-MEAC等方法，同时也与SFS、SFFS两种不同的搜索优化方法进行了对比。对遥感影像的分类结果如表1所示，可见2PSO方法提供了最好的分类性能。另外，图2（a）和图2（b）给出了2PSO的目标函数的学习曲线对比图，图3（a）至图3（d）给出了不同方法得到的波段分布图，图4给出了不同波段选择方法分类精度的箱线图对比结果，其中2PSO-MEAC和2PSO-JM为本发明方法，从图中可以明显看出本发明方法的平均分类精度要远远高于传统PSO算法的分类精度。综上，本发明方法的性能要好于其他类似方法。

表1分别运行10次2PSO和1PSO的性能与其他类似算法性能对比

注：OA为总体分类精度。

Claims (3)

1.一种基于粒子群优化的高光谱遥感影像自适应波段选择方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，选择需进行降维的高光谱影像S；

步骤2，随机初始化M个粒子；

步骤3，对于外部PSO，其波段数目依据进行迭代优化，x为待优化的波段数目，k为外部PSO的粒子序号，id为当前波段的数目；

步骤4，令k＝k+1，随机初始化波段数目随机初始化内部嵌套PSO的波段l为内部嵌套PSO的粒子序号，Y为内部嵌套PSO所对应的波段，为当前波段数为id时内部嵌套PSO的粒子序号为l的粒子所处的位置；

步骤5，对于内部嵌套PSO的每次迭代，执行以下步骤：

(a)对于每一个内部嵌套PSO的粒子，评估其目标函数；

(b)确定所有步骤(a)所述粒子的全局最优解

(c)对于每一个步骤(a)所述粒子，确定其历史局部最优解

(d)利用粒子速度更新公式和粒子位置更新公式更新所有内部嵌套PSO的粒子；

其中，粒子速度更新公式和粒子位置更新公式分别由以下两个公式实现：

$v_{id}^{inner}=\mathrm{\&omega;}\&times;v_{id}^{inner}+c_1\&times;r_1\&times;(p_{id}^{inner}-x_{id})+c_2\&times;r_2\&times;(p_{gd}^{inner}-x_{id}^{inner})$

$Y_{id}^{inner}=Y_{id}^{inner}+v_{id}^{inner}$

式中，为当前波段数为id时内部嵌套PSO的粒子速度；c₁和c₂分别为认知学习因子和社会学习因子；r₁和r₂均为独立随机变量，其取值范围为[0,1]；ω为惯性权重，决定粒子速度的更新比例；为内部嵌套PSO的所有粒子上一步迭代的局部最优解，为内部嵌套PSO的所有粒子上一步迭代的全局最优解，为当前波段数为id时内部嵌套PSO的粒子所处的位置，为当前波段数为id时内部PSO的粒子所处的位置，x_id为当前波段数为id时PSO的粒子所处的位置；

(e)重复执行步骤a)–d)，直到内部嵌套PSO收敛，将的值作为波段数目的最优值；

步骤6，如果k<M，转向步骤4；如果k＝M,则检查外部PSO是否收敛，如果收敛则结束，此时外部PSO所有粒子的全局最优解为最优化的波段数目，其对应的波段为最优化的波段；如果不收敛则执行以下步骤：

a)对于每一个外部PSO的粒子，检索基于内部嵌套PSO得到的波段所对应的目标函数；

b)确定步骤6的步骤a)中所述粒子的全局最优解

c)对于每一个外部PSO的粒子，确定其历史局部最优解

d)利用粒子速度更新公式和粒子位置更新公式更新所有外部PSO的粒子；

其中，粒子速度更新公式和粒子位置更新公式分别由以下两个公式实现：

$v_{id}^{outer}=\mathrm{\&omega;}\&times;v_{id}^{outer}+c_1\&times;r_1\&times;(p_{id}^{outer}-x_{id})+c_2\&times;r_2\&times;(p_{gd}^{outer}-x_{id}^{outer})$

$x_{id}^{outer}=x_{id}^{outer}+v_{id}^{outer}$

式中，为当前波段数为id时外部PSO的粒子速度；为外部PSO的所有粒子上一步迭代的局部最优解，为外部PSO的所有粒子上一步迭代的全局最优解，为当前波段数为id时外部PSO的粒子所处的位置，x_id为当前波段数为id时PSO的粒子所处的位置；

e)令k＝1，转向步骤4。

2.根据权利要求1所述基于粒子群优化的高光谱遥感影像自适应波段选择方法，其特征在于，所述步骤5中的目标函数采用最小丰度方差估计作为测度函数，具体实现采用以下公式：

$\underset{{\mathrm{\&Phi;}}^S}{\mathrm{argmin}}\{trace\&lsqb;{\left(S^T{\mathrm{\&Sigma;}}^{-1}S\right)}^{-1}\&rsqb;\}$

式中，Φ^S为所选择的波段集合；trace[·]为矩阵的迹；Σ为噪声方差矩阵；S为波段集合中的类别光谱信息矩阵。

3.根据权利要求1所述基于粒子群优化的高光谱遥感影像自适应波段选择方法，其特征在于，所述步骤5中的目标函数采用Jeffries-Matusita距离作为测度函数：

$J_{i,j}=2(1-e^{-B_{i,j}})$

其中

$B_{i,j}=\frac{1}{8}{({\mathrm{\&mu;}}_i-{\mathrm{\&mu;}}_j)}^T{\left(\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_i+{\mathrm{\&Sigma;}}_j}{2}\right)}^{-1}({\mathrm{\&mu;}}_i-{\mathrm{\&mu;}}_j)+\frac{1}{2}ln\left(\frac{|({\mathrm{\&Sigma;}}_i+{\mathrm{\&Sigma;}}_j)/2|}{{\left|{\mathrm{\&Sigma;}}_i\right|}^{\frac{1}{2}}{\left|{\mathrm{\&Sigma;}}_j\right|}^{\frac{1}{2}}}\right)$

式中，i,j为类别顺序标签，J_i,j为类别ω_i和ω_j之间的马氏距离；μ_i和μ_j分别为第i类和第j类的均值；∑_i和∑_j分别为第i类和第j类的方差矩阵。