CN103140878B - 用于运动模糊和景深的背面剔除 - Google Patents

Abstract

为了在计算机图形渲染期间对渲染图元进行高效背面剔除，重要的是，确信即使图元移动或经历散焦模糊，也能保证要剔除的渲染图元是背向的。因此，推导确定移动且失焦的三角形在整个时间区间上以及整个镜头的区域上是背向的保守测试。另外，给出了用于仅运动模糊和仅景深的特殊情形的测试。

Description

用于运动模糊和景深的背面剔除

背景

本发明涉及图形处理，尤其涉及运动模糊和景深(depthoffield)渲染。

运动模糊是其中移动对象在用长相机曝光时间捕捉时出现模糊的现象。

景深是较长的孔径具有较短的聚焦范围且焦点外的对象出现模糊的现象。

最重要的剔除(culling)测试之一是背面剔除。背面剔除消除对背对相机的对象的光栅化处理。如果渲染图元的面法线与相机视野(view)向量成大于90°的角度，则可对渲染图元进行背面剔除。通过剔除这些渲染图元，可减少不必要的处理。

当渲染运动模糊和景深时，可能生成额外数量的内部或交叉测试，因此对于这些情况而言，也需要准确的背面剔除测试。对于其中每个顶点在三个维度上沿线移动的移动三角形，如果移动三角形在运动开始时以及在结束时是背向的，则该三角形通常被假定为在整个时间区间上是背向(backfacing)的。

附图简述

图1是一个实施例的流程图；

图2是另一实施例的流程图；

图3是又一实施例的流程图；以及

图4是一个实施例的示意图。

具体实施方式

其中每个顶点在3D中线性移动的三角形可以在运动开始时(在t＝0时)是背向的(即，背对相机)，随后转为正向(frontfacing)，而在运动结束时(在t＝1时)(再次)背向。结果，以下假设并非总是正确：如果在区间的开始和结束时背向状态为真，则其顶点随时间线性移动的三角形是背向的。

假定具有移动三角形，其中从时间t＝0至t＝1，顶点在帧内线性移动。在t＝0时，将顶点标示为q_i，而在t＝1时，将其命名为r_i。通过使用2D齐次坐标(2DH)在剪裁空间中操作，因此顶点被定义为p＝(p_x，p_y，p_w)。线性内插顶点则被表示为：

p_i(t)＝(1-t)q_i+tr_i.(1)

给定具有顶点(p₀(t)，p₁(t)，p₂(t))的移动三角形，形成矩阵：

$M\left(t\right)=\left[\begin{array}{ccc}p{0}_x& p{1}_x& p{2}_x\\ p{0}_y& p{1}_y& p{2}_y\\ p{0}_w& p{1}_w& p{2}_w\end{array}\right],---\left(2\right)$

其中为了可读性，已省去时间相关性。如果det(M)＜0，则可对三角形进行背面剔除，其中行列式被表达为：

det(M)＝p₀.(p₁×p₂).(3)

在几何学上，这可被解释为由原点和三角形延伸的四面体的(缩放的)带符号体积计算。因此，希望对确定是否p₀(t)·(p₁(t)×p₂(t))＜0，其中t∈[0，1]。两个线性移动顶点的叉积可被展开为：

p₁×p₂＝((1-t)q₁+tr₁)×((1-t)q₂+tr₂)＝t²f+tg+h，(4)

其中：

f＝(r₁-q₁)×(r₂-q₂)，

g＝(r₁-q₁)×q₂-(r₂-q₂)×q₁，

h＝q₁×q₂.(5)

通过使用此表达式，可推导出时间相关行列式：

det(M)＝p₀(t)·(p₁(t)×p₂(t))

＝((1-t)q₀+tr₀)·(t²f+tg+h)

＝at³+bt²+ct+d，(6)

其中：

a＝(r₀-q₀)·f，

b＝(r₀-q₀)g+q₀·f，

c＝(r₀-q₀)h+q₀·g，

d＝q₀·h.(7)

注意，系数d＝q₀·h＝q₀·(q₁×q₂)是在t＝0时对三角形的背面测试。而且，在t＝1时的多项式的值为a+b+c+d＝r₀·(r₁×r₂)，类似地，这是t＝1时的背面测试。最后，注意系数的表达式：

a＝(r₀-q₀)[(r₁-q₁)×(r₂-q₂)]，(8)

这是三个顶点的运动向量的行列式测试，并且如果它们都位于同一平面中，则三次项为零，即a＝0。因而，仅当运动向量在2DH中延伸(span)出体积时，行列式才将是三次函数。

注意，如果多项式在t∈[0，1]中不具有任何根，且d＜0，则三角形将被安全地背面剔除。给定背面函数在t＝0以及t＝1时小于零，则可计算三次多项式的局部最小值和最大值，并且如果在区间t∈[0，1]内找到局部最大值，则检查此点的三次多项式的值。如果小于零，则可安全地背面剔除三角形。如果三个顶点的运动方向是平行的，则背向函数是线性的。

系数a是三角形的三个运动向量的行列式，这三个运动向量常常很小或者接近平行。因此，在幂形式(式6)上直接计算背向函数可能在数值上是不稳定的。为了减轻这个问题，在三次Bernstein(琥珀)形式上表达背向函数：

$b\left(t\right)=\underset{i=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i\left(\begin{array}{c}3\\ i\end{array}\right){(1-t)}^{3-i}{t}^i,---\left(9\right)$

其中系数b_i由以下给出：

b₀＝q₀·(q₁×q₂)，

b₁＝1/3[q₀·(q₁×r₂+r₁×q₂)+r₀·(q₁×q₂)]，

b₂＝1/3[r₀·(q₁×r₂+r₁×q₂)+q₀·(r₁×r₂)]，

b₃＝r₀·(r₁×r₂).(10)

接着，利用Bernstein原理的凸包属性，并简单地检查系数b_i——i{0，1，2，3}——中的任一个是否为正。这是比针对三次多项式的真实最大值进行测试更粗略的测试，但是这降低了数值精确问题的风险。注意，可通过向系数应用deCasteljau步骤并测试所生成的系数来精炼测试。

如图1中所示的Bernstein形式上的对运动模糊的背面测试始于通过计算b₀来测试t＝0时的三角形(框12)。菱形框14处的检查确定b₀是否为正。若是，则三角形是正向的(框16)。否则，通过计算b_n来在t＝1时测试三角形(框18)。若b_n为正，则三角形是正向的(框22)。否则，通过将值1代入i(框24)并计算b₁(框26)来开始循环。菱形框28处的检查确定b_i是否为正。若是，则其是正向的(框30)。若否，则进行迭代直至i等于n(框32和菱形框34)，并在随后将三角形报告为背向(框36)。

以伪代码的形式草拟了用于其中每个顶点随时间线性移动的三角形的背向剔除测试的实际实现：

如果三角形顶点运动可被表达为多项式，则可对先前的测试进行一般化。将每个三角形顶点的运动表达为2DH中的n次贝塞尔(Bezier)曲线：

$p_i\left(t\right)=\underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_j^i{B}_j^i\left(t\right)---\left(11\right)$

背面测试则变为：

$\det \left(M\left(t\right)\right)=p_0\left(t\right)\·(p_1\left(t\right)\×p_2\left(t\right))$

$=\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i^0{B}_i^0\left(t\right)\·(\underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_j^1{B}_j^n\left(t\right)\×\underset{k=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_k^2{B}_k^n\left(t\right))$

$=\underset{i,j,k=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{B}_j^n\left(t\right)B_j^n\left(t\right)B_k^n\left(t\right)b_i^0\·(b_j^1\×b_k^2)---\left(12\right)$

$=\underset{i,j,k=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{B}_{i+j+k}^{3n}\frac{\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}n\\ j\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}3n\\ i+j+k\end{array}\right)}{b}_i^0\·(b_j^1\×b_k^2).$

注意，这是3n次贝塞尔曲线，其中控制点是三个控制点的缩放行列式之和，一个控制点来自描述顶点运动的三个曲线中的每一个。保守背面测试可再次通过使用凸包属性来推导出。如所预期的，获得用于线性运动情形(即，当n＝1时)的式10。可对有理样条(rationalspline)执行类似的推导。

该测试具有加速大三角形或具有较大运动的小三角形的运动模糊光栅化的潜力，其中一个昂贵的背面剔除测试可在大量节省的内部测试上得以缓冲。如果相关于保守背面测试的开销，内部测试的数目较小，则跳过整个保守测试可能是较好的，因为背向三角形将在预采样内部测试中被正确地剔除。取决于工作负载，可在三角形大小或运动超过阈值时启用测试。

景深是剪裁空间中的修剪。此修剪可通过对三角形的剪裁空间坐标应用以下矩阵来表示：

$S(u,v)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -\mathrm{Hu}/J& \mathrm{Hu}\\ 0& 1& -\mathrm{Iv}/J& \mathrm{Iv}\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),---\left(13\right)$

H、I和J是由聚焦平面、相机孔径大小以及近平面和远平面来给定的常数。镜头上的位置由(u，v)来给定。在剪裁空间中将此矩阵应用于三维齐次顶点(3DH)，得到经修剪的位置，

s_ix＝p_ix-H/Jup_iz+Hup_iw＝p_ix+α_iu，

s_iy＝p_iy-I/Jvp_iz+Ivp_iw＝p_iy+β_iv，(14)

s_iz＝p_iz，

s_iw＝p_iw

其中α_i＝H/Jp_iz+Hp_iw和β_i＝I/Jp_iz+Ip_iw是与p_iz和p_iw项相关的逐顶点(per-vertex)值。为了简化以下的符号，令s_i(u，v)和p_i(u，v)标示两维齐次顶点，分别由和的xyw分量构成，即：

s_i(u，v)＝p_i+(α_iu，β_iv，0)＝p_i+l_i(u，v).(15)

注意：

l_i×l_j＝uv(0，0，α_iβ_j-α_jβ_i)＝0(16)

由于背面准则变为：

det(M(u，v))＝s₀·(s₁×s₂)，

＝p₀·(p₁×p₂)+l₀·(p₁×p₂)，(17)

+l₁·(p₂×p₀)+l₂·(p₀×p₁)，

＝au+bv+c.

系数由以下来给出：

a＝α₀(p₁×p₂)_x+α₁(p₂×p₀)_x+α₂(p₁×p₁)_x，

b＝β₀(p₁×p₂)_y+β₁(p₂×p₀)_y+β₂(p₀×p₁)_y，

c＝p₀·(p₁×p₂).(18)

注意，关于a和b的一些表达式可被重用于边缘等式设置。如所看到的，用于景深的背向函数是关于u和v的线性函数(式17)。当au+bv+c＝0时，三角形改变其朝向。因此，仅当对于以下等式系统存在解时，三角形才在镜头上的某处改变使其朝向。

au+bv+c＝0，

u²+v²＜R²，(19)

其中最后的等式检查镜头位置(u，v)是否在具有半径R的圆形镜头内部。

在几何学上，这是圆与线之间的相交，其仅当以下条件时才有解：

$\frac{c^2}{a^2+b^2}<R^2.---\left(20\right)$

结果，如果可以证明以上不成立，则在关于镜头移动时没有朝向改变。直观地，如果三角形的平面等式(在三维上)与镜头的形状不相交，则三角形不会关于镜头改变朝向。

最后，注意，如果三角形的面法线与视野向量对准，则p_iz＝p_iz以及p_iw＝p_jw，且因此α_i＝α_j以及β_i＝β_j，这导致a＝b＝0。这意味着，如所预期的，朝向将不会关于镜头而改变。

为了确定静态三角形是否可被背面剔除，开始在镜头的中间处(u＝v＝0)计算背面状态——图2，框42。如果c＞0(图2，菱形框44)，在镜头的中间，三角形可能在某一时间内是正向的，并且因此终止测试，因为三角形并非对所有镜头位置(保守地)是背向的(图2，框46)。否则，计算a²+b²(图2，框48)，并且测试是否c²＜R²(a²+b²)(框50和菱形框52)。即，当满足以下时，三角形可被保守地背面剔除(图2，框56)：

c＜0，以及

c²＞R²(a²+b²)(21)

否则，则三角形是正向的(框54)。

通过将式1中的移动顶点与式13中的修剪矩阵S相乘，从运动和景深获得结果顶点位移o(u，v，t)：

o_i(u，v，t)＝s(u，v)p_i(t)＝s(u，v)((1-t)q_i+tr_i)，

＝(p_ix(t)+α_i(t)u，p_iy(t)+β_i(t)v，p_iw(t))，(22)

其中α_i(t)＝H/Jp_iz(t)+Hp_iw(t)且β_i(t)＝I/Jp_iz(t)+Ip_iw(t)是关于t的线性函数。

来自式21中对应的背面测试现在被表达为：

det(M(u，v，t))＝o₀·(o₁×o₂)

＝a(t)u+b(t)v+c(t).(23)

系数a(t)、b(t)和c(t)是关于t的三次函数。

当满足以下时，三角形可被保守地背面剔除：

c(t)＜0，t∈[0，1]，以及

c²(t)＞R²(a²(t)+b²(t))，t∈[0，1].(24)

否则，则三角形是正向的(框54)。

保守测试可通过使用区间算术运算来获得。将区间标示为其中是其下界，是其上边界。此思想随后最小化式24中大于号左侧的表达式，并最大化右侧的表达式。这得到：

${\stackrel{\&OverBar;}{c}}^2>R^2(\max ({\underset{\&OverBar;}{a}}^2,{\stackrel{\&OverBar;}{a}}^2)+\max ({\underset{\&OverBar;}{b}}^2,{\stackrel{\&OverBar;}{b}}^2)),---\left(25\right)$

其中使用因此，如果且式25成立，则在时间上且关于镜头移动的三角形可被保守地背面剔除。可将三次多项式a(t)、b(t)和c(t)从幂形式转换成Bernstein形式，并在随后使用Bernstein控制点凸包属性来进行保守剔除——类似于先前针对运动模糊的图元所做的。

如果将镜头近似为具有侧边长R的方形，则得到通过下式给出的较粗略测试：

au+bv+c＝0，

|u|＜R，|v|＜R，(26)

其是线对照框(lineagainstbox)测试。再次地，通过测试是否即，三角形在镜头的中间是否背向，来开始。随后，如果(方形)镜头的四个角都在扫描线的同一侧上，则可保守地剔除三角形。这四个条件通过以下给出：

max(±R(a±b)+c)＜0.(27)

注意，表达式a、b和c是关于t的三次多项式。与针对圆形镜头给出的区间分析测试不同，对于四个等式中的每一个，计算单个三次等式的系数并对其进行取界限(bound)，因此保留更紧界限的幂系数之间的相关性。这对于具有大非线性系数的运动而言可能是更高效的。

接着，草拟用于运动模糊以及散焦三角形(defocusedtriangle)的背面剔除测试的实际实现。首先注意，a²(t)+b²(t)的粗略但快速的近似由以下给出：

$\max (a^2+b^2)\&le;\max ({\underset{\&OverBar;}{a}}^2,{\stackrel{\&OverBar;}{a}}^2)+\max ({\underset{\&OverBar;}{b}}^2,{\stackrel{\&OverBar;}{b}}^2),---\left(28\right)$

这本质上是曼哈顿(Manhattan)距离近似。

然而，将适用一阶泰勒模型来替代地对三次函数进行取界限，因为线性项中的相关性可被保持，这进而可给出更紧的界限。还注意，对于大多数三角形，多项式a(t)和b(t)的t³和t²项十分靠近零。这暗示着，式23中的a(t)、b(t)和c(t)项近似线性，但是还意味着必须小心以避免精度问题。通过使用一阶泰勒模型，在t³和t²项很小的时候确保稳定性。对于任意三次多项式，这可如以下所示地进行：

$k_3{t}^3+k_2{t}^2+k_{1}t+k_0\&ap;k_{1}t+k_0+{\hat{r}}_k,---\left(29\right)$

其中是余数区间，其对二次项和三次项取界限：

${\hat{r}}_k=[-|k_3|-|k_2|,|k_3|+|k_2\left|\right].---\left(30\right)$

用此来将a²(t)+b²(t)保守地表达为：

$a^2\left(t\right)+b^2\left(t\right)\&ap;{(a_{1}t+a_0+{\hat{r}}_a)}^2+{(b_{1}t+b_0+{\hat{r}}_b)}^2.---\left(31\right)$

上界由以下给出：

$a_1^2+b_1^2+2\max (0,a_0{a}_1+b_0{b}_1)+a_0^2+b_0^2+{\stackrel{\&OverBar;}{r}}_{a^2+b^2},---\left(32\right)$

其中是关于余数区间和的线性函数。注意，如果a(t)和b(t)关于t是线性的，则这给定因此式32在该情形中是准确的。

使用(以Bernstein为基础的)用于运动模糊的背面测试来如上所述地确定镜头的中心处的背面状态。

最终测试由式34中的条件给出，其中a²(t)+b²(t)是使用式32来取界限的。

参看图3，用来对景深和运动模糊两者实现背面测试的序列始于在镜头的中心处测试三角形，如图3的框62中所指示的。这通过计算c(t)的最大值并对其进行取界限来进行。接着，菱形框64处的检查确定max[c(t)]是否大于零。若是，则将三角形报告为正向，如框66中所指示的。

否则，在框68处，计算max[a(t)²+b(t)²]并对其取界限，如框68中所指示的。接着，进行测试以确定c²的最小值是否大于R²max[a(t)²+b(t)²]，如框70中所指示的。在菱形框72处若是，则将三角形报告为正向，如框74中所指示的，否则，在框76中，将其报告为背向。

将推导用于运动模糊的背面剔除测试，其中光栅化是在屏幕空间中进行的。对于屏幕空间光栅化，普通的背面测试是由三角形的屏幕空间面积的符号来给定的。投影变换将线映射至线，因此在投影之后运动向量仍是线。然而，沿着线的加速度因透视缩减(perspectiveforeshortening)而不同。假定将经投影三角形的两条边定义为：

$e_1\left(t\right)=\frac{p_1\left(t\right)}{p_{1w}\left(t\right)}-\frac{p_0\left(t\right)}{p_{0w}\left(t\right)},$ $e_2\left(t\right)=\frac{p_2\left(t\right)}{p_{2w}\left(t\right)}-\frac{p_0\left(t\right)}{p_{0w}\left(t\right)}\&CenterDot;---\left(34\right)$

带符号面积的两倍现在可被表达为：

$A\left(t\right)=e_1\left(t\right)\&times;e_2\left(t\right),$

$=\frac{p_0}{p_{0w}}\&times;\frac{p_1}{p_{1w}}+\frac{p_1}{p_{1w}}\&times;\frac{p_2}{p_{2w}}+\frac{p_2}{p_{2w}}\&times;\frac{p_0}{p_{0w}},---\left(35\right)$

$=\frac{p_{2w}{p}_0\&times;p_1+p_{0w}{p}_1\&times;p_2+p_{1w}{p}_2\&times;p_0}{p_{0w}{p}_{1w}{p}_{2w}}$

回顾每个顶点都是t的函数(式1)，这导致屏幕空间中的背面测试是关于t的三次有理函数。三角形在平面中移动，但是顶点位置不再相关于t被线性内插，并且三角形可改变朝向最多三次。

此外，分母p_0wp_1wp_2w的量值对于面积测试而言是不相关的，因此如果知晓剪裁之后w分量的符号，则可跳过分母，从而如所预期的，得到三次多项式——类似于齐次情形。

另一方面，如果假定屏幕空间中的线性运动，则面积函数变为二次多项式，因此甚至在此情形中，移动的三角形在t＝0和t＝1时也可以是背向的，并且在其间的某处仍是正向的。

本技术适用于实时和离线渲染，并且适用于随机点采样和分析可视性方法两者。在极端情形中可容易地检测到由先前各种技术引入的渲染误差，但是在大多数情形中，这些技术生成其中难以检测到误差的合理图像。

如图4所示的计算机系统130可包括通过总线104耦合至芯片组核逻辑110的硬驱动器134和可移除介质136。键盘和鼠标120或其它常规部件可经由总线108耦合至芯片组核逻辑。在一个实施例中，核逻辑可经由总线105耦合至图形处理器112和主处理器或主机处理器100。图形处理器112还可通过总线106耦合到帧缓冲器114。帧缓冲器114可通过总线107耦合至显示屏118。在一个实施例中，图形处理器112可以是利用单指令多数据(SIMD)体系结构的多线程、多核并行处理器。

在软件实现的情况下，可将有关代码存储在任何适当的半导体、磁或光存储器中，包括主存储器132或图形处理器中任何可用的存储器。因此，在一个实施例中，用于执行图1-3的序列的代码可被存储在诸如存储器132或图形处理器112之类的机器或计算机可读介质中，且在一个实施例中，代码可由处理器100或图形处理器112执行。

图1-3是流程图。在一些实施例中，这些流程图中描述的序列可以硬件、软件或固件来实现。在软件实施例中，诸如半导体存储器、磁存储器或光存储器之类的非瞬态计算机可读介质可用于存储指令，且可由处理器执行以实现图1-3中所示的序列。

本文中所描述的图形处理技术可用各种硬件架构来实现。例如，图形功能可整合在芯片组内。作为替换，可使用分立的图形处理器。作为又一实施例，图形功能可由通用处理器(包括多核处理器)来实现。

说明书中提及“一个实施例”、“实施例”意味着结合该实施例所描述的特定特征、结构或特性被包括在本发明内涵盖的至少一个实现方式中。如此，短语“一个实施例”或“在一实施例中”的出现不一定是指同一个实施例。此外，所述特定特征、结构或特性可被设立成除了所示特定实施例以外的其他合适形式，且所有此类形式可被涵盖在本申请的权利要求书内。

尽管本发明已针对有限数量的实施例作了描述，然而本领域技术人员将会从其中领会到许多修改和变型。所附权利要求旨在覆盖落在本发明的真实精神和范围内的所有这样的修改和变型。

Claims (16)

1.一种用于背面剔除方法，包括：

确定经历运动模糊和景深的三角形上的顶点的行列式的符号，包括确定三角形顶点的行列式的符号，其中对于每个顶点，景深效应能够由两个镜头坐标u和v的函数来表示，而顶点运动由时间函数来表示；以及

基于所述符号，决定是否对所述三角形进行背面剔除。

2.如权利要求1所述的方法，其特征在于，包括确定三角形上顶点的行列式的符号，其中每个顶点根据关于时间的多项式函数移动。

3.如权利要求2所述的方法，其特征在于，包括确定三角形上顶点的行列式的符号，其中每个顶点随时间线性移动。

4.如权利要求2所述的方法，其特征在于，包括确定Bernstein系数的符号以及使用所述符号来确定是否能够对三角形进行背面剔除。

5.如权利要求2所述的方法，其特征在于，包括确定移动的三角形是否可对单个视点改变朝向。

6.如权利要求1所述的方法，其特征在于，包括确定静态三角形是否对镜头内的任何视点改变朝向。

7.如权利要求1所述的方法，其特征在于，包括使用限界算术来对关于所述行列式的等式的多项式进行取界限。

8.如权利要求1所述的方法，其特征在于，用方形来近似镜头。

9.如权利要求1所述的方法，其特征在于，包括通过首先在镜头中间处检查背面状态来确定是否可剔除三角形，并且仅当所述三角形在镜头中心处是背向时，才继续进行完全背面测试，否则报告所述三角形潜在可见。

10.一种用于背面剔除装置，包括：

用于确定经历运动模糊和景深的三角形的顶点的行列式的符号的装置，包括用于确定三角形顶点的行列式的符号的装置，其中对于每个顶点，景深效应可由两个镜头坐标u和v的函数来表示，而顶点运动由时间函数来表示，以及

用于基于所述符号，决定是否对所述三角形进行背面剔除的装置。

11.如权利要求10所述的装置，其特征在于，还包括用于确定行列式的符号的装置，其中每个顶点根据关于时间的多项式函数移动。

12.如权利要求11所述的装置，其特征在于，还包括用于确定三角形顶点的行列式的符号的装置，其中每个顶点随时间线性移动。

13.如权利要求11所述的装置，其特征在于，还包括用于确定Bernstein系数的符号并使用所述符号来确定是否能够对三角形进行背面剔除的装置。

14.如权利要求11所述的装置，其特征在于，还包括用于确定移动的三角形是否可对单个视点改变朝向的装置。

15.如权利要求10所述的装置，其特征在于，还包括用于确定静态三角形是否对镜头内的任何视点改变朝向的装置。

16.如权利要求10所述的装置，其特征在于，还包括用于使用限界算术来对关于所述行列式的等式的多项式进行取界限的装置。