CN103064822A - 利用关系矩阵进行房屋共有建筑面积的分摊方法 - Google Patents

Abstract

一种利用关系矩阵进行房屋共有建筑面积的分摊方法，属于测绘技术领域。该方法采用创建关系矩阵数学模型的计算方式，提出多功能区多级分摊模式，分析功能区和分摊区之间的逻辑关系，将其逻辑关系转化为关系矩阵，创建关系矩阵数学模型，然后进行模型解算求解房屋共有建筑面积分摊系数；创建了关系矩阵分摊计算表格，利用表格的形式将计算过程和结果更直观的表现出来；首先将外业测绘或从建筑平面图中获取的数据进行处理，得到建筑物各单元的面积，按各计算单元的使用功能分类整理，划分功能区和分摊区面积；二是分析分摊逻辑关系，建立分摊结构图；三是根据分摊结构图，建立关系矩阵数学模型；四是矩阵解算，计算分摊系数；最后成果整理，获得各套房屋分摊面积。

Description

利用关系矩阵进行房屋共有建筑面积的分摊方法

技术领域

本发明属于测绘技术领域，涉及一种房地产测绘和建筑工程设计中计算房屋共有面积分摊的计算方法及数学模型。

背景技术

建筑面积分摊计算是房产测绘中最重要和最复杂的技术工作，是房产测绘的关键所在。主要的操作技术依据是国家标准GB/T 17986.1-2000《房产测量规范》，规定了建筑面积测算的技术方法，面积分摊计算的规则和相应的计算公式。它的基本数学逻辑是以幢为单位，将共有建筑面积按比例分摊到各单元的建筑面积中去，求解分摊系数是面积计算的主要内容。通常，求解分摊系数是按照《房产测量规范》提出的操作过程和计算方法进行。

房屋的建筑面积分摊计算过程：

首先面积分类整理，将外业测绘或从建筑平面图中获取的数据进行处理，得到建筑物各单元的面积，按各计算单元的使用功能分类整理，划分功能区和分摊区面积；二是确定分摊类型，根据建筑功能区的特征确定采用的分摊方法；三是分摊计算，解算分摊系数；最后成果整理，计算各套房屋面积。

分摊方法：

将建筑物面积分类整理后得到的功能区和分摊区面积，根据建筑的特征进行分类，确定分摊类型，根据分摊类型对应的分摊方法，求解分摊系数。《房产测量规范》提供三种类型的计算方法。

（1）住宅楼分摊方法，计算功能区为一个，采用整体分摊，求解一个分摊系数K；

（2）商住楼分摊方法，根据住宅和商业等不同使用功能，按各自的建筑面积将全幢的共有建筑面积分摊成住宅和商业两部分，即住宅部分分摊得到的全幢共有建筑面积和商业部分分摊得到的全幢共有建筑面积。然后住宅和商业部分将所得的分摊面积再各自进行分摊，一般应解算出住宅的分摊系数和商业的分摊系数。

（3）多功能综合楼分摊方法，按照各自的功能，参照商住楼的分摊计算方法进行分摊，一般是每个功能区应结算出一个分摊系数，分摊计算相对复杂。

在实际的计算过程中发现，功能区和分摊区之间逻辑关系是分摊计算过程中的重要内容，由于分类型计算方法缺少对分摊逻辑关系的分析，计算方法存在缺陷。当功能区和分摊区较少，分摊级别不大于三级时，计算起来相对容易，当功能区和分摊区较多，分摊级别较多时，由于分摊计算嵌套的次数多，经常进行交叉分摊，计算起来相当复杂，难度很大，利用分类型计算的方法无法满足计算的需要；缺少分摊逻辑关系的分析，仅提供基本的计算方法的描述，计算过程不完整，方法不严密；求取分摊系数的类型较为单一，专业用途受限，不能满足建筑设计等专业对数据的需求。

发明内容

本发明的目的是提供一种利用关系矩阵进行房屋共有建筑面积的分摊方法，以解决功能区和分摊区较多，分摊级别较多时，由于分摊计算嵌套的次数多，经常进行交叉分摊，计算起来相当复杂，难度很大，利用分类型计算的方法无法满足计算的需要；缺少分摊逻辑关系的分析，仅提供基本的计算方法的描述，计算过程不完整，方法不严密；求取分摊系数的类型较为单一，专业用途受限，不能满足建筑设计等专业对数据的需求等问题。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是在计算实施方式上进行改进创新，将原来的分类型计算方法改进为创建关系矩阵数学模型的计算方法。提出多功能区多级分摊模式，分析功能区和分摊区之间的逻辑关系，将其逻辑关系转化为关系矩阵，创建关系矩阵数学模型，然后进行模型解算求解房屋共有建筑面积分摊系数。为简化计算，创建了关系矩阵分摊计算表格，利用表格的形式将计算过程和结果更直观的表现出来；计算过程中增加了求解分摊区对应分摊系数项，从而增加了数据的检核条件，有利于数据分析，扩大了专业的应用。

关系矩阵分摊方法的计算过程，首先将外业测绘或从建筑平面图中获取的数据进行处理，得到建筑物各单元的面积，按各计算单元的使用功能分类整理，划分功能区和分摊区面积；二是分析分摊逻辑关系，建立分摊结构图；三是根据分摊结构图，建立关系矩阵数学模型；四是矩阵解算，计算分摊系数；最后成果整理，计算各套房屋面积（见附图1）。

分摊方法步骤如下：

1、建筑物面积分类整理：

将外业测绘或从建筑平面图中获取的测量数据进行计算，得到建筑物各单元的面积，对各单元的面积数据按照使用功能和分摊计算类型分类整理，划分出所属的功能区和分摊区，统计计算，得出不同的功能区的面积和分摊区的面积。

2、建立分摊结构图：

多功能区多级分摊模式将《房产测量规范》中提出的三种分摊方式归结为一种方式。住宅楼分摊方式为整体分摊，可以看作功能区一个，计算级别为一级的分摊；商住楼分摊方式看作功能区两个，计算级别为二级的分摊；综合楼的分摊方式是功能区有两个以上，计算级别两级以上的多级分摊，因此整体分摊是多级分摊特例，都可以称之为多功能区多级分摊。多功能区多级分摊模式有以下特点：（1）数据由功能区和分摊部位数据两类组成，同类数据间相互独立；（2）分摊部位分摊给不同的功能区，分摊部位和功能区之间存在一定的对应关系；（3）分摊是有级别的，分摊给谁，哪个先分摊哪个后分摊，有固定的分摊顺序。

根据多功能多级分摊的特点，在相同的级别下，分摊部位和功能区之间存在一定的对应关系，利用分摊结构图描述多功能区多级分摊，按照级别顺序将每个级别下功能区和分摊区之间的逻辑关系，用结构图表示出来，层次分明，分摊计算对应的逻辑关系表达更加直观（见附图2）。

关系矩阵分摊方法根据多功能区多级分摊的特点，将分摊部位与功能区间的逻辑对应关系转化为关系矩阵，通过矩阵运算，按照从高到低的级别顺序逐级计算，计算出各功能区分摊系数。

3、建立关系矩阵数学模型

分摊部位分摊给不同的功能区，两者之间存在逻辑对应关系。实际上，每一个分摊级别下，分摊部位和功能区之间的对应关系是一种二元关系，二者的对应关系可以用关系矩阵来表示。所谓的二元关系就是在集合中两个元素之间的某种相关性，设A和B为集合，A×B的任何子集所定义的二元关系称之为A到B的二元关系。

分摊部位和功能区是组成分摊计算的两个有限集合，两者之间的二元关系用数学的方式表示如下：

设功能区集合M={m₁,m₂....m_n}，分摊部位集合T={t₁,t₂...t_m}，R为M和T之间的二元关系。由此产生关系矩阵M(R)=(r_ij)_n×m，其中 $r_{\mathrm{ij}}=\left\{\begin{array}{c}1\⟨m_i,t_j\⟩\∈R\\ 0\⟨m_i,t_j\⟩\∉R\end{array}\right..$

附图2分摊结构图中的第二级分摊，分摊部位和功能区的分摊对应关系用表格来表示（见附图3）：

当分摊部位分摊给某功能区时，将其设值为1，否则设为0。这样就把逻辑上的分摊对应关系转化为关系矩阵，形成一个4行3列的关系矩阵 $R_{4\×3}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right).$

因此，建立关系矩阵数学模型就是将功能区集合和分摊部位集合分别建立矩阵，功能区和分摊区的逻辑关系形成关系矩阵。可得到三种矩阵类型：

(1)功能区矩阵，将每个功能区建立矩阵M_1×n(m₁,m₂....m_n),m为某功能区面积，n为功能区个数。

(2)分摊区矩阵，将不同类别的分摊部位建立一个分摊矩阵T_1×m(t₁,t₂...t_m)，t为某级别分摊区面积，m为分摊区个数

(3)分摊区对应功能区的关系矩阵，如果有n个功能区，m个对应分摊区，根据其对应关系，可形成n×m阶关系矩阵R_n×m。

对于多功能多级别分摊，能够建立一个功能区矩阵，每个级别能建立一个分摊区矩阵和一个关系矩阵。因此数学模型中建立矩阵的数量是：如果分摊级别为n级分摊，能够建立的矩阵为1个功能区矩阵，n个分摊区矩阵和n个关系矩阵。

4、矩阵解算

依照《房产测量规范》，房屋的建筑面积分摊的基本计算公式为：

$K=\frac{\mathrm{\Σ\δ}{S}_i}{\mathrm{\Σ}{S}_i}$ ①

式中，K——分摊系数；

∑δS_i——需要分摊的分摊面积总和；

∑S_i——参加分摊的各单元建筑面积总和。

根据公式①，通过矩阵的运算，可求解得到分摊区的系数矩阵为KT_1×m和功能区系数矩阵K_n两类系数。

矩阵解算过程分三步进行：

第一步，求取分摊区对应功能区合计面积S_i；

$S_{1\×m}=M_{1\×n}{R}_{n\×m}=(m_1,m_2...m_n)\left(\begin{array}{c}1011...\\ 0101...\\ 0111...\\ ...\end{array}\right)$

②

第二步，求分摊区的分摊系数kt_i和功能区对应的分摊系数矩阵K_1×n：

按照分摊系数的计算公式①得到分摊区系数矩阵KT_1×m：

${\mathrm{KT}}_{1\×m}=(\frac{t_1}{S_1},\frac{t_2}{S_2}...\frac{t_m}{S_m})$

③

式中，t_i为分摊区面积；S_i为分摊区对应功能区合计面积。

$K_{1\×n}=K{T}_{1\×m}{R}_{n\×m}^T=(k{t}_1,k{t}_2...{\mathrm{kt}}_m)\left(\begin{array}{c}100..\\ 011...\\ 101...\\ ...\end{array}\right)$

④

式中，kt_i为分摊区系数。

第三步，求分摊后功能区矩阵：

功能区对应分摊面积ΔM_1×n是功能区中的各项值乘以对应的功能区分摊系数中的各项：

ΔM_1×n=(k₁×m₁,k₂×m₂...k_n×m_n)

⑤

分摊后功能区矩阵为：M_1×n ^u=M_1×n+ΔM_1×n`

⑥

式中，k_i为功能区对应分摊系数，m_i为功能区面积，u为分摊级别。

上述解算过程为一个级别的过程解算，多级别的分摊按级别高级到低级顺序计算顺序运算。为了计算过程更直观，该模型采用从高级到低级顺序计算。

关系矩阵数学模型的计算过程是首先对最高级分摊进行上述三步矩阵求解，计算得出分摊后的功能区矩阵M′，将M′作为下一级分摊的功能区矩阵，建立下一级别的分摊区矩阵和关系矩阵，再进行矩阵解算，通过每级的逐次顺序解算，最后可以得出分摊结果。

在矩阵运算过程中，不仅能求得功能区对应分摊系数，还能求得分摊部位对应的分摊系数。这个分摊系数可以作为计算的一个检核条件，检核计算的正确性，也可以在建筑设计中为设计提供分析数据，指导设计。

5、关系矩阵计算表格的应用

由于矩阵数据能够通过表格的方式来表达，根据对应关系矩阵分摊计算数学模型，建立关系矩阵计算表格进行计算，将分摊计算过程及结果用表格的形式表现出来，表现形式更加直观，便于理解和实际操作；将功能区数据填写到功能区的表格内，按级别确定分摊区的表格，将分摊区数据按照分摊级别填写到分摊区对应的表格内，根据功能区与分摊区的分摊对应关系，将对应关系数值填写到对应的分摊区下的表格内，如果分摊对应关系成立，值为1，否则值为0，形成关系矩阵；最后根据矩阵计算的三个步骤，按照从左到右的顺序依次计算各类分摊系数（见附图4）。

采用本发明的积极效果是：（1）为该类问题提供了一种全新的分析方法和计算方法，不是从分摊计算的本身分析，而是从其逻辑关系上分析，将功能区和分摊区的逻辑关系转化为数理上的关系矩阵，从而建立关系矩阵数学模型来计算分摊系数；（2）克服了分类计算方式的不足，降低了多功能区多级分摊计算时的难度，运用该方法能够进行任意多个级别的分摊计算；将以前复杂的按分摊级别嵌套计算方式改变为简易的矩阵计算方式，提高和计算的效率和准确度。（3）利用表格的方式来表达，简化了计算过程，表现形式直观，便于理解和实际操作；（4）通过建立数学模型进行计算，方法更科学更严密，可以利用数学模型制作分摊计算应用软件，应用广泛。

附图说明

附图1为本发明分摊计算流程图；

附图2为本发明分摊结构图；

附图3为本发明分摊部位对应功能区关系表；

附图4为本发明关系矩阵计算表格；

附图5为本发明实施例1商住楼分摊结构图；

附图6为本发明实施例1商住楼关系矩阵计算表格；

附图7为本发明实施例2多功能综合楼分摊结构图；

附图8为本发明实施例2多功能综合楼关系矩阵计算表格。

具体实施方式

下面结合具体实施例介绍利用关系矩阵进行房屋共有建筑面积分摊方法的建立及操作实施方法。

实施例1

1、建筑物面积分类整理：该实例为商住楼，整理后得到2个功能区，4个分摊区，2级分摊。

功能区：

功能区1，3-6层住宅；面积4363.20平方米；

功能区2，1-2层商业；面积1980.60平方米；

分摊区：

分摊区1，外墙，面积252.42平方米；

分摊区2，设备间；面积6.20平方米；

分摊区3，1-6层住宅用楼梯；面积630.00平方米；

分摊区4，1层住宅用门厅；面积14.20平方米；

计算实施方式按照三个步骤进行。首先建立分摊结构图；其次建立关系矩阵数学模型，最后矩阵解算。

建立分摊结构图

经过建筑物面积分类整理，得到两个功能区和四个分摊区。该建筑为商住楼，根据《房产测量规范》中的分摊技术规定，按照多功能多级分摊模式确定分摊级别2级，分摊区1（外墙）和分摊区2（设备间）为全楼分摊，对应分摊给功能区1和功能区2，分摊级别为1级；分摊区3（1-6层住宅用楼梯）和分摊区4（1层住宅用门厅）为住宅使用，分摊给功能区1，分摊级别为2级；根据分摊的技术规定建立分摊结构图（见附图5）。

2、建立关系矩阵数学模型

从该计算实例的分摊结构图上看，分摊级别为2级，能够建立1个功能区矩阵，2个分摊区矩阵和2个关系矩阵。

功能区矩阵M_1×2=[4363.20 1980.60]

1级分摊区矩阵T_1×2=[252.42 6.20]，关系矩阵 $R_{2\×2}=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right]$

2级分摊的分摊区矩阵T_1×2=[603.00 14.20]，关系矩阵 $R_{2\×2}=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right]$

3、矩阵解算

按照从高级到低级的顺序计算，先解算第2级分摊，依照分摊级别顺序计算。

（1）建立第2级别的三个矩阵，求解矩阵。

①求取分摊区对应功能区面积合计矩阵：

S_1×2=M_1×2R_2×2=[4363.20 4363.20]

②求分摊区系数矩阵和功能区系数矩阵：

${\mathrm{KT}}_{1\×2}=(\frac{t_1}{S_1},\frac{t_2}{S_2})=\left[\begin{array}{cc}0.13820132& 0.00325449\end{array}\right]$

$K_{1\×2}={\mathrm{KT}}_{1\×2}{R}_{2\×2}^T=\left[\begin{array}{cc}0.13820132& 0.00325449\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0.14145581& 0\end{array}\right]$

③得到分摊后的功能区矩阵：

ΔM_1×2=[k₁×m₁ k₂×m₂]＝[617.200 0]

M_1×2 ²=M_1×2+ΔM_1×2=[4980.40 1980.60]

（2）组成第1级别的三个矩阵，求解矩阵。

第2级计算得出的功能区M_1×2 ²是第2级别的功能区矩阵。按照通过与2级分摊同样的①、②、③三步解算得出分摊区系数矩阵、功能区系数矩阵和分摊后的功能区矩阵。

S_1×2=M_1×2R_2×2=[6961.00 6961.00]

${\mathrm{KT}}_{1\×2}=(\frac{t_1}{S_1},\frac{t_2}{S_2})=\left[\begin{array}{cc}0.03626203& 0.00089068\end{array}\right]$

$K_{1\×2}={\mathrm{KT}}_{1\×2}{R}_{2\×2}^T=\left[\begin{array}{cc}0.03626203& 0.00089068\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0.03715271& 0.03715271\end{array}\right]$

ΔM_1×2=k₁×m₁ k₂×m₂]＝[185.0353 73.5847]

M_1×2 ²=M_1×2+ΔM_1×2=[5165.4353 2054.1847]

经过2级分摊计算得出分摊后的功能区矩阵，按照计算公式①，得到最终结果功能区分摊系数矩阵。

K_1X4=[(5165.4353-4363.20)/4363.20 (2054.1847-1980.60)/1980.60]＝[0.183863990.03715271]

4、关系矩阵计算表格的应用

建立关系矩阵计算表格，将分摊计算过程及结果用表格的形式表现出来，表现形式更加直观，便于理解和实际操作。关系矩阵计算表格是根据关系矩阵分摊计算数学模型建立的，在表格中添加功能区数据和分摊区数据，建立分摊区和功能区的对应关系矩阵，按照关系矩阵分摊计算数学模型中的计算方法，结合EXCEL的计算公式计算分摊系数（见附图6）。

（1）根据分摊结构图将功能区、分摊区和逻辑关系数据填写到相应的表格内。功能区数据填写到功能区面积列，将分摊区数据按照分摊级别建立数据行和列，将分摊区数据、分摊区说明和分摊级别填到相应的数据栏内，根据分摊的逻辑对应关系，如果分摊部位分摊给某个功能区，设值为1，否则值为0，将数值填写到表格的黑色括号位置。

（2）按照关系矩阵数学模型中的计算方法在表格中计算。

M(住宅功能区)=4363.20 M(商业功能区)=1980.60

①计算第二级别的分摊区对应系数

K(分摊2-1)=603.00/（4363.2*1+1980.6*0）=0.13820132

K(分摊2-1)=14.2/（4363.2*1+1980.6*0）=0.00325449

②计算第二级别的功能区分摊面积

△M(住宅分摊面积)=4363.20*（0.1320132*1+0.00325449*1）=617.2000

△M(商业分摊面积)=1980.60*（0.1320132*0+0.003254490）=0

M（住宅二级分摊后功能区面积）=M(住宅功能区)+△M(住宅分摊面积)=4363.2+617.2000=4980.4000

M（商业二级分摊后功能区面积）=M(商业功能区)+△M(商业分摊面积)=1980.60+0=1980.6000

③计算功能区对应分摊系数

按照①、②的计算方法计算一级分摊的分摊区对应系数、分摊后一级功能区面积，得到分摊后的各功能区面积。

M(住宅分摊后面积)=4163.4353

M(商业分摊后面积)=2054.1847

K(住宅分摊系数)=[M(住宅分摊后面积)-M(住宅功能区面积)]/M(住宅功能区面积)=0.18386399

K(商业分摊系数)=[M(商业分摊后面积)-M(商业功能区面积)]/M(商业功能区面积)=0.18386399

实施例2

1、建筑物面积分类整理：该实例为一个多功能综合楼，整理后得到4个功能区，6个分摊区，3级分摊，整理后形成的功能区和分摊区数据。

功能区：

功能区1，地下车库；面积939.69平方米；

功能区2，1-3层商场；面积2057.20平方米；

功能区3，2-3层办公；面积2020.40平方米；

功能区4，4-19层办公；面积9430.48平方米；

分摊区：

分摊区1，外墙和设备间；面积874.46平方米；

分摊区2，负1-19层消防楼梯；面积368.10平方米；

分摊区3，1-3层步梯；面积54.00平方米；

分摊区4,1-19层电梯和门厅；面积864.20平方米；

分摊区5，办公用管理用房；面积32.00平方米；

分摊区6，4-19层走廊；面积982.40平方米；

计算实施方式按照三个步骤进行。首先建立分摊结构图；其次建立关系矩阵数学模型，最后矩阵解算。

2、建立分摊结构图

经过建筑物面积分类整理，得到4个功能区和6个分摊区，该建筑为多功能综合楼，根据《房产测量规范》中的分摊技术规定，按照多功能多级分摊模式确定摊级别为3级分摊，分摊区1（外墙和设备间）为全楼分摊，对应分摊给所用功能区，分摊级别为1级；分摊区2（负1-19层消防楼梯）分摊给功能区1、2、3、4，分摊区3（1-3层步梯）分摊给功能区2、3，分摊区4（1-19层电梯和门厅）分摊给功能区3、4，分摊级别为2级；分摊区5（办公用管理用房）分摊给功能区3、4，分摊区6（4-19层走廊）分摊给功能区4，分摊级别3级；根据分摊的技术规定建立分摊结构图（见附图7）。

3、建立关系矩阵数学模型

从该计算实例的分摊结构图上看，分摊级别为3级，能够建立1个功能区矩阵，3个分摊区矩阵和3个关系矩阵。

功能区矩阵M_1×4=[939.69 2057.20 2020.40 9430.48]

1级分摊区矩阵T_1×1=[874.46]，关系矩阵 $R_{4\×3}=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$

2级分摊的分摊区矩阵T_1×3=[368.10 54.00 864.20]，关系矩阵 $R_{4\×3}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right]$

3级分摊的分摊区矩阵T_1×2=[32.00 982.40]，关系矩阵 $R_{4\×2}=\left[\begin{array}{c}00\\ 00\\ 10\\ 11\end{array}\right]$

4、矩阵解算

按照从高级到低级的顺序计算，先解算第3级分摊，依照分摊级别顺序计算。

（1）建立第3级别的三个矩阵，求解矩阵。

①求取分摊区对应功能区面积合计矩阵：

S_1×2=M_1×4R_4×2=[11450.88 9430.48]

②求分摊区系数矩阵和功能区系数矩阵：

${\mathrm{KT}}_{1\×2}=(\frac{t_1}{S_1},\frac{t_2}{S_2})=\left[\begin{array}{cc}0.002794545& 0.10417285\end{array}\right]$

$K_{1\×4}={\mathrm{KT}}_{1\×2}{R}_{4\×2}^T=\left[\begin{array}{cc}0.002794545& 0.10417285\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0.002794545& 0.106967395\end{array}\right]$

③得到分摊后的功能区矩阵：

M_1×4 ³=M_1×4+ΔM_1×4=[939.69 2057.20 2026.0461 10439.2339]

（2）组成第2级别的三个矩阵，求解矩阵。

第3级计算得出的功能区M_1×4 ³是第2级别的功能区矩阵。

按照与3级分摊同样的①、②、③解算得出分摊区系数矩阵、功能区系数矩阵和分摊后的功能区矩阵。

${\mathrm{KT}}_{1\×3}=(\frac{t_1}{S_1},\frac{t_2}{S_2},\frac{t_3}{S_3})=\left[\begin{array}{ccc}0.02380649& 0.01322477& 0.06932857\end{array}\right]$

$K_{1\×4}={\mathrm{KT}}_{1\×3}{R}_{4\×3}^T=\left[\begin{array}{cccc}0.02380649& 0.03703126& 0.10635983& 0.09313506\end{array}\right]$

M_1×4 ²=M_1×4+ΔM_1×4=[962.0607 2133.3807 2241.5360 11411.4925]

（3）组成第1级别的三个矩阵，求解矩阵。

第2级计算得出的功能区M_1×4 ²是第1级别的功能区矩阵。

按照与3级分摊同样的①、②、③步解算得出分摊区系数矩阵、功能区分摊系数和分摊后的功能区矩阵。

${\mathrm{KT}}_{1\×2}=\left(\frac{t_1}{S_1}\right)=\left[0.05221134\right]$

$K_{1\×4}={\mathrm{KT}}_{1\×1}{R}_{4\×1}^T=\left[\begin{array}{cccc}0.05221134& 0.05221134& 0.05221134& 0.05221134\end{array}\right]$

M_1×4 ¹=M_1×4+ΔM_1×4=[1012.2912 2244.7674 2358.5696 12007.3018]

经过3级分摊计算得出分摊后的功能区矩阵，按照计算公式⑴，得到最终结果功能区分摊系数矩阵。

K_1×4=[0.0772608 0.09117601 0.16737755 0.27324397]

5、关系矩阵计算表格的应用

建立关系矩阵计算表格，将分摊计算过程及结果用表格的形式表现出来，表现形式更加直观，便于理解和实际操作。根据分摊结构图将功能区、分摊区和逻辑关系数据填写到相应的表格内，按照关系矩阵分摊方法中的计算方法，按从左到右的顺序计算各类分摊系数（见附图8）。

Claims (1)

1.一种利用关系矩阵进行房屋共有建筑面积的分摊方法，其特征采用创建关系矩阵数学模型的计算方法；提出多功能区多级分摊模式，分析功能区和分摊区之间的逻辑关系，将其逻辑关系转化为关系矩阵，创建关系矩阵数学模型，然后进行模型解算求解房屋共有建筑面积分摊系数；创建了关系矩阵分摊计算表格，利用表格的形式将计算过程和结果更直观的表现出来；计算过程中增加了求解分摊区对应分摊系数项，从而增加了数据的检核条件；关系矩阵分摊方法的计算过程，首先将外业测绘或从建筑平面图中获取的数据进行处理，得到建筑物各单元的面积，按各计算单元的使用功能分类整理，划分功能区和分摊区面积；二是分析分摊逻辑关系，建立分摊结构图；三是根据分摊结构图，建立关系矩阵数学模型；四是矩阵解算，计算分摊系数；最后成果整理，完成各套房屋面积分摊；

其分摊方法步骤如下：

（1）建筑物面积分类整理：

将外业测绘或从建筑平面图中获取的测量数据进行计算，得到建筑物各单元的面积，对各单元的面积数据按照使用功能和分摊计算类型分类整理，划分出所属的功能区和分摊区，统计计算，得出不同的功能区的面积和分摊区的面积；

（2）建立分摊结构图：

多功能区多级分摊模式将《房产测量规范》中提出的三种分摊方式归结为一种方式；住宅楼分摊方式为整体分摊，可以看作功能区一个，计算级别为一级的分摊；商住楼分摊方式看作功能区两个，计算级别为二级的分摊；综合楼的分摊方式是功能区有两个以上，计算级别两级以上的多级分摊，因此整体分摊是多级分摊特例，都可以称之为多功能区多级分摊；多功能区多级分摊模式有以下特点：（1）数据由功能区和分摊部位数据两类组成，同类数据间相互独立；（2）分摊部位分摊给不同的功能区，分摊部位和功能区之间存在一定的对应关系；（3）分摊是有级别的，分摊给谁，哪个先分摊哪个后分摊，有固定的分摊顺序；

根据多功能多级分摊的特点，在相同的级别下，分摊部位和功能区之间存在一定的对应关系，利用分摊结构图描述多功能区多级分摊，按照级别顺序将每个级别下功能区和分摊区之间的逻辑关系，用结构图表示出来，层次分明，分摊计算对应的逻辑关系表达更加直观；

关系矩阵分摊方法根据多功能区多级分摊的特点，将分摊部位与功能区间的逻辑对应关系转化为关系矩阵，通过矩阵运算，按照从高到低的级别顺序逐级计算，计算出各功能区分摊系数；

（3）建立关系矩阵数学模型：

分摊部位分摊给不同的功能区，两者之间存在逻辑对应关系；实际上，每一个分摊级别下，分摊部位和功能区之间的对应关系是一种二元关系，二者的对应关系可以用关系矩阵来表示；所谓的二元关系就是在集合中两个元素之间的某种相关性，设A和B为集合，A×B的任何子集所定义的二元关系称之为A到B的二元关系；

分摊部位和功能区是组成分摊计算的两个有限集合，两者之间的二元关系用数学的方式表示如下：

设功能区集合M={m₁,m₂....m_n}，分摊部位集合T={t₁,t₂...t_m}，R为M和T之间的二元关系；由此产生关系矩阵M(R)=(r_ij)_n×m，其中 $r_{\mathrm{ij}}=\left\{\begin{array}{c}1\⟨m_i,t_j\⟩\∈R\\ 0\⟨m_i,t_j\⟩\∉R\end{array}\right.;$

当分摊部位分摊给某功能区时，将其设值为1，否则设为0；

因此，建立关系矩阵数学模型就是将功能区集合和分摊部位集合分别建立矩阵，功能区和分摊区的逻辑关系形成关系矩阵；可得到三种矩阵类型：

a、功能区矩阵，将每个功能区建立矩阵M_1×n(m₁,m₂....m_n),m为某功能区面积，n为功能区个数；

b分摊区矩阵，将不同类别的分摊部位建立一个分摊矩阵T_1×m(t₁,t₂...t_m)，t为某级别分摊区面积，m为分摊区个数；

c分摊区对应功能区的关系矩阵，如果有n个功能区，m个对应分摊区，根据其对应关系，可形成n×m阶关系矩阵R_n×m；

对于多功能多级别分摊，能够建立一个功能区矩阵，每个级别能建立一个分摊区矩阵和一个关系矩阵；因此数学模型中建立矩阵的数量是：如果分摊级别为n级分摊，能够建立的矩阵为1个功能区矩阵，n个分摊区矩阵和n个关系矩阵；

（4）矩阵解算：

依照《房产测量规范》，房屋的建筑面积分摊的基本计算公式为：

$K=\frac{\mathrm{\Σ\δ}{S}_i}{\mathrm{\Σ}{S}_i}$ ①

式中，K——分摊系数；

∑δS_i——需要分摊的分摊面积总和；

∑S_i——参加分摊的各单元建筑面积总和；

根据公式①，通过矩阵的运算，可求解得到分摊区的系数矩阵为KT_1×m和功能区系数矩阵K_n两类系数；

矩阵解算过程分三步进行：

第一步，求取分摊区对应功能区合计面积S_i；

$S_{1\×m}=M_{1\×n}{R}_{n\×m}=(m_1,m_2...m_n)\left(\begin{array}{c}1011...\\ 0101...\\ 0111...\\ ...\end{array}\right)$

②

第二步，求分摊区的分摊系数kt_i和功能区对应的分摊系数矩阵K_1×n：

按照分摊系数的计算公式①得到分摊区系数矩阵KT_1×m：

${\mathrm{KT}}_{1\×m}=(\frac{t_1}{S_1},\frac{t_2}{S_2}...\frac{t_m}{S_m})$

③

式中，t_i为分摊区面积；S_i为分摊区对应功能区合计面积；

$K_{1\×n}=K{T}_{1\×m}{R}_{n\×m}^T=(k{t}_1,k{t}_2...{\mathrm{kt}}_m)\left(\begin{array}{c}100..\\ 011...\\ 101...\\ ...\end{array}\right)$

④

式中，kt_i为分摊区系数；

第三步，求分摊后功能区矩阵：

功能区对应分摊面积ΔM_1×n是功能区中的各项值乘以对应的功能区分摊系数中的各项：

ΔM_1×n=(k₁×m₁,k₂×m₂...k_n×m_n)

⑤

分摊后功能区矩阵为：M_1×n ^u=M_1×n+ΔM_1×n｀

⑥

式中，k_i为功能区对应分摊系数，m_i为功能区面积，u为分摊级别；

上述解算过程为一个级别的过程解算，多级别的分摊按级别高级到低级顺序计算顺序运算；为了计算过程更直观，该模型采用从高级到低级顺序计算；

关系矩阵数学模型的计算过程是首先对最高级分摊进行上述三步矩阵求解，计算得出分摊后的功能区矩阵M′，将M′作为下一级分摊的功能区矩阵，建立下一级别的分摊区矩阵和关系矩阵，再进行矩阵解算，通过每级的逐次顺序解算，最后可以得出分摊结果；

在矩阵运算过程中，不仅能求得功能区对应分摊系数，还能求得分摊部位对应的分摊系数；这个分摊系数可以作为计算的一个检核条件，检核计算的正确性，也可以在建筑设计中为设计提供分析数据，指导设计；

（5）关系矩阵计算表格的应用：

由于矩阵数据能够通过表格的方式来表达，根据对应关系矩阵分摊计算数学模型，建立关系矩阵计算表格进行计算，将分摊计算过程及结果用表格的形式表现出来，表现形式更加直观，便于理解和实际操作；将功能区数据填写到功能区的表格内，按级别确定分摊区的表格，将分摊区数据按照分摊级别填写到分摊区对应的表格内，根据功能区与分摊区的分摊对应关系，将对应关系数值填写到对应的分摊区下的表格内，如果分摊对应关系成立，值为1，否则值为0，形成关系矩阵；最后根据矩阵计算的三个步骤，按照从左到右的顺序依次计算各类分摊系数。

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