CN103048522B - 常压下低温等离子体密度参数的诊别方法 - Google Patents

Abstract

常压下低温等离子体密度参数的诊别方法，属于等离子体领域，本发明为解决现有等离子体诊断方法在其测量过程中精确度低、效率差、对环境要求较高、使用寿命短、成本相对昂贵等一系列问题。本发明方法包括以下步骤：步骤一、用电压互感器检测放电通道内气体压降U_g(t)；步骤二、用电流互感器检测为传导电流j_c(x，t)；步骤三、根据步骤一获取的放电通道内气体压降U_g(t)和传导电流j_c(x，t)获取总的放电电流j_T；步骤四、根据步骤三获取的总的放电电流j_T获取等离子体密度n(t)；步骤五、获取离散化等离子体密度n^m+1(t)，以实现对等离子体密度参数的诊别。

Description

常压下低温等离子体密度参数的诊别方法

技术领域

本发明涉及常压下低温等离子体密度参数的诊别方法，属于等离子体领域。

背景技术

近年来，基于介质阻挡放电(DBD)原理产生的低温等离子体在材料、微电子、化工、机械及环境保护等众多学科领域中有着广泛应用，且已形成一个崭新的工业——等离子体工业。例如在材料学科中，通常采用等离子体物理气相沉积(PVD)和增强化学气相沉积(PECVD)及等离子体源离子注入(PSII)等技术来制备一些发光、光电、微电子、耐蚀耐磨及超硬等新型多功能薄膜材料。利用等离子体进行材料表面改性，改善材料表面的可湿性、吸水性、可染性、粘着性和导电性等，更是常见的工业技术；在化工工业中，采用等离子聚合技术，可以印刷和制备出高分子薄膜材料；在微电子工业中的应用更加引人瞩目，目前微电子工业的全球销售额已达几千亿美元，其中三分之一以上微电子器件设备是采用低温等离子体技术生产的；在超大规模集成电路的生产工艺中，等离子体刻蚀技术可以实现高刻速率、高纵横比、高选择比、微观不均匀性小和低能量操作的刻蚀过程；在沉积无缺陷、附着力大的微电子薄膜材料以及微小器件晶片的清洗方面也显示出了巨大的优势。可以说，低温等离子体已与现代高新科技的发展紧密联系在一起，因而对低温等离子体及其应用诊断技术的研究也变得尤为重要。

由于等离子体的现象和行为复杂多变，使得人们常常无法对所需要求得的量进行直接测量，例如密度这个重要参数，人们常常只能通过等离子体在特定条件下所表现出来的某些现象来间接地求得这些参量，因此等离子体诊断是实现等离子体工业应用必不可少的方法手段。目前，常用的诊断技术主要包括探针诊断法、微波干涉诊断法、激光差拍法、光谱质谱诊断法等。当等离子体中包含波动、振荡和波时，探针方法的应用非常困难，有时甚至不能应用探针方法，且探针表面的杂技可能污染等离子体，这将使等离子体的I-V特性曲线发生变形，严重影响测量结果；微波法对等离子体的空间响应较差，动态范围较小；激光法为了能够测出散射信号而且有较小的统计误差必须采用大功率巨脉冲激光器作光源，采用灵敏度高、信噪比大、时间响应快的光探测器作接受器，不仅操作不便，且成本大大增加；光谱质谱极其复杂，较难精确解释，甚至在用作等离子体刻蚀工艺终点探测的分子谱线，有时并不清楚其来源，且其光学窗口上薄膜沉积或刻蚀能够大大改变或减弱光谱的信号。

发明内容

本发明目的是为了解决现有等离子体诊断方法在其测量过程中精确度低、效率差、对环境要求较高、使用寿命短、成本相对昂贵等一系列问题，提供了一种常压下低温等离子体密度参数的诊别方法。

本发明所述的常压下低温等离子体密度参数的诊别方法，该方法包括以下步骤：

步骤一、用电压互感器检测放电通道内气体压降U_g(t)

步骤二、用电流互感器检测为传导电流j_c(x，t)，x＝0～d_g，

式中：d_g为放电通道长度，x为放电通道中某一位置的坐标，

步骤三、根据步骤一获取的放电通道内气体压降U_g(t)和传导电流j_c(x，t)，利用公式

$j_T\left(t\right)={(\frac{{2d}_B}{{\mathrm{\ϵ}}_0{\mathrm{\ϵ}}_B}+\frac{d_g}{{\mathrm{\ϵ}}_0})}^{-1}[{\∫}_0^{d_g}\frac{j_c(x,t)}{{\mathrm{\ϵ}}_0}\mathrm{dx}+\frac{\∂U_g\left(t\right)}{\∂t}]$

获取总的放电电流j_T，

式中：ε₀为真空介电常数，ε_B为等离子体的相对介电常数，d_B为所电极表面所覆盖介质厚度，

步骤四、根据步骤三获取的总的放电电流j_T，利用公式

$n\left(t\right)={\mathrm{ej}}_T\left(t\right)={e(\frac{{2d}_B}{{\mathrm{\ϵ}}_0{\mathrm{\ϵ}}_B}+\frac{d_g}{{\mathrm{\ϵ}}_0})}^{-1}[{\∫}_0^d\frac{j_c(x,t)}{{\mathrm{\ϵ}}_0}\mathrm{dx}+\frac{\∂U_a\left(t\right)}{\∂t}]$

获取等离子体密度n(t)，

步骤五、获取离散化等离子体密度n^m+1(t)，以实现对等离子体密度参数的诊别。

本发明的优点：本发明可根据外施参量的不同，得到不同条件下的密度结果，可将其应用于下述工程当中：

1.等离子体气象沉积技术，其辅助等离子体密度约为10⁶～10⁸cm^-3；

2.等离子体刻蚀工艺，其等离子体密度约为10⁸cm^-3；

3.近空间再入飞行器地面模拟实验，其等离子体密度约为～10¹⁰cm^-3；

4.辉光放电等离子体的研究工作，其等离子体密度为＜10¹⁴cm^-3；

对密度的测量实时性好，效率高，对环境要求低，使用寿命长，成本低。

附图说明

图1是本发明所述常压下低温等离子体密度参数的诊别方法的流程图；

图2是利用本发明方法计算得出的不同时刻放电空间电子数密度分布图；

图3是电子、离子及电场随时间分布图，其中虚线为电子密度；点划线为离子密度；实线为气隙间电场值；

图4是等离子体中电子密度随时间分布图；

图5是等离子体中负离子密度随时间分布图；

图6是等离子体中正离子密度随时间分布图；

图7是利用本发明方法计算结果与实验结果对比。其中“—·—”为计算结果；“O”为实验数据。

具体实施方式

具体实施方式一：下面结合图1至图7说明本实施方式，本实施方式所述常压下低温等离子体密度参数的诊别方法，该方法包括以下步骤：

步骤一、用电压互感器检测放电通道内气体压降U_g(t)

步骤二、用电流互感器检测为传导电流j_c(x，t)，x＝0～d_g，

式中：d_g为放电通道长度，x为放电通道中某一位置的坐标，

步骤三、根据步骤一获取的放电通道内气体压降U_g(t)和传导电流j_c(x，t)，利用公式

$j_T\left(t\right)={(\frac{{2d}_B}{{\mathrm{\ϵ}}_0{\mathrm{\ϵ}}_B}+\frac{d_g}{{\mathrm{\ϵ}}_0})}^{-1}[{\∫}_0^{d_g}\frac{j_c(x,t)}{{\mathrm{\ϵ}}_0}\mathrm{dx}+\frac{\∂U_g\left(t\right)}{\∂t}]$

获取总的放电电流j_T，

式中：ε₀为真空介电常数，ε_B为等离子体的相对介电常数，d_B为所电极表面所覆盖介质厚度，

步骤四、根据步骤三获取的总的放电电流j_T，利用公式

$n\left(t\right)={\mathrm{ej}}_T\left(t\right)={e(\frac{{2d}_B}{{\mathrm{\ϵ}}_0{\mathrm{\ϵ}}_B}+\frac{d_g}{{\mathrm{\ϵ}}_0})}^{-1}[{\∫}_0^d\frac{j_c(x,t)}{{\mathrm{\ϵ}}_0}\mathrm{dx}+\frac{\∂U_a\left(t\right)}{\∂t}]$

获取等离子体密度n(t)，

步骤五、获取离散化等离子体密度n^m+1(t)，以实现对等离子体密度参数的诊别。

具体实施方式二：下面结合图2说明本实施方式，本实施方式对实施方式一作进一步说明，步骤五中获取离散化等离子体密度n^m+1(t)的过程为：

以下离散过程中离散成k份，m＝1，2，...k，k为正整数，

步骤51、电子、离子连续性方程差分方法离散化：

$n_e^{m+1}=n_e^m+\frac{j_{e,k+1/2}^m-j_{e,k-1/2}^m}{h_k}\mathrm{\Δt}+S_k^m,$

$n_i^{m+1}=n_i^m+\frac{j_{i,k+1/2}^m-j_{i,k-1/2}^m}{h_k}\mathrm{\Δt}+S_k^m,$

其中：S为描述带电粒子产生和复合的源项，

且通过S＝αμ_e|E(x，t)|n_e(x，t)-βn_e(x，t)n_i(x，t)获取，

其中：α为汤森电离系数，β为电子与离子间的复合系数；

μ_e为电子迁移率，

μ_i为离子迁移率，

E(x，t)为电场强度；

n_e(x，t)为电子密度，n_i(x，t)为离子密度；

步骤52、带电粒子及亚稳态分布的输运用动量方程表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{j}_e(x,t)=-{\mathrm{\μ}}_{e}E(x,t)n_e(x,t)-D_e\frac{{\∂n}_e(x,t)}{\∂t}\\ j_i(x,t)={\mathrm{\μ}}_{i}E(x,t)n_i(x,t)-D_i\frac{{\∂n}_i(x,t)}{\∂t}\end{array},\right.$

其中：

D_e为电子扩散系数；D_i为离子扩散系数；

则其离散化得到：

$j_{e,k+1/2}=\frac{D_{e,k+1/2}}{h_k{R}_1}[n_{e,k}-\exp \left(\mathrm{\α}\right)(1+\mathrm{\α\β})n_{e,k+1}],$

$j_{i,k+1/2}=\frac{D_{i,k+1/2}}{h_k{R}_1}[n_{i,k}-\exp \left(\mathrm{\α}\right)(1+\mathrm{\α\β})n_{i,k+1}],$

式中： $R_1=-\frac{{\mathrm{\α}}^2+2\mathrm{\α\β}}{{\mathrm{\α}}^3}+\frac{e^{\mathrm{\α}}}{{\mathrm{\α}}^3}({\mathrm{\α}}^3\mathrm{\β}+{\mathrm{\α}}^2+2\mathrm{\α\β}-2{\mathrm{\α}}^2\mathrm{\β}),$ $h_k=\frac{{2D}_k}{{\mathrm{\μ}}_e{E}_k},$

$j_T^m=\frac{1}{{\mathrm{\ϵ}}_0}\underset{k=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}{j}_{k+1/2}^m{h}_k+\frac{\mathrm{\ρ}}{{\mathrm{\ϵ}}_0{\mathrm{\ϵ}}_r}(U_0-U_g^m)/d_B,$

式中：ε_r为相对介电常数，且ε_r＝ε₀ε_B，

步骤53、根据步骤51和52获取离散化等离子体密度n^m+1(t)：

$n^{m+1}\left(t\right)=\frac{e}{{\mathrm{\ϵ}}_0}\underset{k=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}{j}_{k+1/2}^m{h}_k+\frac{\mathrm{e\ρ}}{{\mathrm{\ϵ}}_0{\mathrm{\ϵ}}_B}(U_0-U_g^m)/d_B+S_k^m.$

对所需诊断的等离子体采用一维流体力学模型，其带电粒子及亚稳态分布的输运由连续性方程及动量方程描述：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\∂n}_e(x,t)}{\∂t}+\frac{{\∂j}_e(x,t)}{\∂x}=S\\ \frac{{\∂n}_i(x,t)}{\∂t}+\frac{{\∂j}_i(x,t)}{\∂x}=S\end{array}\right.---\left(1\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{j}_e(x,t)=-{\mathrm{\μ}}_{e}E(x,t)n_e(x,t)-D_e\frac{{\∂n}_e(x,t)}{\∂t}\\ j_i(x,t)={\mathrm{\μ}}_{i}E(x,t)n_i(x,t)-D_i\frac{{\∂n}_i(x,t)}{\∂t}\end{array}---\left(2\right)\right.$

方程组(1)为连续性方程，方程组(2)为动量方程，其中n_e、n_i分别为电子、离子密度；且n＝n_e-n_i，用j_e、j_i分别为电子流、离子流密度；μ_e和D_e分别为电子迁移率和电子扩散系数；μ_i和D_i分别为离子迁移率和离子扩散系数；E为电场强度；S为描述带电粒子产生和复合的源项，其具体表达式为：

S＝αμ_e|E(x，t)|n_e(x，t)-βn_e(x，t)n_i(x，t)        (3)

其中α为汤森电离系数；β为电子与离子间的复合系数。将方程组(1)中的两式相减可得：

$\frac{\∂\mathrm{\ρ}(x,t)}{\∂t}=-\frac{{\∂j}_c(x,t)}{e\∂x}---\left(4\right)$

其中ρ(x，t)为放电空间中的电荷密度；j_c为放电过程中的传导电流。同时利用泊松方程来模拟放电通道中的电场强度：

$\frac{\∂E(x,t)]}{\∂x}=\frac{e}{{\mathrm{\ϵ}}_0}\mathrm{\ρ}(x,t)---\left(5\right)$

其中ε₀为真空介电常数。对上述泊松方程两端对时间求导，有：

$\frac{\∂}{\∂t}\left(\frac{\∂E(x,t)}{\∂x}\right)-\frac{e}{{\mathrm{\ϵ}}_0}\frac{\∂\mathrm{\ρ}(x,t)}{\∂t}=0---\left(6\right)$

同时将(4)式代入(6)式得到电流平衡方程：

$\frac{\∂E(x,t)}{\∂t}+\frac{1}{{\mathrm{\ϵ}}_0}{j}_c(x,t)=\frac{1}{{\mathrm{\ϵ}}_0}{j}_T\left(t\right)---\left(7\right)$

即：

${\mathrm{\ϵ}}_0\frac{\∂E(x,t)}{\∂t}=j_T\left(t\right)-j_c(x,t)---\left(8\right)$

其中为放电过程中的位移电流；j_T为放电过程中总放电电流。将(8)式两端对整个放电通道进行积分可得：

${\mathrm{\ϵ}}_0\frac{{\∂U}_g\left(t\right)}{\∂t}=j_T\left(t\right)d_g-{\∫}_0^{d_g}{j}_c(x,t)\mathrm{dl}---\left(9\right)$

其中d_g为放电通道长度；U_g为放电通道内气体压降。同时得到介质上的电流平衡方程为：

$\frac{{\∂U}_g\left(t\right)}{\∂t}=\frac{2}{{\mathrm{\ϵ}}_0{\mathrm{\ϵ}}_r}{j}_T\left(t\right)d_B---\left(10\right)$

将(9)式与(10)式相加，可得：

$\frac{{\mathrm{dU}}_g\left(t\right)}{\mathrm{dt}}=\frac{1}{{\mathrm{\ϵ}}_0}{j}_T\left(t\right)d_g-\frac{1}{{\mathrm{\ϵ}}_0}{\∫}_0^{d_g}{j}_c(x,t)\mathrm{dl}+\frac{2}{{\mathrm{\ϵ}}_0{\mathrm{\ϵ}}_r}{j}_T\left(t\right)d_B---\left(11\right)$

从而可以得到总的放电电流j_T，其表达式为：

$j_T\left(t\right)={(\frac{{2d}_B}{{\mathrm{\ϵ}}_0{\mathrm{\ϵ}}_B}+\frac{d_g}{{\mathrm{\ϵ}}_0})}^{-1}[{\∫}_0^{d_g}\frac{j_c(x,t)}{{\mathrm{\ϵ}}_0}\mathrm{dx}+\frac{\∂U_g\left(t\right)}{\∂t}]---\left(12\right)$

ε_r为、d_B为所电极表面所覆盖介质厚度，

由于等离子体中电子密度与离子密度为：

n＝e[j_i-(j_e+γj_i)]＝ej_T           (13)

将公式(12)代入公式(13)，得到等离子体密度随时间演化的表达式为：

$n\left(t\right)={e(\frac{{2d}_B}{{\mathrm{\ϵ}}_0{\mathrm{\ϵ}}_B}+\frac{d_g}{{\mathrm{\ϵ}}_0})}^{-1}[{\∫}_0^{d_g}\frac{j_c(x,t)}{{\mathrm{\ϵ}}_0}\mathrm{dx}+\frac{\∂U_g\left(t\right)}{\∂t}]---\left(14\right)$

则n_e(t)和n_i(t)的表达式按公式(14)类似，只替换相应参数即可；

$n_e\left(t\right)={e(\frac{{2d}_B}{{\mathrm{\ϵ}}_0{\mathrm{\ϵ}}_B}+\frac{d_g}{{\mathrm{\ϵ}}_0})}^{-1}[{\∫}_0^{d_g}\frac{j_e(x,t)}{{\mathrm{\ϵ}}_0}\mathrm{dx}+\frac{\∂U_g\left(t\right)}{\∂t}]---\left(15\right)$

$n_i\left(t\right)={e(\frac{{2d}_B}{{\mathrm{\ϵ}}_0{\mathrm{\ϵ}}_B}+\frac{d_g}{{\mathrm{\ϵ}}_0})}^{-1}[{\∫}_0^{d_g}\frac{j_i(x,t)}{{\mathrm{\ϵ}}_0}\mathrm{dx}+\frac{\∂U_g\left(t\right)}{\∂t}]---\left(16\right)$

由于上述方程很难得到解析解，因此对上述方程的求解是本发明的一大关键技术。将整个一维放电空间剖分为整结点及半结点，整结点上为电子、离子密度，而在半结点上为电场值，电子电流密度及离子电流密度。

将公式(15)和(16)进行离散，获取电子、离子连续性方程差分方法离散化：

$n_e^{m+1}=n_e^m+\frac{j_{e,k+1/2}^m-j_{e,k-1/2}^m}{h_k}\mathrm{\Δt}+S_k^m---\left(17\right)$

$n_i^{m+1}=n_i^m+\frac{j_{i,k+1/2}^m-j_{i,k-1/2}^m}{h_k}\mathrm{\Δt}+S_k^m---\left(18\right)$

电场的计算由电流平衡方程的离散化得到：

$j_{e,k+1/2}=\frac{D_{e,k+1/2}}{h_k{R}_1}[n_{e,k}-\exp \left(\mathrm{\α}\right)(1+\mathrm{\α\β})n_{e,k+1}]---\left(19\right)$

$j_{i,k+1/2}=\frac{D_{i,k+1/2}}{h_k{R}_1}[n_{i,k}-\exp \left(\mathrm{\α}\right)(1+\mathrm{\α\β})n_{i,k+1}]---\left(20\right)$

$j_T^m=\frac{1}{{\mathrm{\ϵ}}_0}\underset{k=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}{j}_{k+1/2}^m{h}_k+\frac{\mathrm{\ρ}}{{\mathrm{\ϵ}}_0{\mathrm{\ϵ}}_r}(U_0-U_g^m)/d_B---\left(21\right)$

根据公式(17)至公式(21)获取离散化等离子体密度n^m+1(t)：

$n^{m+1}\left(t\right)=\frac{e}{{\mathrm{\ϵ}}_0}\underset{k=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}{j}_{k+1/2}^m{h}_k+\frac{\mathrm{e\ρ}}{{\mathrm{\ϵ}}_0{\mathrm{\ϵ}}_B}(U_0-U_g^m)/d_B+S_k^m---\left(22\right)$

通过上述计算可在计算机上得到等离子体密度参量的实时控制。本文明可根据外施参量的不同，得到不同条件下的密度结果，可将其应用于下述工程当中：

1.等离子体气象沉积技术，其辅助等离子体密度约为10⁶～10⁸cm^-3；

2.等离子体刻蚀工艺，其等离子体密度约为10⁸cm^-3；

3.近空间再入飞行器地面模拟实验，其等离子体密度约为～10¹⁰cm^-3；

4.辉光放电等离子体的研究工作，其等离子体密度为＜10¹⁴cm^-3；

根据公式(22)获取了离散的等离子体的密度，使得我们可以实时监测当前参量是否适合于具体的工业应用。

Claims (2)

1.常压下低温等离子体密度参数的诊别方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

步骤一、用电压互感器检测放电通道内气体压降U_g(t)

步骤二、用电流互感器检测放电过程中的传导电流j_c(x,t)，x＝0～d_g，

式中：d_g为放电通道长度，x为放电通道中某一位置的坐标，

步骤三、根据步骤一获取的放电通道内气体压降U_g(t)和传导电流j_c(x,t)，利用公式

$j_T\left(t\right)={(\frac{2d_B}{{\mathrm{\ϵ}}_0{\mathrm{\ϵ}}_B}+\frac{d_g}{{\mathrm{\ϵ}}_0})}^{-1}[{\∫}_0^{d_g}\frac{j_c(x,t)}{{\mathrm{\ϵ}}_0}\mathrm{dx}+\frac{\∂U_g\left(t\right)}{\∂t}]$

获取总的放电电流j_T，

式中：ε₀为真空介电常数，ε_B为等离子体的相对介电常数，d_B为所电极表面所覆盖介质厚度，

步骤四、根据步骤三获取的总的放电电流j_T，利用公式

$n\left(t\right)={\mathrm{ej}}_T\left(t\right)=e{(\frac{2d_B}{{\mathrm{\ϵ}}_0{\mathrm{\ϵ}}_B}+\frac{d_g}{{\mathrm{\ϵ}}_0})}^{-1}[{\∫}_0^{d_g}\frac{j_c(x,t)}{{\mathrm{\ϵ}}_0}\mathrm{dx}+\frac{\∂U_g\left(t\right)}{\∂t}]$

获取等离子体密度n(t)，

步骤五、获取离散化等离子体密度n^m+1(t)，以实现对等离子体密度参数的诊别。

2.根据权利要求1所述常压下低温等离子体密度参数的诊别方法，其特征在于，步骤五中获取离散化等离子体密度n^m+1(t)的过程为：

以下离散过程中离散成k份，m＝1,2,…k，k为正整数，

步骤51、电子、离子连续性方程差分方法离散化：

$n_e^{m+1}=n_e^m+\frac{j_{e,k+1/2}^m-j_{e,k-1/2}^m}{h_k}\mathrm{\Δt}+S_k^m,$

$n_i^{m+1}=n_i^m+\frac{j_{i,k+1/2}^m-j_{i,k-1/2}^m}{h_k}\mathrm{\Δt}+S_k^m,$

其中：S为描述带电粒子产生和复合的源项，

且通过S＝αμ_e|E(x,t)|n_e(x,t)-βn_e(x,t)n_i(x,t)获取，

其中：α为汤森电离系数，β为电子与离子间的复合系数；

μ_e为电子迁移率，

μ_i为离子迁移率，

E(x,t)为电场强度；

n_e(x,t)为电子密度，n_i(x,t)为离子密度；

步骤52、带电粒子及亚稳态分布的输运用动量方程表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{j}_e(x,t)=-{\mathrm{\μ}}_{e}E(x,t)n_e(x,t)-D_e\frac{\∂n_e(x,t)}{\∂t}\\ j_i(x,t)={\mathrm{\μ}}_{i}E(x,t)n_i(x,t)-D_i\frac{\∂n_i(x,t)}{\∂t}\end{array}\right.,$

其中：

D_e为电子扩散系数；D_i为离子扩散系数；

则其离散化得到：

$j_{e,k+1/2}=\frac{D_{e,k+1/2}}{h_k{R}_1}[n_{e,k}-\exp \left(\mathrm{\α}\right)(1+\mathrm{\α\β})n_{e,k+1}],$

$j_{i,k+1/2}=\frac{D_{\mathrm{ik}+1/2}}{h_k{R}_1}[n_{i,k}-\exp \left(\mathrm{\α}\right)(1+\mathrm{\α\β})n_{i,k+1}],$

式中： $R_1=-\frac{{\mathrm{\α}}^2+2\mathrm{\α\β}}{{\mathrm{\α}}^3}+\frac{e^{\mathrm{\α}}}{{\mathrm{\α}}^3}({\mathrm{\α}}^3\mathrm{\β}+{\mathrm{\α}}^2+2\mathrm{\α\β}-2{\mathrm{\α}}^2\mathrm{\β}),h_k=\frac{2D_k}{{\mathrm{\μ}}_e{E}_k},$

$j_T^m=\frac{1}{{\mathrm{\ϵ}}_0}\underset{k=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}{j}_{k+1/2}^m{h}_k+\frac{\mathrm{\ρ}}{{\mathrm{\ϵ}}_0{\mathrm{\ϵ}}_r}(U_0-U_g^m)/d_B,$

式中：ε_r为相对介电常数，且ε_r＝ε₀ε_B，

步骤53、根据步骤51和52获取离散化等离子体密度n^m+1(t)：

$n^{(m+1)}\left(t\right)=\frac{e}{{\mathrm{\ϵ}}_0}\underset{k=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}{j}_{k+1/2}^m{h}_k+\frac{\mathrm{e\ρ}}{{\mathrm{\ϵ}}_0{\mathrm{\ϵ}}_B}(U_0-U_g^m)/d_B+S_k^m.$