CN103018063B - 基于Mittag-Leffler分布的桥梁随机疲劳寿命预测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于Mittag-Leffler分布的桥梁随机疲劳寿命预测方法，包括如下步骤：（1）获得应变数据，并计算应力谱；（2）对步骤（1）中的应力谱进行处理，得到应力幅及相应的应力循环数；（3）利用Mittag-Leffler分布确定应力幅的概率分布；（4）确定观测部位疲劳细节级数；（5）计算疲劳寿命。本发明不依赖大量的结构或材料疲劳试验，将得到的观测数据转化为应力幅和对应的循环次数；采用Mittag-Leffler分布比现有概率分布模拟应力幅的分布准确，参数的意义明确。

Description

基于Mittag-Leffler分布的桥梁随机疲劳寿命预测方法

技术领域

本发明属于桥梁疲劳寿命预测领域，具体涉及一种基于Mittag-Leffler分布的桥梁随机疲劳寿命预测方法。

背景技术

桥梁在长期反复变化载荷的作用下，容易产生疲劳裂缝。这种疲劳破坏对桥梁的危害十分巨大，是桥梁结构中常见的失效形式。因此，准确地预测桥梁的疲劳寿命，是排除事故隐患、制定健康修复计划和延长使用寿命的保障。

现有预测桥梁随机疲劳寿命的方法中，通常将应力幅看作随机变量，利用伽马分布、对数正态分布、威布尔分布等统计模型刻画其规律。但是采用这些分布的弊端体现在：模拟精度低；仅通过实测资料的期望和方差确定分布的参数，没有充分利用实测资料的信息(见：文献1Kihyon Kwon,Dan M.Frangopol.Bridge fatigue reliability assessmentusing probability density functions of equivalent stress range based on field monitoring data[J].International Journal ofFatigue,2010,32:1221-1232)。

在国内外，已有多项专利技术应用于预测结构疲劳寿命，如专利CN10231222A“一种剩余强度和剩余寿命的快速、无损预测方法”，利用材料的表面硬度与剩余强度的关系进行剩余寿命预测；US2010/0064819A1Method offorecasting the lifetime ofstructuralparts，通过应变计测量应变及对应的循环次数，确定循环疲劳应力的范围，以此预测疲劳寿命；CN102331343A“增压器涡轮疲劳寿命预测及其可靠性评价方法”，通过涡轮疲劳失效模式的功能函数，并计算其均值和标准差，对涡轮的疲劳寿命进行预测；CN102081020A“基于支持向量机的材料疲劳寿命预测方法”，建立外部载荷与疲劳损伤之间的非线性关系，预测疲劳寿命；WO2004/099761A1Method for predicting fatigue lifeof spot-welded structure，利用有限元方法分析焊接结构的疲劳寿命。上述前两种方法需要大量的材料疲劳试验，不利于实际工程应用；第三种方法仅采用功能函数的均值和标准差，这样定量分析可能会影响预测的精度；后两种方法计算量大，工程上不易操作。

因此，需要一种新的桥梁随机疲劳寿命预测方法以解决上述问题。

发明内容

发明目的：本发明针对现有技术中桥梁应力幅统计建模及现有专利中疲劳寿命估算方法的缺陷，提供一种基于Mittag-Leffler分布的桥梁随机疲劳寿命预测方法。

技术方案：为解决上述技术问题，本发明的基于Mittag-Leffler分布的桥梁随机疲劳寿命预测方法采用如下技术方案：

一种基于Mittag-Leffler分布的桥梁随机疲劳寿命预测方法，包括如下步骤：

(1)获得应变数据，并计算应力谱；

(2)对步骤(1)中的应力谱进行处理，得到应力幅及相应的应力循环数；

(3)利用Mittag-Leffler分布确定应力幅的概率分布；

(4)确定观测部位疲劳细节级数；

(5)计算疲劳寿命。

优选的，步骤(1)中获得应变数据通过在桥梁易发生疲劳部位放置应变计，实时观测得到观测部位的应变数据；然后通过应力-应变迟滞回环曲线得到应力谱。

优选的，步骤(2)中采用雨流计数法，对步骤(1)中的应力谱进行处理，得到应力幅及对应的循环次数。采用雨流计数法对疲劳循环进行计数的原因是雨流法与材料的应力-应变迟滞回线一致，另一方面该方法能够比较全面地反映随机应力谱的全过程。

优选的，所述步骤(3)中Mittag-Leffler分布采用的概率密度函数的表达式为：

$f\left(x\right)=\frac{\sin \mathrm{\π\α}}{\mathrm{\σ\π}}{\∫}_0^{\∞}\frac{y^{\mathrm{\α}}\exp (-(x-s_c)y/\mathrm{\σ})}{y^{2\mathrm{\α}}+1+{2y}^{\mathrm{\α}}\cos \mathrm{\π\α}}\mathrm{dy}$

其中s_c为截断的应力幅值，采用最小二乘法确定Mittag-Leffler分布模型的参数。

优选的，利用Kolmogorov-Smirnov检验法，判断所得到的Mittag-Leffler分布是否可以用来描述应力幅的概率分布。

优选的，步骤(4)中观测部位疲劳细节级数的确定通过查询资料，确定观测部位的疲劳细节级数，并得到相应的应力幅S与疲劳寿命N的关系曲线，即S-N曲线：log₁₀N_i＝-mlog₁₀S_i+log₁₀A，其中m和A是不同疲劳细节级数对应的常值。

优选的，步骤(5)中疲劳寿命的计算方法包括以下步骤：首先按照Palmgren-Miner疲劳累积损伤理论的概率形式，计算疲劳破坏时整个寿命的循环块λ；然后将得到的λ，代入下式，可得桥梁在随机载荷作用下的疲劳寿命L(以年为单位)：

$L=\frac{\mathrm{\λ}.T}{365}$

其中，T为一个循环块对应的时间(以天为单位)。随着经济的发展，每年的交通流以一定的比例增加，上述公式中以增加应力幅的水平级数方式，考察每年交通流的增长对疲劳寿命的影响。

有益效果：本发明通过Mittag-Leffler分布刻画桥梁在随机载荷作用下应力幅的统计分布规律，进而利用S-N曲线和Palmgren-Miner疲劳累积损伤的概率形式对桥梁的疲劳寿命进行估算。该发明的特点是不需要大量的结构或材料疲劳试验；采用Mittag-Leffler分布比现有概率分布模拟应力幅的分布准确，参数的意义明确；使用的S-N曲线和Palmgren-Miner疲劳累积损伤的概率形式，技术特点简单，方便工程技术人员的使用。本发明可用于预测桥梁的疲劳寿命，是排除事故隐患、制定健康修复计划和延长使用寿命的保障，并且具有重要的理论和工程意义。

附图说明

图1为本发明基于Mittag-Leffler分布的桥梁随机疲劳寿命预测方法的流程图。

图2为Mittag-Leffler分布模拟CH-9应力幅的概率分布与其他分布的对比图。

图3为Mittag-Leffler分布模拟CH-17应力幅的概率分布与其他分布的对比图。

图4为Mittag-Leffler分布模拟CH-7应力幅的概率分布与其他分布的对比图。

图5为Mittag-Leffler分布模拟CH-11应力幅的概率分布与其他分布的对比图。

图6为CH-9、CH-17、CH-7和CH-11对应的S-N曲线。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例，进一步阐明本发明，应理解这些实施例仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围，在阅读了本发明之后，本领域技术人员对本发明的各种等价形式的修改均落于本申请所附权利要求所限定的范围。

Mittag-Leffler分布是一类分布的总称，指数分布是该分布的特殊形式(见：文献2K.Jayakumar,R.P.Suresh.Mittag-Leffler distribution[J].J.Ind.Soc.Probab.Statist,2003,7:51-71)。该分布已广泛应用于反常扩散、电报信号、松弛现象等领域。该分布的概率密度函数，采用以下连续形式：

$f\left(x\right)=\frac{\sin \mathrm{\π\α}}{\mathrm{\σ\π}}{\∫}_0^{\∞}\frac{y^{\mathrm{\α}}\exp (-\mathrm{xy}/\mathrm{\σ})}{y^{2\mathrm{\α}}+1+{2y}^{\mathrm{\α}}\cos \mathrm{\π\α}}\mathrm{dy}$

其中，稳定指数α∈(0,1)，尺度参数σ＞0。稳定指数为1时，上述分布退化为指数分布。虽然该分布的密度函数是一种积分的形式，但通过计算机编程实现该积分，简单且精度高。

大量工程材料或结构寿命数据的统计特性表现出明显的指数分布形式，Mittag-Leffler分布作为指数分布的推广，建模手段比经典的指数分布灵活，并且参数具有明确的意义。该方法是一种描述应力幅值的新方法，采用此分布可以较为准确地得到桥梁应力幅的统计性分布规律，并利用此规律估算桥梁在随机载荷作用下的疲劳寿命。

请参阅图1所示，本发明基于Mittag-Leffler分布的桥梁随机疲劳寿命预测方法，包括如下步骤：

(1)获得应变数据，并计算应力谱；

在桥梁易发生疲劳部位放置应变计，通过实时观测得到观测部位的应变数据；观测时间记为T，也称为一个循环块对应的时间，然后通过应力-应变迟滞回环曲线得到应力谱。

(2)计算应力幅及相应的应力循环数；

采用雨流计数法，对步骤(1)中的应力谱进行处理，得到应力幅及对应的循环次数，并描绘应力幅的频率直方图。

(3)利用Mittag-Leffler分布确定应力幅的概率分布；

通过截断较小的应力幅值，降低其大循环次数对应力幅概率分布的影响，因此，采用的Mittag-Leffler分布概率密度函数的表达式为：

$f\left(x\right)=\frac{\sin \mathrm{\π\α}}{\mathrm{\σ\π}}{\∫}_0^{\∞}\frac{y^{\mathrm{\α}}\exp (-(x-s_c)y/\mathrm{\σ})}{y^{2\mathrm{\α}}+1+{2y}^{\mathrm{\α}}\cos \mathrm{\π\α}}\mathrm{dy}$

采用最小二乘法确定Mittag-Leffler分布模型的参数，并利用Kolmogorov-Smirnov(K-S)检验法，判断所得到的Mittag-Leffler分布是否可以用来描述应力幅的概率分布。

(4)确定观测部位的疲劳细节级数；

通过查询资料，确定观测部位的疲劳细节级数，并得到相应的应力幅S与疲劳寿命N的关系曲线，即S-N曲线。

log₁₀N_i＝-mlog₁₀S_i+log₁₀A

其中m和A是不同疲劳细节级数对应的常值。

(5)计算疲劳寿命。

按照Palmgren-Miner疲劳累积损伤理论的概率形式，计算疲劳破坏时整个寿命的循环块λ。Palmgren-Miner理论在预测随机载荷作用下的疲劳寿命时，优点是数学形式简洁，而精度同其他疲劳累计损伤方法相比在一个数量级上。

$\mathrm{\λ}.\left(\underset{i}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{n}_i\right).\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}\frac{f\left(S_i\right)}{N_i}=1$

其中k为应力幅水平级数，n_i为第i个应力幅S_i在应力谱一个循环块中发生的次数，N_i为应力幅S_i单独作用下导致疲劳破坏的循环次数，f(S_i)为应力幅S_i对应的Mittag-Leffler概率密度。

将得到的λ，代入下式，可得桥梁在随机载荷作用下的疲劳寿命L(以年为单位)

$L=\frac{\mathrm{\λ}.T}{365}$

其中T为一个循环块对应的时间(以天为单位)。随着经济的发展，每年的交通流以一定的比例增加，上述公式中以增加应力幅的水平级数方式，考察每年交通流的增长对疲劳寿命的影响。

实施例1

(1)本发明以美国的内维尔岛大桥和匹兹堡伯明翰大桥为例，分别选取了内维尔大桥CH-9和CH-17，伯明翰大桥CH-7和CH-11作为观测部位。内维尔岛大桥是一座系杆拱桥，1976年投入使用，2004年CH-17出现裂缝。伯明翰大桥也是一座系杆拱桥，1976年投入使用，2002年几乎所有的横梁连接处都出现了裂缝，但同年得到了修复。通过查阅资料(见：文献3R.J.Connor,J.W.Fisher,I.C.Hodgson,C.A.Bowman.Results of fieldmonitoring prototype floorbeam connection retrofit details on the Birmingham Bridge.Bethlehem(PA):Lehigh University Center for Advanced Technology for Large StructuralSystems(ATLSS);2004.文献4R.J.Connor,I.C.Hodgson,H.N.Mahmoud,C.A.Bowman.Field testing and fatigue evaluation of the I-79Neville Island Bridge over the Ohio River.Bethlehem(PA):Lehigh University Center for Advanced Technology for Large StructuralSystems(ATLSS);2005.)，搜集了CH-9，CH-17从2004年3月份到4月份近29天的观测数据，CH-7，CH-11从2003年10月份到12月份近40天的观测数据。CH-9和CH-17对应的最大应力幅分别为15.9971ksi(1ksi=6.895MPa)和7.4982ksi，均超过了对应的疲劳容许应力幅10ksi和4.5ksi，因此，认为这两个测验部位的疲劳寿命为有限寿命。CH-9和CH-17对应的最大应力幅均为10ksi，均未超过对应的疲劳容许应力幅24ksi和16ksi，因此，认为这两个测验部位的疲劳寿命为无限寿命。(以下均采用ksi作为应力幅的单位)

(2)将得到的观测数据，通过应力-应变迟滞回环曲线转变为应力谱。然后采用雨流计数法，处理应力谱，得到应力幅及对应的循环次数，并描绘应力幅的频率直方图。

(3)采用Mittag-Leffler分布模拟CH-9，CH-17，CH-7和CH-11的应力幅直方图，并与伽马分布、对数正态分布、威布尔分布的模拟结果比较，分别见图2、图3、图4和图5。利用最小二乘法确定了四组Mittag-Leffler分布的稳定指数α、尺度参数σ的值，s_c为截断的应力幅值，见表1，且K-S检验表明Mittag-Leffler分布为最佳拟合分布。

表1四组Mittag-Leffler分布对应的稳定指数α和尺度参数σ

	CH-9	CH-17	CH-7	CH-11
					α	0.98	0.98	0.98	0.98
σ	2.1	0.67	1.05	0.53
					sc	2.5	1.0	2.5	1.0

(4)通过查询AASHTO提供的疲劳细节级数，确定出CH-9，CH-17，CH-7和CH-11的级数分别为C，E，A，B，得到相应的S-N曲线，见图6。

CH-9：log₁₀N_i＝-3log₁₀S_i+9.64

CH-17：log₁₀N_i＝-3log₁₀S_i+9.04

CH-7：log₁₀N_i＝-3log₁₀S_i+10.40

CH-11：log₁₀N_i＝-3log₁₀S_i+10.08

(5)利用(3)中得到的Mittag-Leffler概率密度函数，(4)中得到S-N曲线以及Palmgren-Miner疲劳累积损伤的概率形式，通过下述两式计算四个观测部位对应的疲劳寿命，见表2。

$D=\mathrm{\λ}\·\left(\underset{i}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{n}_i\right)\·\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}\frac{f\left(S_i\right)}{N_i}=1$

$L=\frac{\mathrm{\λ}.T}{365}$

表2四个观测部位的疲劳寿命(单位：年)

	CH-9	CH-17	CH-7	CH-11
					L	30.3872	24.8605	12429	4365.9

为了验证和说明本发明预测桥梁疲劳寿命的有效性，与文献1中的预测结果进行对比，见表3。

表3文献1中四个观测部位的疲劳寿命(单位：年)

	CH-9	CH-17	CH-7	CH-11
					L	30	23	无限大	无限大

随着经济的发展，每年的交通流以一定的比例增加，本发明以增加应力幅水平级数的方式，考察每年交通流的增长对疲劳寿命的影响。文献1中采用的方法是按一定的比例增加每年的载荷循环水平。两种方式之间有一定的联系，以CH-7(k＝15)和CH-9(k＝18)为例，结果见表4和表5。

表4变化应力幅水平级数下，四个观测部位的疲劳寿命(单位：年)

k	CH-7	k	CH-11
				307	180.3790	520	119.0926
453	141.6618	789	95.7469

表5文献1中变化载荷水平下四个观测部位的疲劳寿命(单位：年)

增加比例	CH-7	CH-11
			3%	180	120
5%	140	97

通过对比可见，本发明是一种有效预测桥梁在随机载荷作用下疲劳寿命的方法，同样能够预测出CH-17在2004年之前可能发生疲劳，与实际情况相符。

本发明通过Mittag-Leffler分布刻画桥梁在随机载荷作用下应力幅的统计分布规律，进而利用S-N曲线和Palmgren-Miner疲劳累积损伤的概率形式对桥梁的疲劳寿命进行估算。该发明的特点是不需要大量的结构或材料疲劳试验；采用Mittag-Leffler分布比现有概率分布模拟应力幅的分布准确，且参数的意义明确；使用的S-N曲线和Palmgren-Miner疲劳累积损伤的概率形式，技术特点简单，方便工程技术人员的使用。

本发明可用于预测桥梁的疲劳寿命，是排除事故隐患、制定健康修复计划和延长使用寿命的保障，并且具有重要的理论和工程意义。

Claims (6)

1.一种基于Mittag-Leffler分布的桥梁随机疲劳寿命预测方法，其特征在于，包括如下步骤：

(1)获得应变数据，并计算应力谱；

(2)对步骤(1)中的应力谱进行处理，得到应力幅及相应的应力循环数；

(3)利用Mittag-Leffler分布确定应力幅的概率分布；

Mittag-Leffler分布采用的概率密度函数表达式为：

$f\left(x\right)=\frac{\sin \mathrm{\π\α}}{\mathrm{\σ\π}}{\∫}_0^{\∞}\frac{y^{\mathrm{\α}}\exp (-(x-s_c)y/\mathrm{\σ})}{y^{2\mathrm{\α}}+1+{2y}^{\mathrm{\α}}\cos \mathrm{\π\α}}\mathrm{dy}$

其中s_c为截断的应力幅值，采用最小二乘法确定Mittag-Leffler分布模型的参数，α∈(0,1)为稳定指数，σ＞0为尺度参数；

(4)确定观测部位疲劳细节级数；

(5)计算疲劳寿命。

2.根据权利1要求所述的疲劳寿命预测方法，其特征在于，步骤(1)中获得应变数据通过在桥梁易发生疲劳部位放置应变计，实时观测得到观测部位的应变数据；然后通过应力-应变迟滞回环曲线得到应力谱。

3.根据权利1要求所述的疲劳寿命预测方法，其特征在于，步骤(2)中采用雨流计数法，对步骤(1)中的应力谱进行处理，得到应力幅及对应的循环次数。

4.根据权利1要求所述的疲劳寿命预测方法，其特征在于，利用Kolmogorov-Smirnov检验法，判断所得到的Mittag-Leffler分布是否可以用来描述应力幅的概率分布。

5.根据权利1要求所述的疲劳寿命预测方法，其特征在于，步骤(4)中观测部位疲劳细节级数的确定通过查询资料，确定观测部位的疲劳细节级数，并得到相应的应力幅S与疲劳寿命N的关系曲线，即S-N曲线：log₁₀N_i＝-mlog₁₀S_i+log₁₀A，其中m和A是不同疲劳细节级数对应的常值。

6.根据权利1要求所述的疲劳寿命预测方法，其特征在于，步骤(5)中疲劳寿命的计算方法包括以下步骤：首先按照Palmgren-Miner疲劳累积损伤理论的概率形式，计算疲劳破坏时整个寿命的循环块λ；然后将得到的λ，代入下式，可得桥梁在随机载荷作用下的疲劳寿命L，其中，疲劳寿命L以年为单位：

$L=\frac{\mathrm{\λ}.T}{365}$

其中，T为一个循环块对应的时间，以天为单位。