CN102982248A - 基于线性矩阵不等式的序列地形重叠视场估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于线性矩阵不等式的序列地形重叠视场估计方法，利用滤波算法得到动力学系统在下一时刻的预测状态，然后在预测状态的局部区域内的将动力学系统看作参数不确定多面体线性系统，并建立考虑误差和干扰的探测器动力学方程的多面体模型，再将地形重叠视场的估计问题转换为线性矩阵不等式的最优问题，最后利用线性矩阵不等式方法估计激光雷达的最大重合视场。该方法不仅减少了基于滤波算法估计的视场的保守性，而且还继承了线性矩阵不等式方法求解方便，容易加入控制约束的优点。与单独使用滤波算法的状态估计方法相比，该方法能够有效提高匹配精度和地形数据点的配准良率。

Description

基于线性矩阵不等式的序列地形重叠视场估计方法

技术领域

本发明涉及地形导航过程中，用于确定深空探测器相对位姿的重叠视场估计方法，属于航天航空领域。

背景技术

导航、制导与控制技术是深空探测的关键技术之一，发展先进的导航与控制方法、提高探测器的运行性能和生存能力，是深空探测技术研究的重心。传统被动成像系统需要行星表面着陆点附近多种精确特征信息，不具备建立满足导航精度的行星模型的能力，随着深空探测任务对导航精度要求的提高，对先进导航敏感器和导航算法的需求愈发迫切。

主动光学敏感器可以用比较少的处理过程估计探测器和行星表面的相对运动，得到的地形点云数据比被动式成像技术包含更丰富的地形特征，通过对当前地形点云在行星三维模型全局范围进行匹配，能够实现行星绝对位置定位的功能。但是当探测器相对行星表面的姿态受扰动而变化时，敏感器的视场范围发生剧烈的变化，会引起地形图像序列之间的非重叠区域很大，导致地形匹配精度下降甚至匹配失败，这是因为在用于配准的地形数据中，只有重合的部分的数据能得到关联度高的地形特征，所以必须在待匹配的地形序列上估计包含相关联的特征的重叠区域。

常用的重叠视场估计方法是基于系统的状态估计问题开展的，利用滤波过程的下一时刻的状态预测值和当前状态的观测值进行重叠视场估计（参见J.F.Hamel,D.Neveu and J.D.Lafontaine.Feature Matching Navigation Techniques forLidar-Based Planetary Exploration[C].Keystone,Colorado:AIAA Guidance,Navigation,and Control Conference and Exhibit.2006:1-9），将二者取交集即得重叠视场。状态估计问题比较成熟的方法是滤波方法，包括适用于线性系统的卡尔曼滤波方法，及适用于非线性系统的扩展卡尔曼滤波(Extended Kalman Filtering,EKF)算法和粒子滤波(Particle Filtering,PF)算法等。EKF的基本思想是将非线性函数在估计点附近进行泰勒级数展开并取其一次项，然后进行卡尔曼滤波，就是将非线性系统进行线性化处理。EKF是一种次优滤波，而且因为EKF未考虑误差的分布情况等原因，易出现滤波发散等问题，特别是当系统高度非线性或非高斯的情况。当系统非线性、非高斯特性较强时，EKF和UKF等滤波性能急剧下降甚至出现发散。Gordon等提出了粒子滤波算法，并成功应用于状态估计。粒子滤波是一种序贯蒙特卡罗信号处理技术，其基本思想是由加权的离散随机采样点表征系统状态的后验概率密度。粒子滤波采用一组带有权值的随机样本粒子来描述概率分布。在概率高的区域，粒子的密度就大，相反，在概率低的区域，粒子的密度就小。每个滤波器对应一个位置，利用观测对每个滤波器进行加权传播，从而使最有可能位置的概率越来越高，因此，粒子滤波能够比较精确地表达基于观测量和控制量的后验概率分布。粒子滤波定位方法能够表示多峰分布，降低了存贮空间，易于实现，鲁棒性强，是一种很有效的定位方法。

另一种方法是利用导航系统内部的探测器动力学模型，在当前控制量的作用下用线性矩阵不等式方法对下一时刻的探测器状态做出预测（参见D.Li,N.Hovakimyan,C.Cao,K.Wise.Filter Design for Feedback-loop Trade-off of L_1Adaptive Controller:A Linear Matrix Inequality Approach.Honolulu,Hawaii:AIAAGuidance,Navigation and Control Conference and Exhibit.2008.AIAA-2008-6280）。系统的状态估计性能主要可以从三个方面考虑：估计的精度、快速性能、鲁棒性。许多系统都以其稳态为正常工作状态，其精度主要以其输出误差的稳态协方差来描述。上面的滤波方法即为精度为先的状态估计方法。它的设计目的是使滤波器的估计误差的方差达到最小，但由最小方差理论构成的滤波器解是唯一的，这给系统其它性能的改善带来了困难。在实际工程系统的设计中，往往只要求滤波器的误差的协方差小于允许值即可。在考虑系统的快速性能及鲁棒性时，在一个预定的区域内估计系统状态更为重要。因为这种区域的约束比精确极点区域的约束条件宽松的多，同样会带来估计算法的设计方便和设计的自由度，减小估计的保守性，而这正是在最大化重叠视场的估计算法中所需要的。

本发明将两种方法结合，利用滤波算法得到动力学系统在下一时刻的状态预测，把其局部区域内的非线性系统看作参数不确定多面体线性系统，然后利用线性矩阵不等式求解最大重叠视场。

在用于配准的地形数据中，只有重合的部分的数据能得到关联度高的地形特征，并使最小二乘形式的距离残差问题可解，但是当探测器相对行星表面的姿态变化较大时，激光雷达的视场范围发生明显的变化，会引起地形图像序列之间的非重叠区域很大，导致现有地形匹配方法的精度下降甚至匹配失败。为提高大姿态变化条件下的匹配精度，克服现有方法的缺点，本发明在考虑状态误差和干扰的基础上，估计相邻的待匹配地形序列的重叠视场，得到可靠的、包含足够特征信息的地形信息。

发明内容：

本发明针对三维地形匹配过程中，由于地形图像序列之间不重合而导致的地形匹配精度下降甚至匹配失败的问题，提出了一种基于线性矩阵不等式的序列地形重叠视场的估计方法。

本发明方法是通过下述技术方案实现的：

一种基于线性矩阵不等式的序列地形重叠视场估计方法，

其基本实施过程如下：

利用滤波算法得到动力学系统在下一时刻的预测状态，然后在预测状态的局部区域内的将动力学系统看作参数不确定多面体线性系统，并建立考虑误差和干扰的探测器动力学方程的多面体模型，再将地形重叠视场的估计问题转换为线性矩阵不等式的最优问题，最后利用线性矩阵不等式方法估计激光雷达的最大重合视场。

步骤一：计算探测器在k时刻实际观测到的特征信息。在k时刻，探测器通过激光雷达等传感器提取环境特征参数，根据观测模型获得当前位姿条件下能够观测到的行星表面的视场范围H(k)。

步骤二：预测探测器在k+1时刻的状态。根据k时刻的系统状态

和导航系统提供的已设定的探测器的运动探测方程，如式1，在预先设定控制输入u(k)的作用下，利用导航滤波算法获得对k+1时刻的状态进行预测，获得k+1时刻的系统状态向量和协方差矩阵的预测值为和

x(k+1)＝f(x(k))+g(x(k))u(k)＝A(k)x(k)+B(k)u(k)，

其中，x(k)为k时刻系统状态变量，x(k+1)为k+1时刻系统状态变量，u(k)为k时刻系统的控制输入变量，A(k)和B(k)分别为A和B在K时刻的系统状态变量和控制输入变量的参数矩阵。

步骤三：利用

和

计算探测器姿态在k+1时刻的多面体模型的顶点集∑。

利用利用李雅谱诺夫能量函数法求得系统在

位置的平衡点，通过Tailor级数展开或者集元辨识方法，获得多面体模型在k+1时刻的顶点集 $\mathrm{\Σ}=\mathrm{Co}{\left\{(A_i^d(k+1),B_i^d(k+1))\right\}}_{i=1}^4,$ 则，其由下面4个顶点构成：

(A₁(k+1),B₁(k+1))_minθ,minφ,(A₂(k+1),B₂(k+1))_maxθ,minφ,

(A₃(k+1),B₃(k+1))_minθ,maxφ,(A₄(k+1),B₄(k+1))_maxθ,maxφ     (2)

和

分别为在k+1时刻构成多面体模型顶点集的矩阵A和矩阵B，他们对应的探测器状态为

在探测器的本体坐标系下，θ和φ为探测器观测行星地形时，观测矢量的方向角和俯仰角；min与max分别代表对应参数的最小值和最大值。

此时，存在模型不确定性和干扰条件下，探测器运动模型中的A(k+1)和B(k+1)应满足下面的条件：

$[A(k+1),B(k+1)]\∈\mathrm{\Σ}=\mathrm{Co}{\left\{\right[A_i^d(k+1),B_i^d(k+1)\left]\right\}}_{i=1}^4---\left(3\right)$

步骤四：预测探测器在k+1时刻的视场范围

设

为探测器运动模型存在不确定性的条件下，在k+1时刻、在

处观测的行星表面范围，那么，在排除多面体模型的不确定性后，探测器在k+1时刻的视场范围

可以通过求解下面的优化问题得到：

min.： $\log \det \tilde{H}{(k+1)}^{-1}$

subject to： $\tilde{H}(k+1)\⋐H_1^d[A_1^d(k+1),B_1^d(k+1)]$

$\tilde{H}(k+1)\⋐H_2^d[A_2^d(k+1),B_2^d(k+1)]---\left(4\right)$

$\tilde{H}(k+1)\⋐H_3^d[A_3^d(k+1),B_3^d(k+1)]$

$\tilde{H}(k+1)\⋐H_4^d[A_4^d(k+1),B_4^d(k+1)]$

步骤五：计算重叠视场。根据在k时刻的实际视场范围H(k)和步骤四预计的在k+1时刻的视场范围

计算二者覆盖的行星表面范围的最大共同交集Ω（即重叠视场）的过程：

为求最大共同交集Ω，引入一个中间变量XT和一个中间常数α，它们与H(k)和

有下面的关系：

$\mathrm{\α}=\sup \{\mathrm{\α}>0:\mathrm{\α}\·X_T\⋐H\left(k\right),{\mathrm{\α}\·X}_T\⋐\tilde{H}(k+1)\}---\left(5\right)$

式5等价于下面的优化问题：

max.：α

subject to：α＞0， $\mathrm{\α}\·X_T\⋐H\left(k\right),$ $\mathrm{\α}\·X_T\⋐\tilde{H}(k+1)---\left(6\right)$

为方便求解，需要将约束条件（式6）转化为线性矩阵不等式的形式。选择ρ为H(k)中的子集，选择σ为中的子集，式（6）可写为线性矩阵不等式的形式：

${\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\ρ}}^T{\tilde{H}}^{-1}\mathrm{\ρ}\≤1\⇒\left[\begin{array}{cc}1/{\mathrm{\α}}^2& {\mathrm{\ρ}}^T\\ \mathrm{\ρ}& X_T\end{array}\right]\≥0---\left(7a\right)$

${\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\ρ}}^T{\tilde{H}}^{-1}\mathrm{\ρ}\≤1\⇒\left[\begin{array}{cc}1/{\mathrm{\α}}^2& {\mathrm{\σ}}^T\\ \mathrm{\σ}& X_T\end{array}\right]\≥0---\left(7b\right)$

求解式（7）约束下的优化问题，可得到相应的X_T和α，则二者的乘积α·X_T即为待求的交集Ω。

步骤六：求解简化的最优问题。

步骤五描述的问题不容易求解，所以令η＝1/α²，将步骤五的优化问题转换为下面的形式：

minimize：η

subject to：式（7）

求解这个问题，如得到满足小于1的η，则说明我们找到了最大化的α，也就是探测器在相邻两个时刻观测到的行星地形的重叠视场Ω。

有益效果：

本发明所给出基于线性矩阵不等式的三维地形重叠视场估计方法，具有算法简单、计算量小的优点，同时由于考虑了重叠视场可信度和保守性两个问题。该选取方法可以在保证重叠视场内的特征点能够有效关联的同时，尽可能的扩大重叠视场范围以便获得更多的可关联特征。该方法不仅减少了基于滤波算法估计的视场的保守性，而且还继承了线性矩阵不等式方法求解方便，容易加入控制约束的优点。与单独使用滤波算法的状态估计方法相比，该方法能够有效提高匹配精度和地形数据点的配准良率。

附图说明：

图1，状态估计问题的过程模型

具体实施方式：

如下图1所示，图中实线连接的空心三角形表示的真实状态，虚线连接的实现三角形表示探测器的估计状态；空心五边形图标表示路标的实际位置，实心五边形图标表示路标的估计位置。

假设k时刻，系统的状态变量是X(k)＝[X_r(k),X_l(k)]^T，其中X_r(k)表示探测器的位姿，X_l(k)表示此时所观测到的n个环境特征(即路标)的位置。u_k在k-1时刻作用于探测器的控制向量，使探测器在k时刻到达状态X_k。相对位姿确定问题的核心就是估计探测器的位姿和环境中路标的位置，也就是对x_k进行估计。由于受移动探测器运动模型和观测模型的误差以及环境中不可预测的噪声等因素影响，系统的先验状态估计是不准确的，需要借助探测器外部传感器观测得到的环境路标信息来计算后验概率分布，从而使对x_k的估计接近实际值。利用线性矩阵不等式方法估计序列地形重叠视场的步骤细分如下：

步骤一：计算探测器在k时刻实际观测到的特征信息。在k时刻，探测器在X_k位置，通过激光雷达等传感器提取环境特征参数，根据观测模型获得当前位姿条件下能够观测到的行星表面的视场范围H(k)。

步骤二：预测探测器在k+1时刻的状态。

探测器运动模型为：

x(k+1)＝f(x(k))+g(x(k))u(k)＝A(k)x(k)+B(k)u(k)，

其中，x(k)为k时刻系统状态变量，x(k+1)为k+1时刻系统状态变量，u(k)为k时刻系统的控制输入变量，A(k)和B(k)分别为A和B在K时刻的系统状态变量和控制输入变量的参数矩阵。

根据k时刻的系统状态

和探测器的运动模型，在控制输入u(k)的作用下，对k+1时刻的状态进行预测，获得k+1时刻的系统状态向量和协方差矩阵的预测为

和

步骤三：利用

和

计算探测器姿态在k+1时刻的多面体模型的顶点集∑。

预测观测产生了在探测器坐标系下的预测特征点，这些预测特征点的位置是不确定的，因为探测器的位置预测是不确定的。应该在考虑模型不确定性和状态干扰的条件下，通过建立探测器的多面体模型，为地形匹配算法确定可信的迭代区间，得到关联度高的地形特征，为地形匹配算法提供保障。

利用

利用李雅谱诺夫能量函数法求得系统的平衡点，通过Tailor级数展开或者集元辨识方法获得多面体模型在k+1时刻的顶点集

则，其由下面4个顶点构成：

${(A_1^d(k+1),B_1^d(k+1))}_{\min \mathrm{\θ},\min \mathrm{\φ}},$ ${(A_2^d(k+1),B_2^d(k+1))}_{\max \mathrm{\θ},\min \mathrm{\φ}},$

${(A_3^d(k+1),B_3^d(k+1))}_{\min \mathrm{\θ},\max \mathrm{\φ}},$ ${(A_4^d(k+1),B_4^d(k+1))}_{\max \mathrm{\θ},\max \mathrm{\φ}}---\left(2\right)$

和

分别为在k+1时刻构成多面体模型顶点集的矩阵A和矩阵B，他们对应的k+1时刻的模型状态为

在探测器的本体坐标系下，θ和φ为探测器观测行星地形时，观测矢量的方向角和俯仰角；min与max分别代表对应参数的最小值和最大值。

此时，存在模型不确定性和干扰条件下，探测器运动模型中的A(k+1)和B(k+1)在k+1时刻应满足下面的条件：

$[A(k+1),B(k+1)]\∈\mathrm{\Σ}=\mathrm{Co}{\left\{\right[A_i^d(k+1),B_i^d(k+1)\left]\right\}}_{i=1}^4---\left(3\right)$

步骤四：预测探测器在k+1时刻的视场范围

设

为探测器运动模型存在不确定性条件下，在k+1时刻、在

处观测的行星表面范围，那么，在排除多面体模型的不确定性后，探测器在k+1时刻的视场范围

可以通过求解下面的优化问题得到：

min.： $\log \det \tilde{H}{(k+1)}^{-1}$

subject to： $\tilde{H}(k+1)\⋐H_1^d[A_1^d(k+1),B_1^d(k+1)]$

$\tilde{H}(k+1)\⋐H_2^d[A_2^d(k+1),B_2^d(k+1)]---\left(4\right)$

$\tilde{H}(k+1)\⋐H_3^d[A_3^d(k+1),B_3^d(k+1)]$

$\tilde{H}(k+1)\⋐H_4^d[A_4^d(k+1),B_4^d(k+1)]$

步骤五：计算重叠视场。根据在k时刻的实际视场范围H(k)和步骤四预计的在k+1时刻的视场范围

计算二者覆盖的行星表面范围的最大共同交集Ω（即重叠视场）的过程：

为求最大共同交集Ω，引入一个中间变量XT和一个中间常数α，它们与H(k)和

有下面的关系：

$\mathrm{\α}=\sup \{\mathrm{\α}>0:\mathrm{\α}\·X_T\⋐H\left(k\right),{\mathrm{\α}\·X}_T\⋐\tilde{H}(k+1)\}---\left(5\right)$

式5等价于下面的优化问题：

max.：α

subject to：α＞0， $\mathrm{\α}\·X_T\⋐H\left(k\right),$ $\mathrm{\α}\·X_T\⋐\tilde{H}(k+1)---\left(6\right)$

为方便求解，需要将约束条件（式6）转化为线性矩阵不等式的形式。选择ρ为H(k)中的子集，选择σ为

中的子集，式（6）可写为线性矩阵不等式的形式：

${\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\ρ}}^T{\tilde{H}}^{-1}\mathrm{\ρ}\≤1\⇒\left[\begin{array}{cc}1/{\mathrm{\α}}^2& {\mathrm{\ρ}}^T\\ \mathrm{\ρ}& X_T\end{array}\right]\≥0---\left(7a\right)$

${\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\ρ}}^T{\tilde{H}}^{-1}\mathrm{\ρ}\≤1\⇒\left[\begin{array}{cc}1/{\mathrm{\α}}^2& {\mathrm{\σ}}^T\\ \mathrm{\σ}& X_T\end{array}\right]\≥0---\left(7b\right)$

求解式（7）约束下的优化问题，可得到相应的X_T和α，α·X_T即为待求的交集Ω。

步骤六：求解简化的最优问题。

步骤五描述的问题不容易求解，所以令η＝1/α²，将步骤五的优化问题转换为下面的形式：

minimize：η

subject to：式（7）

求解这个问题，如得到满足小于1的η，则说明我们找到了最大化的α，也就是探测器在相邻两个时刻观测到的行星地形的重叠视场Ω。

以上实施例仅是本发明的一种体现，凡是在本发明的精神和原则以下，进行的任何等同替换，局部改进，都将视为在本发明的保护范围之内。

Claims (2)

1.一种基于线性矩阵不等式的序列地形重叠视场估计方法，其特征在于，

利用滤波算法得到动力学系统在下一时刻的预测状态，然后在预测状态的局部区域内的将动力学系统看作参数不确定多面体线性系统，并建立考虑误差和干扰的探测器动力学方程的多面体模型，再将地形重叠视场的估计问题转换为线性矩阵不等式的最优问题，最后利用线性矩阵不等式方法估计激光雷达的最大重合视场。

2.根据权利要求1所述的一种基于线性矩阵不等式的序列地形重叠视场估计方法，其特征在于：

步骤一：计算探测器在k时刻实际观测到的特征信息；在k时刻，探测器通过激光雷达等传感器提取环境特征参数，根据观测模型获得当前位姿条件下能够观测到的行星表面的视场范围H(k)；

步骤二：预测探测器在k+1时刻的状态；根据k时刻的系统状态

和导航系统提供的已设定的探测器的运动探测方程，如式1，在预先设定控制输入u(k)的作用下，利用导航滤波算法获得对k+1时刻的状态进行预测，获得k+1时刻的系统状态向量和协方差矩阵的预测值为

和

x(k+1)＝f(x(k))+g(x(k))u(k)＝A(k)x(k)+B(k)u(k)，

其中，x(k)为k时刻系统状态变量，x(k+1)为k+1时刻系统状态变量，u(k)为k时刻系统的控制输入变量，A(k)和B(k)分别为A和B在K时刻的系统状态变量和控制输入变量的参数矩阵；

步骤三：利用

和

计算探测器姿态在k+1时刻的多面体模型的顶点集∑；

利用利用李雅谱诺夫能量函数法求得系统在

位置的平衡点，通过Tailor级数展开或者集元辨识方法，获得多面体模型在k+1时刻的顶点集 $\mathrm{\Σ}=\mathrm{Co}{\left\{(A_i^d(k+1),B_i^d(k+1))\right\}}_{i=1}^4,$ 则，其由下面4个顶点构成：

(A₁(k+1),B₁(k+1))_minθ,minφ,(A₂(k+1),B₂(k+1))_maxθ,minφ,

(A₃(k+1),B₃(k+1))_minθ,maxφ,(A₄(k+1),B₄(k+1))_maxθ,maxφ(2)

和

分别为在k+1时刻构成多面体模型顶点集的矩阵A和矩阵B，他们对应的探测器状态为

在探测器的本体坐标系下，θ和φ为探测器观测行星地形时，观测矢量的方向角和俯仰角；min与max分别代表对应参数的最小值和最大值；

此时，存在模型不确定性和干扰条件下，探测器运动模型中的A(k+1)和B(k+1)应满足下面的条件：

$[A(k+1),B(k+1)]\∈\mathrm{\Σ}=\mathrm{Co}{\left\{\right[A_i^d(k+1),B_i^d(k+1)\left]\right\}}_{i=1}^4---\left(3\right)$

步骤四：预测探测器在k+1时刻的视场范围

设

为探测器运动模型存在不确定性的条件下，在k+1时刻、在处观测的行星表面范围，那么，在排除多面体模型的不确定性后，探测器在k+1时刻的视场范围

可以通过求解下面的优化问题得到：

min.： $\log \det \tilde{H}{(k+1)}^{-1}$

subject to： $\tilde{H}(k+1)\⋐H_1^d[A_1^d(k+1),B_1^d(k+1)]$

$\tilde{H}(k+1)\⋐H_2^d[A_2^d(k+1),B_2^d(k+1)]---\left(4\right)$

$\tilde{H}(k+1)\⋐H_3^d[A_3^d(k+1),B_3^d(k+1)]$

$\tilde{H}(k+1)\⋐H_4^d[A_4^d(k+1),B_4^d(k+1)]$

步骤五：计算重叠视场；

根据在k时刻的实际视场范围H(k)和步骤四预计的在k+1时刻的视场范围计算二者覆盖的行星表面范围的最大共同交集Ω（即重叠视场）的过程：

为求最大共同交集Ω，引入一个中间变量XT和一个中间常数α，它们与H(k)和

有下面的关系：

$\mathrm{\α}=\sup \{\mathrm{\α}>0:\mathrm{\α}\·X_T\⋐H\left(k\right),{\mathrm{\α}\·X}_T\⋐\tilde{H}(k+1)\}---\left(5\right)$

式5等价于下面的优化问题：

max.：α

subject to：α＞0， $\mathrm{\α}\·X_T\⋐H\left(k\right),$ $\mathrm{\α}\·X_T\⋐\tilde{H}(k+1)---\left(6\right)$

为方便求解，需要将约束条件（式6）转化为线性矩阵不等式的形式；选择ρ为H(k)中的子集，选择σ为

中的子集，式（6）可写为线性矩阵不等式的形式：

${\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\ρ}}^T{\tilde{H}}^{-1}\mathrm{\ρ}\≤1\⇒\left[\begin{array}{cc}1/{\mathrm{\α}}^2& {\mathrm{\ρ}}^T\\ \mathrm{\ρ}& X_T\end{array}\right]\≥0---\left(7a\right)$

${\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\ρ}}^T{\tilde{H}}^{-1}\mathrm{\ρ}\≤1\⇒\left[\begin{array}{cc}1/{\mathrm{\α}}^2& {\mathrm{\σ}}^T\\ \mathrm{\σ}& X_T\end{array}\right]\≥0---\left(7b\right)$

求解式（7）约束下的优化问题，可得到相应的X_T和α，则二者的乘积α·X_T即为待求的交集Ω；

步骤六：求解简化的最优问题；

步骤五描述的问题不容易求解，所以令η＝1/α²，将步骤五的优化问题转换为下面的形式：

minimize：η

subject to：式（7）

求解这个问题，如得到满足小于1的η，则说明我们找到了最大化的α，也就是探测器在相邻两个时刻观测到的行星地形的重叠视场Ω。

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