CN102968556B - 一种基于概率分布的配网可靠性判断方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于概率分布的配网可靠性判断方法，本判断方法基于现有的可靠性判断指标基础上，提出如下三个配网可靠性判断指标，且该三个配网可靠性判断指标通过解析表达式求得：系统故障前工作时间TTSF、系统故障后恢复时间TTSR以及系统故障频率SIF。本发明基于配网分区分块思想，分别从系统级和节点层对配电网可靠性指标采用随机函数进行解析表征，再进一步结合非参数核密度估计技术，实现了可靠性指标随机函数表达式的概率分布计算。本方法新提出的指标是现有配电网可靠性指标体系的有益补充，有助于快速直观研判系统可靠性水平的整体随机特性。

Description

一种基于概率分布的配网可靠性判断方法

技术领域

本发明涉及配电网可靠性判断方法的改进，具体涉及一种基于概率分布的配网可靠性判断方法，属于配网可靠性判断技术领域。

背景技术

配电系统处于电力系统末端，直接与用户相连，电力系统对用户的供电能力与供电质量都必须通过配电系统来具体实现，配电网可靠性是整个电力系统安全运行的集中反映。传统配电网可靠性判断采用期望值指标来揭示系统可靠性的长期平稳变化趋势，可方便快速地为规划和运行人员提供富有价值的系统停运风险信息。但期望值是从长期概率均值角度反映物理现象概率属性的一种数字特征，并不能完整揭示系统可靠性的内在分布规律和结构特性。因此，要实现对系统随机特性和风险水平的理性认知，应从概率分布角度对系统风险进行完整刻画。

配网可靠性评估通常假设元件的状态转移率为常数，即假定状态停留时间为指数分布。对已经历调试期而尚未进入衰耗期的系统元件，此假设有效且大大简化了建模分析的难度。而在实际工程问题中，元件故障现象与元件所处地理位置、环境污染、天气因素、元件维护水平、元件使用年龄和内部老化等诸多因素协同影响；同时，元件修复过程也深受故障时天气状况、故障定位时间、故障点地理位置、维修人员数量和水平、维修工具和维修方式等的影响。因此，对元件工作时间及修复时间采用非指数分布来描述其状态驻留时长的概率不确定性可与工程实际更加吻合。

配网可靠性评估分为解析法^]和蒙特卡洛模拟法两大类，且各有优缺点。解析法通过对系统枚举到的每一个状态进行出现概率与影响后果的加权求和得到可靠性指标的期望值，方法简单且计算速度较快。但是，传统解析法要求元件状态驻留时间服从指数分布，且不能得到可靠性指标的概率分布。序贯蒙特卡洛仿真通过对系统实际运行过程的模拟和统计分析可求取可靠性指标的概率分布，并且适用于非指数分布系统，但为了满足模拟精度的要求计算时间较长，且元件可靠性参数一旦改变则需重新进行完整的仿真计算，因此难以开展可靠性参数的灵敏度分析。鉴于此，若能从解析角度建立配网可靠性指标与元件概率特性的函数关系，不但能高效求取配网可靠性指标的概率分布，而且为进一步开展元件随机特性与配网可靠性指标概率分布之间的关联性和耦合度分析奠定理论基础。已有文献大多基于元件状态的指数分布展开研究，鲜有文献探讨过非指数分布下系统可靠性的概率分布计算。其中，文献（B.Retterath，S.S.Venkata，A.A.Chowdhury．Impactoftime-varyingfailureratesondistributionreliability[J]．ElectricalPowerandEnergySystems，2005(27)：682-688．）计及元件使用年龄来研究时变故障率对配网可靠性指标的影响；文献（宁辽逸，吴文传，张伯明．一种适用于运行风险评估的元件修复时间概率分布[J]．中国电机工程学报，2009，29(16)：15-20．）提出了概率分布为叠加指数分布、密度曲线为“铃形”的维修时间，并分析了时变修复率在系统运行风险评估中对系统瞬时状态概率值的影响；但上述两文献仅限于时变转移率对可靠性指标期望值的影响，未得到可靠性指标的概率分布。在可靠性指标概率分布解析计算方面，已有学者作过初步探索，文献（R.Billinton，R.Goel．Ananalyticalapproachtoevaluateprobabilitydistributionsassociatedwiththereliabilityindicesofelectricdistributionsystems[J]．IEEETrans.onPowerDelivery，1986，3(1)：245-251．）在元件故障次数近似服从泊松分布的假设下实现了可靠性指标前四阶矩的计算，借助皮尔逊频率曲线获得了配网可靠性指标的百分位数，但通过前四阶矩从皮尔逊分布曲线簇中选择最适合的概率分布类型异常困难；文献[EnricoC，GianfrancoC．Evaluationoftheprobabilitydensityfunctionsofdistributionsystemreliabilityindiceswithacharacteristicfunctions-basedapproach[J]．IEEETrans.onPowerSystems，2004，19(2)：724-734．]推导了配网可靠性指标的特征函数，并获得了配网可靠性指标的前四阶原点矩、中心矩和概率密度曲线，但该方法涉及复杂的离散傅里叶变换DFT和逆变换IDFT，且不能适用于非线性随机函数，并严格要求随机函数中的随机变量彼此独立；文献[赵渊，谢开贵．电网可靠性指标概率密度分布的解析计算模型[J]．中国电机工程学报，2011，31(4)：31-38．]首次在大电力系统中对可靠性指标概率密度分布的解析计算进行了有益尝试，但配电网与大电网的结构特征和运行方式不同，可靠性指标体系也相差很大，故其计算方法难以直接应用到配电网可靠性评估中。

现有配电网可靠性指标的评估重心主要放在负荷侧，已有的系统级指标，例如系统平均停电频率指标SAIFI，可由各负荷点可靠性指标来表达并计入了负荷点用户数的影响，是一种仅站在用户视角考察配网整体可靠性的测度指标，仅从用户侧的角度体现配网随机故障对负荷点用户年停电持续时间和年停电频率等方面的影响，无法从宏观上整体把握系统运行风险的变化规律。

发明内容

针对现有技术存在的上述不足，本发明的目的在于提供一种在不降低判断准确性基础上、使判断过程更高效更全面的基于概率分布的配网可靠性判断方法。

本发明实现上述目的的技术解决方案如下：

一种基于概率分布的配网可靠性判断方法，本判断方法基于现有的可靠性判断指标--停电频率、停电时间和年缺供电量基础上，将整个配网看成一个等效元件而同时提出如下三个配网可靠性判断指标，且该三个配网可靠性判断指标通过解析表达式求得：系统故障前工作时间TTSF、系统故障后恢复时间TTSR以及系统故障频率SIF；其中系统故障前工作时间TTSF为配电网可靠性等值网络中任一串联元件故障之前配电网所经历的工作时间；系统故障后恢复时间TTSR为全部负荷点恢复供电所经历的时间；系统故障频率SIF为系统单位时间内的停电次数；配电网可靠性等值网络是在元件故障相互独立的假设下，由引起系统失效的所有元件串联而成。

所述系统故障前工作时间TTSF的概率分布、概率密度分布及其期望值的表达式如下：

(17)

(18)

(19)

式中：为元件的故障率；式(17)-(19)对元件工作时间服从任何概率分布都有效，只要知道的解析表达式并且能够积分；当不能用解析式表达或者不便直接积分时，可采用数值积分计算及，采用数值微分计算；

对于配电系统一阶故障事件，构成一个故障状态集合空间，在系统状态由随机转移到中时，令表示从系统状态转移到中状态的概率，且的计算公式如式（20）；表示在系统转移至状态后元件修复时间的概率分布，为元件修复时间的概率密度分布；

(20)

则系统故障后恢复时间TTSR的概率分布、概率密度分布及其期望值的表达式如下：

(21)

(22)

(23)

系统故障频率SIF在指数分布与非指数分布两种情况下的随机函数近似解析表达式、为：

，(24)。

所述传统配网可靠性判断指标停电频率、停电时间和年缺供电量分系统级指标和负荷点指标，系统级指标对应为系统平均停电频率、系统平均停电持续时间和系统年缺供电量，该三个配网系统级可靠性判断指标通过随机函数解析表达式求得，表达式的确定过程为：

根据故障扩散范围和恢复措施的作用范围，以开关装置为边界对配电网进行简化分块，块的等值可靠性参数可用块内所有元件的串联公式计算；配电网进行分块之后的可靠性等值网络是由引起系统失效的所有块所构成的串联网络；

某故障事件发生后，根据该故障事件对负荷点停电持续时间影响的不同，将节点分为4类：a类节点位于开关上游，在故障事件发生后开关正确动作切除故障，该节点用户不受故障影响；b类节点故障时间为隔离开关操作时间；c类节点故障时间为隔离开关操作加联络开关切换时间；d类节点故障时间为元件修复时间；

假设某配电网含个元件和个负荷点，元件编号为，负荷点编号为，其中负荷点的用户数用表示，采用分块算法时共形成个块，编号为，其中第个块用表示，表示由块中的元件编号所构成的集合；块故障时引起个负荷点停电，表示块故障时导致停电的负荷点编号所构成的集合，对停电时间为b、c、d类的负荷点，其节点编号所构成的集合分别为、及；

区间中的参数取1；系统平均停电频率、系统平均停电持续时间和系统年缺供电量按指数分布系统和非指数分布系统有两种解析表达；

对于指数分布系统，以块为基础计算单元，令为块的年故障次数，为块中元件的年故障次数，为块中元件n的故障率；则有：

(6)

为随机变量，故也为随机变量，且因服从泊松分布，在元件故障相互独立的假设下，根据概率论相关理论也服从泊松分布，且其参数为：

(7)

基于上述，可得到配网系统级可靠性指标：系统平均停电频率、系统平均停电持续时间、系统年缺供电量指数分布条件下的随机函数解析表达式：

(8)

(9)

(10)

式中：块故障后，b、c类节点的停电时间分别用、表示，且分别服从以块的平均故障隔离时间、平均故障隔离外加联络切换操作时间为参数的指数分布；为块的修复时间，服从以块中当前故障元件的平均修复时间为参数的指数分布；、表示负荷点和的用户数，表示负荷点的负荷大小，通常为其平均负荷；

对于非指数分布系统，假设元件的故障前工作时间服从威布尔分布，元件修复时间及开关操作时间服从对数正态分布，可得到非指数分布情况下系统平均停电频率、系统平均停电持续时间、系统年缺供电量的随机函数解析表达式：

(11)

(12)

(13)

式中：为块中元件的年故障次数，其概率分布由式(5)确定；、此处服从对数正态分布；为块中元件n的修复时间，也服从对数正态分布；对数正态分布的参数由式(15)、(16)确定；

式(5)为元件故障前工作时间服从威布尔分布时，在内故障发生次数的概率分布：(5)

(15)

(16)

式(15)、(16)中：根据当前计算对象的不同，可为开关的平均操作时间或故障元件的平均修复时间，联立以上两式便可计算对数正态分布的参数、。

所述停电频率、停电时间和年缺供电量的负荷点指标对应为年故障频率、年停电时间和年缺供电量，该三个配网负荷点可靠性判断指标通过随机函数解析表达式求得，其随机函数解析表达式确认过程为：

令表示导致负荷点m停电的所有故障块的编号所组成的集合，表示故障时会导致负荷点停电的第i个块的编号，此时负荷点的可靠性等值网络由集合中的块串联构成；对负荷点造成停电时间为b、c、d类的块编号所构成的集合分别用、及来表示；

指数分布条件下负荷点的年故障频率、年停电时间和年缺供电量的随机函数近似解析表达式：

(B1)

(B2)

(B3)

式中：块故障后，导致负荷点为b、c类节点的停电时间用、表示，且分别服从以块的平均故障隔离时间、平均故障隔离外加联络切换操作时间为参数的指数分布；为块的修复时间，服从以块中当前故障元件的平均修复时间为参数的指数分布；表示负荷点的负荷大小，通常为其平均负荷；

非指数分布条件下负荷点的年故障频率、年停电时间和年缺供电量的随机函数近似解析表达式：

(B4)

(B5)

(B6)

式中：为块中元件n的年故障次数，其概率分布由式(5)确定；、此处服从对数正态分布；为块中元件n的修复时间；对数正态分布的参数由式(15)、(16)确定。

本发明基于配网分区分块思想，考虑元件工作和修复时间为指数及非指数分布，分别从系统级和节点层对配电网可靠性指标采用随机函数进行解析表征，再进一步结合非参数核密度估计技术，实现了可靠性指标随机函数表达式的概率分布计算。本方法提出的系统故障前工作时间、系统故障后恢复时间和系统停电频率指标是现有配电网可靠性指标体系的有益补充，有助于快速直观研判系统可靠性水平的整体随机特性，而元件工作和修复时间非指数分布的计入可使评估结果更接近工程实际。通过对RBTS-BUS6可靠性测试系统的解析评估，并以序贯蒙特卡洛仿真结果为参考基准，验证了本文方法的有效性和正确性。

无论元件故障前工作时间和故障后修复时间服从何种分布，本方法均可快捷实现系统故障前工作时间TTSF及故障后恢复时间TTSR的概率密度分布解析计算，有效克服了传统配电网可靠性评估中元件故障前工作时间和故障后修复时间需要服从指数分布的强制主观假设这一大缺点。

附图说明

图1-配电网的状态空间图。

图2-概率区间数示意图。

图3-RBTSBUS6TTSF、TTSR的概率密度分布曲线图。

图4-RBTS-BUS6方案A的SAIFI、ENS的概率密度分布曲线图。

图5-RBTS-BUS6方案ASIF的概率密度分布曲线图。

图6-RBTS-BUS6方案BSAIFI、ENS的概率密度分布曲线图。

图7-RBTS-BUS6方案BSIFI指标的概率密度分布曲线图。

图8-RBTS-BUS6方案CSAIFI、ENS的概率密度分布曲线图。

图9-RBTS-BUS6方案CSIF的概率密度分布曲线图。

图10-威布尔分布的概率密度曲线图。

具体实施方式

本发明从系统整体角度出发将整个配网看作一个等效元件，提出了系统故障前工作时间（TTSF，timetosystemfailure）、系统故障后恢复时间(TTSR，timetosystemrepair)以及系统停电频率(SIF，systeminterruptionfrequency)指标，从系统层面辨别配网遭遇停电之前的正常工作时间、停电后供电恢复时间以及年停电次数的概率分布规律。它们不仅是现有配电网可靠性指标体系的有益补充，也有助于研究人员宏观上整体把握系统运行风险的变化规律。

本发明基于网络分块分区思想，在元件工作时间和修复时间均服从指数分布、元件工作时间服从威布尔分布，修复时间服从对数正态分布两种假设下，推导了配电网负荷侧及系统侧可靠性指标的随机函数近似解析表达式。通过随机抽样生成概率函数表达式样本，并结合非参数核密度估计算法获得了可靠性指标的概率密度曲线。通过对RBTS-BUS6可靠性测试系统的算例评估及序贯蒙特卡洛仿真的对比分析，验证了本文所提方法的可行性。

1、元件故障的频率分布

如果元件的故障前工作时间服从参数为的指数分布，且故障后的平均维修时间MTTR远小于平均无故障工作时间MTTF，则元件在时间内的故障发生次数近似服从参数为的泊松分布：

(1)

式中：为时间内发生x次故障的概率。

如果元件的故障前工作时间服从参数为、的威布尔分布，则随其尺度参数与形状参数的取值不同，便可构成对多种分布的表达^[16]。式(2)给出了威布尔分布的概率密度函数：

(2)

式中：、。对威布尔分布而言：当时等同于指数分布；当时等同于瑞利分布；当时可近似表达正态分布。

由式(2)可得威布尔分布的期望和标准差如下：

(3)

(4)

式中：是伽马函数，详细定义见文献[BillintonR，AllanRN著；周家启，黄雯莹等译．工程系统可靠性评估-原理和方法[M]．科学技术文献出版社，1986．]。

当元件的工作时间服从威布尔分布时，其在时间内的故障发生次数不再服从泊松分布，源于其故障率随时间而变化，不再是固定不变的常数。此时，采用微元分析法，可假设元件在故障前任意足够小的时段内故障率为常数，则内其随机故障的规律服从指数分布，基于此本文推导出元件在内故障发生次数的概率分布如下：

(5)

将、代入式(5)可得到与式(1)完全相同的表达式，可见式(1)只是式(5)的一个特例。因此，采用威布尔分布来拟合或近似表达多种故障前工作时间分布，并用式(5)求取该分布下元件故障次数的出现概率是正确和有效的。

式(5)元件故障发生次数的概率分布推导过程如下：

如果元件故障前工作时间服从参数为、的威布尔分布，则元件在时间内故障发生次数的概率分布推导如下：

令是一个足够小的时间区间，以使该区间内故障发生超过一次的概率非常小而可忽略不计，以及元件的故障率在时间区间内可认为保持不变，故元件在时间内近似服从指数分布，即用时间处的故障率数值来近似作为时间区间内的故障率。

(a)零故障

令是区间内发生次故障的概率，因区间内零故障的概率等于区间内零故障的概率乘以区间内零故障的概率。故有：

(A1)

假设故障事件之间彼此独立，有

(A2)

当，即变成微增量时

(A3)

代入威布尔分布的故障率函数

(A4)

对上式两边积分得：

(A5)

已知时元件处于运行状态，因此时，，得，并给出：

(A6)

(b)多次故障

由于假设了区间足够小以致这个区间内多于一次故障的概率可以忽略不计，从而

(A7)

为求解此微分方程，可采用数学中的递推算法，当一次故障时：

(A8)

整理有：

(A9)

令

(A10)

这是一阶线性微分方程，初始条件为：时元件运行，即。求得方程的解为：

(A11)

采用相同的思路可得二次故障时：

(A12)

三次故障时：

(A13)

以此类推，可得次故障的概率为：

(A14)

2、可靠性指标随机函数解析表达式

配电网可靠性评估一般仅考虑单阶元件故障，且假定在系统故障后的修复期间不会出现新的元件重叠故障。本文借鉴已有研究成果，根据故障扩散范围和恢复措施的作用范围，以开关装置为边界对配电网进行简化分块，块的等值可靠性参数可用块内所有元件的串联公式计算。配电网进行分块之后的可靠性等值网络是由引起系统失效的所有块所构成的串联网络。

某故障事件发生后，根据该故障事件对负荷点停电持续时间影响的不同，将节点分为4类：a类节点位于开关（断路器、熔断器）上游，在故障事件发生后开关正确动作切除故障，该节点用户不受故障影响；b类节点故障时间为隔离开关操作时间；c类节点故障时间为隔离开关操作加联络开关切换时间；d类节点故障时间为元件修复时间。

假设某配电网含个元件和个负荷点，元件编号为，负荷点编号为，其中负荷点的用户数用表示，采用分块算法时共形成个块，编号为，其中第个块用表示，表示由块中的元件编号所构成的集合。块故障时引起个负荷点停电，表示块故障时导致停电的负荷点编号所构成的集合，对停电时间为b、c、d类的负荷点，其节点编号所构成的集合分别为、及。

配电网可靠性评估通常采用年可靠性指标，因此下文对区间中的参数默认取1。对于配电网可靠性指标随机函数的近似解析表达，需要分系统级指标和负荷点指标两种情况进行说明。系统级指标分析如下。

2.1指数分布系统

对于指数分布系统，以块为基础计算单元，令为块的年故障次数，为块中元件的年故障次数，为块中元件n的故障率。则有：

(6)

为随机变量，故也为随机变量，且因服从泊松分布，在元件故障相互独立的假设下，根据概率论相关理论也服从泊松分布，且其参数为：

(7)

基于上述，可得到配网系统级可靠性指标：系统平均停电频率、系统平均停电持续时间、系统年缺供电量的随机函数解析表达式：

(8)

(9)

(10)

式中：块故障后，b、c类节点的停电时间分别用、表示，且分别服从以块的平均故障隔离时间、平均故障隔离外加联络切换操作时间为参数的指数分布；为块的修复时间，服从以块中当前故障元件的平均修复时间为参数的指数分布；、表示负荷点和的用户数，表示负荷点的负荷大小，通常为其平均负荷。

2.2非指数分布系统

对于非指数分布系统，为了使可靠性指标的随机函数解析表达式具有普适性，我们假设元件的故障前工作时间服从威布尔分布，元件修复时间及开关操作时间服从更接近工程实际的对数正态分布。

对数正态分布的概率密度函数如下：

(C1)

由上式可得对数正态分布的期望和标准差如下：

(C2)

(C3)

此时，元件的年故障次数之和已不再服从任何已知分布，例如上节的泊松分布，即块的年故障次数及其发生概率不能解析表达。在此条件下，不能再以块，而应以元件为基础计算单元。对上述指数分布系统的可靠性指标随机函数解析表达式作适当修改，可给出非指数分布情况下对应的随机函数解析表达式：

(11)

(12)

(13)

式中：为块中元件的年故障次数，其概率分布由式(5)确定；、此处服从对数正态分布；为块中元件n的修复时间，也服从对数正态分布。对数正态分布的参数由后面的式(15)、(16)确定。

当元件工作时间服从威布尔分布、修复时间服从对数正态分布时，可根据历史数据统计结果分别计算出故障前工作时间、故障后修复时间的期望和方差，由式(3)、(4)可得到威布尔分布的参数、，由式(15)、(16)得到对数正态分布的参数、。

可能由于缺乏相关的历史统计数据，无法通过上述方法获得所有参数值。但是，为了验证本文所提方法的可行性，不失一般性可假设威布尔分布的形状参数取给定的任意值来实现对多种故障前工作时间分布的模拟，并根据标准测试系统所给定的原始可靠性参数来确定威布尔分布的期望值：

(14)

式中：为元件的平均无故障工作时间。由于已经假设给定，则可通过式(3)确定尺度参数。同样，根据专家经验可假设对数正态分布的标准差为某一给定数值，例如0.05：

(15)

(16)

式中：根据当前计算对象的不同，可为开关的平均操作时间或故障元件的平均修复时间。联立以上两式便可计算对数正态分布的参数、。

负荷点指标分析如下。

令表示导致负荷点m停电的所有故障块的编号所组成的集合，表示故障时会导致负荷点停电的第i个块的编号。此时负荷点的可靠性等值网络由集合中的块串联构成。对负荷点造成停电时间为b、c、d类的块编号所构成的集合分别用、及来表示。

下面给出指数分布条件下负荷点的年故障频率、年停电时间和年缺供电量的随机函数近似解析表达式：

(B1)

(B2)

(B3)

式中：块故障后，导致负荷点为b、c类节点的停电时间用、表示，且分别服从以块的平均故障隔离时间、平均故障隔离外加联络切换操作时间为参数的指数分布；为块的修复时间，服从以块中当前故障元件的平均修复时间为参数的指数分布；表示负荷点的负荷大小，通常为其平均负荷。

同样，给出非指数分布条件下负荷点三个指标的随机函数近似解析表达式：

(B4)

(B5)

(B6)

式中：为块中元件n的年故障次数，其概率分布由式(5)确定；、此处服从对数正态分布；为块中元件n的修复时间。对数正态分布的参数由式(15)、(16)确定。

3、TTSF、TTSR和SIF指标的随机函数建模

传统配电网可靠性评估中，系统级指标由负荷点的可靠性指标及用户数等信息综合构建，可见这些指标的大小与配电网用户数目及其分布情况紧密相关，是一种站在用户视角考察配网整体可靠性的测度指标，是从用户侧的角度体现配网随机故障对负荷点用户年停电持续时间和年停电频率等方面的影响。但从电网运行和调度人员的视角，对配电网故障发生及其恢复过程的随机变动规律进行识别，可为运行人员从总体上深刻理解配电网主体行为的随机性提供直观的量化信息。鉴于上述，本文将整个配电网看成一个等效元件，借鉴元件可靠性的基础指标，即平均故障前工作时间MTTF、平均故障后修复时间MTTR、故障频率，提出了与此相对应的配电网指标：系统故障前工作时间TTSF、系统故障后恢复时间TTSR以及系统故障频率SIF。

在元件故障相互独立的假设下，配电网可靠性等值网络是由引起系统失效的所有元件串联而成。等值网络中所有串联元件的初始状态为正常状态，在任一串联元件故障之前配电网所经历的工作时间称之为系统故障前工作时间TTSF。任一串联元件故障后系统将进入故障后的供电恢复过程，该恢复过程是个多阶段过程，包括故障隔离、备用电源切换，元件修复，每一恢复阶段都将恢复部分负荷点供电，直至故障元件最终完全修复后所有负荷点全部恢复电力供应。全部负荷点恢复供电所经历的时间称之为故障后恢复时间TTSR。

配电网可靠性评估传统上只考虑一阶故障，且忽略元件修复期间其他元件重叠故障的可能。基于此假设，配电网的状态空间转移如图1所示。其中：代表系统正常运行状态，代表元件1故障其余元件正常的系统状态，以此类推。根据定义可知，系统处于状态的时间即为故障前工作时间TTSF，停留于组合状态中的时间即为故障后恢复时间TTSR。

对于前述配电网的串联可靠性等值网络，系统状态的停留时间TTSF的概率分布、概率密度分布及其期望值的表达式如下：

(17)

(18)

(19)

式中：为元件的故障率。式(17)-(19)对元件工作时间服从任何概率分布都有效，只要知道的解析表达式并且能够积分。当不能用解析式表达或者不便直接积分时，可采用数值积分计算及，采用数值微分计算。

文献[ArmandoM.L，WillianF.C，AgneloM.C，etal．AnalyticalandMonteCarloapproachestoevaluateprobabilitydistributionsofinterruptionduration[J]．IEEETrans.onPowerSystems，2005，20(3)：1341-1348．]对系统故障后恢复时间TTSR作过初步研究。该文基于连续马尔科夫过程，将系统正常状态看成吸收状态，由随机转移概率矩阵得到截尾矩阵，推导了进入吸收状态之前各个故障状态的时间相关概率表达式，并由此求得在被正常状态吸收之前，系统在故障状态集合空间的停留时间的概率密度分布。但此方法只适用于指数分布系统，且涉及大规模微分方程组的解析求解，计算十分复杂。本发明基于条件概率及全概率思想推导了TTSR指标的概率密度函数，所推导的公式适用于元件维修时间为任何分布的情形，且计算简易。对于配电系统一阶故障事件，构成一个故障状态集合空间，在系统状态由随机转移到中时，令表示从系统状态转移到中状态的概率，且的计算公式如式（20）。表示在系统转移至状态后元件修复时间的概率分布，为元件修复时间的概率密度分布。

(20)

则TTSR的概率分布、概率密度分布及其期望值的表达式如下：

(21)

(22)

(23)

为验证式(21)-(23)的正确性，本发明基于随机转移概率矩阵和时间相关状态概率的概念，给出了元件工作和修复时间服从指数分布时TTSR的概率分布及概率密度函数，其结果与本文式(21)-(23)在指数分布情况下的结果完全一致。TTSF和TTSR指标的概率密度分布计算方法如下：

本文所提计算方法：

(1)指数分布：元件故障前工作时间服从指数分布时，为常数，由式(17)可得：

(D1)

对上式求导便得TTSF的概率密度函数：

(D2)

对于指数分布系统的故障后恢复时间TTSR，由式(21)可得：

(D3)

对上式求导便得TTSR的概率密度函数：

(D4)

(2)非指数分布(故障前工作时间服从威布尔分布，故障后修复时间服从对数正态分布)

(D5)

(D6)

(D7)

(D8)

文献[ArmandoM.L，WillianF.C，AgneloM.C，etal．AnalyticalandMonteCarloapproachestoevaluateprobabilitydistributionsofinterruptionduration[J]．IEEETrans.onPowerSystems，2005，20(3)：1341-1348．]所提方法：

基于连续马尔科夫过程，将系统正常状态看成吸收状态，为系统故障状态集合。则该系统的随机转移概率矩阵为：

(D9)

系统的截尾矩阵为：

(D10)

令表示系统在时间时处于状态的非条件概率，根据文献[17]中对系统初始向量的定义有：

(D11)

由上述文献提出的方法可得指数分布情况下TTSR的概率密度分布函数：

(D12)

式中：1为单位列向量且与维数相同。

将、的表达式代入上式并化简结果，有：

(D13)

由式(20)与式(D11)的定义可知：

(D14)

可见，上述文献的方法与本发明所提方法在指数分布情况下的计算结果完全一致，但本方法可以完全涵盖指数分布和非指数分布情况，而所述文献的计算模型则仅局限于指数分布。

上述计算方法同时也给出了非指数分布情况下TTSF、TTSR的概率分布及概率密度函数。可见，无论元件修复时间服从何种概率分布，只要其导函数存在，本发明所提方法便可方便快速地得出系统故障后修复时间TTSR的概率密度分布解析表达式，而上述文献中所提方法只是本方法的一种特殊情况。

对系统故障频率指标SIF有如下定义：系统单位时间内(通常一年)的停电次数。从定义可以看出，新指标SIF与传统指标SAIFI存在本质区别：新指标不考虑负荷侧用户数的影响，仅从系统停电次数的分布规律角度直观体现系统的可靠性水平。

由SIF的定义可得其在指数分布与非指数分布两种情况下的随机函数近似解析表达式、：

，(24)

4、随机变量概率密度分布的求取方法

对概率密度分布难以解析获取或仅知道实验样本的随机变量，可采用皮尔逊频率曲线及半不变量法求取随机变量的概率密度曲线，但这两种方法都存在较大不足。其中皮尔逊频率曲线忽略了4阶以上原点矩和中心矩对概率密度分布的影响，并且从皮尔逊频率曲线家族中选择最适合的概率密度函数类型也十分困难，因此其计算精度和使用范围受到制约；而基于半不变量的Gram-Charlier级数展开式仅适用单峰对称分布的随机变量，若随机变量的偏度值较大而峰度值较小或具有多峰分布，则Gram-Charlier级数展开式将难以收敛。

鉴于上述方法的缺陷，本发明采用文献[赵渊，沈智健，周念成．基于序贯仿真和非参数核密度估计的大电网可靠性评估[J]．电力系统自动化，2008，32(6)：14-19．]中已提出的非参数核密度估计方法，其原理为：设,,…,是个可靠性指标样本，可靠性指标的概率密度函数为，则的核密度估计为：

(25)

式中：为样本容量；为带宽；为核函数。当样本数，带宽且时，将依概率收敛于。的精度取决于核函数和带宽的选择，当带宽给定时不同核函数对的影响是等价的，的选择准则可参考上述文献。

如何在解析模型下得到可靠性指标样本成为应用式(25)的关键。为了准确描述本文的可靠性样本抽取算法，下面以非指数分布时的指标为例进行说明：

(1)设置所需可靠性指标样本总数和计数器,，令第q个可靠性指标样本，设置变量的初值为块中第一个元件的索引编号。

(2)判断是否大于，若是则已得到个样本值，样本抽取过程结束；否则转步骤(3)；

(3)对块中元件索引编号为的元件随机抽取一个[0,1]之间均匀分布的随机数，由式(5)计算出的概率区间分布如下图所示，若通过图2判断出落在次故障概率区间内，则令。

(4)若，转步骤5）；否则分别产生组服从对数正态分布的随机数{,,，}，并按下式更新。

(26)

(5)判断变量n是否为块中最后一个元件的索引编号，如果是，则转步骤(6)，否则令变量为块中下一个元件的索引编号，转步骤（3）

(6)令，判断是否大于块的总数，若不是转步骤3）；若是则第个可靠性指标样本已计算完成，并令，，转步骤2）；

5、算例分析

应用本文所提方法对RBTS-BUS6系统进行可靠性评估，该系统有33kV变电所1座，主馈线4条，负荷点40个，熔断器40台，用户2983户，总平均负荷10.715MW^[22]。

采用节3所提方法可直接解析获取系统故障前工作时间TTSF、故障后恢复时间TTSR的概率密度分布。图3给出了元件故障前工作时间分别服从指数分布和威布尔分布()时TTSF的概率密度分布曲线，以及元件修复时间分别服从指数分布和对数正态分布情况下TTSR的概率密度分布曲线。

由图3的计算结果可见：

1）无论元件故障前工作时间和故障后修复时间服从何种分布，本方法均可快捷实现系统故障前工作时间TTSF及故障后恢复时间TTSR的概率密度分布解析计算，有效克服了传统配电网可靠性评估中元件故障前工作时间和故障后修复时间需要服从指数分布的强制主观假设这一大缺点。

2）当元件故障前工作时间及故障后修复时间采用不同概率分布描述时，所得TTSF、TTSR概率密度分布曲线的结构特征及变化趋势将截然不同，且遵循如下规律：元件故障前工作时间服从指数分布与威布尔分布时，TTSF的概率密度分布曲线在分布规律上也分别相似于指数分布与威布尔分布，即系统故障前工作时间将随元件故障前工作时间随机分布规律的改变而发生相似变化。同样，TTSR的概率密度曲线也服从这一规律。

3）由于元件故障前工作时间和故障后修复时间的概率分布规律对TTSF、TTSR概率密度分布计算结果影响重大，因此加强对元件随机故障和随机修复规律的统计分析和辨识，是系统可靠性的随机变动规律识别及系统运行风险信息完整揭示的基础和前提条件。

节2给出了配网可靠性指标、和的随机函数解析表达式，在这些随机函数表达式中，虽然作为函数变量的元件故障频率和故障后修复时间的概率密度分布已知，但由于随机函数解析表达式较为复杂，所以无法通过函数变量的概率密度分布实现配网可靠性指标概率密度分布的直接解析表征。但将、和的随机函数解析表达式与节4的抽样算法和核密度估计技术相结合，则可有效解决这个难题。为了充分验证本文所提模型及算法的正确性，采用以下三种方案进行算例分析，且每种方案的解析模型计算结果都与序贯蒙特卡洛仿真结果进行对比，序贯蒙特卡洛仿真的收敛条件为期望缺供电量方差系数小于0.01。

1）方案A，假设元件故障前工作时间服从的威布尔分布，故障后修复时间和开关操作时间服从对数正态分布，采用式(5)的元件故障频率分布和式(11)-(13)的随机函数解析表达式。

2）方案B，假设元件故障前工作时间、故障后修复时间和开关操作时间均服从指数分布，且将方案B在两种条件下实现：①条件1：以块为最小计算单元，采用式(1)的泊松分布和式(8)-(10)基于指数分布的随机函数解析表达。②条件2：以元件为最小计算单元，采用式(5)的元件故障频率分布和式(11)-(13)基于非指数分布的随机函数解析表达式，但假设元件工作时间服从、的特殊威布尔分布(时，威布尔分布实为指数分布)。

3）方案C，假设元件故障前工作时间服从的威布尔分布，其他条件同方案A。

方案A下、和指标的概率密度分计算结果如图4、5所示。可见，解析模型的计算结果与序贯蒙特卡洛仿真结果非常接近，二者得出的概率密度分布曲线几乎完全重叠，说明元件故障前工作时间服从威布尔分布时，采用式(5)描述元件的故障频率分布，以及基于式(11)-(13)以元件为最小计算单元进行概率密度分布解析计算可以获得很准确的计算结果。对比图4a与图5发现，系统指标SAIFI与SIF的计算结果存在明显区别：由于SIF并未计及负荷点用户数的影响，而是站在系统整体角度考虑元件故障次数对系统年停电次数的影响，故其分布范围较大。

方案B下、和指标的概率密度分布计算结果如图6、7所示。可见，采用解析模型时在条件1、2下配网可靠性指标的概率密度分布曲线计算结果与序贯蒙特卡洛仿真结果三者之间几乎完全重合。由于指数分布只是威布尔分布的一种特殊情况，因此以元件为最小计算单位的随机函数解析表达式(11)-(13)具有广义普适性，而以块为最小计算单位的随机函数解析表达式(8)-(10)实际上是式(11)-(13)在元件故障前工作时间为指数分布时的一种特例。

方案C下、和指标的概率密度分布计算结果如图8、9所示。可见，在方案C下，解析模型与序贯蒙特卡洛仿真的计算结果存在一定差异，但二者曲线的整体形状及起始点和延伸范围等基本特征一致。产生这种较小差异的原因是：推导式(5)时曾假设元件平均维修时间MTTR远小于平均无故障工作时间MTTF，因此只有在元件MTTR很小且可以忽略不计的前提下，式(5)的元件故障频率分布才是精确的。虽然采用这样的假设导致解析模型计算结果与序贯蒙特卡洛仿真结果有较小差异，但因二者差异相对较小，在可接受范围之内，且解析模型下的计算时间远远低于序贯蒙特卡洛仿真，这使得本文解析模型具有较大优势。

对比A、B、C三种方案的计算结果可以发现：取值越小，、和指标的概率密度分布曲线在轴上越往右偏移，且可靠性指标的分布范围也越发明显增大，反映出的系统可靠性也变得越差。究其原因可以从威布尔分布的概率密度曲线的变化趋势加以说明，基于式(14)的威布尔分布构造条件(为了方便起见，在此采用具有代表性的RBTS-BUS6系统元件1的参数(次/年))，分别绘出其在、以及时概率密度曲线如图10所示：

由图10可知，对于威布尔分布的三种参数设置，虽然它们的期望值均为，但各自的概率密度曲线却存在着显著差异：当时，其概率密度曲线呈单峰形状且集中分布于远离原点的区域内；当时，其概率密度曲线在靠近原点的小范围内呈陡然下降趋势；而的概率密度曲线的变化趋势居于二者之间。这说明取值越小，元件故障前工作时间分布在靠近原点附近的时间区域内的概率较大，因此元件故障频率的概率分布中出现较高故障次数的概率也较大，从而导致、和指标的计算数值也较大。

表1RBTS-BUS6在解析法下的可靠性评估结果

、和指标随取值而变化的特点也可用表1的计算结果来揭示。表1给出各种方案下采用解析模型时部份可靠性指标的期望值计算结果，并以文献[3]的计算结果作为参照。为了充分验证威布尔分布时取值的改变对系统可靠性计算结果的影响，对系统指标TTSF及TTSR也同样进行了三种方案下的期望值计算。

由表1的计算结果可见：

1）方案B两种条件下的可靠性指标、的期望值在数值上与文献[3]十分接近，而文献[3]正是以元件工作及修复时间为指数分布的假设为前提条件。因此采用式(8)-(13)进行可靠性指标概率密度分布的近似计算可获得较准确的结果。

2）A、B、C三种方案下的系统可靠性指标中除了TTSR，其它指标均体现出：数值越大，系统可靠性评估结果越高这个结论。

3）由于在构造元件故障后修复时间为对数正态分布时，假定了对数正态分布的期望值和指数分布时保持一致，即均为元件平均修复时间MTTR(参见式(15))，因此采用式(23)计算出的A、B、C三种方案下TTSR指标的期望值完全一致。

6、结论

为克服传统上只有序贯蒙特卡洛仿真才能得到可靠性指标的概率分布这一主观论断，提出了适用于配电网负荷点及系统级可靠性指标的随机函数解析表达式，并结合非参数核密度估计技术，实现了配网可靠性指标的概率密度分布计算。解析建模过程考虑了工程实际中元件故障前工作时间和故障后修复时间属于非指数分布的情况，同时提出了系统故障前工作时间、系统故障后恢复时间和系统停电频率三个配电系统新指标来补充和完善现有配电网可靠性指标体系，并对它们进行了随机函数建模。通过与序贯蒙特卡洛仿真的计算结果进行对比分析，验证了所提模型和算法流程的正确性。

Claims (1)

1.一种基于概率分布的配网可靠性判断方法，其特征在于：本判断方法基于现有的可靠性判断指标--停电频率、停电时间和年缺供电量基础上，将整个配网看成一个等效元件而同时提出如下三个配网可靠性判断指标，且该三个配网可靠性判断指标通过解析表达式求得：系统故障前工作时间TTSF、系统故障后恢复时间TTSR以及系统故障频率SIF；其中系统故障前工作时间TTSF为配电网可靠性等值网络中任一串联元件故障之前配电网所经历的工作时间；系统故障后恢复时间TTSR为全部负荷点恢复供电所经历的时间；系统故障频率SIF为系统单位时间内的停电次数；配电网可靠性等值网络是在元件故障相互独立的假设下，由引起系统失效的所有元件串联而成；

传统配网可靠性判断指标停电频率、停电时间和年缺供电量分系统级指标和负荷点指标，系统级指标对应为系统平均停电频率S_AIFI、系统平均停电持续时间S_AIDI和系统年缺供电量E_NS，该三个配网系统级可靠性判断指标通过随机函数解析表达式求得，表达式的确定过程为：

根据故障扩散范围和恢复措施的作用范围，以开关装置为边界对配电网进行简化分块，块的等值可靠性参数可用块内所有元件的串联公式计算；配电网进行分块之后的可靠性等值网络是由引起系统失效的所有块所构成的串联网络；

某故障事件发生后，根据该故障事件对负荷点停电持续时间影响的不同，将节点分为4类：a类节点位于开关上游，在故障事件发生后开关正确动作切除故障，该节点用户不受故障影响；b类节点故障时间为隔离开关操作时间；c类节点故障时间为隔离开关操作加联络开关切换时间；d类节点故障时间为元件修复时间；

假设某配电网含N个元件和M个负荷点，元件编号为n＝1,2,…,N，负荷点编号为m＝1,2…M，其中负荷点m的用户数用N_m表示，采用分块算法时共形成N_B个块，编号为i＝1,2…N_B，其中第i个块用B_i表示，n∈B_i表示由块B_i中的元件编号所构成的集合；块B_i故障时引起M_i个负荷点停电，j∈M_i表示块B_i故障时导致停电的负荷点编号所构成的集合，对停电时间为b、c、d类的负荷点，其节点编号所构成的集合分别为M_ib、M_ic及M_id；

区间[0,t]中的参数t取1；系统平均停电频率S_AIFI、系统平均停电持续时间S_AIDI和系统年缺供电量E_NS按指数分布系统和非指数分布系统有两种解析表达；

对于指数分布系统，以块为基础计算单元，令为块B_i的年故障次数，f_in为块B_i中元件n的年故障次数，λ_in为块B_i中元件n的故障率；则有：

$f_{B_i}=\underset{n\∈B_i}{\Σ}{f}_{in}---\left(1\right)$

f_in为随机变量，故也为随机变量，且因f_in服从泊松分布，在元件故障相互独立的假设下，根据概率论相关理论也服从泊松分布，且其参数为：

${\mathrm{\λ}}_{B_i}=\underset{n\∈B_i}{\Σ}{\mathrm{\λ}}_{in}---\left(2\right)$

基于上述，可得到配网系统级可靠性指标：系统平均停电频率S_AIFI、系统平均停电持续时间S_AIDI、系统年缺供电量E_NS指数分布条件下的随机函数解析表达式：

$S_{AIFI}=\underset{i=1}{\overset{N_B}{\Σ}}\underset{j\∈M_i}{\Σ}{f}_{B_i}{N}_j/\underset{m=1}{\overset{M}{\Σ}}{N}_m---\left(3\right)$

$S_{AIDI}=\underset{i=1}{\overset{N_B}{\Σ}}\underset{k=1}{\overset{f_{B_i}}{\Σ}}\[r_{bi}\underset{j\∈M_{ib}}{\Σ}{N}_j+r_{ci}\underset{j\∈M_{ic}}{\Σ}{N}_j+r_{di}\underset{j\∈M_{id}}{\Σ}{N}_j\]/\underset{m=1}{\overset{M}{\Σ}}{N}_m---\left(4\right)$

$E_{NS}=8760\underset{i=1}{\overset{N_B}{\Σ}}\underset{k=1}{\overset{f_{B_i}}{\Σ}}\[r_{bi}\underset{j\∈M_{ib}}{\Σ}{L}_j+r_{ci}\underset{j\∈M_{ic}}{\Σ}{L}_j+r_{id}\underset{j\∈M_{id}}{\Σ}{L}_j\]---\left(5\right)$

式中：块B_i故障后，b、c类节点的停电时间分别用r_bi、r_ci表示，且分别服从以块B_i的平均故障隔离时间、平均故障隔离外加联络切换操作时间为参数的指数分布；r_di为块B_i的修复时间，服从以块B_i中当前故障元件的平均修复时间为参数的指数分布；N_j、N_m表示负荷点j和m的用户数，L_j表示负荷点j的负荷大小，为其平均负荷；

对于非指数分布系统，假设元件i的故障前工作时间服从威布尔分布，元件修复时间及开关操作时间服从对数正态分布，可得到非指数分布情况下系统平均停电频率S_AIFI、系统平均停电持续时间S_AIDI、系统年缺供电量E_NS的随机函数解析表达式：

$S_{AIFI}=\underset{i=1}{\overset{N_B}{\Σ}}\underset{n\∈B_i}{\Σ}\underset{j\∈M_i}{\Σ}{f}_{in}{N}_j/\underset{m=1}{\overset{M}{\Σ}}{N}_m---\left(6\right)$

$S_{AIDI}=\underset{i=1}{\overset{N_B}{\Σ}}\underset{n\∈B_i}{\Σ}\underset{k=1}{\overset{f_{in}}{\Σ}}\[r_{bi}\underset{j\∈M_{ib}}{\Σ}{N}_j+r_{ci}\underset{j\∈M_{ic}}{\Σ}{N}_j+r_{din}\underset{j\∈M_{id}}{\Σ}{N}_j\]/\underset{m=1}{\overset{M}{\Σ}}{N}_m---\left(7\right)$

$E_{NS}=8760\underset{i=1}{\overset{N_B}{\Σ}}\underset{\∈B_i}{\Σ}\underset{k=1}{\overset{f_{in}}{\Σ}}\[r_{bi}\underset{j\∈M_{ib}}{\Σ}{L}_j+r_{ci}\underset{j\∈M_{ic}}{\Σ}{L}_j+r_{din}\underset{j\∈M_{id}}{\Σ}{L}_j\]---\left(8\right)$

式中：f_in为块B_i中元件n的年故障次数，其概率分布由式(9)确定；r_bi、r_ci此处服从对数正态分布；r_din为块B_i中元件n的修复时间，也服从对数正态分布；对数正态分布的参数由式(10)、(11)确定；

式(9)为元件i故障前工作时间服从威布尔分布时，在[0,t]内故障发生次数的概率分布：

$P_x(f_i=x)=\frac{1}{x!}{\left(\frac{t}{\mathrm{\α}}\right)}^{x\mathrm{\β}}\exp \[-{\left(\frac{t}{\mathrm{\α}}\right)}^{\mathrm{\β}}\]---\left(9\right)$

$E\left(t\right)=\exp \[\mathrm{\μ}+\frac{1}{2}{\mathrm{\σ}}^2\]=r---\left(10\right)$

$\sqrt{D\left(t\right)}={\[\exp (2\mathrm{\μ}+2{\mathrm{\σ}}^2)-\exp (2\mathrm{\μ}+{\mathrm{\σ}}^2)\]}^{1/2}=0.05---\left(11\right)$

式(10)、(11)中：根据当前计算对象的不同，r为开关的平均操作时间或故障元件的平均修复时间，联立以上两式便可计算对数正态分布的参数σ、μ；

所述停电频率、停电时间和年缺供电量的负荷点指标对应为年故障频率f_m、年停电时间U_m和年缺供电量E_m，该三个配网负荷点可靠性判断指标通过随机函数解析表达式求得，其随机函数解析表达式确认过程为：

令S_m表示导致负荷点m停电的所有故障块的编号所组成的集合，i∈S_m表示故障时会导致负荷点m停电的第i个块的编号，此时负荷点m的可靠性等值网络由集合S_m中的块串联构成；对负荷点m造成停电时间为b、c、d类的块编号所构成的集合分别用S_mb、S_mc及S_md来表示；

指数分布条件下负荷点m的年故障频率f_m、年停电时间U_m和年缺供电量E_m的随机函数近似解析表达式：

$f_m=\underset{i\∈S_m}{\Σ}{f}_{B_i}---\left(12\right)$

$U_m=\underset{i\∈S_{mb}}{\Σ}\underset{k=1}{\overset{f_{B_i}}{\Σ}}{r}_{bi}+\underset{i\∈S_{mc}}{\Σ}\underset{k=1}{\overset{f_{B_i}}{\Σ}}{r}_{ci}+\underset{i\∈S_{md}}{\Σ}\underset{k=1}{\overset{f_{B_i}}{\Σ}}{r}_{di}---\left(13\right)$

$E_m=8760\left(\underset{i\∈S_{mb}}{\Σ}\underset{k=1}{\overset{f_{B_i}}{\Σ}}{r}_{bi}+\underset{i\∈S_{mc}}{\Σ}\underset{k=1}{\overset{f_{B_i}}{\Σ}}{r}_{ci}+\underset{i\∈S_{md}}{\Σ}\underset{k=1}{\overset{f_{B_i}}{\Σ}}{r}_{di}\right)L_m---\left(14\right)$

式中：块B_i故障后，导致负荷点m为b、c类节点的停电时间用r_bi、r_ci表示，且分别服从以块B_i的平均故障隔离时间、平均故障隔离外加联络切换操作时间为参数的指数分布；r_di为块B_i的修复时间，服从以块B_i中当前故障元件的平均修复时间为参数的指数分布；L_m表示负荷点m的负荷大小，为其平均负荷；

非指数分布条件下负荷点m的年故障频率f_m、年停电时间U_m和年缺供电量E_m的随机函数近似解析表达式：

$f_m=\underset{i\∈S_m}{\Σ}\underset{n\∈B_i}{\Σ}{f}_{in}---\left(15\right)$

$U_m=\underset{i\∈S_{mb}}{\Σ}\underset{n\∈B_i}{\Σ}\underset{k=1}{\overset{f_{in}}{\Σ}}{r}_{bi}+\underset{i\∈S_{mc}}{\Σ}\underset{n\∈B_i}{\Σ}\underset{k=1}{\overset{f_{in}}{\Σ}}{r}_{ci}+\underset{i\∈S_{md}}{\Σ}\underset{n\∈B_i}{\Σ}\underset{k=1}{\overset{f_{in}}{\Σ}}{r}_{din}---\left(16\right)$

$E_m=8760(\underset{i\∈S_{mb}}{\Σ}\underset{n\∈B_i}{\Σ}\underset{k=1}{\overset{f_{in}}{\Σ}}{r}_{bi}+\underset{i\∈S_{mc}}{\Σ}\underset{n\∈B_i}{\Σ}\underset{k=1}{\overset{f_{in}}{\Σ}}{r}_{ci}+\underset{i\∈S_{md}}{\Σ}\underset{n\∈B_i}{\Σ}\underset{k=1}{\overset{f_{in}}{\Σ}}{r}_{din})L_m---\left(17\right)$

式中：f_in为块B_i中元件n的年故障次数，其概率分布由式(9)确定；r_bi、r_ci此处服从对数正态分布；r_din为块B_i中元件n的修复时间；对数正态分布的参数由式(10)、(11)确定；

所述系统故障前工作时间TTSF的概率分布Pr(TTSF＜t)、概率密度分布f_TTSF(t)及其期望值E[TTSF]的表达式如下：

$\mathrm{Pr}(TTSF<t)=1-\underset{i=1}{\overset{N}{\&Pi;}}\exp \left(-\underset{0}{\overset{t}{\&Integral;}}{\mathrm{\&lambda;}}_i\left(t\right)dt\right)---\left(18\right)$

$f_{TTSF}\left(t\right)=\frac{dpr(TTSF<t)}{dt}=\left(\underset{i=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&lambda;}}_i\right(t\left)\right)\exp (-\underset{i=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}\underset{0}{\overset{t}{\&Integral;}}{\mathrm{\&lambda;}}_i(t\left)dt\right)---\left(19\right)$

$E\&lsqb;TTSF\&rsqb;=\underset{0}{\overset{\mathrm{\&infin;}}{\&Integral;}}{\mathrm{tf}}_{TTSF}\left(t\right)dt---\left(20\right)$

式中：λ_i(t)为元件i的故障率；式(18)-(20)对元件工作时间服从任何概率分布都有效，只要知道λ_i(t)的解析表达式并且能够积分；当λ_i(t)不能用解析式表达或者不便直接积分时，可采用数值积分计算Pr(TTSF＜t)及E[TTSF]，采用数值微分计算f_TTSF(t)；

对于配电系统一阶故障事件，S_α＝{S₁,S₂,…,S_N}构成一个故障状态集合空间，在系统状态由S_β＝{S₀}随机转移到S_α中时，令表示从系统状态S₀转移到S_α中状态S_i的概率，且的计算公式如式(21)；表示在系统转移至状态S_i后元件i修复时间的概率分布，为元件i修复时间的概率密度分布；

$P_{S_0\&RightArrow;S_1}=\frac{1/{\mathrm{MTTF}}_i}{\underset{i=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}\frac{1}{{\mathrm{MTTF}}_i}}---\left(21\right)$

则系统故障后恢复时间TTSR的概率分布Pr(TTSR＜t)、概率密度分布f_TTSR(t)及其期望值E[TTSR]的表达式如下：

$\mathrm{Pr}(TTSR<t)=\underset{i=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{P}_{S_0\&RightArrow;S_i}{P}_i({\mathrm{TTR}}_i<t{/}_{S_0\&RightArrow;S_i})---\left(22\right)$

$f_{TTSR}\left(t\right)=\frac{dPr(TTSR<t)}{dt}=\underset{i=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{P}_{S_0\&RightArrow;S_i}{f}_{{\mathrm{TTR}}_i}\left(t{/}_{S_0\&RightArrow;S_i}\right)---\left(23\right)$

$E\&lsqb;TTSR\&rsqb;=\underset{i=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{P}_{S_0\&RightArrow;S_i}E\&lsqb;{\mathrm{TTR}}_i\&rsqb;---\left(24\right)$

系统故障频率SIF在指数分布与非指数分布两种情况下的随机函数近似解析表达式为：

$S_{IF}^{\left(1\right)}=\underset{i=1}{\overset{N_B}{\&Sigma;}}{f}_{B_i},S_{IF}^{\left(2\right)}=\underset{i=1}{\overset{N_B}{\&Sigma;}}\underset{\&Element;B_i}{\&Sigma;}{f}_{in}---\left(25\right).$